2
ÍNDICE
UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN…….. 5
UNIDAD 2: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES..…………………………………...83
3
PRESENTACIÓN
Estimado Alumno y Alumna, te damos la más cordial bienvenida a Matemática, asignatura
lectiva del área formativa de Disciplinas Básicas, del área del conocimiento de Ciencias
Básicas.
Matemática tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas
de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de
clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación
técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño
profesional.
Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de
resolución de problemas. Competencia que será desarrollada desde un punto de vista de la
Didáctica de la Matemática.
La asignatura se realizará, a partir de experiencias de aprendizajes que involucren
metodologías principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del
docente un mediador.
El presente texto, que INACAP pone a tu disposición, tiene los contenidos que sirven de
base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente.
Confía en tus capacidades, te deseamos mucho éxito.
4 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
a necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos , artísticos o
matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar
la matemática. La actividad matemática involucra muchos más aspectos que solo
definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al
conocimiento matemático, el hombre debió utilizar la intuición, la inventiva y la
experimentación, elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos
en la exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros.
¿Por qué resolver problemas? un proverbio chino dice " Escucho y olvido, Veo y Recuerdo, Hago y ….. Comprendo! Normalmente no olvidamos lo que hacemos o descubrimos nosotros mismos, George Polya 1957 (uno de los impulsores del estudio de procesos en resolución de problemas) dice “ Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema hay cierto descubrimiento”. Cuando resolvemos un problema aprendemos no solo sobre un tema en particular, si no a enfrentarnos a este tipo de situaciones, a distinguirlas, enunciarlas, interpretarlas, en fin un sin número de actitudes, hábitos y capacidades básicas se favorecen con ellos. Para comprender mejor la esencia de la matemática, es necesario experimentar los procesos
inherentes a la resolución de problemas: recolectar información, descubrir relaciones,
plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir más allá
de la ejercitación matemática y de los problemas aplicados, implica involucrase en
situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos métodos de
solución.
La matemática debe proveer de conocimientos específicos para las aplicaciones futuras,
aunque en la práctica resulta muy difícil enseñar, aprender y recordar toda la matemática
que se requiere para el ejercicio de una profesión. Al desarrollar otro tipo de competencias,
como la resolución de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones
problemáticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las
estrategias matemáticas para su solución.
L
5 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Epitafio en la tumba de Diofanto
Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceavaparte su mejilla se cubrió con el
UNIDAD 1
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS Y ANÁLISIS
DE LA INFORMACIÓN
primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años más. De todo esto se deduce su edad.
6 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA MTHT01
UNIDAD 1
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
APRENDIZAJE ESPERADO
Resolver situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético-algebraica, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Identifica los datos de un problema, verificando coherencia y falta de información.
Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez.
Aplica procedimientos matemáticos para la resolución del problema.
Comunica los resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. APRENDIZAJE ESPERADO
Analiza información entregada en tablas y gráficos, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Recoge información en diversos tipos de gráficos realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación.
Recoge información de tablas realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación.
7 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Introducción
¿Qué significa aprender matemática?
Habitualmente el aprendizaje de las matemáticas se visualiza como una
acumulación de pedazos de información (definiciones, propiedades y
procedimientos) que se deben dominar a través de la memorización y la
mecanización, una colección de conocimientos que esperan ser aplicados en
algún contexto.
La matemática es una ciencia formal, dotada de estructura y razonamiento
deductivo, un lenguaje formal y criterios de rigurosidad. Sin embargo, este
es solo un aspecto de la matemática a desarrollar, el formalismo en realidad
debe ser considerado una meta del trabajo matemático, que tiene su punto
de partida en la intuición y la creación.
Desde esta perspectiva, aprender matemática se relacionaría con construir
y desarrollar las ideas de esta disciplina, vinculándose con los procesos,
tanto de creación, como de formalización del conocimiento matemático.
Desde esta visión, la resolución de problemas es fundamental en el
estudio de la matemática, sin embargo, antes de adentrase en la tarea de
resolver problemas es necesario plantear algunos aspectos que ameritan una
reflexión.
Como los són:
¿ Que diferencia existe entre un problema y un ejercicio?
¿Utilizas estrategias cuando estas frente a un problema? respecto de esta
última pregunta es seguro que tu respuesta es " no se" pero si avanzas en la
lectura al observar las estrategias expuestas para la resolución de problemas
podrás notar que siempre las utilizas, algunas más frecuentemente que otras
pero no te habias dado cuenta, esto, te debe hacer caer en cuenta que ya
tienes un gran trecho avanzado y que no es un tema que no conozcas sólo
no te habias detenido en él.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
La conjetura de Fermat
El teorema de Pitágoras permite
asegurar que existen enteros x,
y, z, lados de un triángulo
rectángulo, que cumplen
2 2 2x y z
En 1640 Pierre Fermat,
generalizó la pregunta y la
respondió: Para todos los
enteros 2n no es posible
encontrar enteros x, y, z,
distintos de cero, tal que
n n nx y z
Fermat dijo haber encontrado
una demostración, que no pudo
mostrar por el pequeño espacio
del margen del libro donde
escribía.
El denominado último teorema
de Fermat permaneció sin
demostración durante más de
350 años, hasta que en 1995,
Andrew Wiles, quien dedicó
gran parte de su vida a este
tema, logró completar una
demostración.
Lo realmente importante del
“último teorema” no es su
demostración, sino que en su
búsqueda, se aportó de manera
significativa al desarrollo de la
aritmética y álgebra moderna.
8 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Diferencia entre Problema o Ejercicio.
La distinción entre ejercicio y problema depende de si se dispone de los
medios para resolverlo de forma inmediata o no. Muchos de los
“problemas de aplicación” que aparecen en los libros son en realidad
ejercicios, si después de comprender el enunciado del problema y reconocer
los datos y la incógnita, el método para resolverlo es alguna de las técnicas o
procedimientos vistos con anterioridad, se trataría solo de un ejercicio.
Problema 1:Supongamos que se construyen escaleras usando adoquines,
tal como se muestra en la siguiente figura:
a) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 10 peldaños?
b)¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 100 peldaños?
¿Problema o ejercicio?
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
Ejercicio Problema
Situaciones rutinarias,
idénticas o muy similares a
otras que ya fueron resueltas.
Los métodospara resolverlos
son conocidos.
Situaciones no rutinarias. No
existe un camino inmediato o
evidente para su solución.
Es necesario explorar distintas
estrategias y nuevos métodos
de solución.
Admiten más de una estrategia
de solución.
9 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Evidentemente, todos los problemas propuestos en este libro son
presentados para que intentes resolverlos por tu cuenta. Las soluciones y
estrategias que se muestran son necesarias para el tratamiento didáctico del
texto, sin embargo, se invita siempre a buscar otras formas de resolverlos.
Solución:
a) Podemos dibujar la escalera con los diez peldaños y contar los adoquines.
También es posible reconocer que cada peldaño es una más que el anterior,
por tanto la cantidad de adoquines en 10 peldaños es
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55
Esta parte resulta algo evidente y la estrategia es conocida, la suma término
a término del 1 al 10. Se trataría de un ejercicio.
b) El número de adoquines en 100 peldaños es igual a la suma
1 2 3 100
No tiene sentido práctico tratar de dibujar la escalera o intentar hacer la
suma término a término. Es mejor buscar otra estrategia. En tal caso nos
enfrentamos a un problema. Mostraremos luego algunas de las estrategias
que se pueden usar para resolver este problema.
Métodos generales y particulares
¿Cómo resolver problemas?
Algunos dicen que la única manera de aprender a resolver problemas es
resolviendo problemas. Parece evidente, pero lo cierto es que es mucho
más complejo que eso.
Existe un dilema constante en la manera de abordar el aprendizaje de
estrategias de resolución de problemas. Por un lado, si un método es
demasiado específico y atañe a un contenido en particular, puede no ser
transferible a otros dominios. Por ejemplo, dibujar una figura puede servir
para resolver una serie de problemas, pero solo en un contexto o contenido
en particular. Por otro lado, si un método es muy general, no queda claro
cómo aplicarlo en los distintos dominios.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
10 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Esto acarrea la discusión de si es posible aprender a resolver problemas en
general o si solo se pueden estudiar los métodos de resolución ligados a
contenidos específicos.
Podemos adoptar aspectos de ambas posturas para intentar desarrollar la
habilidad de resolución de problemas. Esto es:
1. Es pertinente conocer los métodos generales de resolución de
problemas, ya que aunque no garantizan la solución de un problema, si
pueden ayudar a atacarlo.
2. Las estrategias están muy ligadas al contenido matemático involucrado y
la capacidad de transferir esas estrategias a otros dominios depende de la
experiencia con diversas situaciones en las que la estrategia se aplicó. Es
necesario revisar el contenido específico.
Método general de Pólya
George Pólya, fue un matemático que nació en Hungría el se dedicó a
trabajar en muchos temas matemáticos, pero en sus últimos años intentó
caracterizar los métodos generales que usa la gente para resolver problemas.
Pólya identificó cuatro etapas en la resolución de problemas:
1. Entender el problema
2. Diseñar un plan
3. Ejecutar el plan
4. Examinar la solución
Un aspecto muy relevante para la resolución de problemas es la posibilidad
de establecer un control o monitoreo permanente de las acciones que se
están realizando, ¿qué estoy haciendo?, ¿me sirve para avanzar en la
solución?, ¿qué otra cosa puedo hacer?, ¿es correcta la solución que obtuve?
Las siguientes preguntas te ayudarán a monitorear cada una de las etapas,
además se expone algunas estrategias que pueden ser aplicadas en cada fase:
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
11 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Estrategias de resolución de problemas
El siguiente es el listado de algunas de las estrategias que se utilizan para
resolver problemas matemáticos:
1. Descomponer el problema en subproblemas.
2. Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al
problema principal.
3. Usar diagramas o dibujos para representar el problema.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
Entender el Problema
Diseñar un Plan
Ejecutar el Plan
Examinar la Solución
¿El problema es similar a otro visto antes?
¿Existe alguna propiedad matemática que sea
útil para este caso?
¿Puedo modificar algún método conocido para
aplicarlo en este caso?
¿Cuál es la incógnita?
¿Cuáles son los datos?
¿Cuáles son las condiciones del problema?
¿Las condiciones permiten determinar la
incógnita?
¿Es correcto cada uno de los pasos usados en
la solución?
¿El plan permite avanzar en la solución del
problema?
Reconocer datos e incógnita.
Representar el problema con
gráficos, diagramas o dibujos.
Pensar en un problema similar.
Simplificar el problema a casos
particulares.
Revisar cada paso.
Evaluar el plan propuesto.
¿Se puede comprobar la solución?
¿Se puede obtener el resultado de otra forma?
¿Se puede emplear el método usado en otro
problema? Resolverlo de otra forma para
comprobar la solución.
12 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
4. Examinar casos especiales para tener una idea del problema.
5. Buscar analogías.
6. Transferir el problema de un dominio a otro, por ejemplo resolver un
problema aritmético representándolo geométricamente.
7. Búsqueda por ensayo y error.
8. Método algebraico.
9. Método gráfico.
Esta lista no pretende, ni puede ser exhaustiva, existen muchas maneras,
algunas muy ingeniosas de resolver un mismo problema. Mostraremos con
ejemplos el funcionamiento de estas estrategias.
Retomamos el problema de la escalera de 100 peldaños.
Problema 2:Supongamos que se construyen escalas usando adoquines, tal
como se muestra en la siguiente figura:
¿Cuántos adoquines se necesitan para una escala de 100 peldaños?
Se discutió antes que el problema era equivalente a encontrar el valor de la
suma
1 2 3 100
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
13 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Solución:
Estrategia 1: Descomponer el problema en subproblemas.
Agrupar en sumas parciales que sean más sencillas de calcular.
Si colocamos los números del 1 al 100 en un arreglo rectangular es posible
buscar sumas parciales que sean más simples de calcular. Por ejemplo,
descomponiendo los números de cada fila en decenas y unidades, el
resultado de cada fila es un múltiplo de 100 más 55:
Estrategia 2:Resolver problemas más simples que sean de algún modo
similar al problema principal.
Calcular la suma hasta un número menor y establecer la analogía con el
problema principal. Por ejemplo, ¿de qué otras maneras podemos sumar
números del 1 al 10?
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
55
100 + 55
200 + 55
300 + 55
400 + 55
500 + 55
600 + 55
700 + 55
800 + 55
900 + 55
4500 + 550 = 5050
10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10
14 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
a) Primera forma: sumando los extremos el resultado es siempre el mismo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 veces 11
. 5 11 55
De la misma forma
1 2 3 98 99 100
50 veces 101
50 101 5050
b) Segunda Forma: Sumando dos veces y dividiendo luego por dos.
1 2 3 98 99 100
100 99 98 3 2 1
101 101 101 101 101 101
100 veces 101
Como esto representa el doble de la suma requerida se divide el resultado
por 2, esto es
100 1015050
2
Estrategia 3:Examinar casos especiales para tener una idea del problema.
Transferir el problema de un dominio a otro.
Representar el problema geométricamente como un cálculo de área.
Consideremos un caso particular, una escalera de 6 peldaños.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
15 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Con dos figuras iguales podemos formar un rectángulo
Con 6 peldaños se tiene un rectángulo de 6 7 , como la escalera es la
mitad, debemos calcular la mitad del área del rectángulo, es decir
6 721
2
Por tanto, con 100 peldaños se tendría un rectángulo de 100 101 y la
cantidad de adoquines de la escalera sería
100 1015050
2
Estos son algunos ejemplos de las estrategias que se pueden usar para
resolver un problema. En su tratamiento las etapas de la resolución de
problemas están implícitas, analicemos en general cómo podrían haber sido
planteadas:
1. Entender el problema:
¿Cuál es la incógnita? El resultado de la suma
¿Cuáles son los datos? Los números del 1 al 100
¿Cuáles son las condiciones del problema? Los adoquines se van sumando del
1 al 100.
Se utiliza el dibujo para comprender el tipo de suma involucrada.
2. Diseñar un plan:
¿El problema es similar a otro visto? Es una suma, pero la forma habitual de
sumar no es práctica en este caso.
¿Existe alguna propiedad matemática que sea útil para este caso?En la suma
de números naturales sucesivos, la suma de los extremos es constante. La
escalera representa la mitad de un rectángulo, por tanto la mitad su área.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
6
7
16 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
3. Ejecutar el plan:
¿El plan permite avanzar en la solución del problema? Las sumas parciales
cumplen cierta regularidad que hace más fácil calcularlas. Sumar los extremos
permite llegar rápidamente al resultado. Visualizar el problema con la ayuda
de la geometría permite cambiar el problema de una suma a un cálculo de
áreas.
4. Examinar la solución:
¿Se puede comprobar la solución? Al resolverlo de más de una forma es
posible comprobar el resultado.
¿Se puede emplear el método en otro problema? En todos los problemas de
sumas sucesivas de números naturales.
En la medida en que se dispone de otros conocimientos matemáticos es
posible ampliar el abanico de métodos de resolución. El siguiente ejemplo
muestra la aplicación de otros métodos, aunque los conocimientos
específicos que se aplican en alguno de ellos aún no es expuesto en este
texto, su tratamiento intenta ser lo suficientemente general de modo de
apreciar su utilidad con las nociones de base de que dispongan.
Problema 3:Se sabe que en una competencia de motos y autos hay 19
conductores y que en total se pueden contar 60 ruedas, ¿cuántas motos y
autos hay?
Solución:
Estrategia 1: Usar diagramas o dibujos para representar el problema.
Dibujar las motos y autos aumentando o disminuyendo la cantidad de
acuerdo al número de conductores y ruedas.
8 motos 16 ruedas
+ 11 autos + 44 ruedas
19 conductores 60 ruedas
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
17 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Estrategia 2: Ensayo y error.
a) Método de conteo: Inicial con cualquier número de motos y autos, por
ejemplo con 10 motos y 9 autos el total de ruedas son
20 36 56
Faltan cuatro ruedas, se comienza a variar el número de motos y autos
hasta coincidir con el total de ruedas.
b) Construir una tabla: Colocar todos los números de motos y autos en
una búsqueda exhaustiva, llevando el registro en una tabla:
Nº motos Nº autos Nº ruedas
19 0 38
18 1 40
17 2 42
16 3 44
15 4 46
14 5 48
13 6 50
12 7 52
11 8 54
10 9 56
9 10 58
8 11 60
Estrategia 3: Método algebraico.
a) Ecuación lineal: Se establece una incógnita y se plantea una ecuación.
Nº de motos: x
Nº de autos: 19 x
Nº de ruedas: 2 4 19x x
Como el número de ruedas tiene que ser 60, igualando la expresión anterior
a 60 se tiene la ecuación
2 4 19 60x x
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
18 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Al resolver la ecuación se tiene
2 4 19 60
2 76 4 60
76 2 60
76 60 2
16 2
8
x x
x x
x
x
x
x
Por tanto, son 8 motos y 11 autos.
b) Sistema de ecuaciones lineales: Asignar letras a ambas incógnitas,
plantear y resolver el sistema de ecuaciones.
Nº de motos: x
Nº de autos: y
Nº de conductores: 19x y
Nº de ruedas: 2 4 60x y
19
2 4 60
x y
x y
Multiplicando la primera ecuación por 2 y sumando ambas ecuaciones se
tiene
2x 2 38
2
y
x
( ) 2 22 11
4 60y y
y
Luego 8x
Por tanto son 8 motos y 11 autos.
Estrategia 3: Método gráfico.
Graficar las ecuaciones del sistema de ecuaciones, el punto de intersección
entre las rectas es la solución.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
19 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
No es necesario que la gráfica se haga “a mano”, podemos ocupar un
software grafico, por ejemplo en Geogebra (http://www.geogebra.org )
En la línea de entrada del software (esquina inferior izquierda) se deben
ingresar las ecuaciones 19x y y 2 4 60x y , el punto de intersección
es , 8,11x y , por tanto hay 8x motos y 11y motos.
Problemas Propuestos
Resuelve los problemas y después describe la estrategia utilizada,
respondiendo las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son
los datos? ¿Cuáles son las condiciones del problema? ¿Cuáles son los
métodos utilizados? ¿Cómo verificaste que la respuesta es correcta?
1. Un piso se diseña colocando mosaicos negros y blancos como se muestra
en la siguiente figura:
¿Cuántos mosaicos blancos se deben colocar en un piso de 100 mosaicos
por lado?
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
20 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
2. ¿Cuál es el valor de la suma de números impares 1 3 5 101 ?
Ayuda: Mira la siguiente figura y descubre la relación que hay entre la suma de impares
y el área de cuadrados:
3. Colocar los números del 1 al 9 en el “cuadrado mágico”, de modo que la
suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las
diagonales:
4 Informe del Doctor Z sobre el planeta Matrespro. “Ya tenemos una
semana en Matrespro, y notamos la presencia de seres extraños.
Tienencomo nosotros 20 dedos distribuidos uniformemente en varias
extremidades, pero tienenuna extremidad menos que nosotros. Es
impactante son horribles.” ¿Cómo son estos seres que tienen tan
impresionado al Doctor Z? ¿Podrán existir?
5. Una obra contrata a 1 trabajador el primer día, dos el segundo, tres el tercero y así continua contratando un trabajador por día, ¿después de cuántos días se han contratado un total de 465 trabajadores? 6. ¿Cuántos cuadrados existen en un tablero de ajedrez?
Ayuda: Comienza con casos particulares y separando el problema,
contando cuadrados de lado 1, 2, 3, etc. Por ejemplo, cuenta cuántos
cuadrados de lado 1, 2 y 3 hay en este tablero y súmalos:
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
21 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
7. Se tiene una jarra de 8 litros de agua, otra de 5 y otra de 3, ¿de qué
manera, utilizando las jarras, se puede obtener 4 litros de agua?
8.Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.000 cada uno, (o
$30.000 en total). Después, el dueño del hotel se da cuenta de que les ha
cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.000. El
ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.000 entre los tres y decide
darles $1.000 a cada viajero y quedarse con los $2.000 restantes. Así el costo
del hospedaje fue de $9.000 por cada viajero, ($27.000 en total). Los
$27.000 pagados por el cuarto más los $2.000 que el ayudante tomó son
$29.000. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.000 originalmente. ¿Qué
pasó con los $1.000 faltantes?
9. Coloca en los círculos los números del 1 al 9 sin repetir de modo que la
suma sea igual a 20:
10. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta rojo. El cubo
pintado se corta en cubos pequeños de 2 cm por lado. ¿Cuántos cubos de 2
cm por lado no tienen pintada ninguna cara?
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN
22 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Aunque se ha visto que es posible resolver los problemas por métodos,
como el ensayo y error, que no requieren un conocimiento matemático
específico, la posibilidades de aplicarlo en todos los casos se va reduciendo
en la medida en que las aplicaciones lo requieren. Se debe profundizar en la
matemática para ampliar el ámbito de problemas que se pueden resolver o
contar con métodos de resolución más eficientes.
Números
La aritmética es la ciencia de los números. La noción de número surgió
inicialmente ante la necesidad práctica de contar, ordenar y medir, lo que
dio origen a los conceptos de número natural y racional. Pero otros tipos de
números, como los irracionales, los números negativos y los complejos,
surgen en ámbitos matemáticos, como abstracciones que toman distancia
de la idea de cantidad, lo que les valió una larga lucha por su legitimidad
como números.
Es necesario entender que los números son esencialmente una abstracción
y que en algunos casos no es posible justificar su funcionamiento a través
de modelos concretos. Es lo que ocurre con los números negativos, ¿por
qué ( ) ( ) ( ) ?, habitualmente se asume el modelo de las deudas y
ganancias para justificar el funcionamiento aditivo de los números enteros,
así ( ) ( ) ( ) porque la suma de dos deudas es también una deuda.
Pero esa interpretación no es aplicable para el caso de la multiplicación, ya
que el producto de dos deudas no puede ser una ganancia, que es lo que se
desprende al aceptar la regla de signos ( ) ( ) ( ) .
Los números negativos, reciben su nombre por el estatus de negación que
tuvieron durante mucho tiempo. La visión de la matemática que
predominaba hasta antes del siglo XIX exigía una relación directa con la
realidad, que no tenían los números negativos, que venían a reflejar
cantidades menores a cero. Sin embargo, los números negativos eran
necesarios para resolver cierto tipo de ecuaciones. Para que los negativos
fueran aceptados como números fue necesario que la matemática se
convirtiera en una ciencia abstracta, que no busca su justificación en el
mundo real.
ARITMÉTICA
23 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Números Naturales
El matemático alemán Leopold Kronecker afirmaba que “Dios creó los
números naturales y el resto lo hizo el hombre”, como una clara
descripción de lo fundamental de los números naturales.
Para formar el conjunto de los números naturales ℕse debe adicionar el 0 a
los números 1, 2, 3,… que utilizamos para contar.
ℕ = {0,1,2,3, … }
De los números naturales se puede decir que:
- Tienen un primer elemento: el 0.
- Todos los números naturales tienen un sucesor: Cada natural n
tiene un sucesor 1n . El 1 actúa como un generador.
- Es un conjunto que no tiene fin.
Por la importancia de base que tienen los números naturales para el resto
de la matemática es necesario invertir un tiempo en revisar algunos
conceptos claves.
Los naturales se pueden separar en pares e impares.
0,2,4,6,....Pares
1,3,5,7,....Impares
Los pares son los múltiplos de 2 y los impares el resto, todos ellos
sucesores de un par. Esto permite representar a los pares de la forma 2n y
a los impares como 2 1n .
Orden:Sean a y b dos números naturales, se dice que a es menor a b ,
esto es a b , si existe otro número natural c tal que
a c b
Por ejemplo, ¿por qué 2 5 ?, porque existe 3 ∈ ℕ tal que 2 3 5 .
ARITMÉTICA
24 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Divisores y Múltiplos:
Sean m y n dos números naturales, se dice que m es divisible por n , 0n ,
si existe otro número natural p tal que
m n p
También se dice que n es divisor de m o que m es múltiplo de n.
Por ejemplo,
¿Por qué 6 es divisible por 3?, porque existe 2 ∈ ℕ tal que 6 3 2 .
Entonces se dice que 3 es divisor de 6 o que 6 es múltiplo de 3.
Propiedad: Todo número tiene al menos dos divisores, el 1 y sí mismo.
Números primos:
Aquellos números, distintos de 1, que tienen como divisores al 1 y a sí
mismo, se denominan números primos.
2,3,5,7,11,13,17,19,23,....Primos
Descomposición en factores primos:
Todo número natural o es primo o se puede escribir como producto de
números primos, lo que se conoce como “descomposición en factores
primos”, que se obtiene dividendo de forma reiterada.
Por ejemplo: descomponer 60 en factores primos.
En la tabla vamos haciendo la división por números primos comenzando
con el 2.
Por tanto, 60 2 2 3 5
ARITMÉTICA
60 2
30 2 15 3 5 5 1
25 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Problema 4:Encontrar dos números enteros positivos cuyo producto sea
un millón y ninguno de los dos números incluya ceros en su representación
Solución:
Aunque puede haber varias formas de resolver este problema, los métodos
que buscan la solución por “tanteo” no resultan muy efectivos. La
aplicación de un conocimiento específico, como lo es la descomposición en
factores primos puede ser de más ayuda. En efecto, al descomponer se
tiene que
Por tanto 1000000 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5
Otras aplicaciones de la descomposición en factores primos
Obtención de divisores: Para obtener todos los divisores de un número,
basta descomponerlo y hacer todas las combinaciones posibles entre
factores, cada una de ellas será un divisor. Por ejemplo, encontrar todos los
divisores de 60:
Por tanto, 60 2 2 3 5
ARITMÉTICA
1000000 2
500000 2
250000 2
125000 2
62500 2
31250 2
15625 5
3125 5
625 5
125 5
25 5
5 5
1
Podemos obtener dos números cuyo producto sea
1000000 separando y multiplicando dos grupos de
factores primos. Para que no aparezcan 10 y por
tanto ceros en su representación, separaremos en
grupos que solo contienen 2 y otro que solo
contiene 5, de esa forma
1000000 64 15625
60 2
30 2 15 3 5 5 1
26 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Los divisores serían:
1
2
3
5
2 2 4
2 3 6
2 5 10
3 5 15
2 2 3 12
2 2 5 20
2 3 5 30
2 2 3 5 60
Simplificación de fracciones: En aritmética las fracciones se pueden
simplificar buscando un divisor en común para el numerador y el
denominador o descomponiendo en factores primos. La ventaja de lo
segundo es que ese método de simplificación es transferible a las fracciones
algebraicas que se verán después. Por ejemplo, simplificar la fracción:
3528
5292
La descomposición en factores primos es
3528 2 2 2 3 3 7 7
5292 2 2 3 3 3 7 7
Luego la fracción es 3528 2 2 2 3 3 7 7
5292 2 2 3 3 3 7 7
los factores iguales se
simplifican obteniendo
3528 2
5292
2 32 3 7 7
2 2 3 3 73 7
2
3
ARITMÉTICA
27 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Estructura algebraica de los naturales
Cuando trabajamos con los números naturales, en realidad involucramos
más que solo el conjunto de números, le asociamos operaciones que nos
permiten trabajar con ellos. En ese sentido, lo relevante es el sistema que
forma el conjunto ℕ y las operaciones definidas en ese conjunto, suma y la
multiplicación, lo que entendemos como el sistema numérico de los
naturales, que se denota por
(ℕ, +,⋅)
¿Qué propiedades cumplen estas operaciones en los naturales? Es una
pregunta de la mayor importancia, ya que son la base sobre la cual se
construye el resto de la matemática. Su comprensión permite reconocer lo
que se puede y no se puede hacer matemáticamente.
Para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ se cumple:
Asociatividad: ( ) ( )a b c a b c
( ) ( )a b c a b c
Conmutatividad: a b b a
a b b a
Elementos neutros: Existe0 ∈ ℕ, tal que 0 0a
Existe1 ∈ ℕ, 1 0 , tal que 1a a
Distributividad: ( )a b c a b a c
La suma y multiplicación son operaciones binarias, la asociatividad expresa
que para sumar tres números se debe asociar de dos en dos cada vez. La
conmutatividad establece que no importa el orden en que se realiza la suma
o multiplicación, el resultado es el mismo. El 0 es el único número natural
que actúa como neutro para la suma, lo mismo para el 1 y la multiplicación.
La distributividad de la multiplicación sobre la suma es la propiedad que
muestra que es posible separar en la suma de productos.
ARITMÉTICA
28 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Prioridad en las operaciones aritméticas y uso de paréntesis
Los paréntesis son recursos del lenguaje matemático que se utilizan para
explicitar el orden en que realizaran las operaciones en una expresión
matemática. Generalmente, los problemas aritméticos no requieren el uso
de paréntesis, el enunciado del problema permite entender el orden en que
se debe realizar las operaciones. A veces nos limitamos a colocar los
resultados parciales de esas operaciones. Por ejemplo:
Problema 5: Jorge piensa un número, le suma 25, divide el resultado entre
2, resta 8 y lo multiplica todo por 3. Si al final obtiene 21, ¿qué número
pensó?
Solución:
Devolviéndonos en el razonamiento la descripción verbal del problema
sería:
Si al final tenía 21
Antes de multiplicar por 3 tenía 7
Antes de restarle 8 tenía 15
Antes de dividir entre 2 tenía 30
Antes de sumar 25 tenía 5.
Como se ve no fue necesario escribir las operaciones ni colocar paréntesis
para definir el orden en que se realizarían. Lo que constituye una forma
habitual de proceder en aritmética.
Sin embargo, la falta aparente de una necesidad real de trabajar con
paréntesis o incluso de escribir las operaciones en los problemas aritméticos
provoca problemas en el cálculo y en el tránsito hacia el álgebra. Si se cree
que los paréntesis o los signos operatorios son solo una convención que
exige el profesor, que en realidad no son necesarias, se puede llegar a
cometer errores, que en aritmética parecen solo de forma, pero que son de
fondo cuando queremos trabajar en álgebra. Por ejemplo, es habitual que el
problema anterior sea escrito de la siguiente forma
21:3 7 8 15 2 30 25 5
ARITMÉTICA
29 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
El error está en que ninguna de las partes entre los signos = son realmente
iguales. Es un uso incorrecto del signo igual. El = no es un signo para
expresar “aquí está el resultado”, es una relación de equivalencia, debe
cumplirse que ambas partes sean iguales. Esto es fundamental para
entender luego como resolver ecuaciones.
Problema 6: Construye los dígitos del 0 al 9 utilizando sólo cuatro veces el
número 4. Solo puede ocupar las 4 operaciones aritméticas básicas.
Considera los siguientes ejemplos:
0 4 4 4 4
4 41
4 4
Solución:
Dejaremos la tarea de resolver completo el problema y nos acotaremos a
mostrar los errores cometidos al no usar los paréntesis.
Supongamos que queremos formar el número 6, sumando dos veces el 4,
dividiendo luego por 4 y finalmente sumado otro 4. ¿La respuesta correcta
será entonces 4 4: 4 4 ?
Al no tener paréntesis la pregunta es en qué orden se resuelve la expresión
aritmética, ¿en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha o hay una
prioridad que respetar?
Si colocamos esta expresión en la calculadora científica el resultado será 9,
significa que no es en el orden en que se muestran, hay una prioridad.
Prioridad de las operaciones aritméticas
1ºParéntesis: Se resuelven de adentro hacia fuera.
2º Multiplicación y divisiones: De izquierda a derecha. Si solo se trata de
multiplicaciones, por asociatividad y conmutatividad, la multiplicación se
realiza en cualquier orden.
ARITMÉTICA
30 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
.
3º Sumas y restas:De izquierda a derecha. Si solo se trata de sumas, por
asociatividad y conmutatividad, la suma se realiza en cualquier orden.
Por ejemplo:
a) 4 4: 4 4
4 1 4
9
b) 5 2 1 6: 2 1 8: 2 2
5 2 1 6 :3 4 2
5 2 1 2 8
5 2 3 8
5 6 8
11 8
3
Volviendo al problema de los cuatro 4, el objetivo era formar el 6. Se
requiere usar paréntesis. En efecto
4 4 : 4 4 6
Ejercicios y Problemas Propuestos:
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) 2 6:2 3 6 2:3 1
b) 6 2 4 4 : 2 7
c) 2 2 2 2 2 2: 2
d) 1 2 2 1 2 2 2: 2 2
ARITMÉTICA
31 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
2. Coloca los paréntesis donde corresponda para que las siguientes
expresiones tengan los resultados que se indican. Usa los paréntesis
estrictamente necesarios:
a) 2 5 1 12
b) 6 2 1 4: 2 7
c) 12:3 2 2 1
d) 16:4 4 16:4 2 12
3. A un recepcionista bilingüe, se le paga $6000 por hora, al trabajar 15
horas a la semana. Si trabaja más de 15 horas, cada hora extra se paga al
valor normal más la mitad. ¿Cuántas horas debe trabajar para ganar
$135.000 durante una semana?
4. ¿Cuáles son todos los divisores de 126? Usa descomposición factores
primos.
5. Se debe llenar una bidón de 72 litros, ¿qué medidas puede tener el jarro
que lo llena de forma exacta?
6. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las páginas
donde se abrió es 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se
abrió el libro?
7. ¿Cuáles son las últimas tres cifras de 1234567895 ?
8. ¿Cuál es la última cifra de 5877 ?
Ayuda: Comienza con casos más simples y descubre la regularidad
9. En una bandeja hay el doble de pastelillos que en otra. Si se extraen 7
pastelillos de la primera y se depositan en la segunda bandeja, en ambas
queda el mismo número de pasteles (así la presentación al publico es más
ordenada) ¿Cuántas pastelillos tenía al principio cada bandeja?
10. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la
siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas
equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo
15 malas y 9 omitidas?
ARITMÉTICA
32 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Números Enteros
Si al conjunto de los números naturales adicionamos los números negativos
obtenemos el conjunto de los números enteros:
ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … }
Los números negativos aparecen por primera vez en la India, siglos VI d.C
y se empleaban para necesidades contables, mientras los positivos
representaban los bienes, los negativos representaban las deudas. Sin
embargo, el camino para su aceptación como números fue largo. En un
mundo en que los números estaban estrechamente relacionados con la
magnitud se cuestionaba la existencia de una medida que fuera menos que
0.
En realidad los números enteros, a diferencia de los naturales, no solo
expresan medida, además establecen un sentido respecto de un punto de
referencia. Ese punto es el cero. El cero no representa la ausencia de
cantidad, así como tampoco se podría asociar el 0 en grados Celsius con
ausencia de temperatura, que solo es el valor donde el agua se congela. De
ese modo – 5 y el 5 indican, en ambos casos, que hay 5grados Celsius, una
medida, pero en sentidos opuestos, por debajo y por encima del punto de
congelación.
Decir que un número negativo es el que está a la izquierda del cero no es
completamente exacto, lo es solo para la representación clásica de la recta
numérica, que sin embargo, no es más que eso, una entre muchas
representaciones posibles. Por ejemplo, si tomáramos el modelo de las
temperaturas, los negativos no estarían a la izquierda sino por debajo del
cero. Lo cierto es que no se puede definir en esos términos ni justificar sus
propiedades con la interpretación gráfica.
Lo que realmente importa en los enteros es que para todo número 𝑎 ∈ ℤ
existe un único número (−𝑎) ∈ ℤ tal que
0a a
Se dice que a es el opuesto o inverso aditivo de a .
ARITMÉTICA
33 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Un número entero tiene por tanto, magnitud, dada por el valor absoluto y
sentido, dado por el signo. El número 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo
positivo, mientras que el – 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo negativo.
Como se ve, ambos números tienen la misma magnitud, pero en sentidos
opuestos:
Los números enteros deben cumplir las mismas propiedades que los
naturales, además de la propiedad del inverso aditivo. El sistema numérico
de los enteros (ℤ, +,∙) tiene la siguiente estructura:
Asociatividad
Conmutatividad
Elementos neutros
Distributividad
Inverso aditivo
Como consecuencia de estas propiedades básicas, se obtiene algunas cosas
conocidas, por ejemplo que 0 0a . Además, es posible definir la resta
como una suma, esto es:
a b a b
Es decir, la resta de dos enteros es la suma del primer término por el
inverso aditivo del segundo.
Por ejemplo,
a) 3 5 3 5
b) 2 6 2 6
ARITMÉTICA
34 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
No es necesario por tanto definir una regla de signos para la resta, basta la
de la suma. La regla de signos para la suma y la multiplicación se pueden
justificar con las propiedades descritas anteriormente. No es necesario
recurrir a metáforas como la de “los amigos y enemigos”, que además de
ocultar la matemática involucrada, no es cierta, ¿quién puede asegurar que
el enemigo de mi enemigo es mi amigo?
Regla de la adición
Para explicar esta regla conviene utilizar un modelo concreto, supongamos
que los números positivos están representados por fichas azules y los
negativos por fichas rojas. Por la propiedad del inverso aditivo, debe ocurrir
que igual número de fichas azules y rojas se anulen entre sí, esto es
0a a . Veamos que pasa al sumar números enteros de igual signo:
3 2 5 + =
3 2 5 + =
Para la suma de enteros de igual signo se suman los valores absolutos y se
mantiene el signo.
Ahora veamos lo que sucede al sumar enteros de distinto signo:
5 2 + =
5 3 + =
La suma de enteros de distinto signo implica la resta de los valores
absolutos, manteniendo el signo del mayor. Más allá de aprenderse esta
regla de memoria basta aplicar las propiedades, descomponiendo el número
para que aparezca el inverso aditivo, esto es
5 + (−2) = 3 + 2 + (−2) = 3
−5 + 3 = −2 + (−3) + 3 = −2
ARITMÉTICA
35 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Regla de la multiplicación
La regla de signos de la multiplicación es
El producto de signos iguales es positivo y el producto de signos distintos es
negativo.
Aceptamos como obvia la regla . A partir de ello justificaremos
el resto, evidenciando la contradicción matemática que implicaría no aceptarlas
como ciertas, utilizaremos algunos ejemplos.
Supongamos que no es , esto es suponer que , por
tanto 2 3 6 , si aplicamos esto en la siguiente expresión tendríamos
2 3 3 2 3 2 3 6 6 12
Pero la misma expresión puede ser resuelta de esta otra forma
2 3 3 2 0 0
Esto implica que 12 0 , una contradicción evidente. Por tanto, como esto un
puede ocurrir, no queda más que aceptar que .
Del mismo modo se puede negar que y llegar a una
contradicción similar, que obligaría aceptarla como cierta.
ARITMÉTICA
36 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Orden en ℤ
¿Por qué 6 2 ?
El argumento que señala que 6 2 porque 6 está a la izquierda
de 2 no es suficiente, ya que se sustentan en la representación arbitraria
de la recta. Tampoco es correcto justificarlo diciendo que 6 está más
lejos del cero que 2 , ya que el 8 está aún más lejos del cero y no es
menor que 2 . Todas estas interpretaciones no tienen base matemática.
Para afirmar que 6 2 hay que recordar que para los naturales se
decía que a b , si existe otro número natural c tal que a c b . Si
extendemos esta definición a los números enteros tendríamos que
Si𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, entonces: a b , si y solo si existe 𝑐 ∈ ℤ tal que a c b
Ahora sí, ¿Por qué 6 2 ?
Porque existe 4 ∈ ℤ tal que 6 4 2
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Calcule:
a) 7 2
b) 9 3
c) 6 3
d) 2 5
e) 2 5
f) 1087532
g) 1 1 1 1 1
ARITMÉTICA
37 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
h) 9634523
i) 35 5 14 60:15 16: 4 3 29 7
2. Un avión sube a 5800 metros sobre el nivel del mar, baja 1200 metros y
luego vuelve a subir 580 metros. Si para aterrizar debe descender otros
4900 metros, ¿a qué altura sobre el nivel del mar aterrizó el avión?
3. Un clavadista olímpico se lanzó verticalmente desde una plataforma de
12 metros de altura. Al tocar el fondo de la piscina había recorrido 18
metros. ¿Qué profundidad tiene la piscina?
4. Un emperador nació el año -x a.C y murió el año y -23 a.C, ¿cuál es la
expresión que representa la cantidad de años que vivió? Escoja una
alternativa y justifique matemáticamente:
a) 23-x b) x-23 c) –x-23 d) -23+x
5. Si el antecesor de x es – 4 y el sucesor de y es 0, ¿cuál es el sucesor de
y x ?
6. Rellena las casillas en blanco con números enteros, de modo que la suma
de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las
diagonales:
7. Justifica matemáticamente:
a) ¿Por qué 4 1 ?
b) ¿Por qué 4 9 ?
c) ¿Por qué 4 1 ?
d) ¿Por qué ?
–4 4
1
0
ARITMÉTICA
38 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Números Racionales
Fracciones
Los números naturales son abstracciones que permiten contar colecciones
finitas de objetos. Pero en lo cotidiano no basta solo con contar, también se
necesita medir cantidades, tales como peso, tiempo, distancia, longitud,
área, volumen, etc.
Cuando una cantidad no se puede medir “exactamente” con la unidad de
medida utilizada (metro, minutos, kilogramos, litros, según sea el caso), se
subdivide la unidad original en n partes iguales, cada una de las partes se
denota por
1
n
De ese modo es común subdividir el metro en 100 partes iguales
denominadas centímetros o el minuto en 60 partes iguales llamadas
segundos. Si una cantidad dada contiene exactamente m de estas
subunidades, su medida se denota con la fracción
m
n
Donde m es el numerador y n es el denominador.
Problema 7:Encontrar la medida de la longitud de un tornillo, usando
como unidad de medida la pulgada.
ARITMÉTICA
39 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Solución:
Habitualmente se utilizan fracciones para expresar la medida de los
tornillos. Para medir el largo se divide la pulgada en partes iguales (2, 4, 8,
16 o 32 partes).
En este caso se hace una subdivisión en 8 partes, de las que el tornillo
alcanza a cubrir exactamente 5, se dice por tanto que la medida del tornillo
es 5/8 de pulgada.
Los significados de las fracciones
Las fracciones pueden adquirir distintos significados, de acuerdo al
fenómeno que estén caracterizando. Ampliar este conocimiento permite
identificar el significado que se le debe asignar a las fracciones en un
determinado problema y tratarlas adecuadamente. Revisaremos algunos de
esos significados:
1. Fracción como parte de un todo
Un “todo” se divide en partes iguales
m
n
a) Parte todo continuo:
El todo continuo tiene relación con objetos o situaciones de medición
(área, volumen, longitud, tiempo etc. El todo acepta las subdivisiones que
se deseen.
Longitud Área Volumen
Las partes deben tener la misma medida (longitud, área, volumen, etc.)
ARITMÉTICA
Numerador: partes que se están considerando
Denominador: partes en que dividió el “todo”
considerando
1
3
3
4 2
5 1
4
40 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
b) Parte todo discreto:
El todo discreto está asociado a situaciones de conteo. El todo
corresponde a un conjunto de elementos, de los cuales se consideran o
seleccionan un subconjunto de ellos.
Fracción de círculos rojos
2. La fracción como operador En este caso la fracción actúa sobre un número o magnitud,
multiplicándose con ella.
Por ejemplo, Se pintan 5
8 de una pared de 32 mt2.
5
8de 32 es equivalente a
532 20
8
Otro ejemplo, se calcula que en una reducción de personal de una empresa
se despedirá a 2
7 de los empleados, de los cuales
5
8son hombres. Si en la
empresa trabajaban 168 empleados, ¿cuántos hombres serán despedidos?
Se debe calcular 5
8 de
2
7 de 168, esto es,
5 2168 30
8 7
3. La fracción como razón La fracción puede representar la comparación entre dos cantidades.
Por ejemplo, la fracción 2
9 puede representar la razón entre artículos
defectuosos y artículos buenos.
ARITMÉTICA
3
7
41 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
4. La fracción como resultado de una división Este significado está relacionado con la fracción que expresa el resultado de la división de dos números naturales o en un contexto concreto situaciones de reparto equitativo. Por ejemplo, si se quiere repartir 3 cervezas entre 5 amigos, la parte que le
toca a cada uno es 3
5.
Problema 8:El control de calidad revisa 1/4 de los artículos de una línea de
producción en el primer turno y la mitad del resto en el segundo turno. Si
en total se revisaron 400 artículos, ¿cuántos quedaron sin revisar?
Solución:
Procedimiento 1: Uso del significado de parte todo continuo de las
fracciones.
Supongamos que el total de artículos de la línea de producción está
representado por un rectángulo
En el primer turno se revisa 1
4
En el segundo turno se revisa 1
2 del resto. El resto son tres partes, que
podemos volver a subdividir en 6 para tomar la mitad de ellas, es decir 3 de
esas partes
ARITMÉTICA
42 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Se observa que la cantidad de artículos revisados corresponde a 5
8 del total
Como los 5
8 corresponden a 400 artículos, cada parte son 80 artículos.
Por tanto, quedan 3 80 240 artículos sin revisar.
Procedimiento 2: Uso del significado fracción como operador.
Nº total de artículos: x
Primer turno se revisa: 1
4
Quedan 3
4
Segundo turno se revisa la mitad de lo que queda: 1 3 3
2 4 8
Se revisan en total: 1 3 5
4 8 8
5
8del total corresponden a 400, se plantea la ecuación
5400
8x
Resolviendo la ecuación se tiene que el total de artículos es
5400
8
400 8
5
640
x
x
x
ARITMÉTICA
43 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Por tanto, la cantidad de artículos sin revisar es
640 400 240
Fraccionesequivalentes
Se dice que las fracciones a
b y
c
d son equivalentes si y solo si a c b d .
Por ejemplo:
2
3 y
6
9 son equivalentes porque 2 9 3 6
Se pueden obtener fracciones equivalentes amplificando o simplificando:
Amplificar: Multiplicar numerador y denominador por un mismo número
2
2
3 3 6
5 5 10
fracción equivalente, amplificando por 2.
Simplificar: Dividir numerador y denominador por un mismo número
: 3
: 3
12 12 4
15 15 5 fracción equivalente, simplificando por 3.
Para trabajar con las fracciones, muchas veces es conveniente trabajar con
la fracción equivalente más simple. Las fracciones que no se pueden
simplificar reciben el nombre de fracciones irreductibles.
Por ejemplo, determinaremos la fracción irreductible de 36
24.
: 3 : 2 : 2
: 3 : 2 : 2
36 12 6 3
24 8 4 2
ARITMÉTICA
ARITMÉTICA
44 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Fracciones propias e impropias
Las fracciones que representan una parte de la unidad se denominan
propias, mientras que las que representan a un entero más una parte de la
unidad se denominan fracciones impropias.
3 2 7, ,
4 5 8 son fracciones propias (numerador menor que el denominador)
7 9 14, ,
5 4 3 son fracciones impropias (numerador mayor que el
denominador)
Las fracciones impropias siempre pueden ser escritas como la suma de
un entero más una fracción propia, a través del algoritmo de la división.
Por ejemplo:
14 4:32
214
3 34
Las fracciones impropias describen lo que se conoce como números
mixtos, números que son la suma de un entero más una fracción propia,
cuya notación es
14 2 24
3 3 34
Un error usual es pensar que entre el entero y la fracción del número
mixto hay una multiplicación, hay que tener presente que se trata de una
suma, la multiplicación es solo una parte del procedimiento involucrado
al transformar de número mixto a fracción, que justificaremos más
adelante.
5 5 263
7 7 73
+
ARITMÉTICA
45 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Sistema de los números racionales
Más allá de los significados concretos de las fracciones y su utilidad en el
proceso de medir, a
b representa a un tipo de número, denominado número
racional.
Estos números están formados por la razón entre dos enteros a y b, con
0b , que se denotan por
ℚ = {𝑎
𝑏: 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0}
El uso de la palabra número, que originalmente solo hacía referencia a los
números naturales, se justifica en los otros conjuntos numéricos porque
siguen cumpliendo las mismas propiedades para la suma y la multiplicación
de los naturales. El sistema (ℚ, +,∙)cumple:
En el sistema de los racionales se agrega la propiedad del inverso
multiplicativo, esto es:
Para todo 𝑎 ∈ ℚ, con 0a , existe un número 𝑎−1 =1
𝑎∈ ℚ, tal que:
1 1a a o lo que es lo mismo 1
1aa
Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 2 es 1 12
2
, ya que
1 12 2 2 1
2
ARITMÉTICA
46 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Nótese que el 0 no tiene inverso multiplicativo, esto es no existe 1 10
0
.
El inverso multiplicativo de una fraccióna
b es
b
a, en efecto
1
1a a a b ab
b b b a ab
A partir del inverso multiplicativo es posible definir la división, como el producto de un número por el inverso multiplicativo del otro.
Definición: Se dice que a está dividió por b, con 0b , cuya notación es a
b
o :a b si
1aa b
b
Nuevamente, es necesario mencionar que al no existir el inverso
multiplicativo de 0, tampoco se puede dividir por 0.
Por la frecuencia con que se presenta los errores de la división por cero,
nos detendremos un instante en ello.
¿Cuál es la diferencia entre estas expresiones? 0
2,
2
0y
0
0
Se ha dicho que no está definida la división por cero, sin embargo existe
una diferencia en estas expresiones que podemos comentar. Supongamos
que tratamos cada una de estas divisiones con su problema equivalente de
multiplicación, esto es
a) 0
2x implica 0 2 x , que tiene como solución a 0x , luego
00
2
Concluimos que 0 dividido por un número distinto de cero es igual a 0.
ARITMÉTICA
47 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
b) 2
0x implica 2 0 x , pero todo número multiplicado por 0 es 0, por
tanto no existe un número x que cumpla esta condición. Más aún si
existiera, al multiplicar tendríamos que 2 0 , un absurdo que contradice
las nociones básicas de la aritmética, para evitarlo se dice que 2
0 es
indefinido.
c) 0
0x implica 0 0 x , en este caso x puede ser cualquier número, todos
ellos multiplicados por cero dan cero. Pero si aceptáramos esto tendríamos
que 0
0 1 2 3 ....0 , es decir que todos los números son iguales entre
sí, otro absurdo que no se puede permitir. Se dice que dividir cero por cero
es indeterminado.
Operatoria de fracciones
1. Adición y sustracción
Formalmente se definen por
a c ad bc
b d bd
La idea fundamental de la suma de fracciones es obtener fracciones
equivalentes de igual denominador. El denominador común puede ser el
MCM de los denominadores.
Ejemplo: Calcular 2 5 1
3 4 6
(3,4,6) 12MCM , por tanto
4 3 2
4 3 2
2 5 1 2 5 1 8 15 2 21
3 4 6 3 4 6 12 12 12 12
ARITMÉTICA
48 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
2. Multiplicación
a c ac
b d bd
Ejemplo: Calcular 6 2
7 5
6 2 6 2 12
7 5 7 5 35
3. División
:a c a d ad
b d b c bc
En la división se aplica la definición, esto es la división de dos fracciones es
el producto de la primera por el inverso multiplicativo de la segunda.
Ejemplo: Calcular 3 2
:4 5
3 2 3 5 15:
4 5 4 2 8
Estrategias de cálculo para fracciones
Revisemos algunos casos, que por la frecuencia que aparecen, ameritan
revisar procedimientos inmediatos de cálculo.
1. Suma de entero y fracción
Si consideramos al entero como una fracción con denominador 1,
amplificando y sumando se tiene
5 1
5 1
3 2 3 2 3 2 5 3 132
5 1 5 1 5 5 5
Si observamos bien el penúltimo paso, lo que ocurre al sumar un entero
con una fracción se puede describir como
ARITMÉTICA
49 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
3 132
5 5
De igual forma es posible justificar que
5 163
7 7
2. Simplificar antes de multiplicar
En ocasiones puede resultar más útil simplificar antes de multiplicar
fracciones, Por las propiedades de los racionales esa simplificación se puede
hacer entre cualquier numerador y denominador, siempre que se trate de
una multiplicación entre fracciones. Por ejemplo:
48 28 48
35 60
4
355
28
4
605
16
25
El 48 y 60 se simplificaron por 12, mientras que el 28 y el 35 se
simplificaron por 7.
3. Fracciones de fracciones
3
3 5 3 7 214 :5 4 7 4 5 20
7
Si se observa el penúltimo paso en el desarrollo se concluye que en las
fracciones de fracciones el resultado será siempre el producto de los
extremos partido por el producto de los medios.
ARITMÉTICA
+
•
–
•
•
50 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Lo mismo puede servir para el caso de un entero dividido por una fracción
o viceversa. Transformando el entero en una fracción de denominador 1 el
tratamiento es idéntico al anterior. Por ejemplo
a)
2
2 1817 7 7
9 9
b)
2 2
27 799 63
1
Problema 9: Calcular el resultado de la siguiente expresión
1 1 1 1 11 1 1 1 1
2 3 4 5 101
Solución:
Aplicando la suma de enteros y fracción se tiene
1 1 1 1 11 1 1 1 1
2 3 4 5 101
3 4 5 6 102
2 3 4 5 101
Se trata de un producto de 100 fracciones, claramente la idea no es
multiplicarlos de la forma usual, es mejor simplificar antes de multiplicar.
Como cada numerador es igual al denominador de la fracción siguiente, la
simplificación más conveniente será:
3 4
2
3
5
4
6
5
102
101
10251
2
ARITMÉTICA
51 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Problema 10: El matemático Leonhard Euler (1707-1783) desarrolló un
procedimiento de aproximación de un número irracional a través de
fracciones continuas. Para aproximar 2 se usa la fracción continua
Encontrar una aproximación de 2 desarrollando hasta el tercer 2 de la
fracción continua.
Solución:
Hay que calcular 1
2 11
21
22
Aplicando sucesivamente los procedimientos vistos para la suma de entero
y fracción y fracciones de fracciones se tiene
1
1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 11 1 1 2 12 12
2 2 21 5 1 5 5 522
52 2
2
5 171
12 12
Por tanto una aproximación racional de la raíz de 2 es 17
12.
ARITMÉTICA
52 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Determina el valor de las siguientes expresiones:
a) 3 1 5
2 6 12
b) 2 1 7 11
5 12 15 60
c) 1 2 1 2 1 3 5
:2 3 4 5 2 5 6
d) 1 1
2 13 6
e)
21
32
9
4
f) 2
11
23
g)
11
2
33
11
2
h) 15 10 21
28 75 12
i) 48 40 20
:32 27 36
2. Un pastel cuenta con 6 niveles, para confeccionar cada piso se requiere la
una cantidada igual a tres cuartos de la que se ocupó en el piso anterior. Si
en el primer piso se utilizó 8 kilos de masa.
Responde lo siguiente:
a) ¿Qué fracción de la masa utilizada en el primer
piso, se utilizó en el segundo piso? ¿A qué cantidad
de masa corresponde ?
ARITMÉTICA
53 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
b) ¿Qué fracción de la masa utilizada en el primer piso, se utilizó en el
cuarto piso? ¿A qué cantidad de masa corresponde ?
3. Completa el cuadrado mágico, de modo que la suma de las filas sea igual
a la suma de las columnas e igual a la suma de las diagonales:
4. La fracción de la meta de turistas atendidos en una región por un
operador de turismo es:
Ordena a las agencias (operarios) de menor a mayor según su capacidad de
atención. (Ayuda: amplifica las fracciones para igualar denominadores)
5. Una pelota se deja caer de tal forma que cada nuevo rebote alcanza una
altura equivalente a los 2/5 de la altura anterior. ¿Qué altura alcanza al
cuarto rebote si después del primer rebote alcanza una altura de 125 cm?
6. El conductor de una Van llenó el estanque de su vehículo para iniciar un
tour por las bodegas de Mendoza. Después de recorrer los 5
11 del trayecto (
en kilómetros), se da cuenta que ha consumido los 2
5 de la gasolina ( en
litros) que cabe en el estanque. Si al final del recorrido le sobran 6 litros,
¿cuál es la capacidad del estanque de la Van?, ¿qué distancia se recorrió en
el tour?
7. Debes ayudar a un cliente que tiene su auto en el estacionamiento del
hotel, el no logra explicarte la medida de la llave que necesita para aflojara
una tuerca. Para ayudarlo utilizas una llave de 1
2 pulgada que le queda
ARITMÉTICA
54 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
chica, luego decides utilizar una llave de 3
4 pulgada que le queda grande,
entonces, te das cuenta que la medida justa es la que queda en la mitad de
las dos llaves anteriores. ¿De cuántas pulgadas es la llave que necesita tu
cliente?
8. Una cadena hotelera, tiene convenio tres operadores de turismo. La
mitad de los pasajeros que llegan al hotel son por intermedio del operador
A, mientras que de los operadores B y C provienen un cuarto delos
pasajeros en cada caso. El área de administración observó que durante este
año recibieron 3.000 pasajeros, pero perdieron los registros de estos y se
necesita saber cuantos provienen de américa del norte, las agencias de
turismo entregaron la información siguiente, la fracción de norteamericanos
que llegaron de los aoperadores A, B y C, respectivamente son 1
20 ,
1
10𝑦
3
25,
¿Cuál es la cantidad de norteamericamos que fueron pasajeros del hotel
provenientes de cada uno de los operadores? ¿Cuantós turistas
norteamericamos albergó el hotel?
9. Si el número irracional 3 se aproxima con la fracción continua
Calcule su valor aproximado hasta el 2 de la tercera fila.
10. En un restaurant se trabaja desde las 14:00 hasta las 02:00. El proceso
para maximizar la producción es el siguiente:
1
3 del tiempo se destina cocinar las bases de los platos más pedidos.
1
4 de la jornada para limpiar y ordenar el mobiliario del restaurant.
1
2 del tiempo que se ocupa en cocinar las bases, se ocupa en la elaboración
de productos que los clientes van consumiendo.
1
3 del tiempo está destinado a limpiar y ordenar queda destinado a la
atención de clientes.
1
2 del tiempo es utilizado para la limpieza se utiliza en alimentacón de
personal. El resto del tiempo se dedica a descansos. ¿Cuánto tiempo se
ocupa en cada actividad?
ARITMÉTICA
55 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Magnitud y medida
La magnitud de un objeto es su característica medible (longitud, peso,
tiempo, velocidad, área, volumen, etc.), que puede ser expresada
cuantitativamente.
El proceso de medir consiste en seleccionar una unidad de medida, cubrir el
objeto con unidades y contar el número de unidades que se utilizaron, este
número corresponde a la medida de la magnitud involucrada.
Problema 11: Medir la longitud del siguiente tornillo:
Solución:
Debemos elegir nuestra unidad de medida. Supongamos que la unidad es el
centímetro (cm).
La medida de la longitud del tornillo es de 2,9 cm.
Muchas veces la elección de la unidad de medida puede ser arbitraria.
Supongamos que adoptamos la pulgada como unidad.
La longitud del tornillo tiene una medida de 18
1
pulgada.
MEDIDA
56 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
A b h
Unidades de medida
Magnitudes Geométricas
Generalmente la medida de magnitudes geométricas (perímetro, área y
volumen), se obtienen a partir de fórmulas dadas. Pero, ¿quién puede
recordar tanta fórmula? Lo que proponemos aquí es revisar la manera en
que se obtienen dichas fórmulas, para que estas tengan sentido y puedan
ser reproducidas en otros momentos. La idea fundamental de estos
procedimientos es “recortar la figura” y reordenar formando otra que
tengan medida conocida.
Consideremos la fórmula del área de un rectángulo, igual a la base por la
altura, elegidas arbitrariamente:
Área de un paralelogramo:
A partir de esta fórmula es posible determinar el área de cualquier
paralelogramo, en efecto basta separar las partes y formar un rectángulo de
igual base y altura. El área de un paralelogramo es base por altura:
A b h
MEDIDA
b
h
b
b
h
b
b
h
b
57 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
e
f /2
e
f
Área de un triángulo:
Un triángulo es siempre la mitad de un paralelogramo, por tanto es la mitad de
su área, la mitad de la base por la altura:
Área de un rombo:
Consideremos un rombo cualquiera, donde sus diagonales miden e y f. Las
diagonales del rombo, lo dividen de manera natural en cuatro triángulos
rectángulos, cada uno de ellos con catetos y , si se reordenan podemos
formar un rectángulo de lados e y :
Por tanto, el área del rombo es igual al área del rectángulo de base e y altura
, esto es o, lo que es lo mismo:
2
b hA
2
e
2
f
2
f
2
f
2
eA f
2
e fA
MEDIDA
b
h
b b
h
b
58 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Área de un círculo:
Antes que todo, si suponemos que un círculo puede ser visto como un
polígono regular con “infinitos” lados, esto nos permitirá de manera natural
dividirlo en “infinitas” partes, cada una de estas parecida a un triángulo
isósceles (de los cuales conocemos su área). Este proceso es similar a dividir
una torta o una pizza en “infinitos” trozos.
En la siguiente figura podemos observar la situación antes descrita, pero con
un número finito de divisiones:
Luego, si la mitad superior de las partes obtenidas al dividir el círculo se
disponen posteriormente hacia abajo, y la mitad inferior se dispone hacia
arriba, se aprecia que estas encajan a la perfección formando una nueva figira
de forma un paralelogramo.
Si el círculo tiene radio 𝑟, la mitad inferior y superior miden 𝜋𝑟 cada una. El
paralelógramo resultante tiene por ancho la medida de la mitad inferior (o
superior) del círculo, es decir 𝜋𝑟, la altura de este coincide con el radio del
círculo, es decir 𝑟, posteriormente si el área de un paralelógramo es el
producto de la base por la altura, obtenemos:
𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = (𝑏𝑎𝑠𝑒) ∙ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)
= 𝑏 ∙ ℎ
MEDIDA
59 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Pero 𝑏 = 𝜋𝑟 y ℎ = 𝑟, por tanto 𝐴 = ( 𝜋𝑟) ∙ (𝑟), esto es
𝐴 = 𝜋 𝑟2
Volumen de un prisma y de un cilindro circular recto:
Para encontrar el volumen de estos cuerpos podemos imaginarnos lque a
formación de estos sólidos ocurre por la superposición de “infinitas”
superficies de una cierta área (un polígono regular para el prisma y un
círculo para el cilindro).
Hay que determinar entonces el área de la siperficie basal y luego
multiplicarla por la altura del sólido, observemos la siguiente figura:
Para el caso del prisma designaremos por la letra 𝐵 al área de la superficie
basal y por ℎ su altura, luego el volumen de un prisma estará dado por:
𝑉 = 𝐵 ∙ ℎ
En el caso del cilindro, si su radio es 𝑟, el área basal es el del cículo 𝜋 ∙ 𝑟2,
por tanto el volumen del cilíndro es:
𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ ℎ
2r
h
MEDIDA
Prisma:
Cuerpo geométrico limitado
por tres o más caras laterales
que son paralelogramos y
dos caras basales que son
polígonos congruentes:
Cilindro:
Cuerpo redondo cuyas caras
basales son círculos
congruentes:
r: radio
h: altura
Cara
lateral
Cara basal
Arista
Vértice
60 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Volumen de una pirámide y de un cono:
Este problema será resuelto empleando una estrategia un poco diferente
a las anteriores, en este caso a partir de un volumen conocido, lo
dividiremos adecuadamente para obtener el volumen buscado. El
volumen conocido será el de un prisma cuya área basal es B y de altura
h y por tanto con volumen
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐵 ∙ ℎ
Imaginemos que la pirámide ha sido inscrita en el prisma, haciendo coincidir
sus bases, y cuyo vértice también coincide con un vértice del prisma, tal como
se muestra en la siguiente figura:
Observamos en la figura, que el prisma se ha dividido en tres pirámides que
tienen igual base y misma altura. Por tanto el volumen de cada una de estas
pirámides es un tercio del volumen del prisma, esto es:
𝑉𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 =1
3∙ 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎
Luego la fórmula para el volumen de la pirámide de área basal B y altura hes:
𝑉𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 =1
3∙ 𝐵 ∙ ℎ
MEDIDA
B
h
Pirámide:
Cuerpo geométrico que tiene
una base poligonal y sus
caras laterales son triángulos
que concurren en un punto
denominado vértice o
cúspide:
Cono:
Cuerpo redondo que tiene
una base circular y un vértice
o cúspide:
r: radio
h: altura
61 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Para determinar el volumen del cono, imaginemos que es una pirámide que
está compuesta por “infinitos” caras laterales, como sugiere la siguiente
figura:
Por tanto, el volumen del cono tiene la misma fórmula de la pirámide, esto es
𝑉𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 =1
3∙ 𝐵 ∙ ℎ
Pero en el caso del cono, la base es un círculo de área igual a , por tanto
el volumen de un cono de radio r y altura h es:
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑜 =1
3∙
Problema 12: Calcular la cantidad aproximada de alambre que se necesita
para construir un cubo en que el área de una cara es 20 cm2.
Solución:
1º Entendiendo el problema:
Una de sus caras tiene una superficie de 20 cm2, como se muestra en el
dibujo:
2r
2r h
20 cm2
MEDIDA
MEDIDA
62 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Deseamos calcular la suma de las medidas de las aristas del cubo, con esto
sabremos cuánto alambre necesitamos en la construcción del cubo deseado.
2º Diseñando un plan o estrategia de resolución:
Al determinar la cantidad de alambre del cubo, se esta haciendo referencia a
la arista del cubo. Como la información entregada en el enunciado hace
referencia al área de una de las caras, se utilizará la fórmula de área de un
cuadrado para calcular la medida de la arista y luego se multiplicará por el
total dearistas del cubo.
3º Ejecutamos el plan o resolvemos el problema:
Sea 𝑥 la medida de una arista del cubo
Sabemos que el área de un cuadrado se calcula multiplicando la medida de
sus lados, luego:
20 = 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥2
Extrayendo raiz cuadrada:
√20 = √𝑥2 = 𝑥
Con 𝑥 > 0, luego:
√20 = 𝑥
Simplificando la raiz cuadrada:
20 cm2
X
X
X
X
MEDIDA
MEDIDA
63 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
√20 = √4 ∙ 5 = 2√5
Se obtiene que:
𝑥 = 2√5
Por lo tanto, la longitud de la arista del cubo es 2√5 cm. Se sabe además que
un cubo tiene 12 aristas, entonces para determinar la cantidad necesaria de
alambre para construir el cubo, se debe multiplicar 12 por la longitud de la
arista:
12 ∙ 2√5 = 24√5cm
Utilizando la calculadora y aproximando a las centésimas, se obtiene:
24√5 ≈ 53,7cm
4º Examinando la Solución y comunicando resultados:
Para la confección del cubo se necesitan aproximadamente 53,7 cm de
alambre.
Por otra parte cabe destacar que la estrategia empleada se basa en comprender
que la figura geométrica analizada es regular, por tanto basta con estudiar una
de sus caras para obtener la información necesaria del cuerpo geométrico
completo, en este caso es preciso saber que el área de un cuadrado de lado 𝑥 es
𝑥2, y que el número de caras de un cubo es 12.
Observación:Es importante realizar las aproximaciones de los números
irracionales solo al finalizar el problema, ya que la aproximación no es una
igualdad, por ende, si se van realizando aproximaciones en cada paso, el margen de error
MEDIDA
MEDIDA
64 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
aumenta y esto repercute en la precisión de la respuesta.
Ejercicios y Problemas Propuestos:
1. En el rectángulo ACEG, AB = 9 cm, BC = 21 cm, CD = 11 cm, DE = 9 cm, EF = 11 cm y GH = 7
cm. ¿Cuánto mide el área sombreada?
2. En la imagen se muestra una pista de carrera para automóviles.
a) ¿Cuántos metros se necesitan para delimitar con una banda roja
los bordes de la pista?
b) ¿Cuánta superficie ocupa el pasto que está al centro de la pista?
c) ¿Cuánta superficie tiene la pista?
3. Un perro está atado a una esquina de una caseta cuadrada de 4,2 cm de lado con una cuerda de 7,7 m
de longitud. Calcular el área de la región en la que puede moverse.
4. Eres dueño de una pastelería y necesitas crear recipientes de forma cilindrica de chocolate y
rellenarlos con crema, para una empresa la cual requiere que las dimensiones dimensiones de este pastel
sean 8,3 cm de altura y 6,5 cm de radio de la base. ¿Cuál es su capacidad de cada recipiente? ¿Se quiere
cubrir la parte superior con una tapa de chocolate que superficie se desea cubrir con esta tapa?
5. El cubo de arista 1,2 m ha sido perforado por un agujero hecho a partir de un
cuadrado de lado 0,12 m. Calcula el volumen del cubo con el agujero.
6. Se echan 7 cm3 de agua en un recipiente cilíndrico de 1,3 cm de radio. ¿Qué
altura alcanzará el agua?
65 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
7. En un tour por las Viñas, se tiene preparada una degustación y para esto se tienen 6 litros de
vinos de distintas cepas, si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura
interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm. ¿Cuántos comensales se
pueden atender? (Considere que cada comensal degusta una copa)
8. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de
ancho y 4 m de alto, con un grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a
hacer de cemento. ¿Qué volumen de cemento se necesita para construirlo?
¿Cuál es la máxima capacidad en litros que puede contener el depósito?
9. ¿Cuál es el área de los siguientes triángulos?
10. ¿Cuál de los siguientes triángulos tiene mayor área?
11. Se desean diseñar etiquetas cuadradas y pegarlas sobre una chapa circulara
de radio 5 cm., ¿cuál es el área que cubre cada etiqueta?
MEDIDA
MEDIDA
66 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
12. Si en un cuadrilátero se tranzan segmentos de recta que unan los puntos medios de cada lado,
¿qué relación hay entre el área del cuadrilátero y el paralelogramo que se forma en su interior?
13. Calcular el volumen del prisma truncado:
67 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Transformaciones de unidades
Las primeras unidades de medida para longitudes tenían relación con el
cuerpo humano y no siempre se subdividían, sino que se usaban otras partes
del cuerpo, por ejemplo para los babilonios se establecía las siguientes
equivalencias entre unidades de medida
1 codo = 30 dedos (53 cm. aprox.)
1 pie = 2/3 de codo
Hasta antes del siglo XVIII no existían sistemas de medidas universales, las
unidades de medidas se establecían de acuerdo a los usos locales, lo que
generaba complicaciones en el intercambio comercial. El primero en
proponer una escala universal fue Gabriel Mouton en 1670, que se basaba en
la milla (largo de un minuto de arco en la tierra). En 1795 se instaura en
Francia el sistema métrico decimal, fijándose algunas medidas de base (por
ejemplo el metro para las longitudes). Progresivamente muchos países, a
través de acuerdos políticos van adoptando y ampliando este sistema, hasta
establecer 1960 lo que se conoce como “sistema internacional de unidades”,
que entre otras magnitudes establece las siguientes unidades de medida:
- Longitud: metro (m)
- Masa: gramo (g)
- Tiempo: segundo (s)
- Área: metro cuadrado (m2)
- Volumen: metro cúbico (m3)
- Velocidad: metro por segundo (m/s)
Las unidades aceptan subdivisiones y múltiplos, por ejemplo la longitud
presenta las siguientes equivalencias:
Kilómetro (km) = 1000 m. (103 m)
Decímetro (dm) = 0,1 m. (10-1 m)
Centímetro (cm) = 0,01 m. (10-2 m)
Milímetro (mm) = 0,001 m. (10-3 m)
Micrómetro (µm) = 0,000001 m. (10-6 m)
Nanómetro (nm) = 0,000000001 m. (10-9 m)
MEDIDA
68 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Algunas unidades de peso:
Kilogramo (kg) = 1000 g (10³)
Tonelada (t) = 1000000 g (106)
Decigramo(dg) = 0,1 g (10-1)
Centigramo (cg) = 0,01 g (10-2)
Miligramo(mg) = 0,001 g (10-3)
Microgramo (µg) = 0,000001 g (10-6)
Sin embargo, por razones políticas, no todos los países adhieren al sistema
métrico. Gran Bretaña desde un comienzo adoptó un sistema propio que hoy
comparten otros países como Estados Unidos y que es ampliamente utilizado
en ingeniería en países de Latinoamérica. Es el “sistema anglosajón de
unidades”, del cual destacamos las unidades para medir longitud:
Pulgada (in) = 2,54 cm.
Pie (ft) = 12 in = 30,48 cm.
Yarda (yd) = 3 ft = 91,44 cm.
Milla (mi) = 1,76 yd = 1,609347 km.
Legua = 3 mi = 4,828032 km.
En tu especialidad utilizarás con mucha frecuencia transformaciones de
modenas. Basta con que tengas claros la relación que los bancos o casas de
cambio informan.
MEDIDA
69 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Ejercicios y Problemas Propuestos:
1. En http://si3.bcentral.cl/Indicadoressiete/secure/Indicadoresdiarios.aspx
obtendrás datos como el que se muestra a continuación :
Calcula :
a) A cuantos Dólares corresponden $100.000 pesos chilenos.
b) A cuantos Dólares corresponden $230.000 pesos chilenos.
c) A cuantos Euros corresponden $100.000 pesos chilenos.
d) A cuantos Euros corresponden $180.000 pesos chilenos.
e) A cuantos pesos chilenos corresponden $100 dólares.
f) A cuantos pesos chilenos corresponden $340 dólares.
g) A cuantos pesos chilenos corresponden $100 Euros.
h) A cuantos pesos chilenos corresponden $1020 Euros.
i) A cuantos Dólares corresponden $100Euros.
j) A cuantos Euros corresponden $180 Dólares .
MEDIDA
70 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Gráficos y Tablas
Los gráficos y tablas son recursos que permiten ordenar y presentar la
información. Hay una gran diversidad gráficos y tablas, que involucran a una o
más variables (características de interés de algún fenómeno).
Sin embargo, hay que distinguir que hay gráficos y tablas que son estadísticos y
otras que no. En las tablas y gráficos estadísticos se busca registrar o presentar
la frecuencia de las observaciones, mientras que otros gráficos o tablas tienen
por objeto mostrar cierta información, que no necesariamente tiene relación
con la frecuencia con la que se presentan los datos.
Esta parte del texto tiene relación con los gráficos y tablas en general y plantea
situaciones cuyo propósito es analizar la información contenida en ellos para
responder a ciertas cuestiones problemáticas.
El manejo de datos es relevante, cada vez que la sociedad los requiere, muchas
veces este manejo de datos te permite realizar predicciones lo que te lleva a
tomar decisiones.
Los tipos de gráficos que revisaremos son : Gráfico de barras, gráfico de líneas, circular y pictograma. Tambien daremos lectura a tablas de una entrada y de doble entrada.
Gráfico de barras.
Los gráficos de barras permiten representar la cantidad de veces que aparece
una característica en cuestión, la altura de cada barra es proporcional a la
cantidad de elementos ( frecuencia ) que se encuentran en una categoría en
particular.
Por ejemplo, en el siguiente problema observas como se da lectura a la
información que el gráfico presenta.
Problema 13:En una encuesta hecha a la población del gran Santiago se
registró las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información
y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo.
(Fuente: INE, Instituto Nacional de Estadísticas de Chile)
GRÁFICOS Y
TABLAS
71 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
a) ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?
b) ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en navegar por
Internet?
c) ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión?
Solución:
1º Entendiendo el problema:
El gráfico muestra las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la
información y medios de comunicación de masas como actividad principal por
sexo.
2º Diseñando un plan o estrategia de resolución:
La información del gráfico se organiza en una tabla y con esos datos
contestamos las preguntas.
3º Ejecutamos el plan o resolvemos el problema:
Primero construimos la tabla con los datos del gráfico, como se muestra a
continuación
00,5
11,5
22,5
3
Leer Escucharmúsica o
radio
Ver TV Navegarpor
InternetPro
me
dio
de
ho
ras
dia
rias
Actividades principales
Hombres
Mujeres
GRÁFICOS Y
TABLAS
72 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Ahora contestamos las preguntas:
a) ¿Cuántas personas fueron entrevistadas?
Esta información no la entrega el gráfico.
b) ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en navegar por
Internet?
2,3⏟𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠
− 2⏟𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠
= 0,3⏟𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
Como el tiempo está en horas, es necesario transformar la diferencia a
minutos. Para ello debemos recordar que una hora equivale a 60 minutos, por
lo tanto, hay que multiplicar el tiempo en horas por 60 para obtener los
minutos, como se muestra a continuación
0,3⏟ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
∙ 60 = 18⏟𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
c) ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver
televisión?
LeerEscucharmúsica o
radioVer TV
Navegarpor
Internet
Hombres 1,5 1,6 2,8 2,3
Mujeres 1,5 1,5 2,6 2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Pro
me
dio
de
ho
ras
dia
rias
Actividades principales
Hombres
Mujeres
GRÁFICOS Y
TABLAS
73 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
La frase “los santiaguinos” no hace distinción de sexo, luego es necesario
calcular el promedio de horas diarias que utilizan hombres y mujeres en ver
televisión.
2,8 + 2,6
2= 2,7
4º Examinando la Solución y comunicando resultados:
a. El gráfico no entrega información respecto a la cantidad de
encuestados.
b. Los hombres dedican, en promedio, 18 minutos más que las mujeres
en navegar por internet.
c. Los santiaguinos dedican, en promedio, 2,7 horas diarias en ver
televisión.
Gráfico de líneas.
Los gráficos de líneas muestran un conjunto de puntos conectados por una sola línea, este tipo de gráfico se utiliza para representar datos que ocurren durante un período de tiempo. Por ejemplo, todos los días en el diario podemos ver gráficos como los siguientes
(gráfico tomado de Economia y Negocios del Mercurio) En estas gráficas podemos observar la variación de una día a otro de por ejemplo el IPSA ( Índice de Precio Selectivo de Acciones )
GRÁFICOS Y
TABLAS
74 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Gráfico circular.
Este tipo de gráfico, muestra las proporciones de las partes con un todo y es muy útil cuando el objetivo es que el lector visualice algo que se destaca. Generalmente en los diarios o en informes, podrás ver información como la siguiente
De este ejemplo de gráfico muy sencillo puedes inmediatamente concluir
que hay mayor cantidad de alumnos en la jornada diurna, normalmente en
estos gráficos se muestran más que dos sectores.
Pictograma.
Un pictiograma es un diagrama que por medio de símbolos representan
una cantidad específica , generalmente en su representación se utiliza alguna
figura acorde al tema en cuestión.
Por ejemplo el siguiente diagrama muestra el número de autos vendidos por
año.
Año Número de automóviles vendidos =1000
automóviles
2010
2011
2012
2013
GRÁFICOS Y
TABLAS
75 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Tablas de una entrada y de doble entrada.
Para leer la información de una tabla simple basta con tener claro que
simplemente se está informando en ella, la frecuencia de cierta característica
por ejemplo
Puedes leer de esta tabla la cantidad de pasteles que diseño cada pastelero o
podrias saber el total de pasteles diseñados en una hora por los cuatro
pasteleros.
En una tabla de doble entrada se pueden dar lectura al número de objetos
(personas, animales, cosas, etc.) que cumplen con dos caracteríaticas
simultáneamente.
Por ejemplo en los aeropuertos puedes ver el estado de los vuelos en una
pantalla que muestra una tabla de doble entrada para dar esta información
En el siguiente problema observaremos como extraer información de una
tabla de doble entrada
Pasteleros Número de pasteles diseñados
Pastelero 1 10
Pastelero 2 12
Pastelero 3 8
Pastelero 4 23
GRÁFICOS Y
TABLAS
76 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Problema 14:En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se
contrastó la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes
laborales. Considerando una gradación de Muy fumador hasta No fumador
como media del tabaquismo, y una gradación de Muy grave a Leve en el tipo
de accidente. Se extrajo una muestra de individuos que habían sufrido un
accidente laboral. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de doble
entrada:
Muy
Grave Grave
Lesiones
medias Leve
Muy fumador 20 10 10 30
Fumador 30 40 20 50
Fumador
Esporádico 10 60 80 60
No fumador 5 20 30 50
a) ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral?
b) ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores?
c) ¿Qué fracción de los fumadores tienen accidentes graves?
d) ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy
fumadores?
e) ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves?
Solución:
1º Entendiendo el problema:
La información de la tabla contrasta la incidencia del tabaquismo en la
gravedad de los accidentes laborales.
GRÁFICOS Y
TABLAS
77 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
2º Diseñando un plan o estrategia de resolución:
Se calculan los totales por columnas y filas y con estos datos contestamos las
preguntas.
3º Ejecutamos el plan o resolvemos el problema:
Primero calculamos los totales por fila y columna, como se muestra a
continuación:
Ahora contestamos las preguntas
a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral?
525 individuos
b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores?
105⏞
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠𝑛𝑜 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
525⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠
=1
5
Muy
Grave Grave
Lesiones
medias Leve Total
Muy fumador 20 10 10 30 70
Fumador 30 40 20 50 140
Fumador
Esporádico 10 60 80 60 210
No fumador 5 20 30 50 105
Total 65 130 140 190 525
GRÁFICOS Y
TABLAS
78 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
c. ¿Qué fracción de los fumadores tiene accidentes graves?
40⏞
𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠
140⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒
𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
=2
7
d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy
fumadores?
10⏞
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑢𝑓𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠
130⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑓𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠
=1
13
e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes
graves?
10⏞
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑢𝑓𝑟𝑒𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠
70⏟𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢𝑜𝑠
𝑚𝑢𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
=1
7
4º Examinando la Solución y comunicando resultados:
En total hay 525 individuos que han sufrido accidentes laborales de los cuales
un quinto no fuma. De los fumadores, dos séptimos han tenido accidentes
graves mientras que de los muy fumadores sólo un séptimo.
GRÁFICOS Y
TABLAS
79 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Arica
Antofagasta
Temuco
Punta Arenas
La Serena
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. La Aerolínea Chile registra sus vuelos, desde el aeropuerto Arturo Merino
Benítez ubicado en la Región Metropolitana, durante un día lunes de
temporada alta. A continuación hay un gráfico que muestra la capacidad
década avión (cantidad de personas) versus la cantidad de vuelos que hubo.
En base a los datos entregados en el
gráfico:
a) ¿Cuántos vuelos se realizaron el día lunes?
b) ¿Cuántos pasajeros volaron a Punta Arenas?
c) ¿Cuántos pasajeros volaron a Arica?
d) ¿Cuántos pasajeros volaron el día lunes?
e) ¿Cuáles son las dos ciudades más visitadas?
2. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de
estudiantes en un viaje académico, reflejando el tiempo (en horas) y la
distancia recorrida (en kilómetros).
a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron?
b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el autobús durante la actividad?
GRÁFICOS Y
TABLAS
80 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
c) ¿Durante cuánto tiempo el autobús no se desplazó?
d) Después de cuatro horas de iniciada la excursión ¿Cuántos km recorrió el
autobús hasta la próxima detención?
e) Luego de transcurrido siete horas de iniciada la excursión ¿A qué distancia se
encuentra el autobús de su punto de partida?
3. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia
viene dada por la gráfica siguiente:
a) ¿Cuál es la dosis inicial?
b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos?
c) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando hay 30 mg
menos de la dosis inicial?
d) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando quedan sólo 10
mg de concentración en sangre de anestesia?
e) ¿Cuánto tiempo dura, aproximadamente, la concentración en sangre de la
anestesia?
4. Dos agencias de viajes realizan un tour a pie por las torres del Paine y
aunque no toman siempre el mismo sendero ambos recorren 1000 metros y
llegan al mismo lugar.
GRÁFICOS Y
TABLAS
81 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
El gráfico anterior describe en forma aproximada el comportamiento de los
tours en dicho viaje:
a) ¿Cuál agencia empezó el tour más rápido? Justifica tu respuesta
b) ¿En qué momento un tour alcanzó al otro? ¿A qué distancia? ¿Cuál fue la
agencia alcanzada?
c) ¿Qué agencia realizó el tour más rápido?
5. Se realiza un estudio muestral acerca de si las personas están o no de acuerdo
con realizar reservas en un hotel (que no esten de acuerdo quiere decir, buscar
cuando llegan a su destino). Según segmento socioeconómico, los resultados se
muestran en la siguiente tabla, en número de casos:
Segmento socioeconómico Total
Alto Medio Bajo
¿Está de acuerdo?
Si 51 158
No 48
Total 73 109 91
Completa la tabla y luego el siguiente párrafo:
De un total de . . . . . . . . . . personas encuestadas, el . . . . . . . . . . % se manifestó
de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con
vida a los pacientes en estado vegetal. De estos, el . . . . . . . . % se ubica en un
segmento socioeconómico medio, mientras que el . . . . . . . . % en el segmento
alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el . . . . . . . .
. % esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo
el . . . . . . . .% lo está.
6. En la asignatura de Tecnología de Cocina y Pastelería I, están realizando el
siguiente experimento en grupos de 5 estudiantes. Cada grupo dispone de una
regla, monedas de $10 y un resorte del que cuelga un vaso plástico. El
experimento consiste en determinar cómo se va alargando el resorte al ir
agregando monedas de $10 en el vaso. Para ello, los estudiantes realizan el
experimento con una cantidad suficiente de monedas como para poder
establecer alguna conclusión. Van registrando sus resultados en una tabla y
luego los grafican:
GRÁFICOS Y
TABLAS
82 UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
El experimento concluye con la presentación de los gráficos obtenidos por tres
grupos del curso. Los gráficos fueron los siguientes:
¿Son iguales los resortes de estos tres grupos o son distintos? Justifica tu
respuesta (Sugerencia: Construye una tabla de valores correspondientes a cada
gráfico del experimento realizado por estos estudiantes y compáralas)
GRÁFICOS Y
TABLAS