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Applicazione
1
• Un’asta di acciaio ha un diametro di 3.000 cm alla temperature di 25°C. Un anello di ottone ha un diametro interno di 2.992 cm alla temperatura di 25°C. A quale temperatura comune l’asta si infilerà nell’anello.
• Imponiamo l’uguaglianza tra i due diametri e ricaviamo la variazione di temperatura T comune
dasta=dasta_25°C 1+αacciaoΔT( )
danello=danello_ 25°C 1+αottoneΔT( )
• Dalla tabella dei coefficienti di dilatazione lineare ricaviamo
• ottone=19x10-6 °C-1 acciaio=11x10-6 °C-1
dasta_25°C 1+αacciaoΔT( ) =danello_25°C 1+αottoneΔT( )
dasta_25°C −danello_25°C =danello_25°CαottoneΔT −dasta_ 25°CαacciaoΔT =
ΔT =dasta_25°C −danello_ 25°C
danello_ 25°Cαottone−dasta_25°Cαacciao
=
=3.000cm−2.992cm
2.992cm×1956.848
1 2 4 4 3 4 4 ×10−6°C−1 −3.000×1133.000
1 2 4 3 4 ×10−6°C−1 =0.008×106
23.848=335.4°C
ΔT =T −25°C =335.4°C ⇒ T =335.4°C +25°C =360°C
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Applicazione
2
• Calcolate il calore specifico di un metallo dai seguenti dati. Un contenitore fatto di questo metallo ha una massa di 3.6kg e contiene 14 kg di acqua. Un pezzo di 1.8kg di metallo inizialmente alla temperatura di 180°C viene immerso nell’acqua.
• Il contenitore e l’acqua inizialmente hanno una temperatura di 16 °C e la temperatura finale di tutto il sistema è 18°C.
• Osserviamo che il calore ceduto dal pezzo di metallo è stato tutto acquisito dall’acqua e dal contenitore.
• Il calore ceduto dal pezzo di metallo vale
• Dalla tabella dei calori specifici ricaviamo che quello dell’acqua vale
• cacqua=4190 J/ kgK
Qc =cmΔTmetallo
• Il calore acquisito dall’acqua e dal contenitore vale:
Qa =cacquamacquaΔTacqua+cmcontenitoreΔTacqua
cacquamacquaΔTacqua+cmcontenitoreΔTacqua=−mcΔTmetallo
c =−cacquamacquaΔTacqua
mΔTmetallo+mcontenitoreΔTacqua
=−4190×14×2
1.8× −162( )+3.6×2=
117320284.4
=412J / kgK
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Applicazione
3
• Un thermos isolato contiene 130 g di caffè caldo, alla temperatura di 80° C.
Per raffreddare il caffè aggiungete all’interno del thermos un cubetto di ghiaccio di massa 12g tolto da una cella frigorifera alla temperatura di -10°C. Di quanti gradi si sarà raffreddato il caffè dopo che il ghiaccio si è fuso e si sarà raggiunta la condizione di equilibrio finale? Trattate il caffè come se fosse acqua pura e trascurate gli scambi termici con l’ambiente circostante.
• Il ghiaccio subirà le seguenti trasformazioni– Riscaldamento da -10°C a 0°C Q1=mghiacciocghiaccio (Tf=0°C-Ticghiaccio)=266.4J
– Fusione a 0°C Q2=mghiaccioLf=3996J
– Riscaldamento da 0°C alla temperatura finale Q3=mghiacciocacqua (Tf-T0°)
• Il caffè, invece, subirà la seguente trasformazione– Raffreddamento da 80°C alla temperatura finale Q4=mcaffècacqua (Tf-Ticaffè) (<0)
• Dalla tabella dei calori specifici e da quello dei calori latenti ricaviamo:
• cacqua=4190 J/ kgK, cghiaccio=2220J/kgK, Lf=333kJ/kg
Q1 +Q2 +Q3 =−Q4
Tf =mcaffècacquaTicaffè+mghiacciocacquaT0°C −Q1 −Q2
mcaffècacqua+mghiacciocacqua
=130×10−3 ×4190×80−0−266.4J −3996J
130×10−3 ×4190+12×10−3 ×4190=66°C
Q1 +Q2 +mghiacciocacquaTf −T0°C( )=−mcaffècacquaTf −Ticaffè( )
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Applicazione
4
• Una barra cilindrica di rame lunga 1.2 m e con sezione di area 4.8 cm2 è isolata per impedire perdite di calore attraverso la sua superficie laterale. Le estremità vengono mantenute ad una differenza di temperatura di 100°C ponendo una estremità in una miscela di acqua e ghiaccio e l’altra in acqua bollente e vapore
• Trovate quanto calore viene trasmesso nell’unità di tempo lungo la sbarra• Quanto ghiaccio si fonde nell’unità di tempo all’estremità fredda
• Dalla tabella delle conducibilità termiche e dei calori latenti ricaviamo
• krame=401W/ mK, Lf=333kJ/kg
P =
QΔt
=kAΔTL
=401WmK
4.8 10−2m2 100|C1.2m
=16.0W
ΔmΔt
=
QL f
Δt=
1L f
QΔt
=16.0
Js
333×103 Jkg
=16.0333
10−3 kgs
=0.048×10−3 kgs
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Applicazione 5
• Una quantità di gas ideale monoatomico alla temperatura di 10.0°C e a una pressione di 100 kPa occupa un volume di 2.50 m3. Il gas viene riscaldato a volume costante fino a quando la pressione diventa 300 kPa .
• Determinare il calore assorbito dal gas e la variazione di energia interna.
V
P
P 2
V o
P 1
T
T+dT
PV =nRT
n =P1Vo
RT1
=100×103 N
m2 ×2.50m3
8.314J
mol×K273.15+10.0( )K
=106.2mol
T2 =P2Vo
nR=
300×103 Nm2 ×2.50m3
8.314J
mol×K106.2mol
=849.4K
W =0 ΔU =Q
ΔU =nCVΔT =106.2mol×32
×8.134J
mol×K849.4−283.15( )K =
=733.7kJ
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Applicazione 6
• Una quantità di gas ideale biatomico alla temperatura di 0.0°C e a una pressione di 100 kPa occupa un volume di .50 m3. Il gas viene riscaldato a pressione costante fino a quando il volume raddoppia.
• Determinare il calore assorbito dal gas, la variazione di energia interna, il lavoro effettuato.
PV =nRT
n =PVi
RTi
=100×103 N
m2 ×.50m3
8.314J
mol×K273.15( )K
=22.0mol
Tf =PVf
nR=
100×103 Nm2 ×1.00m3
8.314J
mol×K22.0mol
=546.7K
W =P Vf −Vi( ) =100×103Pa× 1.00−.50( ) =50kJ
V
P
P
V i V f
Τ+ d Τ
Τ
Q =nCPΔT =22.0mol×72
×8.134J
mol×K546.7−273.15( )K =171.4kJ
ΔU =nCVΔT =22.0mol×52
×8.134J
mol×K546.7−273.15( )K =
=122.4kJ
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Applicazione 7
• Calcolate il lavoro svolto da un agente esterno durante una compressione isoterma di una certa quantità di ossigeno da un volume di 22.4 L alla temperatura di 0.00°C e 1 bar di pressione a un volume di 16.8L.
PV =nRT
n =PVi
RTi
=105 N
m2 ×22.4×10−3m3
8.314J
mol×K273.15( )K
=0.99mol
W =nRTlogVf
Vi
=1mol×8.314J
molK273.15Klog
16.822.4
=−639.17J
ΔU =0
V
P
Τ
P f
V f
Isoterma
V i
P i
dW=PdVW = PdV=
nRTV
dV =i
f
∫i
f
∫ =nRTdVVi
f
∫=nRT logV[ ]i
f=nRT logVf −logVi( )=nRTlog
Vf
Vi
ΔU =Q−W Q =W
West=−W =639.17J
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Applicazione 8
• Una certa massa di gas occupa un volume di 4.3 L a una pressione di 1.2 bar e una temperatura di 310 K.
• Essa viene compressa adiabaticamente fino a un volume di 0.76 L.
• Determinare la pressione finale e la temperatura finale supponendo che si tratti di un gas ideale per il quale =1.4.
PVγ =cost
• Dobbiamo innanzitutto determinare l’espressione di una adiabatica reversibile.
• Troveremo infatti che l’adiabatica reversibile vale
• O una equazione che deriva da questa utilizzando l’equazione di stato
PV =nRT
PVγ =nRTV
V γ =cost ⇒ TV γ−1 =cost
P1γV =P
1γ nRT
P=cost ⇒ TP
1γ−1
=cost
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Applicazione 9
• Una certa massa di gas occupa un volume di 4.3 L a una pressione di 1.2 bar e una temperatura di 310 K.
• Essa viene compressa adiabaticamente fino a un volume di 0.76 L.
• Determinare la pressione finale e la temperatura finale supponendo che si tratti di un gas ideale per il quale =1.4.
• L’ adiabatica reversibile vale
PV =nRT
PVγ =cost PfVfγ =PiVi
γ
PfVfγ =Pi
Vi
Vf
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
γ
=1.2×105 4.30.76
⎛ ⎝
⎞ ⎠
1.4
=13.56bar
TfVfγ−1 =TiVi
γ−1Tf =Ti
Vi
Vf
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
γ−1
=310K4.30.76
⎛ ⎝
⎞ ⎠
0.4
=620K
PiVi =nRTi
PfVf =nRTfTf =Ti
PfVf
PiVi
Tf =310K13.56bar×0.76L
1.2bar×4.3L=619.1K
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Applicazione 10
• In figura sono illustrate le quattro trasformazioni reversibili (isocora, isobara, isoterma ed adiabatica) subite da una certa quantità di gas ideale.
• Identificate le quattro trasformazioni e poi ordinatele– secondo i valori decrescenti del calore assorbito dal gas
– secondo i valori decrescenti del lavoro effettuato dal gas
– secondo i valori decrescenti della variazione di energia internaPV =nRT
• 1 Isobara
• 2 Isoterma
• 3 Adiabatica
• 4 Isocora
• Secondo valori decrescenti del lavoro effettuato (area al di sotto della trasformazione)
– 1 Isobara
– 2 Isoterma
– 3 Adiabatica
– 4 Isocora
• Secondo valori decrescenti della variazione di energia interna U=nCVT
– 1 Isobara
– 2 Isoterma
– 3 Adiabatica, 4 Isocora a pari merito
• Secondo valori decrescenti del calore assorbito Q= U+W
– 1 Isobara (Q= U+W)
– 2 Isoterma (Q=W)
– 3 Adiabatica, (Q=0)
– 4 Isocora (Q<0)
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Applicazione 11
• Un gas monoatomico ideale, a una temperatura iniziale To (in Kelvin) si espande da un volume Vo ad un volume 2Vo per mezzo di uno dei cinque processi indicati nel grafico delle temperature in funzione del volume mostrato in figura.
– In quale processo l'espansione è• isoterma
• isobara (pressione costante)
• adiabatica
– Date una spiegazione alle vostre risposte.
• Isoterma trasformazione AE
• Isobara trasformazione AC
PVo =nRTo P2Vo =nRT1
⇓
T1 =2To
• Adiabatica trasformazione AF
T1 2Vo( )γ−1
=ToVoγ−1 ⇒ T1 =
To
2γ−1 =To
21.66−1 =.63To
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Applicazione 12
• Un gas ideale subisce una compressione adiabatica reversibile da P=1.0 bar, V=1.0 106 litri, T=0.0 °C a P= 1.0 105 bar, V=1.0 103 litri.
• Si tratta di un gas monoatomico, biatomico o poliatomico?• Qual è la temperatura finale?• Quante moli del gas sono presenti?• Qual è l’energia cinetica traslazionale per ogni mole prima e dopo la
compressione?
• Il gas è monoatomico
PiViγ =PfVf
γ PiPf
=Vf
Vi
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
γ
⇒ logPiPf
=γlogVf
Vi
γ =log
PiPf
logVf
Vi
=log
1105
log103
106
=log10−5
log10−3 =−5×log10−3×log10
=53
=1.66
PoVo =nRTo ⇒ n =PoVo
RTo
=105Pa×103m3
8.31J
molK273.15K
=44000mol
Tf =PfVf
nR⇒ Tf =
1010Pa×1m3
8.31J
molK44000mol
=27349K
Tf = K =32
kT ⇒ Kmol =NA32
kT =32
RT =32
8.31×273.15=3404J
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto
• Trasformazione ab - Espansione isoterma– U=0, Q1=Wab
– La trasformazione è reversibile: possiamo suddividerla in tratti infinitesimi
– Il lavoro in ciascun tratto infinitesimo sarà: dW=PdV
– Il lavoro complessivo
– Dato che Vb è maggiore di Va (espansione) il lavoro è positivo
– Il calore Q1 è uguale al lavoro: è anch’esso positivo (calore assorbito)
Wab = PdVa
b
∫ =nRT1
VdV
a
b
∫ =nRT1dVVa
b
∫ =
=nRT1 lnV[ ]ab=nRT1ln
Vb
Va
ΔU =Q−W
Va
Vb
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto
• Trasformazione bc - Espansione adiabatica– Qbc=0, Ubc =-Wbc
– La variazione di U energia del gas perfetto
– Dato che T2 è più piccolo di T1, U <0
– Il lavoro W è maggiore di zero (il lavoro viene fatto dal sistema sull’ambente esterno
ΔUbc =nCV T2 −T1( )
Wbc =−nCV T2 −T1( )
• Trasformazione cd - Compressione isoterma– U=0, Q2=Wcd
– Operando come sulla trasformazione ab, otteniamo il lavoro complessivo
Wcd =nRT2lnVd
Vc– Dato che Vd è minore di Vc (compressione), il lavoro è negativo
– Il calore Q2 è uguale al lavoro: è anch’esso negativo (calore ceduto)
ΔU =Q−W
Va
VbVc
Vd
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto
• Trasformazione da - Compressione adiabatica– Qda=0, Uda =-Wda
– La variazione di U energia del gas perfetto
– Dato che T2 è più piccolo di T1, U >0
– Il lavoro W è minore di zero (il lavoro viene fatto sul sistema dall’ambente esterno
ΔUda =nCV T1 −T2( )
Wda =−nCV T1 −T2( )
• Si osservi che Wda=-Wbc
• Il lavoro complessivo svolto nel ciclo sarà:
W=Wab+Wbc+Wcd+WdaW =nRT1ln
Vb
Va
+nRT2lnVd
Vc
• Il calore assorbito nel ciclo è solo Q1=Wab
ΔU =Q−W
Va
VbVc
Vd
Q1 =nRT1lnVb
Va
• Il rendimento del ciclo di Carnot η=
WQ1
=nRT1ln
Vb
Va
+nRT2lnVd
Vc
nRT1lnVb
Va
=1+T2
T1
lnVd
Vc
lnVb
Va
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Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto
• Vogliamo far vedere che:
ΔU =Q−W
Va
VbVc
Vd
η=WQ1
=nRT1ln
Vb
Va
+nRT2lnVd
Vc
nRT1lnVb
Va
=1+T2
T1
lnVd
Vc
lnVb
Va
lnVd
Vc
lnVb
Va
=−1
abisoterma PaVa =PbVb
bcadiabaticaPbVbγ =PcVc
γ
cdisoterma PcVc =PdVd
daadiabaticaPdVdγ =PaVa
γ PaVaPbVbγPcVcPdVd
γ =PbVbPcVcγPdVdPaVa
γ
• Moltiplicando tutti i primi membri e tutti i secondi membri tra loro
VaVbγVcVd
γ =VbVcγVdVa
γVb
γ−1Vdγ−1 =Vc
γ−1Vaγ−1
Vb
Va
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
γ−1
=Vc
Vd
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
γ−1 Vb
Va
=Vc
Vd
η=1−T2
T1
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Applicazione 13
• Un inventore sostiene di aver inventato cinque motori, ciascuno operante tra i serbatoi termici a 400 e 300 K. Per ogni ciclo, i dati di ogni motore sono i seguenti:
– Qa=200 J, Qc=-175 J, W=40 J
– Qa=200 J, Qc=-150 J, W=50 J
– Qa=600 J, Qc=-200 J, W=400 J
– Qa=100 J, Qc=-90 J, W=10 J
– Qa=500 J, Qc=-200 J, W=400 J
– Dire quali dei due principi della termodinamica (eventualmente entrambi) vengono violati da ciascun motore. Nel caso invece entrambi i principi della termodinamica risultino soddisfatti, stabilire se il ciclo è reversibile
• No primo
• Ok primo, ok secondo, reversibile
• Ok primo, no secondo
• Ok primo, ok secondo, non reversibile
• No primo
ηC =1−T2
T1
=1−300400
=0.25 η≤ηC
η2 =W
Qass
=50200
=.25
η4 =W
Qass
=10100
=.10
η3 =W
Qass
=400600
=.66
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Applicazione 14
• Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1.
– Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto dei calori specifici del gas.
– Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.– Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature estreme.
• Questo ciclo è denominato “ciclo Otto” ed è il ciclo secondo cui funziona il motore benzina.
• Punto 2
4
3
2
1 Adiabatica
Adiabatica
V4V1
p1
3p1
Scoppio
V2 =V1
P2 =3P1
T2 =P2V2
nR=
3P1V1
RP1V1
RT1
=3T1
• Punto 3
V3 =V4 =4V1
P3 =P2V2
γ
V3γ =3P1
V1γ
4γV1γ =3×4−γP1
T3 =P3V3
nR=
3×4−γP1 ×4×V1
RP1V1
RT1
=3×41−γT1
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Applicazione 14
• Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1.
– Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto dei calori specifici del gas.
– Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.– Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature estreme.
• Punto 4
4
3
2
1 Adiabatica
Adiabatica
V4V1
p1
3p1
Scoppio
r =V4
V1
=4
V4 =4V1
P4 =P1V1
γ
V4γ =P1
V1γ
4γV1γ =4−γP1
T4 =P4V4
nR=
4−γP1 ×4×V1
RP1V1
RT1
=41−γT1
η=W
Qass
=1+Qced
Qass
=1+nCV T4 −T3( )nCV T2 −T1( )
=1+41−γ −3×41−γ
( )T1
3−1( )T1
=1+41−γ 1−3( )
3−1( )=1−
14γ−1
ηC =1−T4
T2
=1−41−γT1
3T1
=1−1
3×4γ−1
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Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
serbatoio di calore
• Durante il trasferimento di calore
il serbatoio non cambia stato
• Rimane in uno stato di equilibrio termodinamico
• Il trasferimento di calore avviene
• In maniera reversibile
Q
T
ΔS=δQR
Ti
f
∫
=1T
δQRi
f
∫ =QT
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Sistema
Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
Trasformazione reversibile
• Durante il trasferimento di calore
il serbatoio e il sistema hanno la stessa temperatura
• Considerando un tratto infinitesimo di trasformazione
Q
T
dSsist=δQ
T
T
dSserb=−δQ
T
dSUniverso=dSSistema+dSSerbatoio=δQR
T−
δQR
T=0
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Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
generica trasformazione di un gas perfetto
• Consideriamo una generica trasformazione if
• Poiché l’entropia è una funzione di stato, per il calcolo della sua variazione possiamo utilizzare una qualunque trasformazione come quella mostrata in figura.
V
P
i
f
c
ΤfΤ i
V f
Pf
P i
V iΔS=δQR
Ti
f
∫ =δQR
Ti
c
∫ +δQR
Tc
f
∫ =nCVdT
Ti
c
∫ +nRTT
dVV
c
f
∫ =
= nCVdTT
i
c
∫ + nRdVV
c
f
∫ =nCV lnT⎡ ⎣
⎤ ⎦ i
c
+nR lnV⎡ ⎣
⎤ ⎦ c
f
=nCV lnTc
Ti
+nR lnVf
Vc
=
=nCV lnTf
Ti
+nR lnVf
Vi
S = nCV lnTf
Ti
+ nR lnVf
Vi
ΔS = nCP lnTf
Ti
− nR lnPf
Pi
ΔS = nCV lnPf
Pi
+ nCp lnVf
Vi
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Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
cambiamento di fase
• Durante un cambiamento di fase, la temperatura rimane costante:
ΔS =Sliq −Ssol =δQR
Tfusione
=la temperaturadi fusione è
costante
sol
liq
∫1
Tfusione
δQR =mλ fusione
Tfusionesol
liq
∫
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Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
espansione libera
G as Vuoto
fig. A
Pe
• Vi,T • Vf,T
• L’espansione libera è una trasformazione irreversibile
• Per calcolo la variazione dell’entropia dobbiamo utilizzare trasformazione reversibile
• Per esempio una trasformazione isoterma
• Sull’isoterma
V
P
f
i
Τ
V f
Pf
P i
V iΔSsist=δQR
Ti
f
∫ =δQR
Ti
f
∫ =nRTT
dVV
i
f
∫ =nRlnVf
Vi
dU=δQ −δW
dU=0 ⇒ δQ =δW
ΔSamb=0 ΔSuniv=ΔSsist+ΔSamb>0
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Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
conduzione di calore
• Consideriamo due corpi a temperatura diversa T1 e T2.
• Se i due corpi interagiscono solo tra di loro il calore ceduto dal corpo 1 sarà assorbito dal corpo 2
• La trasformazione è irreversibile
• Ma avviene a pressione costante
• Il calore trasferito da un corpo all’altro può essere calcolato come se la trasformazione fosse reversibile
• Diciamo Tm la temperatura di equilibrio
ΔS2 =δQR
Ti
f
∫ =m2c2dT
Ti
f
∫ =m2c2lnTm
T2
Q1 =m1c1 Tm −T1( )<0
Q2 =m2c2 Tm −T2( ) >0
Q2 =−Q1 ⇒ m2c2 Tm −T2( )=−m1c1 Tm −T1( )
Corpo 2T2
Corpo 1T1
T1>T2
Tm =m1c1T1 +m2c2T2
m1c1 +m2c2
Corpo 2T
T+dTQΔS1 =
δQR
Ti
f
∫ =m1c1dT
Ti
f
∫ =m1c1lnTm
T1
ΔS=ΔS1 +ΔS2 =m1c1lnTm
T1
+m2c2lnTm
T2
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
conduzione di calore
• Se i due corpi sono della stessa sostanza ed hanno la stessa massa c1 =c2 =c
m1 =m2 =mCorpo 2T2
Corpo 1T1
T1>T2Tm =m1c1T1 +m2c2T2
m1c1 +m2c2
=mcT1 +T2( )
2mc=
T1 +T2( )2
Corpo 2T
T+dTQ
ΔS=ΔS1 +ΔS2 =m1c1lnTm
T1
+m2c2lnTm
T2
=
=mc lnTm
T1
+lnTm
T2
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ =mcln
Tm2
T1T2
Tm2
T1T2
=
T1 +T2( )2
4T1T2
=T
12 +2T1T2 +T
22
4T1T2
=T
12 +2T1T2 +T
22 −4T1T2 +4T1T2
4T1T2
=
=T
12 −2T1T2 +T
22 +4T1T2
4T1T2
=1+T1 −T2( )
2
4T1T2
>1 ΔS=ΔSuni >0
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Applicazione 15
• In un cilindro, munito di un pistone a tenuta, sono contenuti 20 grammi di idrogeno (molecola H2, massa molecolare M=2 u) alla pressione atmosferica (1.01x105 Pa). Il gas viene riscaldato a pressione costante dalla temperatura di 30 °C alla temperatura di 40°C, tenendolo a contatto con un serbatoio di calore alla temperatura di 50°C.
– Supponendo che durante la trasformazione il gas si comporti come un gas perfetto, determinare:
– Il numero di moli.
– Il lavoro fatto dal gas.
– La variazione di energia interna.
– La variazione di entropia del gas e dell’universo.
• Il numero di moli si ottiene dividendo la massa del gas per la massa molare il cui valore numerico quando è espresso in grammi per mole è proprio uguale alla massa molecolare in uma (unità di massa atomica)
50°C
Θ
Pe
=1atm
n =mM
=20g2g
mol=10mol
• La trasformazione è irreversibile (assenza di equilibrio termico: temperatura del gas diversa dalla temperatura del serbatoio (ambiente))
• Bisogna usare i parametri dell’ambiente per determinare il lavoro:
W =Pe(Vf −Vi ) • Vanno determinati i volumi iniziale e finale
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Applicazione 15
• In un cilindro, munito di un pistone a tenuta, sono contenuti 20 grammi di idrogeno (molecola H2, massa molecolare M=2 u) alla pressione atmosferica (1.01x105 Pa). Il gas viene riscaldato a pressione costante dalla temperatura di 30 °C alla temperatura di 40°C, tenendolo a contatto con un serbatoio di calore alla temperatura di 50°C.
– Supponendo che durante la trasformazione il gas si comporti come un gas perfetto, determinare:
– Il numero di moli.
– Il lavoro fatto dal gas.
– La variazione di energia interna.
– La variazione di entropia del gas e dell’universo.
• Il volume iniziale
50°C
Θ
Pe
=1atm
PiVi =nRTi ⇒ Vi =nRTi
Pi
W =Pe(Vf −Vi ) =1.01×105Pa× .258−.249( )m3 =909J
Vi =nRTi
Pi
=10mol×8.31
JmolK
303.15K
1.01×105Pa=0.249m3
• Il volume finale PfVf =nRTf ⇒ Vf
=nRTf
Pf
Vi =nRTf
Pf
=10mol×8.31
JmolK
313.15K
1.01×105Pa=0.258m3
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Applicazione 15
• In un cilindro, munito di un pistone a tenuta, sono contenuti 20 grammi di idrogeno (molecola H2, massa molecolare M=2 u) alla pressione atmosferica (1.01x105 Pa). Il gas viene riscaldato a pressione costante dalla temperatura di 30 °C alla temperatura di 40°C, tenendolo a contatto con un serbatoio di calore alla temperatura di 50°C.
– Supponendo che durante la trasformazione il gas si comporti come un gas perfetto, determinare:
– Il numero di moli.
– Il lavoro fatto dal gas.
– La variazione di energia interna.
– La variazione di entropia del gas e dell’universo.
• La variazione di energia interna
50°C
Θ
Pe
=1atm
ΔU =nCVΔT
• Il gas è biatomico CV =52
R
ΔU =nCVΔT =10mol×52
×8.31J
molK10K =2077.5J
• La variazione di entropia• Trattandosi di un gas perfetto possiamo usare l’espressione generale:
ΔS=nCV lnTf
Ti
+nR lnVf
Vi
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Applicazione 15
• In un cilindro, munito di un pistone a tenuta, sono contenuti 20 grammi di idrogeno (molecola H2, massa molecolare M=2 u) alla pressione atmosferica (1.01x105 Pa). Il gas viene riscaldato a pressione costante dalla temperatura di 30 °C alla temperatura di 40°C, tenendolo a contatto con un serbatoio di calore alla temperatura di 50°C.
– Supponendo che durante la trasformazione il gas si comporti come un gas perfetto, determinare:
– Il numero di moli.
– Il lavoro fatto dal gas.
– La variazione di energia interna.
– La variazione di entropia del gas e dell’universo.
• In questo caso conviene utilizzare la forma espressa in funzione della temperatura e della pressione, visto che la pressione rimane costante.• Utilizzando l’equazione di stato del gas perfetto
50°C
Θ
Pe
=1atm
ΔSsist=nCV lnTf
Ti
+nR lnVf
Vi
=nCV lnTf
Ti
+nR lnnRTf
Pf
Pi
nRTi
=n CV +R( )lnTf
Ti
+nRlnPi
Pf
=0,Pi =Pf1 2 4 3 4
ΔSsist=nCPlnTf
Ti
=10mol×72
×8.31J
molKln
313.15K303.15K
=9.44JK
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Applicazione 16
• Un litro di gas con =1.3 inizialmente è in equilibrio termico a 273 K di temperatura e a 1.0 atmosfera di pressione. Esso viene compresso adiabaticamente a metà del suo volume originario.
– Trovate la sua pressione e la sua temperatura finali.– Successivamente il gas viene raffreddato lasciando disperdere, a pressione costante, il calore
nell’ambiente esterno e fino a riportarlo alla temperatura dell’ambiente, 273 K, Qual è il suo volume finale.
– Calcolare la variazione di entropia del sistema e dell’ambiente esterno nelle due trasformazioni.
• O