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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral IAula 1: Derivadas (parte 1)
Unidade I: DerivadasCálculo Diferencial e Integral I
AULA 1: Derivadas (parte 1)
PLANO DE ENSINO
1
DERIVADAS: CONCEITUAÇÃO
2
DERIVADAS:REGRAS BÁSICAS
3
DERIVADAS:ORDEM SUPERIOR
4
DERIVADAS:REGRA DA CADEIA
5
PRÓXIMOS PASSOS
Unidade I: DerivadasCálculo Diferencial e Integral I
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Plano de Ensino (Conteúdo Programático)
Unidade I - DERIVADAS
1.1 Conceituação de Derivadas
1.2 Regras Básicas de Derivação
1.3 Derivadas de ordem superior
1.4 A Regra da Cadeia
1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas
1.6 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas
1.7 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas
1.8 Derivação Implícita
1.9 Equação de reta tangente e normal
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Plano de Ensino (Conteúdo Programático)
Unidade II - APLICAÇÕES DE DERIVADAS
2.1 Taxas Relacionadas
2.2 Máximos e Mínimos, traçado de curvas
2.3 Modelagem e Otimização
Unidade III - INTEGRAÇÃO
3.1 Integral Indefinida
3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição
3.3 Integrais Definidas
3.3 Teorema Fundamental do Cálculo
3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal
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Plano de Ensino (Conteúdo Programático)
Unidade IV - APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS
4.1 Cálculo de Volumes por fatiamento
4.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo
4.3 Cálculo do Comprimento curvas planas
Unidade V - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
5.1 Procedimentos Algébricos
5.2 Integração por Partes
5.3 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
5.4 Regra de L’Hôpital e Integrais Impróprias
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Bibliografia Básica
BROCHI, André. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de
Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank
R. THOMAS, George B. Cálculo. 11 ed. V.1- São Paulo:
Ed. Addison-Wesley, 2009. 2 v.
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3.
ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.
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Bibliografia Complementar AVILA, Geraldo. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: LTC. 1ª Edição, 1998.
HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. 10 ed. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar, 8: limites, derivadas, noções de integral. 5. ed. rev e ampl. São Paulo: Atual, c1995.
MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1986. v.
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 2008. 2 v.
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Conceituação
Taxa de variação
Seja uma partícula em movimento segundo a função:
Determinar, a partir de s(t), uma função que fornece a variação instantânea do movimento da partícula em qualquer instante
A velocidade no instante s, foi obtida através do cálculo do limite
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Taxa de variação
Essa expressão é denominada derivada da função .
Conceituação
A velocidade no instante s, foi obtida através do cálculo do limite
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Agora, podemos determinar a velocidade da partícula no instante que quisermos.
m/s; m/s m/s 0; m/s
Taxa de variação
Conceituação
A velocidade no instante s, foi obtida através do cálculo do limite
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A derivada da função é definida por:
sempre que esse limite existe.
Conceituação
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• determinar taxas de variações instantâneas;
• obter máximos e mínimos de funções;
• detalhar o comportamento de funções.
Engenharia: funções modelam matematicamente fenômenos de interesse.
Recursos matemáticos que permitem detalhar o comportamento das funções.PERMITEM AO ENGENHEIRO CONHECER OS FENÔMENOS ESTUDADOS.
Aplicações da derivada
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• Obter a derivada através do cálculo de limites nem sempre é tarefa fácil;
• O cálculo pode se transformar em uma tarefa árdua e penosa;
• Algumas regras básicas facilitarão o processo.
Regra 1: Derivada da função
Seja uma função do tipo , em que é uma constante, então a sua derivada é:
Regras básicas da derivação
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Regra 1: Derivada da função
Seja uma função do tipo , em que é uma constante, então a sua derivada é:
f;;
Regras básicas da derivação
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Regra 2: Derivada da função
Seja uma função do tipo , então a sua derivada é: ff
Regras básicas da derivação
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Regra 3: Derivada da função
Seja uma função do tipo , então a sua derivada é:
Regras básicas da derivação
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Regra 4: Derivada da função
Seja uma função do tipo , em que é constante, então a sua derivada é:
Regras básicas da derivação
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Regra 5: Derivada da função
Seja uma função do tipo . Então a sua derivada é:
Regras básicas da derivação
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Regra 6: Derivada da função
Seja uma função do tipo , em que ,então a sua derivada é:
Regras básicas da derivação
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AULA 1: Derivadas (parte 1)
• Estudamos uma função s(t) que representava a posição de uma partícula no tempo;
• Vimos que a sua derivada, v(t), representava a variação da sua velocidade no tempo;
• Afinal, a velocidade é a taxa de variação posição, em relação ao tempo t;
• A derivada de uma função indica sua taxa de variação;
• A aceleração de um móvel indica a variação de sua velocidade.
• Logo, a função a(t) que fornece a aceleração de um móvel, no instante t, é a derivada
v’(t) de sua velocidade.
Derivadas de Ordem Superior
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Sendo s(t) a função posição, v(t) a velocidade e a(t) a aceleração:
A função aceleração é a derivada de segunda ordem da função posição s(t).
)(')( tstv )(')( tvta
)('')( tsta
Derivadas de Ordem Superior
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''y )('' xf2
2
dxyd• derivada de segunda ordem: ,
ou
'''y )(''' xf• derivada de terceira ordem: ,
ou 3
3
dxyd
• derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou 4
4
dxyd
• derivada de quarta ordem: y(4), f (4) ou n
n
dxyd
Derivadas de Ordem Superior
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AULA 1: Derivadas (parte 1)
Uma partícula desloca-se segundo a função horária
s em metros e t em segundos, com 0 t 3.
223)(
32 tttts
Derivadas de Ordem Superior
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)´()( tstv
Derivadas de Ordem Superior
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)´´()´()( tstvta
Derivadas de Ordem Superior
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)´´()´()( tstvta
Posição, Velocidade, aceleração
Derivadas de Ordem Superior
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AULA 1: Derivadas (parte 1)
Considere y uma função de t em que t, por sua vez, é uma função de x.
y é a função composta
)(tfy )(xgt ))(( xgfy
))(( xgf
Lê-se: “função f da g de x”
Regra da Cadeia
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AULA 1: Derivadas (parte 1)
DEFINIÇÃO: Se
)(tfy )(xgt e
são funções deriváveis em t e x, respectivamente, então a derivada de y em relação a x, , é dada por: dx
dy
dxdt
dtdy
dxdy
Regra da Cadeia
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23
2
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Regra da Cadeia
Assuntos da próxima aula:
1. Derivadas: Funções Trigonométricas
2. Derivadas: Funções Trigonométricas Inversas
3. Derivadas: Funções Exponenciais e Logarítmicas