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* Graduandos do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Amapá-UNIFAP.** Professor Mestre- Orientador do Colegiado do Curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade Federal
do Amapá-UNIFAP.
APRENDIZAGEM DE CÍRCULOS E ESFERA ATRAVÉS DE MATERIAIS
MANIPULATIVOS DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Elcimar Braga da Costa* Valdeci da Silva Guedes*
Sergio Barbosa de Miranda **
Resumo
O trabalho consiste em uma pesquisa bibliográfica e de campo. Discutiu-se ideias da geometria não euclidiana com uso das esferas de isopor, que são conteúdos que desenvolve demonstrações do dia-a-dia. Dessa forma, os materiais manipulativos para aprender matemática permitem ao alunos argumentar e analisar situações-problema. De acordo, com a proposta didática aplicada em sala de aula a maioria dos alunos compreenderam que a esfera e o círculo estão presente e relacionados com diversas situações. Assim, a contribuição do uso dos materiais manipulativos estabeleceu ao aluno a construir uma ideia ou procedimento de reflexão matemática. Nessa perspectiva, os alunos aprenderam construir e usar ferramenta educacional como recurso nas aulas de matemática.
Palavras chaves: geometria, coordenadas geográficas, matemática,
interdisciplinaridade.
Abstract
The work consists of a bibliographical and field research. Geometry ideas are discussed non-Euclidean with Styrofoam balls, because the circle and the sphere are content that develops statements of day-to-day. Therefore, they contribute to the construction of figures. And across geographical coordinates allow students an understanding of geometry, in an understanding of a more applied mathematics. The research was conducted with students from 9th grade of Elementary Education of the State School D. Pedro I in the city of Mazagão, and obtained as a result a significant advantage of using the protractor Spherical-TE instrument.
Key words: geometry, geographic coordinates, mathematics, interdisciplinary.
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Introdução
A Proposta de utilizar recursos como modelos e materiais didáticos nas aulas
de matemática não é recente. Desde de Comenius (1592-1670) publicou sua
Didactica Magna recomenda-se que recursos os mais diversos sejam aplicados nas
aulas para “desenvolver uma melhor e maior aprendizagem”. Nessa obra, o autor
citado chega mesmo a fazer recomendações que nas aulas sejam pintados de
fórmulas e resultados nas paredes e que muitos modelos sejam construídos para
ensinar geometria.
Os materiais manipulativos há muito vêm despertando o interesse dos
professores e, atualmente, é quase impossível que se discuta o ensino de matemática
sem fazer referência a esse recurso. No entanto, a despeito de sua função para o
trabalho em sala de aula, seu uso idealizado há mais de um século não pode ser
aceito hoje de forma irrefletida. Outras são as nossas concepções de aprendizagem
e vivemos em outra sociedade em termos de acesso ao conhecimento e da posição
da criança na escola e na sociedade (DINIZ et al, 2012).
Dessa argumenta-se: Qual a importância do uso do círculo e da esfera no
contexto matemático? E qual a contribuição desse tema para as coordenadas
geográficas?
A justificativa que no período de estágio supervisionado encontrou-se nas
aulas de matemática o uso dos materiais é a de que, por serem manipuláveis, são
concretos para o aluno.
Alguns pesquisadores, ao analisar o uso de materiais concretos e jogos no
ensino da matemática, dentre eles Martos (2002), alertam para o fato de que, a
despeito do interesse e da utilidade que os professores veem em tais recursos, o
concreto para a criança não significa necessariamente materiais manipulativos.
Encontramos em Machado (1990, p. 46) a seguinte observação a respeito do termo
“concreto”.
O objetivo da pesquisa foi investigar a importância dos materiais
manipulativos como recurso nas aulas de círculos e esfera; descrevendo a
importância dessa Ferramenta Educacional no processo de Ensino-Aprendizagem;
discutindo o Círculo e a Esfera no Contexto Histórico e analisando o uso de materiais
manipulativos (isopor) para o estudo das coordenadas geográficas através do
aprendizado matemático.
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As hipóteses levantadas são: Os materiais manipulativos permitem ao aluno
aprender matemática, as construções de figuras através das coordenadas geográficas
permitem o entendimento de geometria mais prática e as ideias da geometria não
euclidiana contribui para a compreensão de uma matemática mais aplicada na vida
do aluno.
Granja e Pastore (2012), Eves e Domingues (2000) e Ávila (1990) com intuito,
de compreender o uso da circunferência e do círculo, como ferramenta educacional
no processo de ensino-aprendizagem, isto é, um importante material manipulativo
para Ensino Fundamental.
Através do tema pode-se fazer relação com outras áreas de conhecimento,
exemplo disso, a relação com estudo das coordenadas geográficas que permite a
interdisciplinaridade.
Destinou-se a análise e discussão da pesquisa do círculo e da esfera no
contexto matemático para as coordenadas geográficas, que teve como público alvo
25 alunos do Ensino Fundamental da Escola Estadual D.Pedro I.
O presente trabalho foi dividido em sete tópicos: (1) Introdução; (2) Os Materiais
Manipulativos como Ferramenta Educacional; (3) O Círculo e a Esfera no Contexto
Histórico; (4) O uso dos Materiais Manipulativos (Isopor) para o Estudo das
Coordenadas Geográficas (5) Metodologia; (6) Resultado e Discussão e (7)
Conclusão.
Referencial Teórico
Os Materiais Manipulativos como Ferramenta Educacional
Educadores como Pestalozzi (1746-1827) e Froëbel (1782-1852) propuseram
que a atividade dos jovens seria o principal passo para uma “educação ativa”. Assim,
na concepção deste dois educadores, as descrições deveriam preceder as definições
e os conceitos nasceriam da experiência direta e das operações que o aprendiz realiza
sobre as coisas que observasse ou manipulasse (DINIZ, et al, 2012).
Sem dúvida, foi a partir do movimento da Escola Nova – e dos estudos e
escritos de John Dewey (1859-1952) – que as preocupações com um método ativo de
aprendizagem ganharam força. Educadores como Maria Montessori (1870-1952) e
Decroly (1871-1932), inspirados nos trabalhos de Dewey, Pestalozzi e Froëbel,
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criaram inúmeros jogos e materiais que tinham como objetivos melhorar o ensino de
matemática (SMOLE, 2010).
O movimento da Escola Nova foi uma corrente da pedagógica que teve início
na metade do século XX, sendo renovador para a época pois questionava o enfoque
pedagógico da escola tradicional, fazendo oposição ao ensino centrado na tradição,
na cultura intelectual e abstrata, na obediência, na autoridade, no esforço e na
concorrência (DINIZ, et al, 2012).
É Importante lembrar também que, a partir dos trabalhos de Jean Piaget
(1896-1980), os estudos da escola de Genebra revolucionaram o mundo com suas
teorias sobre a aprendizagem da criança. Seguidores de Piaget, como Ávila (1990)
tentaram transferir os resultados das pesquisas teórica para a escola por meio de
materiais amplamente divulgados por eles, como os blocos lógicos (DINIZ, et al,
2012).
A autora Diniz et al (2012), ressalta a importância dos materiais manipulativos.
Desde sua idealização, esses materiais têm sido discutidos e muitas têm sido as
justificativas para a sua utilização no ensino de matemática. Vamos, então, procurar
relacionar os argumentos do passado, que deram origem aos materiais manipulativos
na escola, com sua significação para o ensino de hoje.
A criança aprende o que faz sentido para ela. No passado, dizia-se que os materiais facilitariam a aprendizagem por estarem próximos a realidade da criança. Atualmente, uma das justificativas comumente usadas para o trabalho com materiais didáticos nas aulas de matemática é a de que tal recurso torna o processo de aprendizagem significativo (DINIZ et al, 2012).
Já Coll (1995) afirma que, normalmente, insistimos em que apenas as
aprendizagens significativas conseguem promover o desenvolvimento pessoal dos
alunos e valorizamos as propostas didáticas e as atividades de aprendizagem em
função da sua maior ou menor potencialidade para promover aprendizagens
significativas.
Logo, Diniz et al (2012), elaborou uma proposta da importância dessa
ferramenta educacional no processo de ensino-aprendizagem. Os pressupostos da
aprendizagem significativa são:
O aluno é o verdadeiro agente e responsável último por seu próprio processo
de aprendizagem;
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A aprendizagem dá-se por descobrimento ou reinvenção;
A atividade exploratória é um poderoso instrumento para a aquisição de novos
conhecimentos porque a motivação para explorar, descobrir e aprender está
presente em todas as pessoas de modo natural.
No entanto, Freeman (2002) citado por Diniz et al (2012), faz uma observação
para o fato de que não basta a exploração para que efetive a aprendizagem
significativa. Para esse pesquisador, construir conhecimento e formar conceitos
significa compartilhar significados, e isso é um processo fortemente impregnado e
orientado pelas formas culturais. Dessa forma, os significados que o aluno constrói
são o resultado do trabalho do próprio aluno, sem dúvida, mas também dos conteúdos
de aprendizagem e da ação do professor.
Assim é que de nada valem materiais didáticos na sala de aula se eles não
estiverem atrelados a objetivos bem claros e se seu uso ficar restrito apenas à
manipulação ou ao manuseio que o aluno quiser fazer dele.
Outro ponto a ser destacado pelos autores Smole (2010) e Diniz et al (2012),
é que os materiais manipulativos são representações de ideias matemáticas. Desde
sua origem, os materiais são pensados e construídos para realizar com objetos aquilo
que deve corresponder a ideias ou propriedades que se deseja ensinar aos alunos.
Assim, os materiais podem ser entendidos como representações materializadas de
ideias e propriedades.
Segundo Monteiro, (2001), a simulação desempenha um importante papel na
tarefa de compreender e dar significado a uma ideia, correspondendo às etapas da
atividade intelectual anteriores à exposição racional, ou seja, anteriores à
conscientização. Algumas dessas etapas são a imaginação, a bricolagem mental, as
tentativas e os erros, que se revelam fundamentais no processo da aprendizagem da
matemática.
Para o referido autor, a simulação não é entendida como uma ação
desvinculada da realidade do saber ou da relação com o mundo, mas antes um
aumento de poderes da imaginação e da intuição. Nas situações de ensino com
materiais, a simulação permite que o aluno formulo hipóteses, inferências, observe
regularidades, ou seja, participe e atue em um processo de investigação que o auxilia
a desenvolver noções significativamente, ou seja, de maneira refletida.
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Em se tratando da importância dessa ferramenta no aprendizado matemático,
Diniz et al (2012) relata que essa ferramenta educacional permitem melhor
aprendizagem em matemática e foi em parte explicada anteriormente, quando
enfatizamos que a forma como as atividades são propostas e as interações do aluno
com o material é que permitem que, pela reflexão, ele se apoie na vivência para
aprender.
Porém, a linguagem matemática também se desenvolve quando são
utilizados os materiais manipulativos, isso porque os alunos naturalmente verbalizam
e discutem suas ideias enquanto trabalham com o material.
Não há dúvida de que, ao refletir sobre as situações colocadas e discutir com
seus pares, o aluno estabelece uma negociação entre diferentes significados de uma
mesma noção. De acordo com Smole (2010, p. 15):
O processo de negociação solicita a linguagem e os termos matemáticos apresentados pelo material. É pela linguagem que o aluno faz a transposição entre as representações implícitas no material e as ideias matemáticas, permitindo que ele possa elaborar raciocínios mais complexos do que aqueles presente na ação com os objetivos dos material manipulativo. Pela comunicação falada e escrita se estabelece a mediação entre as
representações dos objetos concretos e as das ideias.
Dessa forma, os alunos estarão interagindo sobre matemática quando as
atividades propostas a eles forem oportunidades para representar conceitos e as
definições de diferentes formas e para discutir como as representações que refletem
o mesmo conceito.
Logo, o uso das atividades com materiais manipulativos permitem, o trabalho
em grupo é elemento essencial na prática de ensino como uso de materiais
manipulativos.
Segundo Smole (2010) citado por Diniz et al (2012), acredita-se que os
materiais manipulativos podem ser úteis se provocarem a reflexão por parte dos
alunos de modo que elas possam criar significados para ações que realizam com eles.
Não é o uso específico do material com os alunos o mais importante para a construção
do conhecimento matemático, mas a conjunção entre o significado que a situação na
qual ele aparece tem para a criança, as suas ações sobre o material e as reflexões
que faz sobre tais ações.
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O Círculo e a Esfera no Contexto Histórico
O círculo e a esfera são formas geométricas que aparecem em várias
civilizações e sociedades associada a rituais religiosos, a astronomia, a arquitetura ou
tecelagem. São considerados por alguns historiadores da matemática como os
símbolos mais antigo desenhado pelo homem e suas origens remonta à pré-história.
Com relação ao cálculo da área do círculo são encontrados vários métodos e
fórmulas nas antigas civilizações chinesa, babilônica, egípcia e indiana. Algumas
destas fórmulas são exatas e outras aproximadas (GRANJA e PASTORE, 2012).
Assim, cada civilização possui seu papel fundamental no desenvolvimento do
estudo de círculo e a esfera.
Já a autora Smole (2010), relata a importância dos celtas do estudo do círculo.
Dentre tantos monumentos do mundo antigo, para nós ocidentais o enigma
arquitetônico mais famoso e intrigante é Stonehenge. O círculo, o labirinto, é uma
forma presente em todas as tradições e culturas, e esse é um legado da tradição e
cultura celta. Como toda cultura constitui um todo indissociável, esse monumento
demonstra que estamos todos integrados no tempo; e que presente e passado são
facetas de uma mesma existência.
Outra civilização importante para a contribuição do estudo da esfera e círculo
foram os chineses. Gerdes (1995) afirma, que a civilização da China é muito mais
antiga que as da Grécia e Roma. Datar os documentos matemáticos da China não é
nada fácil, e estimativas quanto ao Chou Pei Suang Ching, um documento da
matemática chinesa, geralmente, considerado o mais antigo dos clássicos
matemáticos, diferem por quase mil anos. Alguns consideram o Chou Pei como sendo
de cerca de 1.200 a.C., mas outros afirmam que tal obra teria sido produzida no
primeiro século de nossa era, por volta de 300 a.C com aplicações da geometria.
Em meados do século XV, diversos manuscritos do matemático grego do
século III a.C., Arquimedes, começaram a circular nos centros humanísticos nas
cortes da Itália. O artista renascentista Piero della Francesca (entre 1416 e 1492,
aproximadamente), mais conhecido pelos afrescos pintados para o Vaticano e as
capelas em Arezzo, transcreveu uma cópia de uma tradução latina da geometria de
Arquimedes (uma compilação de sete tratados existentes) e ilustrou-a com mais de
200 desenhos representando os teoremas matemáticos nos textos (ASGER, p.122,
2000).
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Segundo Ávila (1990), há muito tempo nas propriedades da Biblioteca
Riccardiana em Florença, esse manuscrito foi atribuído somente há pouco tempo a
Piero por James Banker, um estudioso americano da transmissão do estudo de círculo
e esfera de Arquimedes desde a era clássica. Provavelmente criado por Piero no final
de 1450, ele é composto de 82 fólios que destacaram de maneira significativa o seu
trabalho, tanto como artista quanto como estudante de matemática e geometria.
Muitas das ilustrações nas margens capturam as habilidades do artista na
representação de figuras geométricas complexas em formas compreensíveis.
As linhas simples e posicionadas corretamente das formas geométricas no
manuscrito representam um elemento essencial do trabalho do artista e oferecem
percepções sobre o uso criativo do espaço e da perspectiva para reproduzir objetos
tridimensionais em tela e papel (ÁVILA, 1990).
Assim, na análise das contribuições dos povos antigos, pelo qual,
Arquimedes, Euclides, Pitágoras, chineses ou até mesmo os reis medievais
elaboraram estratégias no uso do círculo e esfera nas construções de templos,
monumentos, casas, cidades, ruas etc.
O Círculo e a Esfera através das Coordenadas Geográficas
As recomendações dos PCN-Matemática (BRASIL, 1998, p. 25), com relação
à importância que a matemática desempenha quanto ao seu papel na estruturação do
pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a
problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho. Ressalta-
se que atividades de confecção de globo contribui para cálculo matemático podem ser
socializadas com diversas áreas, neste caso, a geografia que apresenta estudos das
coordenadas geográficas.
Diante disso, considerar interdisciplinaridade do jeito em que os dados são
apresentados, torna muito superficial a ligação do estudo de Circunferência e Círculo
na disciplina Geografia.
Para Granja e Pastore (2012) assumir a forma da Terra como uma esfera
constitui um bom modelo para investigar muitas questões de natureza física ou
geográfica. Na matemática escolar trabalhamos com coordenadas cartesianas para
localização de pontos no plano; sobre uma esfera, contudo, isso não seria nada
prático. Na localização de pontos sobre uma esfera costuma-se utilizar o que
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chamamos de coordenadas geográficas, que nada mais é do que o uso de duas
referências regulares, conhecidas como Latitude e Longitude.
Assim como no plano cartesiano trabalhamos com um par de eixos ortogonais
como referência para a localização dos pontos, na esfera, usamos duas
circunferências máximas, perpendiculares entre si, como referência. No caso do
modelo da Terra, essas circunferências são a Linha do Equador, e o Meridiano de
Greenwich.
É importante dizer que a longitude refere-se ao ângulo orientado 𝛼 (leste/
oeste) a partir do Meridiano de Greenwich, e a latitude, ao ângulo orientado 𝛽 (norte/
sul) a partir da Linha do Equador. Os paralelos são circunferências imaginárias
paralelas à circunferência da Linha do Equador. A própria Linha do Equador é
considerada um paralelo, como também são paralelos os Trópicos de Capricórnio e
de Câncer. Os meridianos são semicircunferências contidas em circunferências
máximas da esfera. O meridiano mais conhecido é aquele que passa pela cidade de
Greenwich, próxima de Londres, pelo fato de ter sido escolhido como o meridiano de
referência para os fusos horários (IEZZI et al, 2004).
Assim, apropriação do conhecimento sobre coordenadas geográficas pode
parecer simples. O fato, porém, é que no universo do pensamento abstrato, ainda em
construções, dos estudantes do ensino fundamental, atividades experimentais com
esferas são de grande utilidade para a compreensão do assunto.
Os Conceitos, diferenças e as demonstrações entre o Círculo e a Esfera
As palavras circunferência e círculo não possuem significados universais; há
pessoas que usam a palavra círculo como sinônima de circunferência e a palavra
disco para significar o que foi definido no texto como círculo. Neste material,
estaremos distinguindo a figura bi unidimensional chamando-as por círculo e
circunferência, respectivamente (DANTE, 2009).
Figura 1: Círculo e circunferência Fonte: Dante (2013)
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Círculo (ou disco) é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um
ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância (não nula) fixa dada. É o
contorno e o interior da região circular. Por exemplo, a pizza não tem só o contorno
tem a parte interna (IEZZI et al, 2004).
Considere-se uma abertura do compasso tal que a distância entre a ponta de
grafite e a ponta-seca seja 5 cm. Ao fixar a ponta-seca em um ponto 𝐶 da folha de
caderno e desenhar uma linha com a ponta de grafite, fazendo-a girar uma volta
completa em torno do ponto 𝐶, estamos marcando todos os pontos da folha que
distam 5 cm de 𝐶. Essa linha é chamada de circunferência de centro 𝐶 e raio 5 cm
(SMOLE, 2010).
Sendo 𝐶 um ponto de um plano 𝛼 e 𝑟 uma medida positiva, chama-se de
circunferência de centro 𝐶 e raio 𝑟 o conjunto dos pontos do plano 𝛼 que distam de 𝐶
a medida 𝑟.
A forma esférica é considerada desde a antiguidade grega como padrão de
equilíbrio e perfeição. Uma frase de Aristóteles (384-322 a. C) mostra o fascínio dos
filósofos gregos por essa forma: “o céu deve ser necessariamente esférico, pois a
esfera, sendo gerada pela rotação do círculo, é, de todos os corpos, o mais perfeito”
(ASGER, 2012).
Dizem que a esfera é um sólido perfeito por não ter arestas e por apresentar
sempre a mesma forma, qualquer que seja o ângulo de observação.
Independentemente das opiniões de pessoas e particulares, as formas esféricas
podem ser vistas em diversos objetos e situações:
Figura 2: Circunferência Fonte: Iezzi et al (2004)
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De modo geral, o autor Dante (2013), diferencia a esfera de superfície
esférica. Sejam um ponto 0 e um segmento 𝑟, não nulo. Superfície esférica de centro
0 e raio 𝑟 é o conjunto dos pontos dos espaços cujas distâncias a 0 são iguais a 𝑟.
Esfera de centro 0 e raio 𝑟 é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias a 0 são
menores ou iguais a 𝑟.
Considera-se um ponto 0 do espaço e uma medida 𝑅 (sendo 𝑅 > 0). Chama-
se esfera de centro 0 e raio 𝑅 o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao
ponto 0 são, menores ou iguais a 𝑅.
O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto 0 são menores que
𝑅 é chamado de interior da esfera.
O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto 0 são iguais a 𝑅 é
chamado de superfície esférica.
O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto 0 são maiores que
𝑅 é chamado de exterior da esfera.
A Geometria da Esfera constitui um valioso ambiente de investigação sobre
os aspectos relativos da geometria euclidiana estudada na escola. Será discutida a
Figura 4: Esfera de centro 0 e raio R Fonte: Dante (2013)
Figura 3: Formas esféricas Fonte: Dante (2013)
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seguir algumas ideias iniciais apenas para sugerir um campo de trabalho no Ensino
Fundamental.
Para determinar no plano euclidiano uma reta que passe pelos pontos 𝐴 e 𝐵,
utilizamos uma régua. A régua nos permite traçar uma linha por meio do qual fica
evidente o segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , cuja medida é a menor distância ligando os pontos
𝐴 e 𝐵. Sobre a superfície de uma esfera, se marcarmos dois pontos 𝐴 e 𝐵, a menor
distância entre eles será dada por um arco de circunferência muito particular,
determinado por uma circunferência máxima que passa por 𝐴 e 𝐵 (GRANJA E
PASTORE, 2012).
Entende-se por circunferência máxima aquela que, no modelo do globo
terrestre, pode ser representada pela linha do Equador, ou por circunferências que
contenham um meridiano qualquer.
Dessa forma, pode-se traçar uma “reta” sobre uma esfera de isopor? Uma vez
que na esfera a “reta” é uma circunferência máxima, podemos traçá-la com auxílio do
Transferidor Esférico-𝑇𝐸 e de elásticos posicionados em correspondência com a
circunferência máxima determinada pelo 𝑇𝐸.
Metodologia
Materiais Manipulativos-Esfera de isopor/Proposta didática e aplicada em sala
de aula.
O autores como Granja e Pastore (2012) apontam algumas atividades
interessante que podem ser apresentadas para os alunos como: Materiais
manipulativos.
1-Marque uma circunferência qualquer sobre a esfera de isopor com ajuda da boca
de uma lata, ou de um copo.
2-Marque dois pontos sobre essa circunferência com as letras 𝐴 e 𝐵.
3-Mostre que existe um arco ligando 𝐴 e 𝐵 que é menor do que o arco definido pela
marcação da boca do copo no isopor.
Pode-se mostrar o que se pede no item 3 desenhando uma circunferência
máxima que passe por 𝐴 e 𝐵. Para fazer isso, posiciona-se o 𝑇𝐸 sobre 𝐴 e 𝐵, marca-
se um terceiro ponto qualquer 𝐶 que esteja na circunferência máxima indicada pelo
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𝑇𝐸, posiciona-se um elástico passando por 𝐴, 𝐵 e 𝐶 e marca-se uma circunferência
máxima. O arco de extremo de 𝐴 e 𝐵 contido nessa circunferência máxima é a menor
distância na superfície esférica entre 𝐴 e 𝐵. Isso pode ser demostrado com o auxílio
de cálculo diferencial, mas o que nos interessa com a discussão é o aspecto intuitivo
do resultado.
Logo, a esfera é apoiada em uma lata para marcação de uma circunferência.
A marcação de uma circunferência na esfera com auxílio do suporte de uma
lata.
Figura 5: Esfera de isopor Fonte: Dante (2013)
Figura 6: Esfera é apoiada em uma lata Fonte: Dante (2013)
Figura 7: Marcação de uma circunferência na esfera Fonte: Dante (2013)
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Marcação de dois pontos (𝐴 𝑒 𝐵) na circunferência.
Marcação com o auxílio do 𝑇𝐸 de um arco passando por 𝐴 e 𝐵.
Posiciona-se um elástico sobre o arco marcado com o 𝑇𝐸. Note que o arco de
extremos 𝐴 e 𝐵 contido nessa circunferência máxima é a menor distância na
superfície esférica entre esses dois pontos. Outra interessante frente de investigação
é a discussão sobre a existência de “paralelas” em uma esfera.
No plano euclidiano, paralelas são retas que nunca se cruzam, mas será que
existem “retas paralelas” em uma esfera? Se, na superfície da esfera, a menor
distância entre dois pontos é estabelecida por uma circunferência máxima, é fácil ver
que duas circunferências máximas distintas na esfera sempre irão se interceptar em
Figura 8: Pontos (𝐴 𝑒 𝐵) na circunferência Fonte: Dante (2013)
Figura 9: Um arco passando por 𝐴 e 𝐵 Fonte: Dante (2013)
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dois pontos. Decorre dessa investigação a conclusão de que não existem “retas
paralelas” em uma esfera.
Segundo Granja e Pastor (2012), duas circunferência máximas distintas, que
representam “retas” em uma esfera, sempre se intersectam em dois pontos. Sabendo
que, na esfera, as “retas” são circunferência máximas, a intersecção entre três
circunferências máximas distintas definem o que poderíamos chamar de triângulo
esférico, como se vê na foto com o uso de elásticos.
Triângulo Esférico
Um desafio interessante para os alunos é o de medir cada ângulo interno do
triângulo esférico como uso do 𝑇𝐸 . Além da interessante discussão sobre como
proceder para fazer tal medida, o resultado que será obtido certamente causará
enorme surpresa pelo fato de que a soma dos ângulos internos será maior do que
Figura 10: Circunferências máximas distintas na esfera Fonte: Dante (2013)
Figura 11: Triângulo Esférico Fonte: Dante (2013)
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180°. Pode-se demonstrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico
é maior do que 180° e menor do que 540°. Nas fotos a seguir mostramos como é
possível medir a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico com o 𝑇𝐸.
Medição do ângulo de lados sobre os elásticos verde e roxo com auxílio do
𝑇𝐸.
Medição do ângulo de lados sobre os elásticos laranja e roxo com auxílio do
𝑇𝐸 (53°).
Figura 12: Triângulo esférico Fonte: Dante (2013)
Figura 13: Medição do ângulo Fonte: Dante (2013)
Figura 14: Medição do ângulo de lados sobre os elásticos Fonte: Dante (2013)
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A Medição do ângulo de lados sobre os elásticos verde e laranja com auxílio
do 𝑇𝐸(65°). Assim, as medidas do ângulos são 135°, 53° e 65°, o que totaliza a soma.
Agora, uma última, e intrigante, proposta de atividade. Pelo, qual será apresentado na
proposta de atividade na pesquisa de campo.
Dessa forma, as observações das atividades de investigação com as esferas
de isopor e o transferidor esférico permitem ampliar o trabalho interdisciplinar com
geografia, bem como uma interessante extensão do conhecimento geométrico dos
alunos para além da Geometria Euclidiana. O material sugerido permite ainda
inúmeras incursões no programa de matemática no Ensino Fundamental, bastando
para isso o pré-requisito da trigonometria no círculo trigonométrico.
É importante dizer que em particular na geometria e na aritmética notam-se
violentas contradições. Por exemplo, a geometria do povo, dos balões e dois
papagaios é colorida, enquanto a geometria teórica, desde sua origem grega, eliminou
a cor. E a quantificação da produção e do consumo retirou as considerações sobre a
natureza do trabalho e do produto. Essas são algumas das inúmeras questões
abordadas pelos autores ao longo das suas trajetórias acadêmicas (GRANJAS e
PASTORE, 2012).
A proposta da aplicação do uso do isopor no conteúdo de esfera e círculo em
sala de aula, leva o aluno a elaborar e expor suas produções na lousa, em painéis,
murais, em exposições durante as finalidades traçadas. A ideia de trabalhar com os
materiais manipulativos valoriza a investigação e a concepção do aluno, e que
constitui em uma nova postura de aprender a matemática através das atividades
práticas em sala de aula.
Aplicação da proposta
O estudo definiu-se como uma pesquisa de análise investigativa procurando
referências teóricas publicados, a fim de recolher informações ou conhecimentos
prévios sobre o círculo e esfera.
Segundo Martins (2000), o método bibliográfico trata-se de estudo para
conhecer as contribuições científicas sobre um determinado assunto. Tem como
objetivo recolher, selecionar, analisar e interpretar as contribuições técnicas já
existentes sobre um determinado assunto.
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Dessa forma utilizou-se a técnica de questionário e de escrever a sequência
didática proposta, e que foram constituídas de fontes escritas primárias
contemporâneas para obtenção dos conceitos, definições e formulações discursivas
da temática pesquisada.
A pesquisa foi desenvolvida com os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental
da Escola Estadual D. Pedro I do município de Mazagão. A turma 911 do Ensino
Fundamental, com a participação de 40 alunos, sendo 31 meninas e 9 meninos. O
instrumento de pesquisa foi um questionário de 5 perguntas dentro da sala de aula.
Técnica de Coleta e Análise de Dados
A análise de dados foi através da socialização e discussão com muito critério
e de forma detalhada os resultados dos alunos. Com a pesquisa é de caráter de
campo. Os resultados foram apresentados em cinco gráficos de pizza.
A Coleta da pesquisa foi apresenta em gráficos de pizza, caracterizado pelos
percentuais (%), calculado por Regra de Três Simples. Por último foi discutido com o
suporte teórico do tema analisado.
Apresentação dos gráficos com os comentários
A matemática possui uma linguagem diferente das outras ciências pelos
resultados mais explícitos nas soluções de problemas dentro e fora da sala de aula.
Ressalta-se que os cálculos de esfera e de outros componentes são causas para ela
ser mais “odiada’’ pelos alunos. Pode-se citar a metodologia de ensino, a relação
professor e aluno, falta de interesses dos pais no acompanhamento dos filhos na
escola etc.
No entanto, as atividades interdisciplinar com a geografia, torna-se
interessante no conhecimento geométrico e constatou-se que o uso do material
concreto do isopor a maioria dos alunos não tiveram dificuldade de aprender.
Logo, um aprendizado adequado é eficiente através dessas ferramentas como
o transferidor esférico é fundamental para o professor utilizar novos recursos e na
implantação de programas para aproximar o aluno do cálculo.
O gráfico 1 mostrou que 80% dos alunos afirmaram que não possui
dificuldade. Por outro lado, 20% disseram que o auxílio do TE não é suficiente.
19
Segundo Diniz et al (2012), compreender e utilizar o TE depende da
proposição de situações-problema que sejam significativas para os alunos, e que eles,
ao tentar solucioná-las, possam criar seus próprios procedimentos para calcular.
Através do TE, o aluno aprende matemática registrando as representações e
localizações por meio do isopor esférico. Ao registrar a maneira como resolveram a
operação, os alunos tornam visíveis todo o seu raciocínio e os procedimentos
utilizados, além de ser possível comparar suas anotações com outros alunos.
Gráfico 1: Você possui dificuldade para localizar duas cidades com o auxílio do TE?
Gráfico 2: Em sua opinião podemos trabalhar as esferas de isopor no cálculo de área
e volume de esfera?
Percebe-se que de acordo com os dados do gráfico 2, a maioria do alunos
afirmaram que é possível aprender e ampliar os cálculos de esfera através de
atividades experimentais.
Segundo Granja e Pastore (2012), é importante que os alunos tenham a
oportunidade de manusear o material livremente para que algumas noções comecem
a emergir da exploração inicial, para que depois, na condução da atividade, as
20%
80%
sim não
90%
10%
sim não
Fonte: Autores
Fonte: Autores
20
relações percebidas possam ser sistematizadas. De modo geral, cada sequência de
atividade apresenta as seguintes partes:
Conteúdo
Objetivos
Organização da classe (sob a forma de ícone)
Recursos
Descrição das etapas
Atividades
Respostas.
Em cada sequência, a organização da classe é indicada por meio de ícones,
que aparecem ao lado do item “conteúdo”. Os ícones utilizados são os seguintes:
Quando houver mais de uma forma de organização dos alunos, isso é indicado por
mais de um ícone. Cada uma das sequências de atividades propõe na descrição das
etapas uma série de procedimentos para o ensino e para a organização dos alunos e
dos materiais, de modo a assegurar que os objetivos sejam alcançados.
Gráfico 3: Durante a confecção da Esfera de isopor qual sua maior dificuldade?
Sabe-se que o conteúdo de Esfera faz parte do ensino, porém constatou-se
que o uso do material concreto do isopor a maioria dos alunos não tiveram dificuldade
de aprender. No entanto as atividades interdisciplinar com a geografia, torna-se
interessante no conhecimento geométrico.
60%
10%
10%20%
Calcular a area da esfera
Calcular a area do círculo
Achar os ângulos
Achar os pontos queintersectam
Fonte: Autores
21
Para Diniz et al (2012), algumas dificuldades encontrada pelos alunos envolve
a estratégia e planejamento para determinar quando e como utilizar os materiais
manipulativos, assim como qual é o momento em que eles devem ser abandonados.
É pela avaliação constante das aprendizagens dos alunos e de suas observações em
cada atividade que essas decisões podem ser tomadas de forma mais adequada e
eficiente.
Gráfico 4: Qual o tema que você mais gostou do círculo e esfera?
Percebe-se que a maioria dos alunos gosta de calcular os valores de raio e
diâmetro. Por outro lado, o gráfico mostrou que 10% dos alunos gosta de calcular
situações problema que envolve volume e 10% gosta de achar o grau.
Monteiro (2001), o raio e o diâmetro são tópicos relacionados e incluído nas
séries finais do Ensino Fundamental, pelo qual, o aluno, irá compreender suas funções
dentro de uma circunferência.
Gráfico 5: Em sua opinião o que é um círculo?
60%
10%
10%
20% Raio e diâmetro
Grau
Área de circunferência e daesfera
Volume da Esfera
75%
12%13%
É a medida entre dois pontos
É o conjunto de todos os pontos de umplano cuja distância a um ponto fixo O
É uma parte do arco
Fonte: Autores
Fonte: Autores
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Segundo Granja e Pastore (2012), são sugeridos os encaminhamentos da
atividade com conceitos e preposições para o aluno compreender o fenômeno
matemático e na forma de questões a serem propostas aos alunos antes, durante e
após a atividade propriamente dita, assim como a melhor forma de apresentação do
material.
Nessa questão os dados confirmaram que as dificuldades de conceituar estão
associadas às metodologias e estratégias que o professor usa para o aluno aprender
um determinado tema.
Resultados e Discussão
Foi mostrado a sequência lógica da confecção da Esfera de Isopor para as
construções de figuras através das coordenadas geográficas que discutiu as ideias da
geometria. Para os interessados na abordagem do Estudo de Esfera e Círculo com
apoio de isopor recomenda-se o trabalho de Carlos Eduardo de Souza Campos
Granja e de José Luiz Pastores publicado no livro: Atividades experimentais de
Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental, São Paulo. Edições SM, 2012.
Ao longo da pesquisa de campo e da sequência didática percebeu-se maior
interesse dos alunos nas atividades apresentadas com o apoio do material
manipulativo do uso do isopor. É importante dizer, que toda sequência didática permite
ao aluno traçar as etapas de uma atividade realizada em sala de aula.
Certamente, alguns alunos terão dificuldades na compreensão da linguagem
matemática, mas, é necessário, que o professor busque alternativa na relação entre
o material utilizado e o aluno. Nessa mesma direção, o estudo da esfera e círculo
aponta, também, para uma compreensão de situações-problemas direcionado aos
cálculos de áreas e volumes.
Assim, a proposta do uso do material manipulativo nas aulas de matemática
torna-se uma ferramenta para o processo de ensino-aprendizagem. Desse modo, o
papel do professor, é fundamental para explorar os conhecimentos dos alunos através
dos recursos na sala de aula. Acredita-se que a proposta do uso do isopor nos estudos
da esfera e círculo mostra que as fórmulas, proposições, problemas podem ser
solucionadas com o uso desses materiais manipulativos em sala de aula. Desse
modo, a tal proposta centra-se no preparo do professor e na estratégia do uso desses
materiais manipulativos.
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De acordo com a análise da pesquisa de campo foi constatado, que a maioria
dos alunos possuem dificuldade de calcular as distâncias entre pontos através do
Transferidor Esférico-TE. O trabalho com material concreto de isopor contribui para o
suporte nos cálculos de círculo e esfera. Pelo outro lado, a maior dificuldade dos
alunos foi nos cálculos de área e volume de esfera.
O estudo do círculo e da esfera são conteúdos para serem trabalhados em
qualquer nível de escolaridade. A proposta de utilizar o globo terrestre com modelo de
recurso em sala de aula permiti ao professor usar várias estratégias em sala de aula.
Exemplo disso, é colocar as coordenadas geográficas, cálculo de ângulo, medidas e
distâncias que leva o aluno a descobrir e aprender situações problemas, envolvendo
áreas e volumes de círculo e esfera.
Assim, os professores de matemática, somente estará pronto para mudar
estratégias para um ensino voltado para o uso de materiais manipulativos, quando
perceberem a importância da geometria no contexto social e educacional.
Referências ASGER, Aaboe. Episódios da História Antiga da Matemática, Publicação SBM, 2000. ÁVILA, Geraldo. Arquimedes, o Rigor e o Método, Matemática Universitária. São
Paulo, Saraiva, 1990. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática/ Luiz Roberto Dante 3º Ed. São Paulo:
Ática 2009. DINIZ, Maria Lignez et al. Materiais manipulativos. São Paulo: Edições Mathema (coleção mathemoteca/ organizadoras Kátia Stocco Smole, e Maria Lignez Diniz, 2012. EVES, H. TRAD. DOMINGUES, H. H. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 2000. FREEMAN, T. G.Portrasits of Earth: a mathematician looks at maps (Mathematical World, v. 18). USA: American Mathematical Society, 2002. GERDES, P. Three Alternative Methods of Obtainting the Ancient Egyptian Formula of the Area of a Circle. História Matemática, v. 12, p. 261-268, 1995.
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GRANJAS, Carlos Eduardo de Souza Campos; PASTORE, José Luiz. Atividades experimentais de Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental, São Paulo. Edições SM, 2012. IEZZI, Gelson. Matemática: ciência e aplicações, 2ª série: Ensino Médio,
matemática/ Gelson Iezzi... [𝑒𝑡 𝑎𝑙. ] Ilustrado, Lzomar, Fernando Monteiro da Silva. 2 ed. São Paulo: Atual. (Coleção matemática: ciência e aplicações), 2004. MARTOS, Z. G. O Trabalho Pedagógico envolvendo a Geometria: As não
euclidianas no Ensino Fundamental. Campinas: Zeteriké/Ed. Da Unicamp, 2002. MONTEIRO, Alexandrina. A matemática e os temas transversais/ São Paulo: Moderna. (Educação em pauta: temas transversais), 2001. ONAGA, Dulce Satiko. Matemática e fatos do cotidiano, volume 1: Livro do
professor - São Paulo: Global: Ação Educativa Assessoria. Pesquisa e informação, 2004. SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. São Paulo: Mc
Graw-Hill, 2000. SMOLE, Katia Cristina Stocco. Matemática: Ensino Médio, volume 2/ Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz – 6. Ed. – São Paulo; Saraiva, 2010.