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UNMSM Aritmtica
SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
SEMANA 1
CONJUNTOS I
1. Si: A ;a; a ; a,b ; Indicar las proposiciones que son
verdaderas.
I. a A {a, b} A
II. {} A {} A
III. A A A) solo I B) solo II
C) solo III D) II y IV E) II y III
RESOLUCIN
A ;a; a ; a,b ;
I. a A {a, b} A
F F = F
II. {} A {} A
F V = V
III. A A
V V = V
I y III son verdaderas
RPTA.: D
2. Dados los conjuntos:
A x N 2x 13
B x A x 2x A
Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones.
I. x A / x 5 > 4
II. x (A B) / 2x + 5 < 8
III. x (A B) / x B A) VVF B) FVF C) VFV
D) VFF E) VVV
RESOLUCIN
A x N 2x 13
A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
B x A x 2x A
x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
x 2x = 0 ;1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24
B = {1; 4; 5; 6}
I. x A / x 5 > 4
(V)
II. x (A B)/2x + 5 < 8 (F)
III. x (A B) / x B (V)
RPTA.: C
3. Sea A n Z n 600 Calcule la suma de elementos del conjunto B; si
3B a 2 a A a A
A) 1000 B) 1296 C) 1312 D) 1424 E) 1528
RESOLUCIN
3
a es cubo perfecto
A n Z n 600 1,2,3,4,5,...,600
B a 2 a A a A
a = 1 ; 2; 3; ...; 8
2
B 1 2 ; 2 2 ; 3 2 ;....; 8 2
elementos 8x92 8
2de B
1312
Nota:
3
2
N
n n 1S
2
RPTA.: C
4. Halle el cardinal del conjunto B e
indicar el nmero de subconjuntos ternarios que tiene.
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CONJUNTOSLGICA
B x Z x 8 x 2
siendo : p q p q A B
A) 48 B) 42 C) 63 D) 56 E) 45
RESOLUCIN
B x Z x 8 x 2
(x > 8) (x = 2)
(x> 8) (x = 2)
x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
n(B) = 8
#Subconjuntos 8 8!C
3! 5!3Ternarios de B
6x7x856
6
RPTA.: D
5. Dados los conjuntos unitarios
A = {a + b; a + 2b3; 12} y
B = {xy ; yx ; 16};
halle el valor de (x + y + a + b)
A) 81 B) 92 C) 96
D) 87 E) 90
RESOLUCIN A y B son unitarios:
* A = {a + b; a + 2b 3; 12} a + b = 12
a + 2b 3 = 12
a + 2b = 15 como: a + b = 12
b = 3 a = 9
* B = {xy; yx; 16}
xy = yx = 24
x = 2 ; y = 4
x + y + a + b = 90
RPTA.: E
6. Calcular el nmero de subconjuntos binaros del conjunto D, si:
D = {(x 1)Z / 0 < x 4} A) 132 B) 126 C) 105
D) 124 E) 120
RESOLUCIN D = {(x 1)Z / 0 < x 4}
0 < x 4 0 < x 16
1
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RESOLUCIN
* nP(A) = 128 = 27 n(A) = 7
nP(B) = 32 = 25 n(B) = 5
nP(AB) = 8 = 23 n(AB) = 3
n(AB) = 7 + 5 3 = 9
nP(AB) = 29 = 512
* C = 5
3x 1 Z x3
5x
3
5x 3 1 3 1
3
(3x + 1) < 6
C = {1; 2; 3; 4; 5} n(C) = 5
nP(AB) + n(C) = 517
RPTA.: B
8. Oscar compra 9 baldes de
pinturas de diferentes colores. Los mezcla en igual proporcin.
Cuntos nuevos matices se pueden obtener?
A) 512 B) 246 C) 247 D) 503 E) 502
RESOLUCIN # de colores = 9
# de nuevos matices= 29 1 9
= 512 10 = 502
RPTA.: E
9. El conjunto A tiene 200
subconjuntos no ternarios. Cuntos subconjuntos quinarios
tendr?
A) 64 B) 56 C) 48
D) 21 E) 35
RESOLUCIN Sea n(A) = x
x x
3
x
x
Subconjuntos2 C 200
no ternarios
x!2 200
3! x 3
x 2 x 1 x2 200
6
x 8
Luego :
#Subconjuntos 8 8!C
5! x 3!5Quinarios
8 x 7 x 656
6
RPTA.: B
10. Si el conjunto C tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; adems:
n(A) = 4P + 2 ; n(B) = 3P + 6 y
n(AB) = 2P 2
Halle n(AB)
A) 14 B) 16 C) 18 D) 17 E) 20
RESOLUCIN n(C) = P + 1
# subconjuntos2P 3
propios de C
P + 1
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2P + 1 1 = 2P + 3
P = 2 Luego:
n(A) = 4(2) + 2 = 10 n(B) = 3(2) + 6 = 12
n(AB) = 2
n (AB) = 18 RPTA.: C
11. Sean los conjuntos A E ; B E
y C E; E conjunto universal, tal que:
E = {x Z+ / x < 10}
A = x E x 7
AB = {x E / x 9 x > 2}
BC = {3}
BC = {x E / x 7}
AC = A B C
Determinar n(A) + n(B) + n(C)
A) 9 B) 12 C) 10 D) 13 E) 11
RESOLUCIN E={xZ+/x
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El nmero de subconjuntos de B
excede al nmero de subconjuntos propios de A en 993.
Cuntos subconjuntos propios tiene A ?
A) 281 B) 2101 C) 2111
D) 2121 E) 2131
RESOLUCIN Sean n(A) = x n(B) = 2x
# subconjuntos # subconjuntos
993de B propios de A
22x (2x1) = 993
2x(2x1) = 992 = 25 x 31
x = 5
Luego:
# subconjuntos de 7B 128 2
12#subconjuntos propios de A 2 1
RPTA.: D
14. Dados los conjuntos:
3x 5A x N / N
4
x 1 xB N / N
2 2
C x N /2x 25
Halle: n[(AB)C ]
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIN
* 3x 5
A x N / N4
3x 5 4N 5N x
4 3
N = 2; 5; 8 ......
X = 1; 5; 9 ......
A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....}
* x 1 x
B N/ N2 2
NATURAL
x 1 x 1No existe natural
2 2 2
B =
* C x N/2x 25
C = {13, 14, 15, 16, 17, .....}
n(AB) C A B (DIFERENCIA SIMTRICA)
n (A C ) = n(A C)
= n {1, 5, 9}
= 3 RPTA.: B
15. Para los conjuntos A, B y C afirmamos:
I. Si A B C C B A
II. A A
III. A B A B
IV. Si A B B A
V. A B A B A
Son verdaderas:
A) todas
B) solo II y III C) todas excepto V D) solo II, III, IV y V
E) solo I, II y V
RESOLUCIN I. Si A B C C B A (V)
II. A A (V)
2
5 10
B = 10A = 5
U
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III. A B A B (V)
IV. Si A B B A (V)
V. A B A B A (V)
RPTA.: A
16. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el nmero de
subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2 elementos comunes; determine
n(AB)
A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10
RESOLUCIN 320 = n(PA) + n (PB)
320 = 2n(A) + 2n(B) 320 = 26 + 28 Luego:
n(A) = 6 n(B) = 8
n(AB) = 10 RPTA.: E
17. Sean A, B y C conjuntos no vacos
diferentes dos a dos, tales que:
B A ; C B
A C
Al simplificar:
[B(C A)] [A (B C)] se
obtiene:
A) A B) B C) A B
D) A C E)
RESOLUCIN B A ; C B ; A C
A B ; C B ; A C
Graficando y enumerando las
regiones:
B C A A B C
[2] [1; 3] =
RPTA.: E
18. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar:
A B A B A B
A) A B B) A B
C) A B D) A B
E)
4 62
A B
2
BC
A
1
2 3
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RESOLUCIN Graficando los conjuntos A y B
A B A B A B
(A B) (BA)
1,2,3 2,3
1,2,3 1,4 1 A B
RPTA.: A
19. En el grfico, las zonas sombreadas estn representadas por:
I) [A(BC)] [C D]
II) (A B) (B C)
III) [(A D) C] [A (BC)] A) solo I B) solo II
C) solo I y II D) solo II y III E) todos
RESOLUCIN
I) [A(BC)] [C D]
[{1,2,3} {2,6,5}] {7}
= {1,3,7}: si
II) (A B) (B C)
{1,2,3,4,5,6,7} {2,5,6} = {1,3,4,7} no
III) [(A D) C] [A (BC)]
{1,2,5} {1,3} = {1} no
RPTA.: A
20. Dado 3 conjuntos A; B y C: Si n(A) = m ; n(B) = m + r
n(C) = m + 2r ; adems: n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 Se sabe adems que A, B y C son
disjuntos.
Calcule n(A B C)
A) 16 B) 22 C) 24 D) 32 E) 48
RESOLUCIN n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r
A B CnP nP nP 896
2m + 2m+r + 2m+2r = 896
2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7
m = 7
r = 1
A B C
7 8 9
n(A B C) = 24 RPTA.: C
B
CD
A
2 31
4
A B
B
CD
A
1 2 3 45
6
7
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SEMANA 2
CONJUNTOS II
1. Se hizo una encuesta a 50
personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se
observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que
leen solo B y el cudruplo de los que no leen ninguna de las dos
revistas. Cuntas personas leen la revista A?
A) 24 B) 30 C) 32 D) 36 E) 40
RESOLUCIN
6x + 12x + 4x + 3x = 50 x = 2 n(A) = 18(2) = 36
RPTA.: D
2. A una ceremonia asistieron 24 seoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca,
17 varones con corbata no tenan casaca, 9 seoritas portaban
casaca pero no tenan cartera. Cuntos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 seoritas
no llevaron cartera ni casaca y 28 seoritas no llevaron casaca?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
RESOLUCIN
40 = 11 + 9 + 12 + x x = 8
RPTA.: A
3. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los
cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32
trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian, cuntas mujeres no estudian ni trabajan,
si 36 varones no trabajan?
A) 32 B) 30 C) 28 D) 26 E) 34
RESOLUCIN
X = 56 24 X = 32
RPTA.: A
12x 4x6x
A = 18x B
3x
U = 50
12 1217 11Cor
bata
= 2
8Casaca = 40 Cartera = 24
16
9x
H = M =
U =
M
H
56
T(29)
E 21
1212
1517
x
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4. En una clase de 50 alumnos, se
practica tres deportes: Atletismo, Bsquet y Fulbito.
* Los que practican atletismo o fulbito pero no bsquet son 30.
* Los que practican bsquet o
fulbito pero no atletismo son 27. * Los que practican atletismo y
fulbito son 7. * Los que practican fulbito pero no
atletismo o bsquet son 15. * Los que no practican estos
deportes son la cuarta parte de los
que practican bsquet y fulbito pero no atletismo.
* 4 practican atletismo y bsquet pero no fulbito.
* Los que practican bsquet pero no
atletismo o fulbito son 4. Cuntos practican solo dos
deportes o no practican ninguno?
A) 21 B) 17 C) 19
D) 2 E) 18
RESOLUCIN
50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x + 4 + 4 + 2
X = 50 48 = 2
solo 2 deportes o ninguno de los tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19
RPTA.: C
5. Dado los conjuntos A; B y C
contenidos en el universo de 98 elementos, tal que:
n(A B) = 21
n(B C) = 25
n(C A) = 32 3n (ABC) = n(ABC )
Hallar: A B C A) 93 B) 95 C) 87
D) 77 E) 91
RESOLUCIN Diagrama de Ven Euler para
visualizar:
Planteando tenemos: 98 = 4x + 21 + 25 + 32 20 = 4x
5 = x
Piden: A B C
U A B C 98 5 93
RPTA.: A
6. Usando las leyes del lgebra de
conjuntos, simplificar:
A B B A B C A) AC B) BC
C) U D) (A B)C
E) (A B)C
RESOLUCIN [(AB)B] =
8 + x
44
BA
F
2
8x
7 - x
U = 50
15
A B
C
x
3x
98
-
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[(AB)C]C = (AB)CC
{[(AB)B][(AB)C]}C
{}C = U RPTA.: C
7. En un condominio de 100
personas, 85 son casados, 70 son abonados de telfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios.
Cul es el mnimo nmero de personas que al mismo tiempo
son casados, poseen telfono, tienen bicicleta y son empresarios?
A) 15 B) 10 C) 20
D) 24 E) 15
RESOLUCIN Tomando por partes:
= 10
RPTA.: B
8. En una encuesta a los estudiantes
se determin que:
* 68 se portan bien * 160 son habladores * 138 son inteligentes * 55 son habladores y se portan bien
* 48 se portan bien y son inteligentes * 120 son habladores e inteligentes
* 40 son habladores, inteligentes y se
portan bien.
Cuntos estudiantes son inteligentes solamente?
A) 10 B) 20 C) 40 D) 12 E) 8
RESOLUCIN
Solo inteligentes = 10
RPTA.: A
9. Un club consta de 78 personas, de
ellas 50 juegan ftbol, 32 bsquet y 23 voley. Adems 6 figuran en
los 3 deportes y 10 no practican ningn deporte. Si x es el total de personas que practican exactamente un deporte, y es el total de personas que practican
exactamente 2 deportes, entonces
el valor de (xy) es:
A) 9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16
15 55
30
45 30
25
70 10
20
70
30
15 45
CASADOS
TELFONO 75
25
CASADOS
Y
TELFONO
85 55
AUTO
80
20
70 30
CASADOS,
TELFONO Y AUTO
EMPRESARIOS
4080
2515
5
8
10
HABLADORES:
160
INTELIGENTES:
138
PORTAN
BIEN: 68
U =
-
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RESOLUCIN
a + b + c = y x : solo un deporte
Del universo:
44ab+b+17bc+32+10 = 78 a + b + c = 25 = y
Tambin:
x + y + 6 + 10 = 78 x = 37
x y = 12
RPTA.: C
10. Dado el conjunto universal U y
los subconjuntos A, B y C; se
tiene los siguientes datos:
n(U) = 44 n(BC) = 12
n(AC) = 14 n[(ABC ) ]=6
n(ABC) = 5 n(B) = 17
n(A) = 21 n(ABC ) =3
Hallar n(C)
A) 31 B) 27 C) 29 D) 26 E) 28
RESOLUCIN n(AB C ) =3
n[(AB)C] =3
21 + 2 + 7 + 6 + x = 44 x = 8 n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29
RPTA.: C
11. En un grupo de 80 estudiantes, se
encuentra que las cantidades que estudiaban las diversas lenguas eran en nmero de 72,
distribuidas de la siguiente manera:
* Alemn solamente 25 * Espaol solamente 12
* Francs pero no alemn ni espaol, 15
* Alemn y francs 10 * Alemn y espaol 8
Adems los que estudiaban espaol y francs eran tantos
como los que estudiaban alemn y espaol. Determinar cuntos estudiaban 2 lenguas solamente o
estudiaban las 3 lenguas.
A) 14 B) 20 C) 12 D) 8 E) 18
a
c6
b
44
a
b
17 b c
V = 23
B = 32F = 50
10
U = 78
4 3 2
9
5
7
x C
B = 17A = 21
6
U = 44
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RESOLUCIN
Dos lenguas solamente tres
lenguas
= (80) (25 + 15 + 12 + 8) = 20
RPTA.: B
12. En una encuesta realizada a
100 trabajadores de una fbrica se obtuvo la siguiente informacin:
todos los hombres tenan ms de 20 aos, 25 de las mujeres eran
casadas mientras que 15 de los trabajadores casados tenan ms de 20 aos y 10 de las mujeres
casadas tenan ms de 20 aos. Si hay 60 que tienen ms de 20 aos,
hallar la diferencia entre el nmero de trabajadores con menos de 20 aos y el nmero de mujeres
solteras con menos de 20 aos.
A) 5 B) 10 C) 15 D) 18 E) 8
RESOLUCIN
A: personas con ms de 20 aos
B: hombres C: casados
Por datos: x + y = 25
x + z = 15 x = 10
y = 15 z = 5
* Trabajadores con menos de 20
aos: 15 + 25 = 40
* Mujeres solteras con menos de 20 aos = 25
40 25 = 15 RPTA.: C
13. Qu operacin representa el grfico?
A) [(AC)(BC)] C
B) [(AB)(BA)]C
C) C (AB)
D) (CA) (CB)
E) A B C
RESOLUCIN
RPTA.: C
14. En un colegio hay 35 nios. Cada uno de ellos tiene una bandera que puede ser moncroma,
bicolor o tricolor, habindose usado nicamente 3 colores: rojo, amarillo
y azul. El nmero de banderas bicolor es el doble del nmero de banderas monocromas, mientras
que el nmero de banderas que tienen el color rojo es igual al
nmero de banderas que tienen el
C
BA
25 8 - x 12
10 - x
x
15
F
EA
8
U = 80
8 - x
y
C
B
A(60)
a b z x
25
U(100)
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color azul e igual al nmero de
banderas que tienen el color amarillo. Si slo 8 nios tienen
banderas tricolor y dos alumnos banderas color amarillo. Cuntas banderas bicolor rojo azul hay?
A) 2 B) 3 C) 5
D) 7 E) 10
RESOLUCIN
Datos:
a + b + x + y + z = 25 ......(1)
x + y + z = 2(a + b + c) ....(2) (2) en (1)
a + b + 2 (a + b + 2) = 25 3(a + b) = 21 a + b = 7
Dato:
a + x + y = y + z + b = x + z + c
a + 18 z = 18 x + b = 18y+ c De donde:
a = z y + c
b = x y + c
Sumando: 7 = x + z 2y + 4
7 = 18 y 2y + 4 3y = 15 y = 5
RPTA.: C
15. A cuntas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad de
personas que le gusta aritmtica pero no lgebra ni fsica es el doble
de los que les gusta lgebra, pero
no aritmtica ni fsica y adems a los que les gusta fsica pero no
aritmtica ni lgebra es el triple de los que les gusta lgebra pero no aritmtica ni fsica y a los que les
gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los que les gusta aritmtica pero
no lgebra ni fsica, si a 24 personas le gusta solamente un
curso y adems el total de personas que gusta de al menos un curso es 36.
A) 5 B) 8 C) 12
D) 4 E) 10
RESOLUCIN
A: aritmtica X: lgebra
F: fsica
Datos:
A (xF) = 2[x (AF)]
F (Ax) = 3[x(AF)]
1
A x F A x F4
AxF = y Por dato:
4y + 2y + 6y = 24 12y = 24 y = 2
13y + m + n + p = 36 .... dato
13 x 2 + m + n + p = 36 m + n + p = 10
RPTA.: E
16. A, B y C son conjuntos contenidos en un mismo universo, simplifique la siguiente expresin:
E = {{[(A B) (A B )] (A B )}
a y b
z8
x
c = 2
Amarilo
AzulRojo
U = 35
A
4y n 2y
py
m
6y
F
x
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(C A)} {((A C) (A C)}
A) AC B) B C) A
D) AC E) C
RESOLUCIN
E={{[(AB)(ABC)](ABC)}(CA)} (AC) A(B(ABC)...............................
A(BA)
(AB) (ABC)
[(AB)A] [(AB)BC]
A (ABC)
A (CAC)
(AC) (AC)
(AC)
RPTA.: A
17. De 60 personas se sabe: * 6 hombres tienen 20 aos
* 18 hombres no tienen 21 aos * 22 hombres no tienen 20 aos
* Tantas mujeres tienen 20 aos como hombres tienen 21 aos.
Cuntas mujeres no tienen 20 aos?
A) 18 B) 20 C) 24 D) 22 E) 28
RESOLUCIN
= 22
RPTA.: E
18. De un grupo de personas se sabe
lo siguiente: * Algunos provincianos son casados. * Todos los profesores no son
provincianos.
* Ninguno de los que tienen hijos es
profesor
* Todos los casados tienen hijos
* 9 personas no son provincianas, ni
casadas, pero tienen hijos.
* Hay 12 profesores y son tantos como
el nmero de casados
* De los 25 provincianos, 15 tienen
hijos.
* 5 casados no son limeos
* 10 limeos no son profesores ni
tienen hijos.
Cuntas personas conforman el
grupo y cuntos no tienen hijos, ni son profesores?
A) 63 y 20 B) 57 y 10 C) 59 y 23 D) 64 y 9
E) 63 y 22
RESOLUCIN
Total = 63 No tienen hijos ni son
profesores = 20 RPTA.: A
19. En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3 simulacros con los
siguientes resultados: 40 aprobaron el primero; 39 el
segundo; y 48 el tercero. 10 aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos primeros, pero
no el tercero; 19 el tercero, pero no los dos primeros.
6
x = 10
x = 10
H M
60 28 32
21+
21
20
20 -
7
5
9
10 10
12
10
LIMA
PROVINCIA
HIJOS HIJOS HIJOS
= 25
CASADOS SOLTEROS
-
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Cuntos aprobaron por los menos
dos exmenes?
A) 19 B) 38 C) 24 D) 27 E) 29
RESOLUCIN
x + y + 10 + 19 = 48
x + y + 19 = 38
RPTA.: B
20. En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el
50% come carne; el 40% de los que comen carne tambin comen pescado. Qu porcentaje de los
habitantes no comen pescado ni comen carne?
A) 15% B) 23% C) 20% D) 10% E) 30%
RESOLUCIN
40
50% 20%100
60% + 30% + x = 100% X = 10%
RPTA.: D
9
yx
19
P = 40 S = 39
T = 48
U = 100
21
10
P = 60% C = 50%
x
U = 100%
40% 20% 30%
-
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SEMANA 3:
NUMERACIN I
21. Calcule a si:
7 .9
pa n 2c 1 aa
3
Adems
n
p
c5p7 4c3
2
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
RESOLUCIN
n p 9 7c p
5p7 4c3 ; a n 2c 1 aa2 3
n 7 p 4 n 9 c 3
C= par p 36
n = 8 ; p 6 ; c 2
Luego:
9 7a28 5aa
81a 2 9 8 245 7a a
81a 26 245 8a
73.a 219 a 3
RPTA.: B
22. Cuntos valores puede tomar k
en
n
n
k0,125
kk ?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
RESOLUCIN
n
n
k 10,125
kk 8
Descomponiendo
k 1 k
kn k 8
k(1 n)
1
8
1 1n 1 8
n 1 8
n 7
Pero k n 7 k 1;2;3;4;5;6
K puede tomar 6 valores
RPTA.: C
23. Si:
7n 5n n 1 n 2 n 3 n 4 abcd
Halle: a b c d
A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) 14
RESOLUCIN
(7)(n 5)n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) abcd
n 5 7 n 1
(6) 712345 abcd
1 2 3 4 5
6 6 48 306 1860
1 8 51 310 1865
a=5
771865 5303 abcd b=3
C=0 D=3 a + b + c + d = 11
RPTA.: B
-
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24. Halle m n p , si n n 1110 ,81 y
(n 1)1mp son nmeros consecutivos.
A) 15 B) 14 C) 13
D) 12 E) 11
RESOLUCIN
n 1n n 1110 ;81 ;1mp
Por dato: n n 1110 1 81
2n n 1 8 n 1 1
2n 7n 8 0 n 8 n 1 0 n - 8 n=8
n 1
78 9110 ;81 ;1mp
72 ; 73 ; 74
74 7
4 10 7 3 1
7 71mp 134 m 3;p 4;n 8
m n p 15
RPTA.: A
25. Sabiendo que : n 9a7b aoc ;
adems n 5 .6d6 mbmb Halle el
valor de (m + b + d).
A) 2 B) 4 C) 3 D) 6 E) 8
RESOLUCIN
n 9a7b aoc
7 n 9 n 8
Tambin por dato:
8 56d6 mbmb
2 2
56 8 d 8 6 mb .5 5mb
390 8d 26 mb 5
5195 4d 13.mb
0 15
5 5d 0 mb 15 30
m = 3; b = 0
3dbm
RPTA.: C
26. Calcule el valor de n si m es mximo en:
...1818 n
18.18 123
m veces
A) 8 B) 9 C) 11 D) 14 E) 10
RESOLUCIN Propiedad tenemos:
...1818 n
18.18 n 8 m 123
Pensando:
m 14 (mayor valor)
n 8 14 123
n 123 112
n 11
RPTA.: C
27. Si:
9 3a b 1 c 2 c b 1 10 xy 12
Calcule: a b c x y
A) 9 B) 10 C) 11
m es mximo n > 8
m veces
-
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D) 12 E) 13
RESOLUCIN
Caso Especial: 2b b
9 3a b 1 c 2 c b 1 /10/xy /12
9 9a b 1 c 2 c b 1 3 3x y 5
Igualando:
* c = 5
* b 1 3;b 2
* a b 1;a 1
*c 2 3x y
5 2 3x y
7 3x y ; x = 2 y = 1
Pide: a b c x y 11
RPTA.: C
28. En la siguiente expresin:
m 8nM 4n6 54 3mn
Halle M.
A) 42 B) 532 C) 24 D) 220 E) 44
RESOLUCIN Analizando:
n54 5n
mn64 6m
nm
83mn 85 mn
7m y 6n
7 6 8M 466 54 376
M 244 34 254
M = 24
RPTA.: C
29. Si se cumple que:
ab naa 29abca 17a
Calcule el valor de n A)3 B)4 C)6
D)9 E)5
RESOLUCIN
ab naa 29abca 17a x 29
cambio de variable
x 29 x 29abca 17a abc .x a 17 .29 a
xabc .x 36.29
Si
9138116abc9x 9
a=1 ; b=3; c=8 Luego:
13 nx 11 9
n 1 3 9 n 5
RPTA.: E
30. Halle a b c m n , sabiendo
que: n maba bcn
Sabiendo que: m < 9 y b > 4
A) 27 B)3 C)-5
D) -3 E)5
RESOLUCIN mnab4 (Ordenando) 87654
Luego: 87 517656
a b c m n 6 5 1 7 3
3
RPTA.: D
x
-
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31. Calcule la suma de las dos ltimas
cifras del numeral: n16 12 13 8 ,
al expresarlo en el sistema de
base 1n . A) 6 B) 7 C) 5
D) 4 E) 3
RESOLUCIN
n8131216N Base 1n
nn
n n
n n nn
nn
nn
n n
n n
n
16 12 13 8 n 1 11
11 1576 11
5 12 11 143 11
5 5 47
7 13 44
7 7 36
68 33
66 3
2
(n 1)N ...32
de las 2 ltimas cifras = 5
RPTA.: C
32. Si se cumple:
x
2m 1
9 6 12abcd
m m m
Calcule a b c d m x
A) 8 B) 10 C) 12
D) 13 E) 15
RESOLUCIN
x
1m2
abcdm
12
m
6
m
9
m divide a 9; 6 y 12 por tanto m = 3
Reemplazando.
x5 abcd324 a mayor valor
aparente menor base x 5
Se verifica para: x = 4
Por descomposicin:
8945253324 55
Por divisin a base 4:
89 4 1 22 4 2 5 4
1 1
x45 abcd1121324
4x;1d;2c;1b;1a
3m
12mxdcba
RPTA.: C
33. Calcule : a n m
Si: n m120a 64a 2553
A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 19
RESOLUCIN
mn 2553a64a120
6401200n
n + 2n = n (n+2) = 8(8+2)
Nmeros
equivalentes
-
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)28(8)2n(n2n 223
n 8
8 m64a 120a 2553 ;m 5
m 8
6m
3
62553 2 6 5 6 5 6 3 645 64a
a 5
a m n 5 6 8 19
RPTA.: E
34. Halle x en:
n 7abx ccn , si: 2c y ab
A)0 B) 2 C) 3
D)5 E) 6
RESOLUCIN
n 7abx ccn ...(I) ; C 2 ; b a
7n 2 c a b n 7 c 3
a 4
b 5
n 6
Luego en I
6 745x 336 174
6 645x 450 x 0
RPTA.:A
35. Si se cumple que:
(2n) numerales
n
14 10 1
15 11
14 12
15 13
1 n 1
Cuntas cifras tendr el menor numeral de la base n, cuya suma de cifras sea 210, cuando se
exprese en la base 2n ?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5
RESOLUCIN Aplicando propiedad.
1)1n(...3210n5).1n()4(n15
2
)1(99
nnn
18n2
)1n(nn19
En base 3241822 n
Nmero 18324210 02 01 00
Nmero de cifras =5
RPTA.:E
36. Halle knba en la siguiente expresin:
k n9ab 213312 ; donde 2nk
A) 18 B) 24 C) 28 D) 41 E) 37
RESOLUCIN
Luego: knkn 2
nn 213312ab9 2
Transformando de base (n) a base 2n
n21 33 12
2n9 a b
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
n
4
4
21 9 n 4 ; k 16
33 a a 15
12 b b 6
41knba RPTA.: D
37. El mayor nmero de 3 cifras
diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
RESOLUCIN
Sea: nabc el mayor cba
n 8nabc n 1 n 2 n 3 4205
pasando a base 10.
218158082843nn).2n(n.1n 232
2184nn3
2184)1n(n 2
2184)1n)(1n(n
1413121nn1n
13n
RPTA.: D
38. Se desea repartir S/. 1000000 entre
un cierto nmero de personas, de
tal modo que lo que les corresponda
sea:
S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;
y que no ms de 6 personas reciban
la misma suma. Cuntas personas
se beneficiaron?
A) 16 B) 15 C) 14
D) 13 E) 12
RESOLUCIN Transformando a base 7:
7311333110000001
Nmero de personas:
1611333311 16N
RPTA.: A
39. Si se cumple:
2 8a10b11b 15c
Halle: cba A)6 B) 7 C)5
D)9 E) 10
RESOLUCIN
2a 10b 11b = 8c15
8)b6)(b4(a = 8c15
1a*
1b;5b4*
7c;cb6*
9cba*
RPTA.: D
40. Si se cumple: n 7ab ba
Halle la suma de cifras de n ; si es el mximo valor posible.
A) 37 B) 13 C) 11 D) 21 E) 10
77
7
7
7
7
1 000 000
142 85720 408
2 915
416
59
8
1
(1)
(1)
7
(3)
(3)
(3)
(3)(1)
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
RESOLUCIN Descomponiendo:
ab7ban
1a
b6n
7by7a
6b;1a
37n 1073
RPTA.: D
SEMANA 4
NUMERACIN II
41. Si el trmino ab avo de la
siguiente serie aritmtica es ba. Calcule a +b si: 30;;48;51
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
RESOLUCIN 30;;48;51 Razn: 3. Trmino 1: 30
Trmino n: 11
nttn razn
baabtab
3130
Descomponiendo:
30+3xab-3=ba 30+3(10a+b)-3=10b+a
27+29 x a = 7 x b
1 8
a=1; b=8
a+b=9 RPTA.: D
42. Dada la siguiente progresin aritmtica:
aa0;ab(a 2);a(b 1) 3b ;..... 3a 05
n trminos Halle: a+b+n
A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 19
RESOLUCIN n trminos
0533120 a;.....b)b(a;)a(ab;aa
)a(ab)b)(b(aaa)a(abr 23102
r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
r =10b-9a+2=3b-a+8
7b = 8a+6 r = 13
2 1
n= 16113
110305
a + b + n=19 RPTA.: E
43. Cuntos trminos tiene la siguiente progresin aritmtica:
x x x x233 ;242 ;301 ;........;1034
A) 26 B) 17 C) 20
D) 19 E) 22
RESOLUCIN Clculo de la razn R:
xxxx 242301233242
Descomponiendo polinmicamente
2 22x 4x 2 2x 3x 3 2 23x 1 2x 4x 2 x = 5 R = x - 1 R = 4
5 5 5 5233 ;242 ;301 ;.........;1034
+ 4 + 4
5 51034 233
n 14
n = 20 RPTA.: C
44. En la numeracin de las pginas
impares de un libro se han empleado 440 tipos de imprenta. Cuntas pginas puede tener el
libro?
A) 165 B) 330 C) 320 D) 145 E) 325
RESOLUCIN Suponiendo la ltima pgina con
numeracin PAR.
Cantidad de cifras de las pginas impares:
1, 3, 5, 7, 9,
5#s 5 x 1 = 5 cifras
11, 13, 15, 17,., 97, 99 45#s 45x2=90cifras
101, 103, 105, 107,.
440-(5+90) = 345 cifras
Se han utilizado 345 cifras para
escribir nmeros de3 cifras:
3 cifras = 1153
345
nmeros de 3 cifras
Total de pginas impares
= 5+45+115=165 pginas. Total de pginas =330
RPTA.: B
45. Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 trminos. cuantas cifras
en total se han utilizado?
67 70 73 7666 ,69 ;72 ;75 ;...........
A) 664 B) 665 C) 620 D) 653 E) 655
RESOLUCIN
abc 1
67 70 97 100 10366 ,69 ;...96 ;99 ;102 ...abc
11#s 1# 101#s
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
11 x 4 1 x 5 101.6
RPTA.: E
46. Las 72 primeras pginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeracin que las utilizadas
por las 72 ltimas Cuntas pginas tiene el libro?
A) 159 B) 157 C) 148 D) 195 E) 185
RESOLUCIN La numeracin de las pginas
ser: 1, 2, 3, 4,., 71, 72,.., x Cifras utilizadas
N........,n,n,n 707172
(x+69) cifras utilizadas
(La cantidad de cifras del 1 al 72) = (72+1)2-11=135
La cantidad de cifras utilizadas en las 72 ltimas pginas ser:
135+69=204
Entonces si al total de cifras desde 1 N, le quitamos el total de cifras utilizadas desde 1 hasta (N-72) es igual a 204.
Asumiendo para N=3
N 1 3 111 N 72 1 2 11 204
N=159 RPTA.: A
47. En la siguiente serie, halle el
trmino que ocupa el lugar ante penltimo.
3, 9, 17, 27,., 699 A) 559 B) 597 C) 647 D) 649 E) 585
RESOLUCIN
tn = 211
2
211 r.
nnr.nt
En el problema
22
23613699
2
.nn
.ntn
2700 n 3n n 25
23
22.21t 3 22.6 .2 597
2
RPTA.:B
48. Cuntos nmeros de la forma:
a a 1 b b 2 c c /2 d existen? A) 960 B) 2160 C) 3200
D) 3600 E) 2400
RESOLUCIN
d/ccbbaaN 221 1 2 0 0 2 3 2 1 3 4 4 2
. . 6 . . . 8 .
. . .
. . . 7 . .
8 9 9 C#s= 8 x 8 x 5 x 10 =3200
d= 0; 1; 4; 9; 16;..; 28 ; 29 RPTA.: C
49. En que sistema de numeracin existen 136 nmeros de las
formas: Kbbaa
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
RESOLUCIN a+b= k-1 (mximo)
a=1; b=0; 1; 2; 3;k-2 k-1
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
a=2; b=0; 1; 2; .;k-3 k-2 a=3; b=0; 1; 2; .;k-4 k-3
. . . .
. .
a=k-2; b=0,12
a=k-1; b=0 1
#s = k 1 k
1362
k 1 k 8 17 2
k=17
RPTA.: B
50. Cuntos nmeros de tres cifras existen, que tengan por lo menos
una cifra par y por lo menos una cifra impar?
A) 500 B) 625 C) 675 D) 635 E) 600
RESOLUCIN Sabemos:
cba
9x10x10=900 nmeros de 3 cifras
Para hallar los nmeros de3 cifras que tengan al menos 1 cifra impar
y 1 cifra par, al total de nmeros de 3 cifras se le debe restar los nmeros de 3 cifras pares e
impares luego:
# de 3 cifras pares a b c 2 0 0
4 2 2 6 4 4
8 6 6 8 8
4 x 5 x 5 = 100#s
# de 3 cifras impares
a b c 1 1 1
3 3 3 5 5 7 7 7 5
9 9 9
5 x 5 x 5 = 125 #s
Entonces: 900-(100+125)675 #s RPTA.: C
51. Cuntos nmeros capicas existe
entre 800 y 80000?
A) 900 B) 800 C) 700 D) 750 E) 810
RESOLUCIN 800 < capicas< 80000 Capicas
aba ; abba ;
8 0 1 0 9 1 2 1 2 3 2
. . . . . .
. . . 9 9 9 2x10 = 20 9x10=90
a b cba
1 0 0 2 1 1
1 2 2 . . .
. . . . . . 7 9 9
7x10x10=700 C#s Capicas= 20+90+700=810
RPTA.: B
52. Cuntos nmeros de 10 cifras hay en base 16 tal que el producto de
sus cifras sea 30? A) 990 B) 800 C) 720
D) 500 E) 600
RESOLUCIN Casos: I II
Producto de =30= 2x3x5 = 5x6
cifras III IV
=15 x 2 =10 x 3
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
Caso I : 10x9x8 = 720#s
Caso II : 10x9 = 90#s Caso III : 10x9 = 90#s
Caso IV : 10x9 = 90#s Total = 990#s
RPTA.: A
53. En que sistema de numeracin hay 66 nmeros capicas de 5 cifras,
que exactamente tenga 2 veces la cifra 2 en su escritura?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
RESOLUCIN
Nro capica: abcba
Tenga 2 cifras 2 En su escritura:
x2 b c b 2 xa 2 c 2 a
0 0 1 0
1 1 3 1 3 3 . 3 . . . .
. . . . . . . .
1
1
1
1
x
x
x
x
1
1
2
1
x
x
x
x
2
x 1 x 2 x 1 66
x 1 x 1 x 2 66 6 11
x 1 2x 3 7 1 2 7 3
x 7
RPTA.: C
54. Se escriben en forma consecutiva los nmeros enteros positivo uno a continuacin del otro hasta emplear
2226 cifras. Cul es la cifra que ocupa el ltimo lugar?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
RESOLUCIN 2226 cifras
1,2,9; 10,11,.99,100,U
9 #s 90 #s
Cifras: 9x1 90x2 2037 cifras
2037 3 679 # s de 3 cifras
679 U 100 1 U 778
ltima cifra =8 RPTA.: D
55. Un libro se empieza a enumerar
desde una primera pgina y se observa que 58 nmeros comienzan con la cifra 7. Cuntos nmeros
escritos terminan con la cifra 7? A) 76 B) 67 C) 70
D) 74 E) 73
RESOLUCIN La numeracin de las pginas que comienzan con la cifra 7 ser:
1,2,3,.,7,..,70,71,,78,79,
1#s 10#s
700,701,702,..,746
47#s
El libro tiene 746 pginas La secuencia de las pginas que
terminan con la cifra 7 ser:
7,17,27,37,47,.,717,727,737
Total de nmeros que terminan en
la cifra 7:
Total=737 7
1 7410
Total= 74 nmeros RPTA.: D
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
56. Se han arrancado las 50 ltimas
hojas de un libro, notndose que el nmero de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeracin, ha
disminuido en 361. Cuntos tipos de imprenta se han utilizado en la
numeracin de las hojas que quedaron.
A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769 D) 2 772 E) 2 774
RESOLUCIN
En total de pginas =100
Si las 100 pginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltaran
en total 400 tipos de imprenta, pero slo faltan 361, esto indica que algunas pginas son de 3
cifras.
Si cada pgina de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la cantidad de tipos
disminuye en 1.
Cantidad de pginas de 3 cifras = 400 -361 =39
La ltima pgina de 3 cifras es la 999
La ltima pgina de 3 cifras que quedaron es =999-39=960
Cantidad de tipos=3(960+1)-111=2 772
Total de tipos = 2 772 RPTA.: D
57. Si de los nmeros del 1 a 1000, no se marca ni un solo nmero que contenga la cifra 4 la cifra 7
Cuntos nmeros se marcan?
A) 506 B) 510 C) 511 D) 512 E) 515
RESOLUCIN Sin 4 7 del 1 al 1000, por
anlisis combinatorio tenemos:
* De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s
* De 2 cifras: ba
7 x 8 = 56 #s
* De 3 cifras: cba
7 x8x 8=448 #s
* De 4 cifras: (1000) 1#
Luego : 7 +56 +448+1 =512#s
RPTA.: D
58. Un libro tiene entre 100 y 1500
pginas, si en las 40 ltimas pginas utiliza 155 cifras Cuntas cifras tendra si se enumerara en
el sistema octal?
A) 3555 B) 4005 C) 3750 D) 4125 E) 4325
RESOLUCIN x nmeros de 3 cifras
x+y=40 x=5
y nmeros de 4 cifras
3x+4y=155 y= 35
ltima pgina =1034 = 82012
# cifras = 884 2013 1111 3555
RPTA.: A
59. Sea la P.A.:
4a6;.....;68b;6c b 2 ;70d
donde el trmino del trigsimo
lugar de la P.A. es b68 . Halle (a + b + c + d).
-
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A) 26 B) 24 C) 30 D) 25 E) 13
RESOLUCIN
4ab;.......;68b;6c b a ;70d
r=8; c=9
30t 68b 4a6 29. 8
680 406 10a 232
42 b 10.a d 4
8 5
a+b+c+d+=26 RPTA.: A
60. Halle la diferencia de las bases de 2 sistemas de numeracin; si uno tiene 56 nmeros capicas de 3
cifras ms que el otro, y que la suma de dichas bases es 15.
A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7
RESOLUCIN
waba
Nros capicas:
zxyx
Adems: w+z=15
Mtodo combinatorio:
aba (w)
1 0
2 1 3 2
. 3 . . . .
. .
w
w
.w
w 1
1
1
zx y x
1 0
2 1 3 2
. . . . .
. .
z
z
.z
z 1
1
1
Por dato:
5622 zzww 5622 wzzw 561 zwzw 14
414
56 zw
RPTA.: B
61. Una persona empieza a numerar las
pginas de un libro desde el nmero 4000, se detiene en el nmero que representa la cantidad
de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del ltimo nmero.
A) 12 B) 13 C) 11 D) 14 E) 15
RESOLUCIN Sucesin ser: 4000;4001;4002.;N
N tipos de imprenta
Planteando el enunciado: (Cantidad de nmeros) x 4 =N
NN 39994 3N= 4x 3999
N= 4(1333) =5332 N=5332
Suma de cifras: 5+3+3+2=13 RPTA.: B
-
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62. Al enumerar las pginas de un libro
en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la
ltima pgina. A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIN 1;2;...6; 710 ;; 766 ;
6 nmeros 760 nmeros
7100 7666 71000 .. 7abcd
7600 nmeros x nmeros
6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras
+x.4 =996
4x=996-972 4x=24 x=6 nmeros
7 7abcd 1005
1 + 0+ 0+ 5=6
RPTA.: C
-
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SEMANA 5
ADICIN - SUSTRACCIN
63. Si :
a0ca 8abc b7c8 ccab 24022
Halle: 2a b c
A) 270 B) 256 C) 320 D) 245 E) 325
RESOLUCIN Si:
a ca abc b c ccab 0 0 0
24022 - 8000 -708=15314.
Entonces: a + b + c =14 (nico valor que cumple)
* 1+(a+ b+ c)+c =.........1
15 + c=..........1 c = 6 * 2 + a + c = ...........3
8 + a = ...........3 a = 5 * 1+ a + b + c = 15
1 + 5 + b +6 = 15 b=3
2 2a b c 5 3 6 270
RPTA.: A
64. Halle : ;cba si n + x =16 y
x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 19
RESOLUCIN n + x = 16 ; (n 1) . x = ... 4
n = 10
x = 6
* x (n-1) 4 x=6
6 9 n=10
a + b + c = 14
RPTA.:B
65. Halle en base 10 el valor de S si sus 15 trminos forman una
progresin aritmtica:
S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n)
A) 637 B) 625 C) 5481
D) 675 E) 645
RESOLUCIN
(n)n n nS 12 ... 21 30 210
Razn: n n n 21 12 1
ltimo trmino:
n n12 14 n 1 210
Resolviendo:
n n n 2 7 6 0 6
6 6 6 6S 12 21 30 ... 210
S= 8 + 13 + 18 + + 78
xS
15 86645
2
RPTA.:E
n-1Sumandos
a
5
5 5
x x
x
1
2x
x (n-1) x
b c 49 0
.
.
.
-
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66. Halle la suma de todos los
nmeros de la forma:
a a/2 b 2b
A) 84440 B) 84480 C) 84840 D) 104480 E) 105480
RESOLUCIN
1 columna = 80486420 2 columna = 0 1 2 3 4 4 40
3 columna = 5054321 4 columna = 2 4 6 8 5 100
RPTA.:E
67. Si: ....................106104102 nS
n sumandos
Halle la siguiente suma:
1 2 3 4 49S S S S S ......... S
A) 26 615 B) 16 415
C) 161 450 D) 164 150 E) 146 150
RESOLUCIN 1S 102
2S 102 104
3S 102 104 106
. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ..
. . . . .. . . . . .. . . . . ..
49S 102 104 106 +198
S = 49(102)+48(104)+47(106)+...1(198) S = 2[49(51) + 48(52)+47(53)+...1(99)]
S = 2[49(10049)+48(10048)+...
+47(10047)+...+1(1001)]
S = 2[100(49+48+47+....+1)....
(49+48+47+...+1]
49 49 1 49 49 1 2 49 1S 2 100
2 6
164150
S = 164150 RPTA.: D
68. Efectuar:
S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66
n cifras
A) n 110 9n
9
B) n 110 9n 10
27
C) n10 9n 10
27
D) n 110 9n 10
227
E) n10 9n 10
227
RESOLUCIN Factorizando el 6:
S = 6 (1+11+111+1111+...
+ 11111 ....... 1111
n cifras Multiplicando por : 9:
9 S = 6 (9+ 99+999+9999 + ... + 99999 ....... 9999
n cifras
1 2 3 n3S
10 1 10 1 10 1 ....... 10 12
:20#s
S=
5 4
a
2
8
105 4 8
8
4
6
1
2
34
01234
02
4
68
a 2
b (2b)N=
0
-
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1 n10 10 13Sn( 1)
2 (10 1)
n 12 10 9n 10S
27
RPTA.: D
69. Halle: ba si:
C.A. 1ab C.A 2ab C.A. 3ab ...
C.A. 9ab 41ab
A) 1 B) 6 C) 8 D) 10 E) 4
RESOLUCIN
CA 1ab CA 2ab ... CA 9ab 41ab
3 3 310 1ab 10 2ab ... 10 9ab 41ab
39 10 1ab 2ab ... 9ab 4100 ab
3 1ab 9ab9 10 9 4100 ab2
9000 500 ab 9 4100 ab 400 10 ab ab 40
a + b = 4
RPTA.: E
70. Calcule: k m n si se cumple
que:
1313
k m kCA mn 2n
5 3 8
A) 27 B) 13 C) 53 D) 4 E) 25
RESOLUCIN
13 13
k m kCA mn 2n
5 3 8
Mtodo Prctico:
m12 m m 9
3
12 n 2n n 4
k k
k 13 405 8
k m n 40 9 4 4
RPTA.: D
71. Si:
m m m m mabc cba xyz ,xyz zyx
mdefg yd e f g ; 16
Halle el valor de m.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
RESOLUCIN
m m mabc cba xyz
x z m 1 y= m 1
m
m
m
x y z
z y x
de f g
z+x=m-1=g
2y = 2m-2= m
m 1 2
f m 2
m m1 x z m 10 de
D = 1 ; e = 0
Luego: d + e + f + g =16 (por dato)
1 + 0 +m 2 + m 1 =16
2m=18 m 9
RPTA.: E
72. Calcule el complemento aritmtico
del nmero n nM 1 19 10 10 Dar como respuesta la suma de sus cifras.
A) 10n+2 B) 15 C) 18 D) 9n-1 E) 10n-9
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RESOLUCIN
n nM 1 19 10 10
Se puede expresar:
n nM 2 1 19 10 10 10
Factor comn:
n 1 n 1M 10 900 1 901 10
C.A 901000...000 99000...000
(n+2)cifs. ( n+1)cifs.
Suma de cifras: 9+9 =18 RPTA.: C
73. Si N y M son nmeros de 200 y
150 cifras respectivamente, y
CA N M CA(N).
Halle la suma de cifras del complemento aritmtico de M.
A) 151 B) 1 C) 50
D) 9 E) 450
RESOLUCIN
C.A. N-M C.A.(N)
k n10 N M 10 N n K KM 10 10 10 99...9
kCA(M) 10 .1 100...0
Cifras = 1
RPTA.: B
74. Cul es el mayor sistema de
numeracin en el cual se puede escribir con tres cifras un nmero
entero que en el sistema decimal tiene por complemento aritmtico a otro numeral de 3 cifras iguales?
A) 26 B) 29 C) 20
D) 19 E) 22
RESOLUCIN Sea n el valor mximo de la
base, que representa al nmero
dado como: nabc N 10
Adems: 10CA N XXX Cmo
10N debe ser mximo, por
lo tanto su CA deber ser el ms pequeo posible, luego x=1
Luego: 10CA N 111;N 889 Entonces:
2
nabc 889 n 889; n 29,7 L
uego el mayor valor de la base ser: n = 29
RPTA.: B
75. Si:
21ab 24ab 27ab .... 69ab
es xyz63
Calcule: (a+b+x+y+z)
A) 28 B) 27 C) 24
D) 26 E) 32
RESOLUCIN
21ab 24ab 27ab .... 69ab
es xyz63
.... ab 2100 2400 2700 6900 17
17#s.
9000
217 17 ab xyz63
Observando: (otras cifras son
ceros)
ab
17*7 b .3;b 9 ab 39
73 *7 a 6 .7;a 3
9 63
-
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4500 17 17 39 xyz63 X=7
17 4539 77163 xyz63 Y=7
a b x y z 27 Z=1
RPTA.: B
76. En que sistema de numeracin
n la suma de todos los nmeros
capicas de 2 cifras es 330 en
base n?
A) 6 B) 4 C) 7
D) 9 E) 8
RESOLUCIN Planteando el enunciado.
n n n nn11 22 33 ... n 1 n 1 330
1 n 1 2 n 1 3 n 1 ... n 1 n 1 3n n 1
Simplificando tendremos: 1+2+3+4+.+(n-1)=3n
Suma
de n
n n
1 32
naturales
n 1 = 6; n = 7 Heptanal
RPTA.: C
77. Halle la suma mnima de los
siguientes nmeros que se
encuentran en P.A.:
S = ab;ac; a 1 3; a 1 c;....; a 7 c
De como respuesta la suma de
cifras de S.
A) 16 B) 18 C) 20
D) 21 E) 22
RESOLUCIN
ab;ac; a ; a C... a c 1 3 1 7 5 5 5
b=3 c=8
mina 1
13 88 88 13S 1
2 5
S 101
2 16 808
Cifras de S=16
RPTA.: A
78. Si: 8 8 8 8aba ab ba ccdd
Halle el valor de (a+b+c+d).
A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 19
RESOLUCIN Ordenando:
aba 8
ab 8
ba 8
ccdd 8
8a b a 2d 16 d
b=5
8b a b 2 2d 16 d
d=3
8a 2 CC 9C
c= 1 a=7
a + b + c + d = 16
RPTA.: D
-
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79. Halle la suma:
4 5 6 7 10013 31 13 31 ... 13
A) 2 895 B) 7 536
C) 12 301 D) 10 321
E) 10 231
RESOLUCIN
Desdoblando en dos sumas:
S ... 1 4 6 8 10013 13 13 13
S 1
7 9 11 +103
2
103 7 103 7S 1 2695
2 2
S ... 2 5 7 9 9931 31 31 31
S ... 2
16 22 28 298
1
298 16 298 16S 1 7536
2 6
1 2S S S 2695 7536 10231
RPTA.: E
80. Halle: a+b+c si:
9 9 9 9 9a1b a2b a3b ... a8b 48c2
A) 16 B) 17 C) 15
D) 20 E) 18
RESOLUCIN
a b 91
a b
.
.
.
92
9a8b
948c2
Unidades:
98 b x2 8.b 9 2 b 7
Decenas:
8 9
6 42 4 9 6 c 62
Centenas:
98 a 4 48
8 a 40 a 5
a + b + c = 18
RPTA.: E
81. Halle la diferencia de las cifras de
un nmero de 2 cifras; tal que la
suma del nmero con el que
resulta de invertir sus cifras, sea
igual a la suma de todos los
nmeros de 2 cifras hasta el
inclusive.
A) 0 B)4 C) 2
D) 1 E) 3
RESOLUCIN Planteando el enunciado:
Nro. Inicial: ab
Nro. Invertido: ba
ab ba 10 11 12 13 ... ab
10 ab11 a b ab 92
22 a b 10 ab ab 9
22=10+ab ab 12
3 = 12 9
Pide la diferencia b a = 1 RPTA.: D
-
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82. Halle la suma de los C.A. de todos
los nmeros que tienen tres cifras
impares.
A) 55 6615 B) 55635
C) 45 625 D) 55 525
E) 55 625
RESOLUCIN
C. A. abc
Sumando: Unidades:
25 (9 + 7 + 5 + 3 + 1) = 625
Decenas:
25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 Centenas:
25 (8 + 6 + 4 + 2 + 0) = 500 55625
RPTA.: E
83. Se realiza una reunin de Peruanos y Bolivianos para tratar
con respecto a la agricultura, son 12 en total, los peruanos son ms
que los bolivianos, los peruanos
llegan y se dan los buenos das mutuamente; los bolivianos lo
mismo, pero los peruanos no saludan a los bolivianos y lo mismo los bolivianos, si en total
se efectuaron 31 saludos Cul es la diferencia entre Peruanos y
Bolivianos?
A) 2 B) 3 C) 1
D) 5 E) 4
RESOLUCIN
P+B=12 Saludos Peruanos
1 P-1 2 P-2
. . P
P
1
2
. . . . P-1 1
Saludos Bolivianos
1 B-1 2 B-2 3 B-3
. . . .
. . B-1 1
P B
P B
1 131
2 2
2 2P P B B 62 P + B (P + B) = 62 P + B = 74
7 + 5 = 74
7 5 = 2 RPTA.: A
84. Cuntos nmeros de la forma
abcde existe, tales que:
a b c d e y la suma de los cuadrados de las cifras de
segundo y quinto orden es igual a
a b c
1 1 1
3 3 3
5 5 5
7 7 7
9 9 9
(9 a)(9 b)(10 c)
8 8 9
6 6 7
4 4 5
2 2 3
0 0 1
5 5 5 =125 Nmeros
5 5 5 = 125 Nmeros
BB
1
2
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
la suma de los cuadrados de las
dems cifras? (Las cifras a, b, c, y d forman una
progresin aritmtica). A) 1 B) 5 C) 6
D) 9 E) 4
RESOLUCIN
abcde;a b c d e
2 2 2 2 2a d b c e .
2 2 22 2d 3r d d 2r d r e
d=d
c= d+r b=d+2r
a=d+3r
Resolviendo e = 2 r
r e 1 2
a b c d e
6 5 4 3 2
7 6 5 4 2
8 7 6 5 2
9 8 7 6 2
Solo hay 4 nmeros
Si r e 2 4
a b c d e
119 7 5 4
No hay nmeros
RPTA.: E
85. Halle la suma de cifras de la suma
de todos los nmeros de la forma
a 3 b 1
a 2 2b 52 3
A) 15 B) 14 C) 13
D) 16 E) 17
RESOLUCIN
b = {1; 4} a = {3; 5; 7; 9; 11}
Ordenado los productos parciales
U ( )10
51
= 5 0 +
D ( )10
102
= 5 0
C ( )10
12
= 5
M ( )10
255
= 5 0
UM ( )10
255
= 50
S= 55 1 0 5 0
Cifras 16
RPTA.: D
UM M C D
a 2 b
1
3
a
3
25
U
( b)2
1
3
5
7
9
3
4
5
6
7
0
1
2
8
5
x5 (2) =10
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
SEMANA 7
DIVISIBILIDAD I
86. Si:
A = 3k + 1 ; B = 3k + 2
Halle el residuo que deja la
expresin:
E = [2A + 22B + 2] entre 7
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 4
RESOLUCIN E = (2A + 22B + 8) 7
E = (23k+1+26k+4+ 7 +1)
E = (2)k . 21 + (2)2k 24 + 1
E = (
7 +1)2 + (
7 +1)(
7 +2)+1
E = 2 + 2 + 1 +
7
E =
7 + 5 residuo = 5
RPTA.: D
87. Una importadora ha comprado
relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a
S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u.
Si la factura total fue S/. 2213.
Halle el nmero de relojes.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIN Planteando el enunciado:
a # de relojes
143 a + 91 b + 77 x c = 2 2 1 3
1 2 3 1
(1) +1
* Mdulo de
7 :
[(
7 +3)a+
7 +
7 ] = 3 + 3 4 2
3a +
7 = 7 + 1
7m 1
a3
m = 2 ; a = 5
RPTA.: B
88. Cul es el residuo de dividir:
666...666 (8) entre 13?
102 cifras
A) 2 B) 8 C) 3
D) 5 E) 9
RESOLUCIN Calculando restos potenciales de
base 8 respecto al mdulo 13.
Base 8: 80; 81; 8; 8; 84 1; 8; 12; 5; 1
1; 5; 1; 5; 1
Cada 4 cifras se anula:
102 4
2 25
6 6 6 ..... 6 6 6(8)
5 1 100 cifras = 0
30 6 13 r
13 + 2 =
13 + r
r = 2
RPTA.: A
89. Si: 43a43 es la suma de 83
nmeros consecutivos, halle el
valor de a.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
RESOLUCIN Sean los 83 nmeros
consecutivos: n41; ...; n1; n; n+1,...;n+41
Luego:
n41 + ....+n+41=43a43
83n = 43a43
83 = 43043 + 100a
83 = 49 + 17a +
83
83 = 17a 34
a = 2 RPTA.: B
90. Cuntos trminos son mltiplos
de
25 ?
2; 5; 10; 17; .......; 10001
A) 12 B) 9 C) 8
D) 5 E) 6
RESOLUCIN Trmino n simo:
an = n + 1 ; n = 1,...., 100
n +1 =
25
n + 1 50 =
25
(n + 7) (n 7) =
25
n + 7 =
25 n = 18; 43; 68; 93
n 7 =
25 n = 7 ; 32 ; 57; 82
# trminos = 8 RPTA.: C
91. Si al dividir por exceso:
2304606902b31 con
23 no deja
residuo, halle el valor de b.
A) 1 B) 2 C) 5
D) 7 E) 8
RESOLUCIN Se tiene:
2304606902b31 23 2b31
=
23 + 2031 + 100b
=
23 + 7 + 8b
Como el residuo es 0
7 + 8b =
23
b = 2
RPTA.: B
92. Halle el residuo de dividir: unac2008
3abc3 por 10
A) 1 B) 2 C) 5
D) 6 E) 7
RESOLUCIN
4kunac2008
k
3abc3 ...3
...1
= ...1
=
10 + 1
RPTA.: A
93. Halle el residuo de dividir:
nm
2 4 6abba cde1 fgh3 por 2.
A) 0 B) 1 C) 0.1
D) FD E) N.A.
RESOLUCIN
E = nm
2 4 6abba cde1 fgh3 ; a = 1 , b=0
=
nm2 1 4 1 6 3
=
2 1 2 1 2 3
=
2 + 3
E =
2 +1 RPTA.: B
94. Cul es el residuo de dividir la
siguiente suma:
E = [26n+3+9k.4k] entre 7?
A) 1 B) 2 C) 3
-
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D) 4 E) 5
RESOLUCIN E = 26n+3 + 9k.4k entre 7
E = 2n
32 . 2 + (7 +2)k.4k
E = (
7 +1)(
7 +1) + 2k.4k
Ojo: 2k.4k = 8k=(
7 +1)
E = (
7 +1)+(
7 +1) = 7 +2 RPTA.: B
95. Sea:
n! =
23 + 2;
(n+1)! =
23 + 6
Cul es el residuo de (n+3)!
entre 23?
A) 3 B) 6 C) 5
D) 12 E) 13
RESOLUCIN
RPTA.: C
96. Cuntos trminos de la serie: 4;
11; 22; 37; 56; ....(100 trminos)
son: (
13+1)?
A) 14 B) 15 C) 9
D) 8 E) 12
RESOLUCIN Sucesin de 2 orden:
c = 1 4; 11; 22; 37; 56;...
a+b = 3 7 11 15 19
2a = 4 4 4 4
columna secundaria
a = 2 ; b = 1 ; c = 1
2n + n + 1 =
13 + 1
n(2n+1) =
13 ; n =
13k
#s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nros)
#s: {2n+1= 13; 6; 19; ...97} (8 nros)
Total de nmeros 7 + 8 = 15
RPTA.: B
97. Halle a si (a+b) = 6, adems:
5aabbaabb...ab1334 11 9 y el
exponente tiene 88 cifras.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2
RESOLUCIN ++
1334 =
11+3; calculando restos potenciales.
(
11+3)5k+b =(
11+3)5k(
11+3)b=
11+9
=(
11+ 35k)(
11+3b) =
11+9
=(
11+3b) =
11+9 b = 2 ; a = 5
RPTA.: B
98. Si el nmero ab1
135 se convierte
en base 11. Cul ser la cifra de unidades del resultado?
A) 7 B) 3 C) F.D. D) 2 E) 1
-
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RESOLUCIN ab1
ab1
ab1
135 base 11
11 3 11 r
11 3 11 r
Restos potenciales de impotencia 3 con respecto al mdulo 11.
30; 31; 3; 3; 34; 35 1; 3; 9; 5; 4; 1
ab0 1
k5
11 3 3 11 r
11 3 3 11 r
11+(
11+1).3 =
11+r
11 + 3 =
11+r r = 3
RPTA.: B
99. Halle el resto de dividir E entre 7:
12
142314241425E 1426
A) 2 B) 6 C) 3 D) 1 E) 5
RESOLUCIN
E = 1426 Impar =
7 + r
(
7 2)Impar =
7 +r
7 2k =
7 + r
K = mltiplo de 3 k = 3n
7 23n =
7 1 =
7 + r
7 + 6 =
7 + r r = 6
Residuo = 6
RPTA.: B
100. Halle (d+u), si el nmero de
la forma:
mcdu 11, tal que md 7
y m + c + d + u = u
A) 9 B) 13 C) 12
D) 15 E) 45
RESOLUCIN
mcdu 11;md 7;m c d u u u =16
++ 3 1 u = 25
u = 36
c + u (m+d) =
11;
para u = 4
c (m+d) =
11 4 .......... ()
3m+d =
7 .......................()
Para u = 4 m + c + d = 12
m + d = 12 c ..................() si: c = 4
m + d = 8 ........................()
de () y ()
c =
11 + 4 c = 4
de () y () m = 3; d = 5 d + u = 9
RPTA.: A
101. Cuntos trminos de la siguiente
sucesin: 2; 6; 12; 20; 30;
....;14762 al expresarlos en base
5, resultan que su cifra de menor
orden es 1?
A) 12 B) 24 C) 36
D) 42 E) 28
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
RESOLUCIN 2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; .... 14762
1x2; 2x3;3x4;4x5; 5x6; ....;121x122
tn = n (n+1) =
5 + 1 ; n= 1,2,...,121
(por dato en base 5 acaba en 1)
n + n =
5 + 1 + 5
n + n 6 =
5
(n+3)(n2) =
5
Luego:
n + 3 =
5 n =
5 3 =
5 + 2
n 2 =
5 n =
5 + 2
n = 5k + 2 k = 0; 1; 2; ....23
n 121 24 valores RPTA.: B
102. En una fiesta infantil el payaso
POPI juega con un grupo no ms
de 150 nios y observa que si los
agrupa de 7 en 7 le sobran 5
nios; si los agrupa de 4 en 4 le
faltara un nio para formar un
nuevo grupo y si los agrupa de 9
en 9 le sobran 2 nios. Calcule el
nmero de nios que hay en dicha
fiesta.
A) 42 B) 130 C) 47
D) 122 E) 56
RESOLUCIN # nios (N) 150
N =
7 +5
N =
4 + 3 N =
4 + 11
N =
9 + 2 N =
9 + 11
N =
36+11 = 36 k + 11
k = 1 ; 2 ; 3
N = 47; 83; 119
Pero:
N =
7 + 5 N = 47
RPTA.: C
103. En una conferencia a la que
asistieron 528 personas; se sabe
que de los varones: la tercera
parte usan corbata; los 2
15 usan
lentes y los 3
7 llevan saco. De las
mujeres se sabe que: la sexta
parte usa minifalda; las 3
4 usan
lentes y las 2
9 tienen ojos azules.
Calcule el nmero de personas
que usan lentes.
A) 137 B) 56 C) 81
D) 420 E) 48
RESOLUCIN # personas = 528
De los varones (V):
* usan corbata = V
V 33
* usan lentes =2
V V 1515
* llevan saco = 3
V V 77
V =
105 = 105x
De las mujeres (M):
* usan minifalda = M
M 66
* usan lentes = 3M/4 M =
4
-
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* tienen ojos azules = 2
M M 99
M =
36 = 36y
105x + 36y = 528
4 3
lentes
lentes
2(420)V 56
15
3(108)M 81
4
Personas con lentes: 137
RPTA.: A
104. Un comerciante va a la Galera
Gamarra con S/. 3060 para
comprar polos, camisas y
pantalones de precios unitarios
iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60
respectivamente. Si entre
pantalones y camisas debe
comprar ms de 10 prendas.
Calcule cuntas prendas en total
compr; si la cantidad de polos
fue la mayor posible; adems
compr al menos uno de cada uno
y emple todo su dinero.
A) 183 B) 172 C) 163
D) 184 E) 195
RESOLUCIN Artculo: camisas; polos, pantalones Precios Unitarios 24 ; 15 ; 60
N artculos x ; y ; z
Mximo
x + z > 10
Luego:
24x + 60z + 15y = 3060 ........()
Por
5 : 24x +
5 +
5 =
5
24x = 5 x = 5 xmin = 5 en()
24 5 + 60z + 15y = 3060
20z + 5y = 980 4z + y = 196
Zmin = 6 ymax = 172
x + y + z = 183 RPTA.: A
105. El residuo de dividir el nmero
657143 entre 25 es ab . Calcule el
resto de dividir dicho nmero
entre a b
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIN
657143= (
25+7)143 =
25 + 7143
=
25+(7)717=
25+(
25 1)71.7
=
25+(
25 171)7
=
25+
25 17 =
25 7
67143 =
25 +18 =
25+ab
ab = 18
657143=(
8 +1)143=
8 + 1143=
8 +1
r = 1 RPTA.: A
106. Halle el menor valor de N = cdu ,
sabiendo que es mltiplo de:
P c 2 d 1 u 3
A) 214 B) 316 C) 213
D) 426 E) 441
RESOLUCIN
o
cdu c 2 d 1 u 3 c 2 d 1 u 3 k
cdu cdu 213 k 213k k cdu cdu 3.71.k= cdu k 1
-
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Dando valores obtenemos:
(k1) k cdu
1 2 3 x 71 x 2 = 426 c = 4
3 4 71 x 4 = 284 c = 2
71 72 72 x 3 = 216 c = 2
3.71 214 214 c = 2
cdu = 426
RPTA.: D
107. Halle el mayor nmero abc , tal
que: abc1492 al ser dividido entre
40, deje como residuo 24.
A) 996 B) 249 C) 989
D) 995 E) 998
RESOLUCIN Sabemos que:
1492 =
40 + 12
Aplicando el Binomio de Newton: abc
abc1492 40 12
abc abc1492 40 12 40 24
abc12 40 2 4
Determinando los restos
potenciales de 12 respecto al mdulo 40, hallamos como valor del Gassiano cuatro, entonces el
exponente abc deber ser
mltiplo de cuatro, ms aquel
exponente del grupo peridico que deja resto potencial 24.
1 4
2 4
3 4
4
12 40 12
12 40 24
12 40 8
12 40 16
abc 4 2
adems, como debe ser el mayor
posible abc 100 0
4k + 2 < 1000 k < 1000 2
249,54
kmximo = 249
abc 4 249 2 998
RPTA.: E
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
SEMANA 9
TEORA DE LOS NMEROS
NMEROS PRIMOS
108. Sea 600...32000A
n cifras
Calcule n si A tiene 444 divisores compuestos.
A) 13 B) 11 C) 12 D) 15 E) 16
RESOLUCIN
nnA 620632 6
nnA 32522
532 2 nnA
ACD 444 4
no compuestos
ACD 448
ACD n 3 (n 1) (1 1) 448
ACD n 3 (n 1) 224 13 3 13 1
n = 13 RPTA.: A
109. En el nmero aN 30 , la suma de sus divisores pares es 2418. Determine la cantidad de divisores
compuestos de N.
A) 23 B) 22 C) 21
D) 32 E) 14
RESOLUCIN a a aN 2 3 5
a 1 a aN 2(2 3 5 )
a a 1 a 1
N,2
2 1 3 1 5 1SD 2 2418
1 2 4
Divisores
2
a a 1 a 1N,2
SD 2 1 3 1 5 1 3 26 124
Slo cumple para a = 2
222 532 N
CD N 3 3 3 27
Divisores compuestos de N:
27 4 = 23 RPTA.: A
110. Si: x x 2M 20 30 ; tiene 48
divisores positivos mltiplos de 5 y adems impares. Halle x
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIN x x 2M 20 30
2x x x 2 x 2 x 2M 2 5 2 3 5 22223 532 xxxM
23122 2535 xxxM
Divisores impares 0
5
05impares
CD 48 x 3 2x 2
05impares
CD 24 x 3 x 1
05impares
CD 6 4 3 3 3 1
x =3
RPTA.: C
111. Halle un nmero divisible por 6; de 3 cifras y que tenga 21 divisores.
A) 552 B) 576 C) 522
D) 288 E) 342
RESOLUCIN 0
x yM abc 6 2 3 (M)CD 21 7 3
Solo cumple:
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
x = 6; y =2 6 2M 2 3 64 9 576
RPTA.: B
112. Si N 2 .5 .3 tiene 16 divisores mltiplos de 15 y 16 divisores
mltiplos de 20. Halle la cantidad de divisores cbicos de N.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
RESOLUCIN
N 2 .5 .3
. 0115
N 3 5 2 5 CD 1 16
. 02 2 120
N 2 5 2 5 3 CD 1 2 16
De donde 3 4
Luego:
1 1
3 4 3 3N 2 5 3 2 5 5 3
cubicosCD 1 1 1 1 4 RPTA.: D
113. Halle cuntos nmeros de la
forma abab existen, tales que poseen 6 divisores.
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
RESOLUCIN Efectuando la descomposicin polinmica se obtendr:
N abab 101ab
Adems:
NCD 1 1 2 1
Como 101 es primo
ab = primo
Solo cumple:
ab = 5 7
Hay 2 nmeros
RPTA.: E
114. Si 2 3a b posee 35 divisores y
n
a b posee p9 divisores; halle
(n + p)
A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 10
RESOLUCIN
2 3N a b 35 divisores
Como: 35 5 7 4 1 6 1
Dando forma 2 3
2 2 4 6N x y x y
Donde: a = x ; b = y
nn 2 2 2n 2na b x y x y
Posee: 2n 1 2n 1 p9
2
2n 1 p9 49
2n 1 7 n 3 p 4
piden: n p 7
RPTA.: C
115. Sea N = 128 ab, determine (a + b) si la suma de divisores de
N, es los 28
85 de N (a y b primos).
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
RESOLUCIN 7N 2 a b ; aplicando el mtodo
y simplificando
8NSD 2 1 a 1 b 1
7 585 17 5
2 ab 2 ab28 7
57 255 a 1 b 1 17 5 2 ab a y b son 3 y 7
a b 10 RPTA.: A
116. Halle el promedio aritmtico de los divisores del nmero 360.
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
A) 16,25 B) 48,75 C) 68,15 D) 47,85
E) 97,5
RESOLUCIN 3 2 1360 2 3 5
Calcule de la suma de divisores de
360:
4 3 2
360
2 1 3 1 5 1SD 1170
2 1 3 1 5 1
360CD 3 1 2 1 1 1 24
Promedio aritmtico = 1170
24
DivisoresPA 48,75
RPTA.: B
117. Si 31! Tiene n divisores, Cuntos
divisores tiene 32!?
A) 33
n28
B) 31
n27
C) 32
n27
D) 32
n25
E) 33
n31
RESOLUCIN 26
31!31! = 2 N CD 27n n
divisiones sucesivas para obtener la descomposicin del primo 2 en
31!
31 32!32! 31! 32 2 N CD 32n
31 32!32n
32! 31! 32 2 N CD27
RPTA.: C
118. Un nmero tiene 24 divisores y el
triple de ste, 30 divisores.
Cuntos divisores tiene el triple
del cuadrado del mismo?
A) 80 B) 90 C) 100 D) 120
E) 140
RESOLUCIN El nmero entero considerado admite como factor primo a tres:
a p p
NN 3 m n .... CD
a 1 p 1 q 1 .... 24 ........(1)
a 1 p q3 N 3 m n ....
NCD a 2 p 1 q 1 ... 30 ......(2) De (1) y (2), a =3
Reemplazando en (1) p = 1, q = 2
3 1 2N 3 m n 2 7 2 43N 3 m n
23NCD 7 1 2 1 4 1 120
23NCD 120
RPTA.: D
119. En el nmero 226800, determine cuntos divisores terminan en las cifras 1, 3, 7 9?
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
RESOLUCIN 4 4 2 1226 800 2 3 5 7
226800CD 4 1 4 1 2 1 1 1 150
02
CD 3 1 4 1 2 1 1 1 120
05
CD 4 1 4 1 1 1 1 1 100
010
CD 3 1 4 1 1 1 1 1 80
CD que terminan en la cifra 1, 3, 7 9 =
100001052
800226
CDCDCDCD
Son 10 divisores
2 2 2 2
31 15 7 3 1
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
RPTA.: C
120. Si el nmero. x 2yM 10 15 ; tiene
el quintuple del nmero de
divisores de x 2yP 3 6 y este
tiene 3 divisores ms que 2x yR 3 7 . Halle (x + y).
A) 5 B) 4 C) 7
D) 8 E) 6
RESOLUCIN x 2y x x 2y 2yM 10 15 2 5 3 5
x 2y 2y x2 3 5 x 2y x 2y 2y x 2y 2yP 3 6 3 2 3 3 5 2x yR 3 7
Cd (M) 5Cd(P)
x 1 2y 1 2y x 1 5 x 2y 1 2y 1 x + 1 = 5; x =4
Cd(P) Cd(R) 3
x 2y 1 2y 1 x 1 y 1 3
5 2y 2y 1 9 y 1 3 y = 1
x + y = 5 RPTA.: A
121. Determine la suma de las cifras
del menor nmero tal que al multiplicarlo por 8 se cuadruplique su nmero de divisores; y si su
cuadrado tiene 21 divisores.
A) 5 B) 13 C) 9 D) 10 E) 12
RESOLUCIN 2 x yM a b ; a y b primos
2Cd(M ) 21 7 3 = (x + 1)(y+1)
x = 6; y = 2 Extraigo su raz cuadrada.
3 1M a b Cd(M) 4 2 8 3 3 38M 2 M 2 a b Cd(8M) 32
32 = 4 x 4 x 2 (cumple).
Luego M no contiene potencia de 2
a, b mnimos 3 1M 3 5
M 27 5 135
1 + 3 + 5 = 9 RPTA.: C
122. Sabiendo que n35 tiene a4 divisores. Cuntos divisores
tendr n aE 33 33 ?
A) 238 B) 272 C) 298 D) 294 E) 296
RESOLUCIN n n nN 35 5 7
NCD n 1 n 1 a4 64
NCD n 1 8 n 7
a = 6
7 7 6 6E 3 11 3 11 6 6 6 6 5E 3 11 (3 11 1) 3 11 2
CD(E) 6 1 6 1 5 1 294RPTA.: D
123. Se tiene un nmero divisible por 15, el cual posee tres divisores simples y adems sabemos que
cuando se multiplica por 27, el nmero de sus divisores se
duplica y cuando se multiplica por 625 su cantidad de divisores se triplica. Determinar la suma de
cifras de dicho nmero.
A) 9 B) 18 C) 27 D) 36 E) 15
RESOLUCIN 0 0
N 15 3 5
simplesCD (N) 3 ; CDprimos (N) = 2
a bN 3 5 a 3 b27 N 3 5
a b 4625 N 3 5
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
a 1 b 1 2 a 4 b 2 a = 2
51311 baxba b =1
2N 3 5 45 4 + 5 = 9
RPTA.: A
124. Si: n 1210 tiene ab0 divisores
compuestos. Halle el valor de
(a + b + n);
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
RESOLUCIN
impuestosCD ab0
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1210 2 3 5 7
CDcompuestos = ab0 y
CDnocompuestos = 5
4CD n abo 5
4n ab5 625
n = 5 a = 6 b = 2 a + b + n = 13
RPTA.: D
125. Se tiene un nmero W cuya taba de divisores es una matriz 3 x 3;
si se observa que el producto de los divisores que componen una
de las diagonales es 9261. Halle la suma de cifras de W.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
RESOLUCIN 9261 = 33 . 73
Luego los factores de W son 3 y 7
2 2W 441 3 7
4 + 4 + 1 = 9
RPTA.: E
126. La suma de los divisores del
nmero 3a 1 a6 8 es 17 veces la
suma de los divisores del nmero a 3a 18 3 . Calcule a.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIN 3a 1 a 6a 1 3a 1N 6 8 2 3
6a 2 3a 2
N
2 1 3 1SD
2 1 3 1
3a 3a 1M 2 3
2a 1 3a 2
M
2 1 3 1SD
2 1 3 1
Luego:
SDN = 17SDM
6a 2 3a 2 3a 1 3a 22 1 3 1 2 1 3 1x 17
1 2 1 2
3a 1 3a 1 3a 12 1 3 1 17 2 1 3a 1 3a 1 42 1 17 2 16 2
a = 1 RPTA.: A
127. Si los nmeros enteros P y Q son los menores posibles que tienen
los mismos divisores primos, si se cumple que P tiene 35 divisores y
Q tiene 39 divisores, determinar cuntos divisores compuestos tendr (P x Q)?
A) 74 B) 90 C) 120
D) 125 E) 130
RESOLUCIN Como P y Q son los menores
nmeros enteros, se cumplir que:
1 3 9
7 21 63
49 147 441
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
6 4PCD 35 6 1 4 1 P 2 3
12 2QCD 39 12 1 2 1 Q 2 3
18 6Pxq 2 3
P QCD 18 1 6 1 133
CD compuestos =130
RPTA.: E
128. Si aaa posee 8 divisores pero al restarle a unidades el nmero de sus divisores se duplica. Halle la cantidad de divisores de
a 1 a 1 .
A) 24 B) 12 C) 90
D) 8 E) 16
RESOLUCIN
aaa 3 37 a
8 divisores
2a 2 5 7 3
Restndole a unidades
aao 2 5 11 a
16 divisores de los valores anteriores
solo cumple a =7
se pide 3(a 1) a 1 88 2 11
NCD 3 1 1 1 8
RPTA.: D
129. Sea a b 1 aN a 1 a b , donde
D.C N tiene 108 divisores compuestos.
Calcule la suma de los divisores
cuadrados perfectos de cd si
imparescd (CD de
0
60
N) (CD de
N).
A) 32 B) 48 C) 85
D) 56 E) 68
RESOLUCIN
C PNCD CD CD 1
NCD 108 3 1 112
NCD a 1 b 2 a 1 112
2 2
NCD a 1 b 2 16 7 4 7
De donde a = 3 b =5
3 6 3N 2 3 5
01 5 2N,60
N 60 2 3 5 CD 2 6 3 36
3 6 3 IMPARESN 2 3 x 5 CD 7 4 28
cd 36 28 64
Suma de divisores cuadrados perfectos de 64:
1 + 4 + 16 + 64 = 85 RPTA.: C
130. Halle la suma de cifras del nmero
N = 32 ab sabiendo que a y b son primos absolutos y la suma de los divisores de N es el triple de N.
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
RESOLUCIN 5N 2 a b
NSD 3N
6 52 1 a 1 b 1 3 2 ab 57 3 a 1 b 1 2 ab
aybson7y3
a 7 b 3
N 672
CIFRAS 15 RPTA.: E
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131. Halle ( a +b ) si:
ab tiene 12 divisores y 2
ab tiene 33 divisores.
A) 12 B) 15 C) 14
D) 13 E) 18
RESOLUCIN Se verifica
ab
CD 12 = (5+1) (1 +1)
2ab
CD 33 = (2.5 + 1)(2.1+1)
Luego: 5 1ab 2 3
Son los nicos nmeros que cumplen:
Luego ab = 96
a + b = 9 + 6 = 15 RPTA.: B
SEMANA 10
MCD - MCM
132. La suma de dos nmeros A y B es 651, el cociente entre su MCM y su MCD es 108. Halle (A - B).
A) 108 B) 216 C) 713
D) 483 E) 438
RESOLUCIN MCD (A; B) = C
1A dq
2B dq
Donde 1q y 2q son nmeros
primos entre s.
Luego: MCM (A; B) = 1 2D q q
Por condicin:
2 3
1 2
MCM A;Bq q 2 3
MCD A;B
3 21 2q 3 q 2
1 2A B d q q 651
d 27 4 651 d 21
1 2A B d q q 21 23 483
A B 483 RPTA.: D
133. El MCM de dos nmeros es 30030 y su MCD es 5. Cuntos pares de nmeros hay con esta
propiedad?
A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 60
RESOLUCIN
Sean A y B los nmeros, entonces el MCD (A, B) = 5
Los nmeros A y B se podrn escribir como:
A = 5 p y B = 5 q; donde p y q
son nmeros primos entre s.
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Aplicando la propiedad:
A B MCD(A,B) MCM (A, B)
5p 5q 5 30030 Entonces: p q 2 3 7 11 13
La cantidad de pares de valores enteros distintos ser:
# de divisores de su producto# de pares=
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
# de pares = 16 RPTA.: B
134. Determinar en que cifra termina el
MCM de los nmeros:
862A 7 1 y 1293B 7 1 .
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
RESOLUCIN
MCD 862,1293MCD A,B 7 1
431MCD A,B 7 1
A B
MCM A,BMCD(A,B)
2 3431 431
431
7 1 7 1MCM A,B
7 1
Simplificando:
431 1293MCM(A,B) 7 1 7 1
7 = 1 17 = 7
Gaussiano de 7 27 = 9
mdulo 10 37 = 3 47 = 1
Por restos potenciales de 7. gaussiano 4.
4k 3 4k 1MCM A,B 7 1 7 1
MCM A,B ...3 1 ...7 1
MCM A,B ...4 ...6
MCM A,B ...4 Termina en 4
RPTA.: C
135. Si:
MCD (3 A; 24 C) = 18 N y MCD (2 C; B ) = 2N
Calcule N si: MCD (A; 4 B; 8 C) = 21000
A) 10 500 B) 21 000
C) 13 500 D) 12 200 E) 12 400
RESOLUCIN MCD (3 A; 24 C) = 18 N
* MCD (A; 8 C) = 6 N ..............( ) MCD (2 C; B) = 2 N
* MCD (8 C; 4 B) = 8 N............()
De () y () MCD(A,4B;8C)=MCD(6N,8N)=2 N
En el cual intervienen los tres
nmeros y nos piden: MCD (A; 4 B; 8 C) = 21 000 = 2 N N = 10 500
RPTA.: A
136. Si: 0
MCD a1b8; a9b0 88
Calcule: (a + b)
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
RESOLUCIN
RPTA.: E
0
a1b8 88
0
8
0
11
0
11 a 1 b 8
9 =a + b
-
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SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
137. Determinar el valor de:
x + y + a, si los