-
Application de la simulation au risque de marché
26 Avril 2007
Christian [email protected]
-
Introduction● Simulation
– Action de remplacer une expérience aléatoire par une autre expérience aléatoire plus simple
● La finance de marché est un des domaines d'application de la simulation– Nécessité de mettre du certain dans un
environnement largement incertain
Page 1
● >>Introduction
Application de la simulation à la mesure du risque de marché
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Introduction
Position du problèmeBANQUECLIENTS
1 Milliard d'€
CAS 1: P augmente Tout va bien
CAS 2: P diminue Tout va mal: (Menaces sur la survie de l'entreprise)
Nécessité d'avoir un outil permettant d'évaluer les réserves permettant de faire face au risque de marché!!!
BANQUE Achat d'un produit financier au prix P
1 Milliard d'€
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Introduction
Position du problème(I)
● Objectif ≠ Empêcher les pertes– En jouant en bourse, on peut à tout moment tout
perdre!!!● Objectif = Évaluer la probabilité de perdre une
somme d'argent
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Introduction
Plusieurs techniques● Des techniques sans tirage de nombres
pseudo-aléatoires– Le Stress Testing– La méthode de variance/covariance
● Des techniques basés sur des tirages de nombres aléatoires
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché
● >>Formalisation
Mathématisation du problème(I)● Soit un produit financier de prix P
– P dépend de p variables Z1,.., Zp● Nature diverses des variables Z
1,..Z
p
– Internes au produit (cas de portefeuille d'actions)– Externes au produit (Indices,....)– Externes au marché (environnement politique,
économique....)– De format variés(elles peuvent être discrètes
comme continues)
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Formalisation
Mathématisation du problème(II)Date t Date t+1
Z1
.......Z
1+ΔZ
1
.......
Zp
Zp+ΔZ
p
P(Z1,..,Z
p) P(Z1+ΔZ1,..,Zp+ΔZp)
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Formalisation
Mathématisation du problème(III)● On s'intéresse à:
– ΔP=P(Z1+ΔZ1,..,Zp+ΔZp)-P(Z1,..,Zp)
– P&L du produit● Value At Risk avec une probabilité α notée
VAR(α)– Valeur que les pertes d'un produit financier ont α
de chance de dépasser.– Mathématiquement c'est le quantile 1-α de la
distribution des gains du produit.
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Formalisation
Mathématisation du problème(IV)● Value At Risk avec une probabilité 95% notée
VAR(95%)– Valeur que les pertes d'un produit financier ont
95% de chance de ne pas dépasser.– Mathématiquement c'est le quantile à 5% de la
distribution des gains du produit.
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Formalisation
Mathématisation du problème(V)
VAR(α)
PERTES GAINS
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Le Stress Testing● Soit P un produit financier dépendant d'une
seule variable Z1
– P=P(Z1)● On calcule le quantile à 95% (ou à 5%) de ΔZ
1
(noté qZ)
● La Value at Risk à 95% est donné par– Var(95%)=P(Z+qZ)-P(Z)
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Le Stress Testing● Soit un produit financier contenant une action
ACCOR dont le prix est Z1
– Le prix du produit est P=Z1● On calcule le quantile à 95% (ou à 5%) de ΔZ
1
(noté qZ)
● La Value at Risk à 95% est donné par– VAR(95%)=P(Z1+qZ)-P(Z1)=qZ
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Le Stress TestingDate Z1 ΔZ1
17/01/08 49,25 -0,6316/01/08 49,88 -1,38 QUANTILE(5%) -1,3815/01/08 51,26 -1,0414/01/08 52,3 1,76 VAR(95%) -1,3811/01/08 50,54 1,0410/01/08 49,5 1,4109/01/08 48,09 -2,9408/01/08 51,03 -0,6307/01/08 51,66 -1,13
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Le Stress Testing
● Quel quantile choisir?– Le quantile à 5% où à 95% ?
● On calcule le quantile à 95% (ou à 5%) de ΔZ1
(noté qZ)
● La Value at Risk à 95% est donné par– Var(95%)=P(Z+qZ)-P(Z)
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Le Stress Testing● Le quantile à 5% lorsque P est une fonction
croissante ● Le quantile à 95 % lorsque P est une fonction
décroissante
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Le Stress Testing
Z+Quantile à 95%
ZP(Z+q
Z)
P(Z) VAR(95%)=P(Z+qZ)-P(Z)
CAS OU P EST DECROISSANTE
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Le Stress Testing
Z+Quantile à 5%ZP(Z+qZ)
P(Z)
VAR(95%)=P(Z+qZ)-P(Z)
CAS OU P EST CROISSANTE
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Le Stress Testing (II)
● Simplicité d'utilisation– Un quantile unique à
calculer
Avantages Inconvénients● Pas du tout adapté pour
les produits avec un prix dépendant de plusieurs paramètres
● Ne permet pas de traiter le cas de plusieurs produits financiers
● Nécessité d'identifier la monotonie du produit
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
La méthode variance/covariance(I)● On dispose de p produits financiers A
1,...,A
p en
quantité q1,..,q
p dont le prix à t est donné par
Z1,..,Z
p
– Exemple un portefeuille d'actions ● Le P&L de ce portefeuille d'actions
– P&L=P(Z+ΔZ)-P(Z)– P&L=q1 ΔZ1+...qpΔZp
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
La méthode variance/covariance(I)
● Le P&L est donné par q1 ΔZ
1+...q
pΔZ
p qui est
une variable gaussienne vérifiant:
● On suppose que le vecteur (ΔZ1,...,ΔZ
p) est un
vecteur gaussien
Z1 , .. ,Z p~N 0,
P& L~N 0,q1, .. , q pq1, .. , q pt
σ2
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
La méthode variance/covariance(I)● La VAR(95%) est donnée par la formule
– VAR(95%)=1,64 σ
=q1, .. , q pq1, .. , q pt
● Exemple: un portefeuille d'actions– 4 actions d'Air France (Z1)
– 2 action ACCOR (Z2)
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
La méthode variance/covariance(I)ΔZ1 ΔZ2-0,31 -0,63 AIRFRANCE ACCOR-0,24 -1,38 QUANTITE 4 2-0,76 -1,040,45 1,760,34 1,04 MATRICE DE VARIANCE-COVARIANCE-0,18 1,41 AIRFRANCE ACCOR-1,25 -2,94 AIRFRANCE 0,18 0,14-0,38 -0,63 ACCOR 0,14 0,73-0,25 -1,13-0,9 -1,24
-0,36 -0,39 VARIANCE DU P&L 8,06-0,41 -0,280,2 -0,05 ECART-TYPE 2,84
0,38 1,28-0,63 -0,53 VAR(95%) 4,66
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
La méthode variance-covariance(II)
● Simplicité d'utilisation– Un quantile unique à
calculer
●Cadre théorique intéressant pour des produits basés sur des actions
Avantages Inconvénients● Pas du tout adapté à des
produits non linéaires
● Pas adapté pour des produits dont les variations ne sont pas des variables gaussiennes
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
La méthode variance/covariance(III)● Pour un produit non linéaire
– On « linéarise » le produit – P(Z
1+ΔZ
1,., Z
p+ΔZ
p)=P(Z
1,.,Z
p)+P'(Z
1,.,Z
p)(ΔZ
1,.,ΔZ
p)t
● Le P&L devient:– P&L=P'(Z
1,.,Z
p)(ΔZ
1,.,ΔZ
p)t
● On applique alors la méthode de variance covariance
● Intéressant pour les obligations
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Les techniques sans tirages● Difficulté pour évaluer le risque des
portefeuilles de produit variés– Difficulté de se priver de l'hypothèse de normalité– Difficulté pour modéliser des produits complexes
(non linéaires et à plusieurs variables)
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Vers les techniques avec tirage● Objectif: avoir la distribution de:
– P&L= P(Z1+ΔZ1,..,Zp+ΔZp)-P(Z1,..,Zp)● Algorithme itératif:
– Faire un tirage aléatoire de ΔZ=(ΔZ1,..,ΔZp) (sous quelle loi?)
– Pour chaque tirage, on calcule le P&L● Constitution d'un échantillon qui est tiré selon la
distribution du P&L dont on peut évaluer le quantile
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les principales méthodes de simulation de nombres pseudoaléaoires
Les méthodes basées sur la loi uniforme(I)
● Objectif:– Simuler n observations Y1,..,Yn issues d'une
distribution f● Hypothèse fondamentale
– Si U est une variable aléatoire admettant une densité une loi uniforme, alors g(U) admet comme densité f
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les principales méthodes de simulation de nombres pseudoaléaoires
Les méthodes basées sur la loi uniforme
● Se doter d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires suivant une loi uniforme pour avoir X
1,..,X
n
– (exemple: Kiss (Keep It Simple Stupid)) ● Calculer Y
1=g(X
1) ,.., Y
n=g(X
n)
● Y1,..,Y
n forment une suite de nombres pseudo-
aléatoires tirées selon f
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Les méthodes basées sur la loi uniforme (III)
● Exemple: Simuler une variable aléatoire dont la la densité est donné par exp(-x)1
[0;+∞[● Théorème fondamental
– Si U suit une loi uniforme -log(U) suit une loi exponentielle!
● Méthode– Tirer des observations U1,..,Un suivant une loi uniforme
– Y1=-log(U1),.., Yn=-log(Un) répondent à notre problème
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques sans tirages
Les méthodes basées sur la loi uniforme (IV)
● L'algorithme de Box-Muller– Objectif: simuler une loi normale
● Méthode– On simule deux lois uniformes U1 et U2
indépendantes– On calcule
{X 1=−2 lnU 1 cos 2U 2 X 2=−2 lnU 1 sin2U 2
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les principales méthodes de simulation de nombres pseudoaléaoires
La méthode d'acceptation rejet(I)● Objectif:
– Simuler une loi f● Hypothèse fondamentale
– Il existe g que l'on sait simuler densité vérifiant f(x)≤M g(x) avec M réel
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les principales méthodes de simulation de nombres pseudoaléaoires
La méthode d'acceptation rejet(II)● Étape 1:
– Simuler X suivant g et U suivant une loi uniforme
● Étape 2– Dire que Y=X si U≤f(X)/(M g(X))
● Étape 3– Retour à 1
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 1
● >>Les techniques avec tirage
Rappels de nos objectifs● Un produit financier dont le prix P dépend de
plusieurs paramètres– P=P(Z1,..,Zp)
● On cherche à déterminer le quantile à 95% du P&L– ΔP=P(Z1+ΔZ1,..,Zp+ΔZp)-P(Z1,..,Zp)
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché
● >>Les techniques avec tirage
Monte-Carlo dans le cas gaussien(II)● Étape 1:
– On fait un tirage aléatoire pour ΔZ= (ΔZ1,..,ΔZp)
– (ΔZ1,..,ΔZp) suit une loi gaussienne multivariée● Étape 2:
– On calcule pour chaque tirage ΔZ le P&L ΔP=P(Z
1+ΔZ
1,..,Z
p+ΔZ
p)-P(Z
1,..,Z
p)
Page 34
● Étape 3: – On calcule le quantile avec la distribution de ΔP
ainsi obtenue
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché
● >>Les techniques avec tirage
Monte-Carlo dans le cas gaussien(II)● Produit financier défini par:
– P&L=10 ΔZ1+10 ΔZ
2 -4ΔZ
12-3ΔZ
2 2+30 exp(ΔZ
1)-30
– ΔZ1 et ΔZ2 sont indépendants de variance 1 ● Étape 2:
– On calcule pour chaque tirage ΔZ le P&L
Page 35
● Étape 3: – On calcule le quantile avec la distribution de ΔP
ainsi obtenue
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché
● >>Les techniques avec tirage
Monte-Carlo dans le cas gaussien(III)
Page 36
U1 U2 ΔZ1 ΔZ2 P&L0,25 0,87 1,16 -1,17 56,36 VAR(95%)0,77 0,61 -0,54 -0,47 -24,46 -58,230,2 0,53 -1,77 -0,28 -58,21
0,57 0,1 0,87 0,62 52,260,92 0,54 -0,39 -0,09 -15,120,91 0,23 0,05 0,44 5,980,24 0,95 1,62 -0,53 120,980,18 0,18 0,8 1,67 50,420,17 0,55 -1,79 -0,55 -62,16
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché
● >>Les techniques avec tirage
Exemple sur un produit(I)
Page 37
0 500 1000
0.00
00.
002
0.00
40.
006
0.00
80.
010
Densite du P&L
P&L
Den
sité
Aucune chance que cette distribution soit gaussienne!
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 38
● >>Les techniques avec tirage
● Rappel– P&L=10 ΔZ
1+10 ΔZ
2 -4ΔZ
12-3ΔZ
2 2+30 exp(ΔZ
1)-30
● Méthode avec tirage– VAR(95%)=-51,83
Monte-Carlo dans le cas gaussien(I)
● Que donne la méthode sans tirage?– VAR(95%)=-69
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 39
● >>Les techniques avec tirage
Autre méthode de simulationSimulation à partir des historiques
● Idée de base:– L'historique d'une variable est « tirée » selon sa
propre loi!!!!● Méthode
– Obtenir un historique des variables– Tirer les ΔZ issus de cet échantillon au hasard
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 40
● >>La validation
La validation(I)● Motivation
– Prouver que l'outil est pertinent (gérer la réticence des traders, assurer que les mises en réserve seront suffisantes...)
– Calibrer la probabilité du quantile( doit-on prendre un quantile de 95%,80%.....)
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 41
● >>La validation
La validation(II)● Backtesting
– On se place sur une période – On évalue le montant des gains et des pertes pour
chacune des journées de la période– On regarde si le gain ou la perte se situe dans
l'intervalle donné par l'outil d'évaluation de risque● Performance= le maximum de gains (ou pertes)
tombant dans l'intervalle donné par l'outil
-
Application de la simulation à la mesure du risque de marché Page 42
● >>Autres applications
Autres applications ● Construction de superstructure (plateforme
pétrolière)
● Prospective sur un territoire