Download - Apunte Docente de IO1 Con Ejercicios 09feb15
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2015 UABC
Profesoras:
M.C. Teresa Carrillo Gutirrez
M.I. Karina C. Arredondo Soto
Dra. Ma. Marcela Sols Quinteros
M.C. Alma D. Corrales Orozco
Tijuana B. C. 2015
Apunte de Investigacin de Operaciones I
Ingeniera Industrial (Plan 2007-1)
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FACULTAD DE CIENCIAS QUMICAS E INGENIERA INGENIERA INDUSTRIAL
UNIDAD 1. INTRODUCCIN A LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES
Competencia
Conocer los conceptos bsicos de investigacin de operaciones, as como el campo de
aplicacin en el mbito profesional del ingeniero industrial.
1.1 El campo de la investigacin de operaciones
Las races de la IO pueden encontrarse muchas dcadas atrs, cuando se hicieron los
primeros intentos por emplear el mtodo cientfico en la administracin de una empresa. Sin
embargo, el inicio de la actividad llamada investigacin de operaciones es atribuible a ciertos
servicios militares y a las actividades que componan cada operacin de la manera ms eficaz.
Como su nombre lo indica, el objetivo de esta disciplina implica investigar sobre las
operaciones. El trabajo es aplicado a la problemtica relacionada con la conduccin y la
coordinacin de actividades en una organizacin. En esencia, la naturaleza de la organizacin
no es material, por lo cual la IO ha sido aplica de manera extensa en reas tan diversas como
la manufactura, el transporte, la construccin, las telecomunicaciones, la planeacin financiera,
cuidado de la salud, fuerzas armadas y servicios pblicos, por nombrar solo unas cuantas. As,
la gama de aplicaciones es inusualmente amplia.
La IO incluye el trmino investigacin en el nombre porque utiliza un enfoque similar al aplicado
en las reas cientficas establecidas. El mtodo cientfico es usado para explorar ciertos
problemas que deben ser enfrentados en ocasiones se usa el trmino management science o
ciencia de la administracin como sinnimo de la investigacin de operaciones-. El proceso
comienza por la observacin cuidadosa y la formulacin del problema, incluyendo la
recoleccin de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construccin de un modelo
cientfico generalmente matemtico- con el cual se intenta abstener la esencia del problema
real. En esta etapa se propone la hiptesis de que el modelo ser una representacin tan
precisa de las caractersticas esenciales de la situacin, que permitir que las conclusiones
soluciones- obtenidas sean vlidas tambin para el problema real. Despus se llevan a cabo
los experimentos adecuados para probar esta hiptesis, para modificarla si es necesario y para
verificar en determinado momento este paso se conoce como validacin del modelo -. En
cierto sentido, la IO involucra la investigacin cientfica creativa de las propiedades
fundamentales de las operaciones. Sin embargo es ms que esto. La IO se ocupa tambin de
la administracin prctica de la organizacin. Por lo tanto, para tener xito tambin debe
proporcionar conclusiones claras que el tomador de decisiones pueda usar cuando ser
necesario.
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Una caracterstica adicional de la investigacin de operaciones es que intenta encontrar la
mejor solucin llamada solucin ptima- para el problema en cuestin. (Se dice una mejor
solucin y no la mejor solucin porque es posible que existan muchas soluciones que puedan
considerarse como la mejor). [1]
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reas funcionales
Una muestra de los problemas que la IO ha estudiado y resuelto con xito en negocios e
industria se tiene a continuacin:
Personal: La automatizacin y la disminucin de costos, reclutamiento de personal,
clasificacin y asignacin a tareas de mejor actuacin e incentivos a la produccin.
Mercado y distribucin: El desarrollo e introduccin de producto, envasado, prediccin
de la demanda y actividad competidora, localizacin de bodegas y centros
distribuidores.
Compras y materiales: Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables,
sustitucin de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar.
Manufactura: La planeacin y control de la produccin, mezclas ptimas de
manufactura, ubicacin y tamao de planta, el trfico de materiales y el control de
calidad.
Finanzas y contabilidad: Los anlisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo
plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditoras y reclamaciones.
Planeacin: Con los mtodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con
mltiples actividades, tanto simultneas como las que deben esperar para ejecutarse.
La lista de reas funcionales de la organizacin que son de posible aplicacin de la IO, es
ilustrativa del potencial que tiene para resolver el problema de la empresa.
Problemas, ejemplo de aplicacin con xito de la IO
En los siguientes problemas el gobierno o empresa, ahorraron millones de dlares en la
aplicacin de la IO:
1. Programacin del horario de las rondas de policas de San Francisco.-En 1989 Taylor y
Huxley disearon un mtodo para programar el horario de las rondas de oficiales de la
Polica de San Francisco, usando un modelo de programacin lineal, la programacin
de metas y la programacin entera. El ahorro sum 11 millones de dlares anuales.
2. Reduccin de gastos de combustible en la industria de la energa elctrica.- En 1989
Chao y Cols ahorraron a 79 empresas de servicio de energa elctrica ms de 125
millones de dlares en costos de compras y de dficit, usando programacin dinmica y
simulacin.
3. Diseo de una instalacin para desmontar lingoteras en Bethlehem Steel.- En 1989
Vasko y Cols ayudaron a esta empresa siderrgica con el diseo del sistema de quitar
lingoteras a los lingotes de acero con un modelo de programacin entera ahorrando 8
millones de dlares anuales.
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4. Mezcla de gasolinas en Texaco.- Con programacin lineal y no lineal Dewit y Cols
disearon un modelo de mezcla para cuatro tipos de gasolina ahorrando 30 millones de
dlares al ao; aplicando anlisis de sensibilidad calcularon el efecto de cambios al
modelo.
5. Programacin del horario de los camiones para North America Van Lines.-En 1989
Powell y Cols, con modelos de redes y programacin dinmica, formularon la
asignacin de carga a chferes, reduciendo costos en 2.5 millones de dlares, con
mejor servicio.
6. Administracin del inventario a Blue Bell.-En 1985 Edwars, Wagner y Wood con
programacin lineal y modelos probabilsticos de inventario redujeron el nivel medio de
inventario de ropa deportiva y de oficina en un 31%.
7. Determinacin de carteras de bonos.- Varias personas (Chandy y Kharabe, 1986)
utilizaron la programacin lineal para mxima ganancia con restricciones de riesgo y de
la diversificacin de la cartera.
8. Planeacin de produccin en lechera.-En 1985 Sullivan y Secrest, usaron
programacin lineal con utilidad de 48000 dlares, al determinar el proceso: del suero,
la leche cruda, el suero dulce y la crema, para obtener: queso crema, requesn, crema
agria y crema de suero.
9. Reemplazo de equipo en Phillips Petroleum.- Para el reemplazo de equipo usaron
modelos (Waddell, 1983), que se estima ahorraron 90000 dlares por ao. [2]
1.2 Programacin lineal
El desarrollo de la programacin lineal ha sido clasificado como uno de los avances cientficos
ms importantes de mediados del siglo XX, y estamos de acuerdo con esta aseveracin. Su
efecto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal
que ha ahorrado miles o millones de dlares a muchas compaas o negocios, incluso
empresas medianas, en los distintos pases industrializados del mundo; su aplicacin a otros
sectores de la sociedad se ha ampliado con rapidez. Una proporcin muy grande de los
programas cientficos en computadoras est dedicada al uso de la programacin lineal. Se han
escrito docenas de libros de texto sobre esta materia y se cuentan por cientos los artculos
publicados que describen aplicaciones importantes.
Cul es la naturaleza de esta notable herramienta y qu tipos de problemas puede manejar?
El lector adquirir una nocin de este tema a medida que trabaje en los ejemplos que se
presentarn ms adelante. Sin embargo, un resumen verbal puede permitirle elaborar una idea.
Expresado en forma breve, el tipo ms comn de aplicacin abarca el problema general de
asignar de la mejor manera posible es decir, de forma ptima recursos limitados a
actividades que compiten entre s por ellos. Con ms precisin, este problema consiste en
elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para
realizarlas. Despus, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de recursos que
consumir cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta
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descripcin es sin duda muy grande, ya que abarca desde la asignacin de instalaciones de
produccin a los productos hasta la asignacin de los recursos nacionales a las necesidades
de un pas; desde la seleccin de una cartera de inversiones hasta la seleccin de los patrones
de envo; desde la planeacin agrcola hasta el diseo de una terapia de radiacin, etc. No
obstante, el ingrediente comn de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos
a las actividades mediante la eleccin de los niveles de stas.
La programacin lineal utiliza un modelo matemtico para describir el problema. El adjetivo
lineal significa que todas las funciones matemticas del modelo deben ser funciones lineales.
En este caso, la palabra programacin no se refiere aqu a trminos computacionales, en
esencia es sinnimo de planeacin. Por lo tanto, la programacin lineal involucra la planeacin
de las actividades para obtener un resultado ptimo; esto es, el resultado que mejor alcance la
meta especificada de acuerdo con el modelo matemtico- entre todas las alternativas
factibles.
Aunque la asignacin de recursos a las actividades es la aplicacin ms frecuente, la
programacin lineal tiene muchas otras posibilidades. En realidad, cualquier problema cuyo
modelo matemtico se ajuste al formato general del modelo de programacin lineal, es un
problema de programacin lineal. (Por esta razn, los problemas de programacin lineal y sus
modelos con frecuencia son llamados slo programas lineales.) An ms, se dispone de un
procedimiento de solucin muy eficiente llamado mtodo simplex para resolver estos
problemas lineales, incluso los de gran tamao. stas son algunas razones del tremendo efecto
de la programacin lineal en las dcadas recientes. [1]
1.3 Elementos bsicos de algebra lineal
Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas y :
11 + 12 = 1
21 + 22 = 2 (1)
Donde 11, 12, 21, 22, 1 y 2 son nmeros dados. Cada una de estas ecuaciones
corresponde a una lnea recta. Una solucin al sistema (1) es un par de nmeros, denotados
por (, ), que satisface (1). Las preguntas que surgen en forma natural son: tiene este
sistema varias soluciones , de ser as, cuntas? Se respondern estas preguntas despus de
ver algunos ejemplos, en los cuales se usarn dos hechos importantes del lgebra elemental:
Hecho A Si = = , entonces + = + .
Hecho B Si = y es cualquier nmero real, entonces = .
El hecho A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuacin
correcta. El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuacin por una
constante se obtiene una segunda ecuacin vlida. Se debe suponer que 0 ya que aunque
la ecuacin 0 = 0 es correcta, no es muy til.
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Ejemplo 1
Sistema con una solucin nica
= 7
+ = 5 (2)
Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por el hecho A, la siguiente ecuacin:2 =
12 ( , = 6). Entonces, si se despeja de la segunda ecuacin, = 5 , 5 6 =
= 1. As, el par (6, -1) satisface el sistema (2) y la forma en que se encontr la
solucin muestra que es el nico par de nmeros que lo hace. Es decir, el sistema (2) tiene una
solucin nica.
Ejemplo 2
Sistema con un nmero innito de soluciones
Considere el sistema
= 7
2 2 = 14
(3)
Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalentes. Esto es, cuales quiera dos nmeros,
y , que satisfacen la primera ecuacin tambin satisfacen la segunda, y viceversa. Para
comprobar esto se multiplica la primera ecuacin por 2. Esto est permitido por el hecho B.
Entonces = 7 o = 7. As, el par (, 7) es una solucin al sistema (3) para
cualquier nmero real . Es decir, el sistema (3) tiene un nmero infinito de soluciones. Para
este ejemplo, los siguientes pares son soluciones: (7, 0), (0, 27), (8, 1), (1, 26), (3, 24) y (22,
29).
Ejemplo 3
Sistema sin solucin
Considere el sistema
= 7
2 2 = 13
(4)
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Si se multiplica la primera ecuacin por 2 (que de nuevo est permitido por el hecho B) se
obtiene 2 2 = 14. Esto contradice la segunda ecuacin. Por lo tanto, el sistema (4) no
tiene solucin. [3]
1.3.1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incgnitas es la siguiente:
Cada fila de M corresponde a una ecuacin del sistema y cada columna a los coeficientes
de una incgnita, excepto la ltima, que corresponde a las constantes del sistema.
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada,
especficamente, reducindola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.
Mtodo de Gauss
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el mtodo de Gauss. Este
proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Sea el sistema,
su matriz ampliada asociada es
Ahora resolvemos por el mtodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde
a los coeficientes de la , la segunda a los de la , la tercera a los de la y la cuarta a los
trminos independientes:
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De este modo, el sistema tiene la solucin nica
= 2, = 1, = 3
La resolucin de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el mtodo de
Gauss u otros, es una de las mltiples aplicaciones que tienen stas. [3]
1.3.2 Solucin de sistemas de ecuaciones mediante el mtodo Gauss-Jordn
El Mtodo de Gauss Jordn o tambin llamado eliminacin de Gauss Jordn, es un mtodo
por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con nmeros de variables,
encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicacin
mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este mtodo, se debe en primer lugar
anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notacin
matricial:
Entonces, anotando como matriz (tambin llamada matriz aumentada):
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Una vez hecho esto, a continuacin se procede a convertir dicha matriz en una
matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:
Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de
suma, resta, multiplicacin y divisin; teniendo en cuenta que una operacin se aplicara a todos
los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsrvese que en dicha matriz identidad no aparecen los trminos independientes, esto se
debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos
trminos resultaran ser la solucin del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las
variables, correspondindose de la siguiente forma:
1 =
2 =
3 =
Ahora que estn sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolucin de sistemas
de ecuaciones lineales por medio de este mtodo.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:
Sea el sistema de ecuaciones:
Procedemos al primer paso para encontrar su solucin, anotarlo en su forma matricial:
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Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz
para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:
Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1 fila de la matriz original en el 1 de la
1 fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1 fila por el inverso
de 2, es decir .
Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr
esto, buscamos el opuesto de los nmeros que se ubicaron por debajo del 1 de la primera
columna, en este caso el opuesto de 3 que ser -3 y el opuesto de 5 que ser -5.
Una vez hecho esto, se proceder a multiplicar los opuestos de estos nmeros por cada uno de
los elemento de la 1 fila y estos se sumaran a los nmeros de su respectiva columna. Por ej.:
en el caso de la 2 fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la
1 fila y se sumara su resultado con el nmero que le corresponda en columna de la segunda
fila. En el caso de la 3 fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de
la 1 fila y se sumara su resultado con el nmero que le corresponda en columna de la tercera
fila.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2 fila de la matriz identidad, y procedemos de
igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del nmero que
deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13.
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Adems si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el
mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3
fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del mtodo,
es til para facilitar clculos posteriores.
Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3 fila, 2 columna de la matriz identidad, para
hacer esto buscamos el opuesto del nmero que se ubica en la 3 fila, 2 columna de la matriz
con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo opuesto ser 17; lo que hacemos ahora
es multiplicar este nmero por todos los elementos de la 2 fila y sumar esos resultados con el
nmero que le corresponde en columna de la 3 fila.
A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a
parecerse a la matriz identidad.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3 fila, 3 columna de la matriz
identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que estbamos trabajando, es
decir que vamos a multiplicar toda la 3 fila por el inverso del nmero que se encuentre en la
posicin de la 3 fila, 3 columna, en este caso 96/13, cuyo inverso ser 13/96.
Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr
esto, buscamos el opuesto de los nmeros que se ubicaron por encima del 1 de la 3 columna
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de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y cuyos opuestos sern -
11/13 y -, respectivamente.
Una vez hecho esto, se proceder a multiplicar los opuestos de estos nmeros por cada uno de
los elemento de la 3 fila y estos se sumaran a los nmeros de su respectiva columna. Por ej.:
en el caso de la 2 fila, se multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los
elementos de la 3 fila y se sumaran sus resultados con el nmero que le corresponda en
columna de la segunda fila. En el caso de la 1 fila se multiplicara a - (opuesto de ) por cada
uno de los elementos de la 3 fila y se sumaran sus resultados con el nmero que le
corresponda en columna de la primera fila.
El ltimo paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1 columna, 2 fila de la matriz
identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del nmero que se ubica en la 1 columna, 2
fila de la matriz con la que estamos operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto ser - 3/2, lo
que hacemos ahora es multiplicar este nmero por todos los elementos de la 2 fila y sumar
esos resultados con el nmero que le corresponde en columna de la 1 fila.
Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscbamos, y
en la cuarta columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondindose de este
modo:
= 1
= 1
= 2
Luego, el sistema de ecuaciones est resuelto y por ltimo lo verificamos.
2 + 3 + = 1 , 3 2 4 = 3, 5 = 4
2(1) + 3(1) + 2 = 1 , 3(1) 2(1) 4(2) = 3, 5(1) (1) 2 = 4
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2 3 + 2 = 1 , 3 + 2 8 = 3 , 5 + 1 2 = 4
1 = 1 , 3 = 3 , 4 = 4. [4]
1.4 Resolucin de problemas mediante programas de cmputo
Una parte primordial de este libro es la presentacin de los algoritmos procedimientos
iterativos de solucin ms importantes de la IO para resolver cierto tipo de problemas.
Algunos de estos algoritmos son excepcionalmente eficientes y casi siempre son utilizados
para solucionar problemas que incluyen cientos o miles de variables. Adems, se presenta una
introduccin acerca de cmo funcionan y qu los hace tan eficientes. Ms adelante, estos
algoritmos sern utilizados para resolver diversos problemas en una computadora. El CD-ROM
llamado OR Courseware es la herramienta para hacerlo.
Una caracterstica especial del OR Courseware es el programa llamado OR Tutor cuyo objetivo
es ser una gua personal para ayudar en el aprendizaje de los algoritmos. Este programa
contiene muchos ejemplos de demostracin en los que despliegan y explican los algoritmos en
accin.
Adems, el OR Courseware incluye un paquete especial llamado Interactive Operations
Research Tutorial, o IOR Tutorial. Este paquete innovador fue implementado en Java. El IOR
Tutorial incluye muchas rutinas interactivas para ejecutar los algoritmos de manera dinmica y
en un formato conveniente. La computadora realiza todos los clculos de rutina mientras el
estudiante centra su atencin en aprender y ejecutar la lgica del algoritmo. Estas rutinas
interactivas son una manera eficiente e ilustrativa para resolver muchos de los problemas de
tarea. El IOR Tutorial tambin incluye otras herramientas tiles, como algunos procedimientos
automticos para ejecutar algoritmos y varios otros que ofrecen un despliegue grfico de la
forma en que la solucin proporcionada por un algoritmo vara a medida que cambian los datos
del problema.
En la prctica, los algoritmos son ejecutados en paquetes de software comercial; por ello, es
importante familiarizar al estudiante con la naturaleza de los programas que utilizar en la vida
profesional. El OR Courseware incluye una gran cantidad de material para introducir los tres
paquetes de mayor uso. Juntos, estos paquetes permiten resolver con gran eficiencia casi
todos los modelos de IO. Adems, se agregan ciertas rutinas automticas propias del OR
Courseware slo para algunos casos en los que estos paquetes no son aplicables.
En la actualidad, es comn el uso del paquete de hojas de clculo lder, Microsoft Excel, para
elaborar pequeos modelos de IO en este formato. Despus, se utiliza el Excel Solver para
resolver los modelos en ocasiones, en una versin mejorada, como el Premium Solver for
Education incluido en el OR Courseware. El OR Courseware incluye un archivo de Excel
autnomo para casi cada captulo del libro. Cada vez que se presenta un ejemplo que pueda
ser resuelto con Excel, se proporciona la formulacin completa en una hoja de clculo y se da
la solucin en el archivo de Excel de este captulo. En el caso de muchos modelos que
aparecen en el libro, se dispone de una plantilla de Excel que incluye las ecuaciones
necesarias para resolver el modelo.
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Despus de muchos aos, LINDO y su lenguaje de modelado LINGO an es uno de los
programas de software ms populares para resolver modelos de investigacin de operaciones.
Actualmente, es posible bajar gratis de Internet las versiones para estudiante, pero tambin fue
incluido en el OR Courseware. En cuanto a Excel, cada vez que un ejemplo pueda ser resuelto
con este paquete, se darn todos los detalles en un archivo de LINGO/LINDO para ese captulo
en el OR Courseware.
CPLEX es un software muy usado para resolver problemas grandes que son un reto en
investigacin de operaciones. Cuando se enfrentan tales problemas, tambin es comn usar
un sistema de modelado para elaborar el modelo matemtico de manera eficiente e introducirlo
en la computadora. MPL es un sistema de modelado amigable que utiliza CPLEX para resolver
los modelos. Tambin existen versiones de estos paquetes para estudiantes que pueden
obtenerse de manera gratuita en Internet. [1]
Ejercicios: Unidad 1
Tema: Antecedentes de la Investigacin de Operaciones
Ejercicio 1. Investigar y elaborar una lnea del tiempo con las fechas y acontecimientos ms
importantes de la Investigacin de Operaciones. Para saber cmo elaborar una lnea del tiempo
realiza la siguiente lectura en http://www.historiap9.unam.mx/documentos/4.pdf
Tambin se pueden consultar los siguientes videos:
Video 1: Lnea de tiempo con PowerPoint Duracin: 9 min.
http://www.youtube.com/watch?v=mSJZMSXmbtQ
Videos 2 y 3: Creacin de Lnea de tiempo en Time Rime
http://www.youtube.com/watch?v=lKQ6w7vXtts Duracin: 5 min.
http://www.youtube.com/watch?v=trNR1WWs6LQ Duracin: 9:30 min.
Ejemplo de lnea del tiempo.
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Tema: Fundamentos de la Investigacin de Operaciones
Ejercicio 2. Elaborar una tabla con la terminologa bsica del rea de investigacin de
operaciones.
a) Investigar las siguientes definiciones:
Investigacin
Operaciones
Investigacin de Operaciones
Linealidad
Solucin
Solucin ptima
Solucin no factible
Solucin factible
Regin factible
Valor ms favorable
Soluciones ptimas mltiples
Solucin factible en un vrtice (FEV)
Solucin aumentada
Optimizacin
Modelo
Modelo matemtico
Programacin Lineal
b) Proporcione tres ejemplos de situaciones en las cuales se presente el concepto de
linealidad.
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Ejercicio 3. Elaborar un mapa mental o un mapa conceptual del tema: Naturaleza de la
Investigacin de Operaciones.
Lecturas recomendadas:
Blog http://opris-masbeg.blogspot.mx/2008/06/nature-of-operations-research.html
Fuller J., Mansour A. (2003) Operations management and operations research: a historical
and relational perspective. Journal of Management History.
http://www.emeraldinsight.com/journals.htm?articleid=865411&show=abstract
Para saber cmo elaborar un mapa mental o mapa conceptual realiza la siguiente lectura
http://gamorenorod.files.wordpress.com/2012/05/mapas_conceptuales.pdf
o revisa los siguientes videos:
Video 4: Como elaborar un mapa mental (Arte y Creatividad) LDCFD Duracin: 10:22 min.
http://www.youtube.com/watch?v=-qCMqfLwTVA
Video 5: Mapas Conceptuales CmapTools Duracin: 11:29 min.
http://www.youtube.com/watch?v=ZaTUtL_gmrY
Video 6: Software gratuito para crear Mapas Mentales y Conceptuales
http://www.smartdraw.com/specials/mapas-mentales.htm
Video 7: Tutorial SmartDraw 2010 Duracin: 11 min.
http://www.youtube.com/watch?v=2jzo-EKmvEM
Video 8: Smart Draw Floor plan part 1 of 2 Duracin: 9:45 min.
http://www.youtube.com/watch?v=0_V9l3tOH-0
Tema: Fases del Estudio de Investigacin de Operaciones
Ejercicio 4. Explicar las fases de estudio de IO. Use un ejemplo.
Tema: Principales Aplicaciones de la Investigacin de Operaciones
Ejercicio 5. Elaborar un resumen de 2 cuartillas.
Lecturas recomendadas:
Gazmuri Schleyer P. (2001). Hacia un uso efectivo de la Investigacin de Operaciones
en Chile: diagnstico y proposiciones.
http://www.dii.uchile.cl/ris/articulos/art_gazmuri.pdf
Keefer D., Kirkwood C., Corner J. (2002). Summary of Decision Analysis Applications in
the Operations Research Literature, 1990- 2001
http://www.datanubes.com/mediac/ORSynopsis.pdf
Board, J., Sutcliffe y W. T. Ziemba. (1999). Applying Operations Research Techniques
to Financial Markets, en Interfaces, 33(2): 12-24, marzo-abril, 2003.
http://edoc.hu-berlin.de/series/speps/1999-6/PDF/6.pdf
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Kumar A., Chawla J., Goyal N. (2012). Role of operations research applications in
financial markets. A literature review. Proceedings of the National Conference on Trends
and Advances in Mechanical Engineering, YMCA University of Science & Technology,
Faridabad, Haryana, Oct 19-20, 2012.
http://ymcaust.ac.in/tame2012/cd/industrial/IE-41.pdf
1.1 Formulacin Problemas Lineales
Ejercicio 6. Elaborar en su cuaderno de trabajo el Modelo de programacin lineal en la forma
estndar.
Ejercicio 7. Explicar los siguientes trminos utilizados en la estructura del modelo bsico de
PL.
Variables de decisin
Funcin objetivo
Restricciones
Ejercicio 8. Explicar cada uno de los supuestos de programacin lineal. Usar grficas para
fortalecer la explicacin.
Ejercicio 9. Identifique las restricciones y la funcin objetivo de:
a) El metabolismo humano.
b) El sistema elctrico de una casa habitacin.
c) Un cine con diez salas de exhibicin.
d) El sistema de transporte urbano de una ciudad.
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UNIDAD 2. FORMULACIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN
LINEAL
Competencia
Conocer, comprender y aplicar la metodologa de programacin lineal en la construccin de
modelos matemticos para resolver problemas de aplicacin en el campo del ingeniero
industrial.
2.1 Funcin objetivo y restricciones
La funcin objetivo es la ecuacin que ser optimizada dadas las limitaciones o restricciones
determinadas y con variables que necesitan ser minimizadas o maximizadas usando tcnicas
de programacin lineal o no lineal. Una funcin objetivo puede ser el resultado de un intento de
expresar un objetivo de negocio en trminos matemticos para su uso en el anlisis de toma de
decisiones, operaciones, estudios de investigacin o de optimizacin.
La funcin objetivo puede ser:
! =
=
o
! =
=
Dnde:
= .
Las restricciones pueden ser de la forma:
1: = ,
=
2: ,
=
3: ,
=
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Dnde:
= ;
= ;
= ;
= , 1 ( );
, = ;
= , 1 ;
= , 1 .
En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M;
, N < M.
Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede
no tener sentido una optimizacin.
Los tres tipos de restricciones pueden darse simultneamente en el mismo problema. [5]
2.2 Planteamiento de problemas de dos variables
Ejemplo:
La empresa WYNDOR GLASS CO. produce artculos de vidrio de alta calidad, entre ellos
ventanas y puertas de vidrio. Tienen 3 plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en
la planta 1, los de madera en la 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos.
Debido a una reduccin de las ganancias, la alta administracin ha decidido reorganizar la lnea
de produccin de la compaa. Se descontinuaran varios productos no rentables y se dejar
libre una parte de la capacidad de produccin para emprender la fabricacin de dos productos
nuevos que tienen ventas potenciales grandes:
Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio.
Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies por 6.
El producto 1 requiere parte de la capacidad de produccin de plantas 1 y 3 y nada de la planta
2. El producto 2 solo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La divisin de comercializacin ha
concluido que la compaa puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las
plantas. Sin embargo, como ambos productos competiran por la misma capacidad de
produccin en la planta 3, no est claro que mezcla de productos ser la ms rentable. Por lo
tanto, se ha formado un equipo de IO para estudiar este problema.
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El grupo comenz por realizar juntas con la alta administracin para identificar los objetivos del
estudio y desarrollaron la siguiente definicin del problema:
Determinar qu tasas de produccin deben tener los dos productos con el fin de maximizar las
utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de produccin
limitadas disponibles en las tres plantas. (Cada producto se fabricara en lotes de 20 unidades,
de manera que la tasa de produccin est definida como el nmero de lotes que se producen a
la semana). Se permite cualquier combinacin de tasas de produccin que satisfaga estas
restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea posible del
otro.
El equipo de IO tambin identific los datos que necesitaba reunir:
1. Nmero de horas de produccin disponibles por semana en cada planta para estos
nuevos productos. (Casi todo el tiempo de estas plantas estn comprometido con
los productos actuales, lo que limita la capacidad para manufacturar nuevos
productos).
2. Nmero de horas de fabricacin que emplea cada lote producido de cada artculo
nuevo en cada una de las plantas.
3. La ganancia por lote de cada producto nuevo. (Se escogi la ganancia por lote
producido como una medida adecuada una vez que el equipo lleg a la conclusin
de que la ganancia incremental de cada lote adicional producido sera, en esencia,
constante, sin importar el nmero total de lotes producidos. Debido a que no se
incurre en costos sustanciales para iniciar la produccin y la comercializacin de
estos nuevos productos, la ganancia total de cada uno es aproximadamente la
ganancia por lote producido multiplicada por el nmero de lotes.)
La obtencin de estimaciones razonables de estas cantidades requiri del personal clave en
varias unidades de la compaa. El personal de la divisin de manufactura proporcion los
datos de la primera categora mencionada. El desarrollo de estimaciones para la segunda
categora requiri un anlisis de ingenieros de manufactura involucrados en el diseo de los
procesos de produccin para los nuevos artculos. Al analizar los datos de costos obtenidos por
estos ingenieros, junto con la decisin sobre los precios de la divisin de mercadotecnia, el
departamento de contabilidad calculo las estimaciones para la tercera categora.
La tabla 2.1 resume los datos obtenidos.
De inmediato, el equipo de IO reconoci que se trataba de un problema de programacin lineal
del tipo clsico de mezcla de productos y procedi a la formulacin del modelo matemtico
correspondiente.
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Formulacin como un problema de programacin lineal.
Para formular el modelo matemtico de programacin lineal para este problema, se define:
1 = 1
2 = 2
= ( )
Tabla 2.1. Datos del problema de la Wyndor Glass Co.
Planta
Tiempo de produccin por lote, horas
Tiempo de produccin disponible a la semana,
horas
Producto 1 2
1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18
Ganancia por lote $ 3,000 $ 5,000
Por lo tanto, 1 y 2 son las variables de decisin del modelo. Si se usa el ltimo rengln de la
tabla, se obtiene:
= 31 + 52
El objetivo es elegir los valores de 1 y 2 que maximicen = 31 + 52, sujeta a las
restricciones impuestas sobre sus valores por las capacidades de produccin limitadas
disponibles en las tres plantas. La tabla 2.1 indica que cada lote del producto 1 que se produce
por semana emplea 1 hora de produccin en la planta 1, y slo se dispone de 4 horas
semanales. Matemticamente, esta restriccin se expresa mediante la desigualdad 1 4. De
igual manera, la planta 2 impone la restriccin 22 12. El nmero de horas de produccin
usadas en la semana en la planta 3 que se consume al elegir 1 y 2 como las tasas de
elaboracin de los nuevos productos sera 31 + 22. Entonces la expresin matemtica de la
planta 3 es 31 + 22 18. Por ltimo, como las tasas de produccin no pueden ser
negativas, es necesario restringir las variables de decisin a valores no negativos: 1 0 y
2 0.
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Para resumir, en el lenguaje matemtico de programacin lineal, el problema consiste en
seleccionar valores de 1 y 2 para
: 31 + 22,
sujeto a las restricciones
1 4
22 12
31 + 22 18
y
1 0, 2 0.
(Obsrvese como la informacin de la tabla 2.1 en esencia se duplica en la distribucin de los
coeficientes de 1 y 2 en el modelo de programacin lineal).
2.2.1 Solucin grafica
Este pequeo problema solo tiene dos variables de decisin, esto es, solo dos dimensiones, as
que se puede usar un procedimiento grafico para resolverlo. Este procedimiento incluye la
construccin de una grfica de dos dimensiones 1 y 2 en los ejes. El primer paso es
identificar los valores (1, 2) permitidos por las restricciones. Este objetivo se logra dibujando
cada una de las rectas que limitan los valores permitidos por una restriccin. Para comenzar,
ntese que las restricciones de no negatividad 1 0 y 2 0 exigen que el punto (1, 2)
se encuentre en el lado positivo de los ejes (incluso sobre cualquiera de los dos ejes), es decir,
en el primer cuadrante. Despus, debe observarse que la restriccin 1 4 significa que
(1, 2) no puede estar a la derecha de la recta 1 = 4. Estos resultados se muestran en la
figura 2.1, en la que el rea sombreada contiene los nicos valores de (1, 2) permitidos.
Figura 2.1. El rea sombrada muestra los valores de (1, 2), permitidos por 1 0 , 2 0 , 1 4
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De manera parecida, la restriccin 22 12 (o de modo equivalente, 2 6) implica que la
recta 22 = 12 debe agregarse a la frontera de la regin permisible. La ltima restriccin,
31 + 22 18 ,se encuentra al graficar los puntos (1, 2) tales que 31 + 22 = 18 (otra
recta) para completar la frontera. (Obsrvese que los puntos que cumplen 31 + 22 18
son aquellos que estn sobre o por debajo de la recta 31 + 22 = 18, por lo que sta es la
recta que limita, y ms all de ella, la desigualdad no se satisface.) En la figura 2.2 se muestra
la regin de valores permisibles de (1, 2), llamada regin factible.
Figura 2.2 El rea sombreada muestra los valores permitidos
de (1, 2), llamada la regin factible.
El paso final es seleccionar, dentro de esta regin factible, el punto que maximiza el valor de
= 31 + 52. Para descubrir cmo realizar este paso de manera eficiente se pueden
intentar algunos valores por prueba y error. Por ejemplo, probar, = 10 = 31 + 52 para
ver si existe algn valor de (1, 2) dentro de la regin permisible que d un valor de 10 para Z.
Si se dibuja la recta 31 + 52 = 10 se puede ver que existen muchos puntos sobre esta recta
que estn dentro de la regin (vase la figura 2.3). Como al intentar este valor arbitrario de
= 10, se tiene una mejor perspectiva, debe intentarse ahora un valor arbitrario ms grande,
por ejemplo = 20 = 31 + 52. De nuevo, la figura 2.3 revela que un segmento de la recta
31 + 52 = 20 se encuentra dentro de la regin, de manera que el mximo valor permisible
de Z debe ser, por lo menos, 20. [1]
Figura 2.3. El valor de (1, 2), que maximiza
31 + 52 es (2,6).
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2.2.2 Regin factible, puntos extremos y solucin ptima
Puede ser que el lector est acostumbrado a que el trmino solucin signifique la respuesta
final a un problema, pero en programacin lineal (y sus extensiones) la convencin es bastante
distinta. Ahora, cualquier conjunto de valores especficos de las variables de decisin
1, 2, , ) se llama una solucin, aunque sea slo una posibilidad deseable o ni siquiera
permitida. Despus se identifican los tipos de soluciones mediante el empleo de un adjetivo
apropiado.
Una solucin factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen.
Una solucin no factible es una solucin para la que al menos una restriccin se viola.
En el ejemplo, los puntos (2, 3) y (4, 1) de la figura 2 son soluciones factibles, mientras que (1,
3) y (4, 4) son soluciones no factibles.
La regin factible es la reunin de todas las soluciones factibles.
En el ejemplo, la regin factible es toda el rea sombreada de la figura 2.
Es posible que un problema no tenga soluciones factibles. Esto habra ocurrido si se hubiera
requerido que los nuevos productos tuvieran un rendimiento neto de 50 mil dlares semanales
por lo menos, para justificar la interrupcin de la fabricacin de la lnea actual. La restriccin
correspondiente, 31 + 52 50, hubiera eliminado por completo la regin factible, con lo que
ninguna mezcla de nuevos productos sera superior a la situacin actual. Este caso se ilustra
en la figura 2.4.
Figura 2.4. El problema de la
Wyndor Glass Co. no tendra
soluciones ptimas si se le
agregara la restriccin 31 +
52 50
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Dado que existen soluciones factibles, la meta de la programacin lineal es encontrar una
solucin factible que sea la mejor, medida por el valor de la funcin objetivo en el modelo.
Una solucin ptima es una solucin factible que proporciona el valor ms favorable de la
funcin objetivo.
El valor ms favorable significa el valor ms grande si la funcin objetivo debe maximizarse, o
el valor ms pequeo si la funcin objetivo debe minimizarse. La mayor parte de los problemas
tendr nada ms una solucin ptima. Sin embargo, tambin es posible tener ms de una. Esto
ocurrira en el ejemplo si la ganancia por lote producido del producto 2 se cambiara a 2 mil
dlares. Este hecho cambiara la funcin objetivo a = 31 + 22 de manera que todos los
puntos sobre el segmento de recta que va de (2, 6) a (4, 3) seran soluciones ptimas, situacin
que se ilustra en la figura 2.5. Igual que en este caso, cualquier problema que tenga soluciones
ptimas mltiples tendr un nmero infinito de ellas, todas con el mismo valor de la funcin
objetivo.
Figura 2.5. El problema de
la Wyndor Glass Co.
tendra soluciones ptimas
si la funcin objetivo se
cambiara a = 31 +
22
Otra posibilidad es que el problema no tenga soluciones ptimas, lo cual ocurre slo si: 1) no
tiene soluciones factibles, o 2) las restricciones no impiden que el valor de la funcin objetivo
() mejore indefinidamente en la direccin favorable (positiva o negativa). Este caso se conoce
como un problema con no acotada u objetivo no acotado. El ltimo caso sera cierto si, por
error, en el ejemplo se omitieran las ltimas dos restricciones funcionales del modelo, lo cual se
ilustra en la figura 2.6.
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Figura 2.6. El problema de la
Wyndor Glass Co. no tendra
soluciones ptimas si la nica
restriccin funcional fuera 1 4,
puesto que 2 podra aumentar de
modo indefinido en la regin factible
sin llegar a un valor mximo.
Ahora se introducir un tipo especial de soluciones factibles que tiene un papel importante
cuando el mtodo simplex trata de encontrar una solucin ptima.
Una solucin factible en un vrtice (FEV) o puntos extremos es una solucin que se
encuentra en una esquina de la regin factible.
La figura 2.7 pone de relieve cinco soluciones factibles en los vrtices del ejemplo.
Figura 2.7. Los puntos indican las cinco soluciones FEV
para el problema de la Wyndor Glass Co.
Relacin entre las soluciones ptimas y las soluciones FEV: Considrese cualquier
problema de programacin lineal con soluciones factibles y una regin factible acotada. El
problema debe poseer soluciones FEV y al menos una solucin ptima. Adems, la mejor
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solucin FEV debe ser una solucin ptima. Entonces, si un problema tiene exactamente una
solucin ptima, sta debe ser una solucin FEV. Si el problema tiene mltiples soluciones
ptimas, al menos dos deben ser soluciones FEV.
El ejemplo tiene exactamente una solucin ptima,(1, 2) = (2, 6), que es FEV. (Considrese
la forma como el mtodo grfico que conduce a la solucin ptima que es FEV.) Cuando se
modifica el ejemplo para que tenga soluciones ptimas mltiples, como se muestra en la figura
7, dos de estas soluciones ptimas (2, 6) y (4, 3) son soluciones factibles en los
vrtices. [1]
2.3 Formulacin de problemas relacionados con la prctica de la Ingeniera
Industrial
El ingeniero industrial en su quehacer cientfico y empresarial utiliza mtodos cientficos y
modelos matemticos de investigacin de operaciones para tomar decisiones gerenciales con
el fin de hacer un uso eficiente de los recursos y con ello mejorar no slo los indicadores de
rentabilidad sino tambin la utilidad de los productos y servicios y el bienestar social. Estas
podran ser algunas aplicaciones de la Investigacin de operaciones en el campo de
competencias del ingeniero industrial: programacin de la produccin y de los requerimientos
de materiales, balance de lneas, programacin de transporte, localizacin de facilidades,
programacin de horarios y seleccin y programacin de proyectos. Cabe destacar la vigencia
de la optimizacin en programacin lineal y entera para la resolucin de problemas de las
reas antes mencionadas.
El profesional de la ingeniera industrial dispone de tcnicas de investigacin de operaciones
relacionadas con el diseo, mejora, eficiencia y optimizacin de todos los recursos de la
organizacin. Muchas de las tcnicas utilizan modelos matemticos que representan la parte
del proceso productivo o de negocios que se desean mejorar (Ley, 2000).
La investigacin tiene por objetivo mostrar el uso de la investigacin de operaciones en
Ingeniera Industrial, y especficamente en el desarrollo de modelos de optimizacin.
La optimizacin consiste en la seleccin de una alternativa mejor en relacin con las dems
alternativas posibles y permite tomar decisiones adecuadas para el problema
planteado (Castillo et al., 2002).
La programacin lineal (PL) forma parte de la programacin matemtica y es una tcnica de
optimizacin para tratar problemas de asignacin de recursos escasos entre actividades que
compiten, y trata exclusivamente con funciones objetivos y restricciones lineales. Sin
embargo, no todos los problemas de asignacin de recursos limitados se pueden formular de
esta manera. Cuando no se cumplen algunas de las suposiciones de programacin lineal, en
algunos casos se puede aplicar otro tipo de modelos matemticos como la programacin
entera (pura o mixta) o la programacin no lineal (Hillier y Lieberman, 2002).
La prctica profesional de los ingenieros industriales se centra en el diseo y administracin de
procesos productivos: el rea operativa como soporte de la produccin, la solucin de
problemas en lnea, el control de la calidad, as como la optimizacin de sistemas y procesos
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en cuanto a costos, recursos, equipos y materiales, la estandarizacin de procedimientos, la
creacin de grupos y clulas de trabajo, entre otros aspectos.
Cabe destacar que, estos ingenieros y otros profesionales en las organizaciones muchas veces
necesitan tomar decisiones gerenciales en conjunto, no slo acerca de la planificacin y
programacin de la produccin de bienes y el balance de lneas, sino tambin de las
cantidades de los recursos a utilizar (materiales, insumos, personal, capital, otros), el
transporte de los materiales y productos, la localizacin de facilidades, el
almacenamiento, la distribucin, entre otros; con el fin de minimizar el costo total de la cadena
de suministro y con ello el costo de los productos, para lo cual los modelos de optimizacin se
presentan como herramientas adecuadas para tal fin. [7]
2.3.1 Ejemplos de aplicaciones de IO en la ingeniera industrial
1. Planificacin integrada de produccin y Distribucin para un conglomerado
industrial
Este artculo presenta la modelacin matemtica de la cadena de abastecimiento de un
conglomerado, entendido como la asociacin de empresas que toman una estructura comn,
para la industria siderrgica semiintegrada en Colombia, con el objeto de brindar una
herramienta de soporte a la decisin buscando la minimizacin de costos logsticos de
produccin y distribucin de productos intermedios y finales de esta industria, el modelo
matemtico contempla: proveedores de materia prima, plantas manufactureras, centros de
distribucin, ventas locales e importaciones. Los costos relacionados, son los de materia prima,
transporte e inventarios, distribucin y administrativos. Las restricciones que se consideran en
el modelo son: capacidad de proveedores y plantas manufactureras, satisfaccin de la
demanda, ecuaciones de balance y restricciones de configuracin del sistema. El modelo se
valid en una empresa colombiana presentando resultados satisfactorios. La bsqueda de la
estrategia ptima se estableci con el apoyo del software General Algebraic Modeling System-
GAMS por medio del solver CPLEX.
Modelo de optimizacin
El modelo matemtico elaborado es un modelo determinstico de programacin lineal que
aborda la problemtica de la distribucin fsica de los diferentes productos intermedios y finales
en la industria siderrgica semi-integrada en Colombia. El modelo busca apoyar los procesos
encaminados a la minimizacin de costos logsticos de transporte y produccin, brindando
directrices que soporten la toma de decisiones a travs de la cadena de abastecimiento a
mediano plazo. [8]
2. Optimizacin del proceso logstico en una empresa de colombiana de alimento
congelado y refrigerado
La empresa en mencin fabrica aproximadamente doscientas referencias entre productos
refrigerados (bebidas lcteas y jugos) y congelados (helados en diversas presentaciones)
agrupados en trece productos principales. Los productos son enviados desde dos plantas hacia
once centros de distribucin, donde a su vez se distribuyen a los minoristas. Cada centro de
distribucin debe satisfacer la demanda mensual de los trece productos. La demanda mensual
fue calculada como el promedio de los datos histricos de ventas y no se consider ninguna
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tendencia o estacionalidad. El medio de transporte para la distribucin de los productos son
camiones tipo tractomula y doble troque con refrigeracin.
En la actualidad la empresa cuenta con su propia flota de camiones pero est considerando
dejar esta operacin a terceros.
La empresa debe enviar sus productos usando dos tipos de embalajes: cajas de cartn y
canastas. Las cajas de cartn preservan mejor el producto y son ms fciles de manipular y
empacar; las canastas son reutilizables pero es necesario transportarlas de vuelta, rastrearlas y
desinfectarlas. Los anlisis de costos tradicionales hechos por la empresa favorecen el uso de
las canastas, pero el Departamento de Logstica de la empresa sospecha que los costos de
administrar las canastas pueden superar los costos de las cajas de cartn.
El problema desarrollado consiste en minimizar los costos logsticos de transporte y distribucin
sujeto a restricciones de capacidad, tipos de empaque y satisfaccin de demanda. Para ello se
requiere una herramienta que brinde informacin detallada sobre cada uno de los costos y que
a su vez provea la combinacin (mezcla) ptima de embalajes para cada producto y tipo de
transporte. El modelo propuesto incorpora, entre otros, la capacidad de produccin de las
plantas, los tiempos de envo y retorno de los medios de transporte entre plantas y los centros
de distribucin, la disponibilidad de canastas y la capacidad de los camiones. Adems de
encontrar la solucin ptima, con este modelo se pueden analizar fcilmente escenarios tales
como incrementos o disminucin en los costos de transporte y de los embalajes. [9]
2.3.2 Formulacin de un modelo matemtico
Una vez que el tomador de decisiones define el problema, la siguiente etapa consiste en
reformularlo de manera conveniente para su anlisis. La forma convencional en que la IO logra
este objetivo es mediante la construccin de un modelo matemtico que representa la esencia
del problema. Antes de analizar cmo se elaboran los modelos de este tipo se explorara su
naturaleza general y, en particular, la de los modelos matemticos.
Los modelos matemticos tambin son representaciones idealizadas, pero estn expresados
en trminos de smbolos y expresiones matemticas. Las leyes de la fsica = y = 2,
son ejemplos familiares. En forma parecida, el modelo matemtico de un problema industrial
est conformado por un sistema de ecuaciones y expresiones matemticas relacionadas que
describen la esencia del problema. De esta forma, si deben tomarse decisiones cuantificables
relacionadas entres si, se representan como variables de decisin (1, 2, , ) para las que
se deben determinar los valores respectivos. En consecuencia la medida de desempeo
adecuada (por ejemplo, la ganancia) se expresa como una funcin matemtica de estas
variables de decisin (por ejemplo, = 31 + 22 + + 5 ). Esta funcin se llama funcin
objetivo. Tambin se expresan en trminos matemticos todas las limitaciones que se puedan
imponer sobre los valores de la variables de decisin, casi siempre en forma de ecuaciones o
desigualdades (como 1 + 312 + 22 10). Con frecuencia, tales expresiones matemticas
de las limitaciones reciben el nombre de restricciones. Las constantes (los coeficientes o el lado
derecho de las expresiones) de las restricciones y de la funcin objetivo se llaman parmetros
del modelo. El modelo matemtico puede decir entonces que el problema es elegir los valores
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de las variables de decisin de manera que se maximice la funcin objetivo, sujeta a las
restricciones dadas. [10]
2.3.4 Modelo de programacin lineal
Modelo en el que las funciones matemticas que aparecen tanto en la funcin objetivo como en
las restricciones son funciones lineales. La palabra programacin no se refiere aqu a trminos
computacionales; en esencia es sinnimo de planeacin; por lo tanto, la programacin lineal
involucra la planeacin de actividades para obtener un resultado ptimo.
El tipo ms usual de aplicacin de programacin lineal involucra la asignacin de recursos a
ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso es limitada, de forma que debe
asignarse con todo cuidado. La determinacin de esta asignacin implica elegir los niveles de
las actividades que lograrn el mejor valor posible de la medida global de desempeo.
Ciertos smbolos se usan de manera convencional para denotar los diversos componentes de
un modelo de programacin lineal. Estos smbolos se enumeran a continuacin, junto con su
interpretacin para el problema general de asignacin de recursos a actividades.
= valor de la medida global de desempeo.
= nivel de la actividad j (para j =1, 2,. . ., n).
= incremento en Z que se obtiene al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j.
=cantidad de recurso i disponible para asignarse a las actividades (para i = 1, 2,. . ., m).
= cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j.
El modelo plantea el problema en trminos de tomar decisiones sobre los niveles de las
actividades, por lo que 1, 2, , se llaman variables de decisin, los valores de , y
(para = 1,2, , = 1,2, , ) son las constantes de entrada al modelo. Las , y
tambin se conocen como parmetros del modelo
Una forma estndar del modelo
Este modelo consiste en elegir valores de 1, 2, para
Maximizar = 11 + 22 + ,
Sujeta a las restricciones
111 + 122 + 1 1
211 + 222 + 2 2
.
.
.
11 + 22 + ,
Y
1 0, 2 0, , 0.
sta es llamada nuestra forma estndar del problema de programacin lineal. Cualquier
situacin cuya formulacin matemtica se ajuste a este modelo es un problema de
programacin lineal. [10]
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2.3.5 Supuestos de PL
Supuesto de proporcionalidad: La contribucin de cada actividad al valor de la funcin
objetivo Z es proporcional al nivel de la actividad , como lo representa el trmino en la
funcin objetivo. De manera similar, la contribucin de cada actividad al lado izquierdo de cada
restriccin funcional es proporcional al nivel de la actividad , como lo representa en la
restriccin el trmino . En consecuencia, este supuesto elimina cualquier exponente
diferente de 1 para las variables en cualquier trmino de las funciones ya sea la funcin
objetivo o la funcin en el lado izquierdo de las restricciones funcionales en un modelo de
programacin lineal.
Tabla 2.2: ejemplos de proporcionalidad satisfecha o violada.
Figura 2.8:
Figura: 2.9
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Figura 2.10.
Supuesto de aditividad: Cada funcin de un modelo de programacin lineal (ya sea la funcin
objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones
individuales de las actividades respectivas.
Tabla 2.3: Ejemplos que satisfacen o violan la aditividad de la funcin objetivo.
Supuesto de divisibilidad: En un modelo de programacin lineal, las variables de decisin
pueden tomar cualquier valor, incluso valores no enteros, que satisfagan las restricciones
funcionales y de no negatividad. En consecuencia, estas variables no estn restringidas a slo
valores enteros. Como cada variable de decisin representa el nivel de alguna actividad, se
supondr que las actividades se pueden realizar a niveles fraccionales.
Supuesto de certidumbre: Se supone que los valores asignados a cada parmetro de un
modelo de programacin lineal son constantes conocidas. [1]
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Ejercicios Unidad 2.
Tema: Formulacin Problemas Lineales
Ejercicio 1. Elaborar en su cuaderno de trabajo el Modelo de programacin lineal en la forma
estndar.
Ejercicio 2. Explicar los siguientes trminos utilizados en la estructura del modelo bsico de
PL.
Variables de decisin
Funcin objetivo
Restricciones
Ejercicio 3. Explicar cada uno de los supuestos de programacin lineal. Usar grficas para
fortalecer la explicacin.
Ejercicio 4. Identifique las restricciones y la funcin objetivo de:
e) El metabolismo humano.
f) El sistema elctrico de una casa habitacin.
g) Un cine con diez salas de exhibicin.
h) El sistema de transporte urbano de una ciudad.
Ejercicio 5. Solucin Grfica a Problemas Lineales
Video del Mtodo Grfico
http://inveoperaciones.wordpress.com/metodo-grafico-2/
Solucione mediante el mtodo grfico
= 50 1 + 60 2
Sujeto a:
2 1 + 3 2 180
3 1 + 22 150
1, 2 0
Ejercicios (Maximizacin)
Ejercicio 6.
La WYNDOR GLASS CO, produce artculos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y
puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta
1, los de madera en la planta 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos.
Debido a una reduccin de las ganancias, la alta administracin ha decidido reorganizar la lnea
de produccin de la compaa. Se discontinuarn varios productos no rentables y se dejar
libre una parte de la capacidad de produccin para emprender la fabricacin de dos productos
nuevos cuyas ventas potenciales son muy prometedoras:
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Producto1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio
Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 por 6 pies
El producto 1 requiere parte de la capacidad de produccin en las plantas 1 y 2 y nada en la
planta 2. El producto 2 solo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La divisin de
comercializacin ha concluido que la compaa puede vender todos los productos que se
puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competiran por la misma
capacidad de produccin en la planta 3, no est claro cul mezcla de productos sera la ms
rentable. Por lo tanto, se ha formado un equipo de IO para estudiar este problema.
El grupo comenz por realizar juntas con la alta administracin para identificar los objetivos del
estudio. Como consecuencia de ellas se desarroll la siguiente definicin del problema:
Determinar cules tasas de produccin deben tener los dos productos con el fin de maximizar
las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de produccin
limitadas disponibles en las tres plantas. Cada producto se fabricara en lotes de 20 unidades,
de manera que la tasa de produccin est definida como el nmero de lotes que se producen a
la semana. Se permite cualquier combinacin de tasas de produccin que satisfaga estas
restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea posible del
otro.
El equipo de IO tambin identific los datos que necesitaba reunir:
1. Nmero de horas de produccin disponibles por semana en cada planta para fabricar
estos nuevos productos.
2. Nmero de horas de fabricacin que se emplea para producir cada lote de cada artculo
nuevo en cada una de las plantas
3. La ganancia total de cada producto nuevo.
La tabla siguiente resume los datos reunidos:
Planta
Tiempo de
produccin por lote,
hora
Tiempo de
produccin
disponible a la
semana, horas
Producto
1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Ganancia por lote $ 3000 $ 5000
Ejercicio 7. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafena y de 180 refrescos de cola sin
cafena. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen
tres refrescos con cafena y tres sin cafena, y los de tipo B contienen dos con cafena y cuatro
sin cafena. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada
uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuntos paquetes de cada tipo debe
vender para maximizar los beneficios y calcular ste.
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Ejercicio 8. Wilson es una empresa fabricante de equipo deportivo y entre sus productos tiene
dos guantes de bisbol: para jugador de cuadro y para receptor. El proceso consiste de tres
operaciones bsicas: corte y costura, detallado y empaque. Se dispone de 850, 325 y 150
horas, respectivamente. Ambos productos pasan por todo el proceso. Los requerimientos y la
ganancia por producto se muestran a continuacin:
Se desea maximizar la utilidad total.
Ejercicio 9. RMC es una pequea empresa que fabrica una variedad de productos basados en
sustancias qumicas. En un proceso de produccin particular, se emplean tres materias primas
para producir dos productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El aditivo
para combustible se vende a compaas petroleras y se usa en la produccin de gasolina y
combustibles relacionados. La base para solvente se vende a una variedad de empresas
qumicas y se emplea en productos para limpieza en el hogar e industriales. Las tres materias
primas se mezclan para fabricar el aditivo para combustible y la base para el solvente, tal como
se muestra a continuacin:
Producto
Compactos Aditivo para combustible Base para solvente
Material 1 0.4 0.5
Material 2 0.2
Material 3 0.6 0.3
sta nos muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 0.4
toneladas del material 1 y 0.6 toneladas del material 3. Una tonelada de la base para solvente
es una mezcla de 0.5 toneladas del material 1, 0.2 toneladas del material 2 y 0.3 toneladas del
material La produccin de RMC est restringida por una disponibilidad limitada de las tres
materias primas. Para el periodo de produccin actual, RMC tiene disponibles las siguientes
cantidades de materia prima:
Modelo Tiempo de produccin(h)
Corte y costura Detallado Empaque Ganancia
Jugador
de cuadro 1.2 0.6 0.15 15
Receptor 1.45 0.4 0.25 18
Material Cantidad disponible para la produccin
1 20 toneladas
2 5 toneladas
3 21 toneladas
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Debido a los desechos y a la naturaleza del proceso de produccin, los materiales que no se
lleguen a usar en una corrida de produccin no se pueden almacenar para las subsiguientes,
son intiles y deben desecharse. El departamento de contabilidad analiz las cifras de
produccin, asign todos los costos relevantes y lleg a precios que, para ambos productos,
produciran una contribucin a la utilidad de $ 40 por cada tonelada de aditivo para combustible
producida y $ 30 para cada tonelada producida de base para solvente.
Ejercicio 10. Qumicos M & D produce dos productos que se venden como materias primas a
compaas que fabrican jabones para bao y detergentes para ropa. Basado en un anlisis de
los niveles de inventario actuales y la demanda potencial para el mes siguiente, la gerencia de
M & D ha especificado que la produccin combinada para los productos A y B debe ser en total
al menos 350 galones. Por separado, tambin debe satisfacerse un pedido de un cliente
importante de 125 galones del producto A. El producto A requiere dos horas de procesamiento
por galn, mientras el producto B requiere una hora de procesamiento por galn, y para el
siguiente mes se dispone de 600 horas de tiempo de procesamiento. El objetivo de M & D es
satisfacer estos requerimientos con un costo total de produccin mnimo. Los costos de
produccin son $2 por galn para el producto A y $3 por galn para el producto B. Para
encontrar el calendario de produccin de costo mnimo, formularemos el problema de Qumicos
M & D como un programa lineal.
Ejercicio 11. Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de maderas y 28 horas disponibles,
durante las cuales fabricar biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido bien 2
modelos, de manera que se limitar a producir estos 2 tipos. Estima que el modelo uno
requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible, mientras que el modelo 2
requiere una unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son 120dls. y 80dls.,
respectivamente. Cuntos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su
ingreso en la venta? Hacer el modelo de programacin lineal.
Ejercicio 12. Una firma de contadores pblicos especializados en preparar liquidaciones y
pago de impuestos y tambin auditoras en empresas pequeas. El inters es saber cuntas
auditoras y liquidaciones pueden realizar mensualmente, de tal manera que obtengan los
mximos ingresos. Se dispone de 800 horas para trabajo directo y direccin y 320 horas para
revisin. Una auditora en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y direccin y 10
horas de revisin, adems aporta un ingreso de 300 dlares. Una liquidacin de impuestos
requiere de 8 horas de trabajo directo y direccin y 5 horas de revisin y produce un ingreso de
100 dlares. Se pueden realizar tantas auditoras como se desee, pero el mximo de
liquidaciones mensuales disponibles es de 60. Formule un modelo de PL para este caso.
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Ejercicio 13. Problema de Carmac Company, fabrica carros compactos y sub-compactos. La
produccin de cada carro requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como
se especfica en la siguiente tabla:
Tipos de Carros Materia Prima
(libras)
Mano de Obra
(horas)
Compactos 200 18
Sub-compactos 150 20
Costo Unitario 10 70
Total disponible 80000 9000
La divisin de comercializacin ha estimado que a lo ms 1500 compactos pueden venderse a
$10,000 cada uno y que a lo ms 200 sub-compactos pueden venderse a $8,000 cada uno.
Como Vicepresidente de programacin, formule un modelo de PL para determinar la cantidad a
fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total.
Ejercicio 14. Computer Corporation manufactura dos modelos de minicomputadoras, la Alpha y
la Beta. La empresa emplea cinco tcnicos, que trabajan 160 horas por mes cada uno, en su
lnea de ensamble. Se requieren 20 horas laborables para ensamblar cada computadora Alpha,
y 25 horas laborales para ensamblar cada modelo Beta. La empresa desea tener por lo menos
10 unidades de Alpha, y 15 unidades Beta producidas durante el periodo de produccin. Las
Alpha generan una utilidad de 1200 por unidad, y las Beta generan 1800 cada una.
Determine el nmero de cada modelo de minicomputadoras con mayor utilidad para producir el
siguiente mes.
Ejercicio 15. Andys Bicycle tiene los nuevos productos ms novedosos en el mercado de
juguetes. Debido al mercado del vendedor de juguetes para la nueva generacin de nios,
Andys puede vender todas las bicicletas que fabrica en los siguientes precios: bicicleta para
nio, 220 dlares, bicicleta para nia, 175 dlares.
El contador de la empresa ha determinado que los costos de mano de obra directa sern el
45% del precio que Andys reciba por el modelo para nio, y 40% del precio recibido por el
modelo para nia. Los costos de produccin diferentes a mano de obra, pero excluyendo la
pintura y el empaque, son de 44 dlares por bicicleta para nio y 30 dlares por bicicleta para
nia. La pintura y el empaque son 20 dlares por bicicleta, sin tomar en cuenta el modelo.
La capacidad total de produccin de la empresa es de 390 bicicletas por da. Cada bicicleta
para nio requiere de 2.5 horas de mano de obra, mientras que cada modelo para nia toma
2.4 horas para completar. Andys emplea actualmente a 120 trabajadores, que laboran das de 8
horas cada uno.
Determine la mejor mezcla de productos para maximizar la utilidad.
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Ejercicio 16 Una fbrica vende dos tipos de productos diferentes A y B. La informacin sobre el
precio de venta y el costo por unidad es el siguiente:
Los dos productos se fabrican dentro de un proceso comn y se venden en dos mercados
diferentes. El proceso de produccin tiene una capacidad de 30 mil horas de mano de obra, se
requiere de 3 horas para elaborar una unidad de A y 1 hora para producir una unidad de B.
El mercado ya fue estudiado, por lo que los funcionarios de la empresa consideran que lo ms
que pueden venderse de A son 8 mil unidades y de B 12 mil unidades. De acuerdo con esas
limitaciones los productos pueden venderse en cualquier combinacin.
Ejercicio 17. Una empresa manufacturera est considerando dedicar su capacidad a fabricar
3 productos; llammoslos productos 1, 2 y 3. La capacidad disponible de las mquinas que
podra limitar la produccin se resume en la siguiente tabla:
Tipo de Mquina Tiempo Disponible
(horas mquina)
Fresadora 500
Torno 350
Rectificadora 150
El nmero de horas requeridas por cada unidad de los productos respectivos es:
Tipo de Mquina Producto 1 Producto 2 Producto 3
Fresadora 9 3 5
Torno 5 4 0
Rectificadora 3 0 2
El departamento de ventas indica que el potencial de ventas para los productos 1 y 2 es mayor
que la tasa de produccin mxima y que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20
unidades por semana. La utilidad unitaria sera de 30, 12 y 15 dls., respectivamente, para los
productos 1, 2 y 3.
Formlese el modelo de programacin lineal para determinar cunto debe producir la empresa
de cada producto para maximizar la utilidad.
Producto A Producto B
Precio de venta 60 40
Costo 30 10
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Ejercicio 18. Un banco estima que para el ao prximo tendr $10 millones disponibles para
prstamos. Hace varios tipos de prstamos a diferentes tasas de inters:
Tipo de prstamo
Inters anual %
Tipo de prstamo
Inters anual
Personal tipo A 8 Mejoras a casa-
habitacin
10
Personal Tipo B 12 Pequea empresa 12
Automvil 10 Otros 9
Hipoteca 8
Las restricciones legales y las polticas del banco colocan los siguientes lmites sobre los
prstamos: a) El total de prstamos personales no puede exceder el 15% de la cantidad total
de prstamos, b) Los prstamos para mejoras a casa- habitacin ms los prstamos a casas
mvil no pueden exceder el 20% de la cantidad total de prstamos, c) Los prstamos a
pequeas empresas no debe exceder el 30% de la cantidad total de prstamos, d) Cada
prstamo personal tipo A, hipoteca y a pequeas empresas debe sumar, por lo menos 10% del
total de los prstamos. Naturalmente, el banco quiere maximizar el inters que recibe sobre los
prstamos. Formlese ste como un problema de PL.
Ejercicio 19. Un taller fabrica tres tipos diferentes de mesas: A, B y C. Con cada mesa se
requiere determinado tiempo para cortar las partes que la constituyen, ensamblarlas y pintar la
pieza terminada. La empresa podr vender todas las mesas que consiga fabricar. Adems el
modelo C puede venderse sin pintar. El tiempo disponible para realizar cada una de las
actividades es variable. A partir de los datos siguientes, formule un problema de programacin
lineal que ayude a la empresa a determinar la mezcla de productos que le permitir maximizar
sus ganancias.
Ejercicio 20. Roberto Saucedo es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que
la compaa se haga cargo de administrar para l una cartera de $ 100, 000. A ese cliente le
agradara restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones nicamente, como
podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule un PL para mostrar cuantas acciones de cada
Modelo Corte (hrs) Montaje (hrs) Pintura (hrs) Ganancia
por mesa( $)
A 3 4 5 25
B 1 2 5 20
C 4 2 4 50
C sin pintar 4 5 0 30
Capacidad 150 200 300
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tipo tendra que comprar Roberto Saucedo con el fin de maximizar el rendimiento anual total
estimado de esa cartera.
Acciones
Precio por accin ($)
Rendimiento anual
estimado por accin
($)
Inversin
mxima
posible ($)
A 60 7 60 000
B 25 3 25 000
C 20 3 30 000
Ejercicio 21. Una empresa produce cuatro artculos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A
requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y $10 dls. de inventario en proceso.
Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y $5
dls. de inventario en proceso. Cada unidad del producto C requiere 2.5 horas de maquinado,
2.5 horas de montaje y $2 dls. de inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto
D requiere de cinco horas de maquinado, ninguna en montaje y $12 dls. de inventario en
proceso.
La fbrica dispone de 120 000 horas de tiempo de maquinado y 160 000 horas de tiempo de
montaje. Adems, no puede tener ms de un milln de dlares de inventario en proceso.
Cada unidad del producto A genera una utilidad de $40 dls., cada unidad del producto B genera
una utilidad de $24 dls., cada unidad del producto C genera una utilidad de $36 dls. y cada
unidad del producto D genera una utilidad de $23 dls. No pueden venderse ms de 20 000
unidades del producto A, 16 000 unidades del producto C, sin embargo deben producir y
vender por lo menos 10 000 unidades del producto D y 5000 del producto B para cumplir con
los requerimientos de un contrato.
Sobre estas condiciones formular un problema de PL. El objetivo de la fbrica es maximizar la
utilidad resultante de los cuatro productos.
Ejercicio 22. Una empresa de productos electrnicos fabrica telfonos celulares. Su ltimo
producto tiene un dispositivo que evita ser interceptado mientras se est conservando. Existen
tres elementos del mercado que adquirir preferentemente este tipo de aparato. Debido al
canal de distribucin y costos de promocin, la ganancia por el producto vara segn la regin.
Adems la empresa estima que el costo por publicidad y tiempo de venta por unidad variar
tambin segn la regin. La tabla siguiente presenta las ganancias, los costos de publicidad y
el tiempo de venta por unidad y regin.
Regin Ganancia Costo de publicidad Tiempo de venta
A 90 10 2.5 B 70 18 3 C 84 8 1.5
La empresa ha determinado que no gastar ms de $5 000 en publicidad y estableci un mximo de 1200 horas de venta. Adems, la capacidad mxima de produccin es de 600
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unidades. El objetivo es determinar cuntas unidades del producto se debe vender por sector para maximizar la utilidad total (diferencia entre ganancia total y costo total) de la empresa.
Ejercicio 23. Usted est tratando de hacer un presupuesto para optimizar el uso de una parte
de su ingreso disponible. Tiene un mximo de 1500 dls por mes para destinar a comida,
vivienda y diversin. Los montos gastados en alimento y vivienda juntos no pueden exceder de
1000 dls. al mes El monto asignado a vivienda no debe exceder de 700 dls. El de diversin no
debe exceder de 300 dls al mes. Cada dlar gastado en comida tiene un valor de satisfaccin
de 2, cada dlar gastado en vivienda tiene un valor de satisfaccin de 3 y cada dlar gastado
en diversin tiene un valor de satisfaccin de 5.
Formule por P.L. para maximizar el grado de satisfaccin.
Ejercicio 24. Un fabricante de camisas est tratando de decidir cuntas camisas debe producir
durante el mes prximo. Pueden hacerse siete estilos. Los estilos varan en las horas de mano
de obra que requieren, en la contribucin en la ganancia y en las ventas potenciales que el
departamento de comercializacin estima. Los datos se dan enseguida:
Estilo Horas-hombre Ventas mximas Contribucin
1 0.5 3 000 1.00
2 1.0 1 000 2.00
3 0.25 5 000 1.00
4 1.5 2 000 1.50
5 0.7 1 500 1.25
6 0.9 1 500 1.10
7 1.2 1 600 1.20
Se dispone de un total de 7500 horas de mano de obra. El objetivo de este problema es
maximizar la contribucin total.
Ejercicio 25. Considrese un presupuesto de publicidad de $30 000 para un nuevo producto
ligeramente caro. Por lo menos deben usarse 10 anuncios de la televisin, y por lo menos
deben localizarse 50 000 compradores potenciales durante la campaa. Tambin un mximo
de $18 000 pueden gastarse en anuncios en T.V. Dado los datos de la tabla anexa, determine
el plan de medios de comunicacin de publicidad ptimo que aumentar las expectativas de
compra.
Tipo de medio Familias
encuestadas
Costo por
aviso
Mximo
disponible
Expectativa
de compra
T.V. de da (1 min.) 1000 $1 500 15 65
TV. tarde (30 seg.) 2000 $3 000 10 90
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Peridico semanal 1500 $400 25 40
Peridico doming