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1AT 2006
Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição
Edição 2006/7
António Teixeira
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2AT 2006
Aula 3• Conversão A/D
• Aliasing
• Quantização
• Conversão D/A
• Operações com sinais
• Som em Matlab
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3AT 2006
Passagem de contínuo a discreto
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4AT 2006
Conversão A/D• O processo pelo qual um sinal é convertido
numa representação digital é conhecido por conversão analógica-digital – A/D conversion
• O processo inverso D/A
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5AT 2006
0 20 40 60 80 100 120 140-2
0
2
4
6
8
10
Passagem de contínuo a discreto - Amostragem
0 20 40 60 80 100 120 140-2
0
2
4
6
8
10
0 20 40 60 80 100 120 140-2
0
2
4
6
8
10
0 20 40 60 80 100 120 140-2
0
2
4
6
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10
0 20 40 60 80 100 120 140-2
0
2
4
6
8
10
0.00
1.95
7.40
9.08
8.16
6.02
2.80
0.14
-0.6
2.52
6.46
8.08
6.52
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6AT 2006
0 20 40 60 80 100 120 140-2
0
2
4
6
8
10
0.00
1.95
7.40
9.08
8.16
6.02
2.80
0.14
-0.6
2.52
6.46
8.08
6.52
Amostragem
Período de amostragem
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7AT 2006
Amostragem• Tira-se amostras do sinal espaçadas de um intervalo
de tempo fixo, o período de amostragem, representado por Ta
• O período de amostragem depende da frequência de amostragem (fa) [em Inglês fs]– Número de amostras por segundo
– Ex: fa=1000 Hz dá T=1/fa=1/1000=1 ms
• O número total de pontos de um sinal digital depende da sua duração e da frequência de amostragem– 5 segundos amostrados a 10 000 Hz dão 50 000 amostras
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8AT 2006
Sinal Discreto
S= [0, 1.95, 7.4, 9.08, 8.16, 6.03, 2.8,
0.15, -0.68, 2.53, 6.46, 8.09, 6.52]
O sinal anterior pode ser representado de forma aproximada apenas pela amplitude das suas amostras e pelo período de amostragem.
Ou seja, pode ser representado por um vector
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9AT 2006
Uma sinusóide de 2.5 Hz amostrada
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
0
1fa=40 Hz
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
0
1fa=6 Hz
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
0
1fa=4 Hz
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10AT 2006
Teorema de Nyquist• Apenas ficar com algumas amostras do sinal
não leva a perder informação contida no sinal analógico ?– Nyquist mostrou que sinais com largura de banda
limitada – que contêm apenas uma certa gama de frequências – podem ser reconstruídos EXACTAMENTE do sinal amostrado desde que a FREQUÊNCIA DE AMOSTRAGEM SEJA O DOBRO da maior frequência contida no sinal
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11AT 2006
Exemplo• Seja 100 Hz a frequência mais elevada contida
num sinal analógico– Qual deve ser a frequência de amostragem a
utilizar ?– Estes 100 Hz podem corresponder a algum sinal
que conhece da área da voz ?
• E no caso do sinal de voz ?
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12AT 2006
Aliasing
O que acontece se não se respeitar o Teorema ?
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13AT 2006
“Aliasing”• Se usarmos uma
frequência inferior a 2x a maior frequência contida no sinal ocorre o chamado “aliasing”
• Exemplo:– Sinusóide de 14 Hz
– Sinusóide de 4 Hz
– Ambas amostradas a 10 Hz
– Amostras são as mesmas
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
-0.5
0
0.5
1
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14AT 2006
O que acontece se não se amostra suficientemente rápido?
x(t)=A cos (2f0t+)se amostramos com um período Ts obtemos
x[n]=x(nTs)=A cos (2f0nTs+)
Consideremos outra sinusóide com frequência f0+k fs, com k inteiro e fs=1/Ts
y(t)=A cos (2(f0+k fs)t + )Amostrando y(t) com o mesmo Ts, obtemos
y[n]=y(nTs)=A cos (2 (f0+k fs) nTs+)
= A cos (2f0 nTs+ 2 k fs Ts+)
= A cos (2f0 nTs+ 2 k +)
= A cos (2f0 nTs +)= x[n]
y[n] tem as mesmas amostras que x[n] sendo impossível distingui-la de x[n]. Como k é um inteiro, positivo ou negativo, existem um número infinito de
sinusóides que resultam nas mesmas amostras x[n] quando amostradas com a frequência fs !
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15AT 2006
O que acontece se não se amostra suficientemente rápido?
Considermos uma sinusóide de frequência f: x(t)=A cos (2f0t+)se amostramos com um período Ts obtemos
x[n]=x(nTs)=A cos (2f0nTs+)
Consideremos outra sinusóide com frequência f0+k fs, com k inteiro e fs=1/Ts
y(t)=A cos (2(f0+k fs)t + )Amostrando y(t) com o mesmo Ts, obtemos
y[n]=y(nTs)=A cos (2 (f0+k fs) nTs+)
= A cos (2f0 nTs+ 2 k fs Ts+)
= A cos (2f0 nTs+ 2 k +)
= A cos (2f0 nTs +)= x[n]
y[n] tem as mesmas amostras que x[n] sendo impossível distingui-la de x[n]. Como k é um inteiro, positivo ou negativo, existem um número infinito de
sinusóides que resultam nas mesmas amostras x[n] quando amostradas com a frequência fs !
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16AT 2006
alias• As frequências f0+k fs são chamadas “alias” da
frequência f0
• porque todas elas parecem ser a mesma quando amostradas com frequência de amostragem fs
• No dicionário Inglês-Português da Porto Editora:– alias [´eiliaes] , 1 adv. aliás
2 s. pseudónimo, nome falso, nome suposto
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17AT 2006
Uma segunda fonte de “aliasing” - “folding”
Considerando sinusóide de freq. f: x(t)=A cos (2f0t+)se amostramos com um período Ts obtemos
x[n]=x(nTs)=A cos (2f0nTs+)
Consideremos outra sinusóide com frequência -f0+k fs, com k inteiro e fs=1/Ts
w(t)=A cos (2(-f0+k fs)t + )Amostrando y(t) com o mesmo Ts, obtemos
w[n]=y(nTs) =A cos (2 (-f0+k fs) nTs+)
= A cos (-2f0 nTs+ 2 k fs Ts+)
= A cos (-2f0 nTs+ 2 k +)
= A cos (2f0 nTs +) % porque cos(- )=cos()= x[n]
w[n] tem as mesmas amostras que x[n] sendo impossível distingui-la de x[n].
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18AT 2006
Porquê “folding”
Frequência real
freq. aparente
1000
1000 2000
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19AT 2006
Aliasing• Sendo f a frequência de um sinal e a frequência de
amostragem fs, as seguintes regras permitem calcular a frequência
• f < ½fs • Como a frequência do sinal se encontra abaixo do limite imposto
pelo teorema da amostragem, não ocorre “aliasing”; o sinal amostrado possui a frequência correcta.
• ½fs < f < fs • Existe “aliasing” sendo a frequência do sinal amostrado fa = fs - f
• f > fs • Ocorre “aliasing”. Para obter a frequência do sinal amostrado obter
o resto da divisão de f por f. No final se ½fs < f < fs o sinal amostrado fa = fs - f ; caso contrário fa = f
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20AT 2006
Aliasing
5k
5k 10k 15k freq real
freq digital
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21AT 2006
Quantização
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22AT 2006
Quantização• Os valores contínuos da amplitude também
têm de ser convertidos em valores tratáveis pelo computador– Os computadores guardam os números usando 0s e
1s, os chamados bits– 3 bits dá para representar 8 números diferentes
• 000 001 010 011 100 101 110 111
• Este processo designa-se por quantização
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23AT 2006
Precisão, número de bits• O número de bits usados para representação
determina a precisão (ou resolução) em amplitude do processo de amostragem referido atrás.
• Quanto mais bits forem usados, maior será essa resolução.
• Para obtermos uma resolução equivalente à de um sistema CD de áudio, são necessários 16 bits, – o que significa que temos 65536 combinações65536 combinações
numéricas possíveis.
– Os valores de amplitude amostrados são sempre arredondados para o código binário mais próximo.
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24AT 2006
Exemplo de quantização• 8 bits
• 7 bits
• 3 bits
• 2 bits
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
0
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
0
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
0
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
0
1
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25AT 2006
Em Matlabt=0:1e-3:4
x= sin (2*pi*10*t)+1 % para ser entre 0 e 1
bits=1
N=2^bits
xquant=round(x*(N-1)/2)*2/(N-1)
stem(t,xquant,'ro'); hold on;
diferenca=x-xquant
plot(t,diferenca, 'g+')
% experimente com bits=1,2 ...
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26AT 2006
Resultados
2 bits
erro
4 bits
8 bits
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27AT 2006
Exemplo
•3 bits
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28AT 2006
Número de bits• 8 bits
– 256 níveis– Se tivermos sinal entre – 1 e + 1 V
• Erro máximo 3.4 mV (mili=0.001)
• 16 bits– 65536 níveis– Se tivermos sinal igual ao anterior
• Erro máximo 15 microV (micro=0.000001)
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29AT 2006
Erro de arredondamento e bits
•N=níveis
= distância entre níveis
N=2/ N =2 =2/N
Erro máximo de arredondamento é = /2=1/N
logo N=1/
número de bits (b) b log2 N
1
-1
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30AT 2006
SNR devido a quantização
SNR= 20 log10 (App/)
como A=2 e N=2b temos = 2-b
App/= 2 x 2b = 2b+1
logo 20 log10 (2b+1) = 20 (b+1) log10 (2)
6 (b+1) dB
aumento de 6 dB/bit
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31AT 2006
Em Matlab % RETOMANDO O EXEMPLO ANTERIOR t=0:1e-3:4;x= sin (2*pi*10*t);bits=9;N=2^bits;xquant=round(x*(N-1)/2)*2/(N-1);plot(t,xquant,'ro'); hold on;diferenca=x-xquant;plot(t,diferenca, 'g+');
% valor do erro máximo de arredondamento neste caso concretomax(diferenca)% valor teórico para o erro máximo de arredondamento1/N% SNRsnr=10*log10(dot(x,x)/dot(diferenca,diferenca))
% EXPERIMENTE com 1,2 ... até 8 bits. Qual o aumento de snr com o aumento de 1 bit ?
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32AT 2006
Exercício• Estimar o número de bits necessários para
representar amostras de um sinal com valores entre –1 e 1 com um erro de arredondamento inferior a 10-3
![Page 33: Apresentação Emanações Acusticas](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062304/563dbbb8550346aa9aafacd9/html5/thumbnails/33.jpg)
33AT 2006
Quantos Hz ? Quantos bits ? • Para sinal de voz ?
• Para música (CD) ?– Quais os valores utilizados pelos leitores de CD ?– E pelos DATs ?
• Para sinal medindo a abertura e fecho das cordas vocais ?
• Para sinal gravado via telefone ?
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34AT 2006
Representação de sinais digitais• Depois da amostragem e quantização ficamos
com uma lista de números que facilmente se podem tratar em programas como o SFS e o Matlab– As sinusóides que temos vindo a ver são de facto
listas de números como a seguinte:
• 0 0.0251 0.0502 0.0753 0.1004 0.1253 0.1502 0.1750 0.1997 0.2243 ....
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35AT 2006
Conversão D/A
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36AT 2006
Reconstrução com impulsos quadrados – “hold”
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37AT 2006
Operações com sinais
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38AT 2006
Operações com sinais I• Operações na variável dependente
– Mudança de escala (da amplitude)• y(t)=c x(t) ou y[n]=c x[n]
• Exemplo: Amplificador electrónico
– Adição• y(t)= x1(t) + x2(t)
• Exemplo: mixer áudio
– Multiplicação• y(t)= x1(t) x2(t)
• Exemplo: sinal de rádio AM (modulação de Amplitude)
– Diferenciação, Integração• Ex: bobine e condensador
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39AT 2006
Operações na variável independente
• Mudança da escala temporal– y(t)= x (a t)
t
x(t)
t
x(2t)
t
x(t/2)
a>1 => compressão
0<a<1 => expansão
•Alguma ideia de aplicação na área da fala?
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40AT 2006
Operações na variável independente
• inversão temporal y(t)= x (- t)
t
x(t)
-t1 t2
t
y(t)=x(-t)
-t2 t1
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41AT 2006
Som em Matlab
>> Ver Matlab num Instante
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42AT 2006
Sumário• Geração de som com o Matlab
– Funções do Matlab para manipular sons
•sound/ soundsc•wavread•wavwrite
– Geração de sons artificais• ruído
• sinusóides
• soma de duas sinusóides
• sinusóides de frequência variável
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43AT 2006
Som no Matlab• É possível utilizar o Matlab na manipulação e
geração de som.
• Existem funções para ler ficheiros de som para um vector, gravar um vector para um ficheiro e para reproduzir sons a partir de ficheiros.
• Podem-se ouvir os vectores!
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Função soundA função sound permite reproduzir um som
armazenado num vector.Sintaxe
sound(x,fa)em que x é um vector linha ou coluna e fa é a frequência de amostragem que se
pretende utilizar.
A função soundsc normaliza o vector para ter máximo igual a 1.0
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45AT 2006
Função wavreadA função wavread lê um ficheiro de som em
formato “wav” do Windows.
Sintaxe
[x,fa,bits]= wavread(’ficheiro’)
em que x é um vector ,
fa é a frequência de amostragem utilizada
bits o número de bits
e ‘ficheiro’ é o ficheiro de som que se pretende ler.
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Função wavwriteA função wavwrite escreve um ficheiro de
som em formato “wav” do Windows.
Sintaxe
wavwrite(x,fa,’ficheiro’)
em que x é um vector ,
fa é a frequência de amostragem utilizada
e ‘ficheiro’ é o ficheiro de som onde se pretende guardar o som armazenado em x.
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47AT 2006
Exemplo: ficheiro de som
Neste exemplo pretende-se ler para um vector um som armazenado num ficheiro e reproduzi-lo no Matlab
[x,fa]= wavread('som.wav');
sound(x,fa) % ou soundsc(x,fa)
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48AT 2006
Exemplo: Gravar um som• Neste exemplo lê-se para um vector
armazenado num ficheiro, manipula-se e grava-se num ficheiro diferente.
[x,fa]= wavread('som.wav');
sound(x,fa)
y= x(end:-1:1); % Inverte no tempo
wavwrite(y,fa,'som2.wav');
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49AT 2006
Alteração da freq. de amostragem• Ao reproduzir um som é possível alterar a
frequência de amostragem com que é reproduzido.
– Exemplo: utilizando o dobro da frequência de amostragem do original.•sound(x,fa*2)
– Exemplo: utilizando metade da frequência de amostragem do original•sound(x,fa/2)
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50AT 2006
Geração de sons artificiais
O Matlab possui formas expeditas de gerar sons artificais. Vamos ver como é que se geram diferentes tipos de sons.
A função rand gera uma sequência pseudo aleatória. Qual será o som produzido por um vector gerado com este função?
x= rand(1,10000)-0.5; % Ruído de média nula
sound(x,8000);
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51AT 2006
Geração de sons artificiais
A função seno desempenha um papel central na geração de sons articiais.
Vejamos qual o som que obtemos.
fa= 8000; Ta= 1/fa;
t= 0:Ta:1; %Gera o sinal de tempo
x= sin(2*pi*1000*t); % sinusóide de 400Hz
sound(x,fa);
=2f
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52AT 2006
Geração de sons artificiais
Soma de duas sinusóides
Podemos gerar dois vectores com sinusóides com frequências diferentes e somá-los para ouvir o resultado
fa= 8000; Ta= 1/fa;
t= 0:Ta:1; %Gera o sinal de tempo
x= sin(2*pi*400*t); % sinusóide de 400Hz
y= sin(2*pi*410*t); % sinusóide de 410Hz
soundsc(x+y,fa);
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53AT 2006
Geração de sons artificiais
Multiplicação de sinusóides
Podemos gerar dois vectores com sinusóides de frequências diferentes e realizar um produto ponto-a-ponto entre eles.
fa= 8000; Ta= 1/fa;
t= 0:Ta:1; %Gera o sinal de tempo
x= sin(2*pi*400*t); % sinusóide de 400Hz
y= sin(2*pi*80*t); % sinusóide de 80Hz
soundsc(x.*y,fa);
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54AT 2006
Geração de sons artificiais
Sinusóides de frequência variável
Com o Matlab não é muito díficil gerar uma sinusóide cuja frequência varia linearmente ao longo do tempo.
fa= 8000; Ta= 1/fa;
t= [0:Ta:2 2:-Ta:0]; %Gera o tempo
x= sin(2*pi*400*t.*t);sound(x,fa)
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55AT 2006
Geração de sons artificiais
Sinusóides de frequência variável
Neste exemplo temos uma sinusóide cuja frequência varia ao longo do tempo de forma sinusóidal.
fa= 8000; Ta= 1/fa;
t= 0:Ta:2; %Gera o sinal de tempo
s= 80*sin(2*pi*5*t);
x= sin(2*pi*400*t + s);
sound(x,fa)
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TPC • Leitura dos 2 capítulos relativos a sinais do
livro Rosen & Howell– disponíveis em forma digital