Download - Apresentação Geometria Fractal Completa
Viagem Pelo Mundo dos
Fractais
I
Introdução
Evolução Histórica
Kepler / Galileu
Movimento dos planetas
Século XVII
Newton
Teoria dos sistemas dinâmicos
Hausdorff, em 1919, introduziu um conceito de dimensão não-inteira
Cantor (1870)
Poincaré (1880)
Paradigma dos três corpos
“Quais são os comportamentos possíveis
de um sistema constituído por 3 corpos
que interagem entre si através de uma força
gravitacional Newtoniana?”
Poincaré Equações
Diferenciais
Soluções Analíticas
Quantitativas Inútil
Teoria qualitativa ou geométrica das equações diferenciais
Sistemas dinâmicos
(séc. XX)
Mandelbrot
O chamado “Pai dos Fractais” ao longo dos anos 50 foi
criando uma imagem da realidade na sua mente e em
1975, começou um estudo sistemático dos fractais.
Mandelbrot fartou-se de dizer “nuvens não são esferas,
montanhas não são cones,continentes não são círculos ...”
(Gleick, 1994:132).
Fractal designa uma curva ou superfície
complexa, revelada pela sua estrutura
detalhada, visível em qualquer escala de
ampliação. Nas diferentes ampliações, as formas
complexas apresentam a qualidade de auto-
semelhança,isto é, a parte é igual ao todo.
Couve flor
Flora intestinal
Ramificação do sistema pulmonar
O Que É Um Fractal?
Objecto Fractal
Dimensão fractal
Permite medir o grau de irregula-ridade e de fragmentação de formas.
Fractais Clássicos
II
O Triângulo de Sierpinski
Os três primeiros passos da construção do triângulo de Sierpinski
Em cada passo o número total de triângulos
triplica 1, 3, 9, 27, 81 ao mesmo tempo que
o lado dos triângulos se reduz para
metade.
Triângulo de Sierpinski, é o conjunto dos
pontos do plano que restam se esta
operação for levada a cabo infinitas
vezes. É possível perceber que além dos
lados do triângulo original, que farão
parte do limite, os lados dos triângulos
que vão sendo produzidos também farão
parte do Triângulo de Sierpinski.
Área do Triângulo de Sierpinski
Suponha-se que a área do triângulo inicial é “x”
No passo 1 tem-se: A = 3x /4
No passo 2 tem-se: A = 9x / 16
No passo 3 tem-se: A = 27x/64
(...)
No passo n ter-se-á: A = (3 / 4)n .x
O Triângulo de Pascal trata-se de um
arranjo triangular de números compostos pelos
coeficientes do desenvolvimento do polinómio
(1+x)n (n0). O modo de obter os coeficientes
é simples. As margens direita e esquerda são
sempre iguais a 1, os outros coeficientes são a
soma dos dois coeficientes da linha superior.
Preto
Ímpar
Branco
Par
Qual a proporção de um Triângulo de Sierpinski que é branca?
Parte preta Área de superfície total de 0
Parte branca Área de superfície total de 1
Triângulo de Pascal muito grande os números impares ocorrem com uma probabilidade muito próxima de zero.
O Triângulo de Pascal
Padrões no triângulo de Pascal de módulos 3, 7, e 9
A Curva de Koch / Floco de Neve
Apresentado pelo matemático sueco Helge von Koch em 1904
Construção Do Floco de Neve
31
31 31
31 31 31 31 31
31 31 31 31 31 31
34 1n
Passo
Nº de Lados
Medida de comprimento
dos lados
Perímetro
N = 1
3
*
3
=
9cm
N = 2
4*3
*
*3
=
12cm
N = 3
4*4*3
*
**3
=
16cm
N = 4
4*4*4*3
*
***3
=
21,(3)cm
N=5
4*4*4*4*3
*
****3
=
28,(4)cm
N = 6
4*4*4*4*4*3
*
*****3
=
37,926cm
N = 7
4*4*4*4*4*4*3
*
******3
=
50,568cm
...
...
...
..
.
...
N = n
(4)*3
*
()*3
=
()*9
Passo
Nº de Lados
Medida de comprimento
dos lados
Perímetro
N = 1
3
*
3
=
9cm
N = 2
4*3
*
*3
=
12cm
N = 3
4*4*3
*
**3
=
16cm
N = 4
4*4*4*3
*
***3
=
21,(3)cm
N=5
4*4*4*4*3
*
****3
=
28,(4)cm
N = 6
4*4*4*4*4*3
*
Cada uma das transformações multiplicará o comprimento total por 4/3.
PASSO Nº LADOS MEDIDA DOS LADOS PERÍME-
TRO
N =1 3 3 9 cm
N = 2 4*3 1/3*3 12 cm
N = 3 4*4*3 1/3*1/3*3 16 cm
N = 4 4*4*4*3 1/3*1/3*1/3*3 21,(3) cm
N = 5 4*4*4*4*3 1/3*1/3*1/3*1/3*3 28,(4) cm
N = 6 4*4*4*4*4*3 1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*3 37,926 cm
N = 7 4*4*4*4*4*4*3 1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*3 50,568 cm
.... ... ... ...
N = n (4)n-1*3 (1/3)n-1*3=3-n+2 (4/3)n-1*9
Perímetro do Floco de Neve
Área do Floco de Neve
Para calcular a área do Floco de Neve tenta-se, em cada passo, calcular a parte que foi acrescentada à anterior, pois a área do “Floco de Neve” pode ser vista como a soma das áreas dos triângulos em que este pode ser subdividido.
h
A B
C A altura dos triângulos
acrescentados em cada passo é
dada pela expressão hn=
No primeiro passo, partindo de um triângulo
equilátero de comprimento igual a 3 cm; cuja
altura h = cm, a área do triângulo
[ABC é: A= cm2.
A medida do comprimento dos lados no passo n
é dada pela expressão: ln=(1/3)n-1*3=3-n+2
32323322
439
nl23
Deste modo, a área de cada triângulo
acrescentado em cada passo é dada pela
expressão: An= . . Como ln=3-n+2
vem que An= 4
3l
2
ll
2
3 2
nn
n
2n94
3
O número de triângulos acrescentados em cada passo é dado pela expressão 3*4n-2.
Assim, a área total dos triângulos acrescentados no passo n é dada pela expressão :
2n
2n
2n
nT9
4
4
3343
9
1
4
3AtriângulosºNA
n
2n
2n2n
T1T9
4
4
33
4
39AAA
N
A área total do Floco
de Neve é dada pela
série:
Passo Área do “Floco de Neve”
N= 1 AT
= 439 cm2 .
N=2 AT
= 439 + 433 cm2
N=3 AT
= 439 + 433 + 36312 cm2
N=4 AT
= 439 + 433 + 36312 + 324348 cm2
N=5 AT
= 439 + 433 + 36312 + 324348 +
29163192cm
2
... ...
N= n
AT
=
2
294433439
n
n* cm
2
Esta curva apresenta uma
particularidade curiosa, pois tem
comprimento infinito e área finita.
2
2n
2nn
cm20
327
4
39
9
4
4
33
4
39lim
9
3
4lim
1n
n
A área do Floco de Neve é sempre menor que a área do círculo que contém o triângulo inicial!
AF = 6,24cm2 AO= 9,42cm
2
A Curva de Peano
A Curva de Peano foi
apresentada pelo matemático
Giuseppe Peano em 1890.
A curva de Peano passa por todos os pontos de
um quadrado unitário, é portanto, um exemplo
de curvas que preenchem o espaço.
No nosso organismo: um rim é composto por 3
sistemas de veias em forma de árvores
interligadas, o sistema arterial, o sistema
venoso e o sistema urinário. Cada um deles tem
acesso a todas as partes do rim, á semelhança
do que acontece com a curva de Peano e os
pontos do quadrado.
Como obter a Curva de Peano
A curva de Peano obtém-se partindo de
um segmento de recta. No passo 1 o
segmento é substituído por 9 segmentos
de comprimento igual a 1/3 do segmento
inicial, e colocados de forma a poder-se
percorrer a linha poligonal sem
descontinuidades.
???
Passos da construção da Curva de Peano
Como em cada passo cada segmento de recta é
substituído por nove segmentos de recta com
1/3 do comprimento dos segmentos de recta
anteriores, pode-se facilmente calcular o
comprimento das curvas em cada passo.
No passo 1 tem-se: 9*1/3 = 3cm
No passo 2 tem-se: 9*9*1/3*1/3 = 32
No passo 3 tem-se: 9*9*9*1/3*1/3*1/3 = 27 = 33
No passo n ter-se á: 3n
Foram estes e outros exemplos que puseram em causa certos conceitos da matemática da época:
As funções sem derivadas
As curvas de comprimento infinito que contêm área finita
Curvas que passam por todos os pontos de um quadrado
Dimensão Fractal e
Auto-Semelhança
III
Dimensão Fractal
Dimensão fractal ou Dimensão de Hausdorff – Besicovitch, mas os conceitos originais têm as suas raízes no desenvolvimento inicial da topologia.
Esta caracterização está associada à ideia
intuitiva de que a dimensão de um objecto é o
número de parâmetros independentes
(coordenadas) que são necessários para a
descrição dos seus pontos.
OBJECTO DIMENSÃO
PONTO 0
RECTA 1
PLANO 2
SÓLIDO 3
Poincaré Conjunto vazio tem dimensão –1.
Seguidamente, define espaços de dimensão
0 em termos de espaços de dimensão –1;
espaços de dimensão 1 em termos de
espaços de dimensão 0; espaços de dimensão
2 em termos de espaços de dimensão 1;
espaços de dimensão 3 em função de
espaços de dimensão 2. A este resultado dá-
se o nome de dimensão topológica.
Como obter a dimensão de um
objecto?
OBJECTO TAMANHO CÓPIAS
RECTA Dobro 1
QUADRADO Dobro 4=22
CUBO Dobro 8=23
Mais geralmente, para uma figura de
dimensão Euclidiana d são necessárias
c= 2d cópias para dobrar o tamanho da
figura
d =ln c/ln 2
No caso em que o factor de ampliação
seja diferente de 2
d=ln c/ln a
Assim:
A curva Floco de Neve é feita de quatro cópias de si
própria, cada uma com um terço do tamanho. Logo, a =
3, c = 4 e d = ln 4/ln 3 = 1,2618....
No triângulo de Sierpinski, para a redução 1/2 obteve-
se uma divisão da figura em 3 partes congruentes.
Logo, a = 2, c = 3 e d = ln 3/ln 2=1,58 .
Na curva de Peano, nos primeiros passos, quando a
redução é 1/3 , o numero de partes congruentes é 9
logo, a = 3, c = 9 e d = ln 9/ln 3 = 2.
Afinal, nem todos os fractais têm dimensão não inteira!
A dimensão assim definida, demonstra todo um
processo de auto-semelhança. Um conjunto ao
qual ela se possa aplicar é dito auto-
semelhante, como é o caso das curvas fractais
abordadas, e das figuras não fractais como o
segmento de recta, o quadrado e o cubo.
Dimensão de Hausdorff – Besicovitch, ou
simplesmente, dimensão fractal.
Teoria dos Conjuntos de Julia
IV
Iteração de Funções Complexas
Jonh
Hubbar Método de
Newton
Resolução
de equações
Aproximações
sucessivas
Fornece em geral mais do que uma solução
particularmente quando se estudam
equações no plano complexo.
Hubbard explorou vários exemplos através do
computador e apercebeu-se que o gráfico que
resultava da aplicação do método de Newton era
apenas uma de toda uma família de figuras
inexploradas.
Contudo, foi Mandelbrot quem
descobriu o cerne de todas estas
formas!!!
“Catálogo” dos Conjuntos de Julia
Apareceu quando Mandelbrot estava a tentar
descobrir uma maneira de generalizar uma classe de
formas conhecidas por conjuntos de Julia, as quais
foram estudadas durante a Segunda Guerra Mundial
pelos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre
Fatou.
CONJUNTO DE MANDELBROT
Preliminares:
Considere-se como sendo um polinómio de grau n 2 com coeficientes complexos . Usualmente escreve-se para indicar a composição da késima da função , de forma que é a késima iteração de . Se chama-se a um ponto fixo de , e se para algum inteiro p 1 diz-se que é um ponto periódico de ; o menor p tal que é chamado o período de ; chama-se a uma órbita de período p. Seja um ponto periódico de período p, com . O ponto é chamado de superatractivo se =0, atractivo ou de atracção se , neutro se e de repulsão se
Cf:Cn
zn
azaazf ...10
)(
Kf
ff ... f )(Kf
fff ... f
f Pf
Pff ,...,,
'P
f
10 1
1
f
Pf
CONJUNTO DE MANDELBROT
O Conjunto de Mandelbrot é uma colecção de pontos
do plano complexo obtido submetendo os números do
plano complexo ao processo iterativo. Este baseia-se
na função . czzf 2
• Sequência ou para um ponto fixo
•Fazendo-se e iterando a função para
valores de c obtém-se o Conjunto de Mandelbrot.
zfK
0z czzf 2
COMO É QUE O CONJUNTO DE MANDELBROT
CONTÉM EM SI UMA INFINIDADE DE
FRACTAIS???
A ideia, agora, consiste em fixar um valor de c e
verificar o que acontece a qualquer valor inicial
de quando a função é iterada.
Obtém-se para cada valor de c figuras que são o
conjunto dos valores de que convergem no processo
da iteração sucessiva da função . A fronteira
dessas figuras é um Conjunto de Julia.
z
z
czzf 2
Conjuntos de Julia para vários valores de c do Conjunto de Mandelbrot.
Conjuntos de Julia Os Conjuntos de Julia surgem em ligação com a
iteração de uma função de variável complexa .
O Conjunto de Julia de pode ser
definido como o “fecho” do conjunto dos
pontos periódicos de repulsão de .
f
fJ f
f
Desde os tempos de Fatou e Julia, tomou-se
como estandardizado definir este conjunto
como o conjunto de pontos nos quais a família
de iterações de deixa de ser normal, ou
seja,
f
:CzfJ
a família 0KKf não é
normal em z .
Algumas propriedades dos
Conjuntos de Julia
Se f é um polinómio, então fJ
é compacto.
fJ
é não vazio.
fJ
é invariante no sentido directo e indirecto, isto é,
JfJfJ 1
.
fJPfJ
para todo o inteiro positivo p.
Se f é um polinómio, fJ
tem interior vazio.
fJ
é um conjunto perfeito (isto é, fechado e sem pontos
isolados ) e é portanto não numerável.
Teorema :
Se f é um polinómio, fJfJ
.
O Conjunto de Julia é o fecho dos pontos periódicos de repulsão do polinómio . É um conjunto compacto não numerável contendo pontos não isolados e é invariante em e . O Conjunto de Julia é a fronteira do fosso de atracção de cada ponto fixo de atracção de , incluindo , e para cada inteiro positivo p.
Agora, poder-se-á definir o Conjunto de Mandelbrot, M, como sendo o conjunto de parâmetros c para os quais o Conjunto de Julia é conexo:
fJ
f
f 1f
f PfJfJ
cfJ:CcM conexo
Imagens de Conjuntos de Julia para diferentes valores de c
Conclusão
A visão da natureza dada pela geometria Euclidiana, onde tudo eram linhas e planos, círculos, quadrados, rectângulos, triângulos e os correspondentes sólidos, deixa de fazer sentido. Tenta-se cada vez mais compreender a realidade pela sua complexidade, pelas suas particularidades, pelo seu fascínio.
Linha Costeira
Fractais e a Realidade
Ao olhar para a economia e para as
finanças, Mandelbrot tem vindo a acentuar,
desde há mais de 30 anos, que fenómenos de
escala e de auto semelhança também estão
aí presentes.
Ruído dos fios telefónicos
Erros de transmissão como um Conjunto de Cantor disposto no tempo
Preços do Algodão Flocos de Neve transportados para a Economia
Posteriormente, Mandelbrot, dedicou-se ao estudo dos registos das cheias do rio Nilo, classificando a sua variação em dois tipos de efeitos, comuns à economia, a que chamou “Efeito de Noé” e “Efeito de José”.
O Efeito de Noé Descontinuidade
O Efeito de José Persistência
“MEMÓRIA LONGA”
Apesar de desprezada inicialmente, a teoria dos fractais, está em constante progressão. Fornece instrumentos utilizáveis por físicos, químicos, sismólogos, metalúrgicos, teóricos das probabilidades e fisiologistas.
Muitas das aplicações directas dos fractais estão relacionadas com a física de superfícies. Por exemplo, a superfície dos poliovírus é fractal.
Indiscutivelmente, um dos aspectos que mais se evidência nos objectos fractais é a sua componente estética.
Arte e ciência encontram-se cada vez mais ligadas, e é agora possível ver beleza em variadissimos objectos científicos.
FIM