Download - Aritmeticki i Geometrijski_niz
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 1/24
1
Aritmetički niz:
Podjimo od dva primera:
Primer 1: ,...11,9,7,5,3
Primer 2: ,...40,45,50,55
Nije teško zaključiti da će u prvom primeru nekoliko sledećih članova biti 13,15,17,… jerse svaki sledeći član povećava za dva. U drugom primeru će nekoliko sledećih članovabiti 35,30,25,… jer se svaki sledeći smanjuje za 5. Kako vidimo , niz može biti rastući iliopadajući.
Ovakvi nizovi u kojima je razlika ma koja dva uzastopna člana konstantna nazivaju seAritmetički nizovi ili aritmetičke progresije.
Vrlo je važno od kog broja počinje niz, pa se on zove prvi član niza i obeležava se sa
1a .
Za primer ,...11,9,7,5,3 → prvi član niza je 31 =a
Za primer ,...40,45,50,55 → prvi član niza 551 =a
Razlika (diferencija) niza je broj za koji se niz povećava (smanjuje) i obeležava se
slovom d .
12312 ...−
−==−=−= nn aaaaaad
Za primer ,...11,9,7,5,3 → 2=d (raste niz)
Za primer ,...40,45,50,55 → 5−=d (opada niz)
Nekad će nam biti potrebno da nadjemo stoti, hiljaditi ili bilo koji drugi član niza. Slažete
se da je naporno pisati ih redom. Tu nam pomaže formula za n-ti član niza:
1 ( 1)n
a a n d = + −
Ako trebamo sabrati prvih n-članova niza,tu važi formula:
[ ]12 ( 1)2
n
nS a n d = + − ili
2
)( 1 nn
aanS
+=
Za svaki aritmetički niz još važi ( aritmetička sredina) :
1 1
2
n nn
a aa − +
+= ili
2
jn jn
n
aaa
+− +
= 1,...,2 −= n j www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 2/24
2
Ako izmedju brojeva a i b treba umetnuti (interpolirati) k-brojeva tako da zajedno sa a i
b čine aritmetički niz, onda razliku d tog niza tražimo po formuli1+
−=
k
abd
Zadaci:
1) Peti član aritmetičkog niza je 19 a deseti član niza je 39. Odrediti niz.
Rešenje:39
19
10
5
=
=
a
a
Aritmetički niz je potpuno odredjen ako znamo prvi član1a i razliku d. Da bi našli
ove 2 nepoznate primenićemo formulu za n-ti član niza:
d naan )1(1 −+= za 1945 15 =+=⇒= d aan
za 39910 110 =+=⇒= d aan
Sastavićemo sistem jednačina:
_______ __________ 1
1
399
)1(/194
=+
−⋅=+
d a
d a
_______ __________ 1
1
399194
=++
−=−−
d ad a
→=
=
4
205
d
d vratimo se u jednu od jednačina
3
1916
194
1
1
1
=
=+
=+
a
a
d a
Znači prvi član niza je 3 a povećava se za 4 pa je niz: 3,7,11,15,19,…
Njegov opšti član će biti:
14
4)1(3
)1(1
−=
⋅−+=
−+=
na
na
d naa
n
n
n
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 3/24
3
2) Nadji prvi član 1a i diferenciju d aritmetičkom nizu ako je :
10352 =−+ aaa i 1792 =+ aa
Rešenje: Ovakav tip zadatka rešavamo pomoću opšteg člana:
→−+= d naan )1(1
d aa
d aa
d aa
d aa
8
2
4
19
13
15
12
+=
+=
+=
+=
Zamenimo ovo u 2 date jednačine:
10352 =−+ aaa
2 9 17a a+ =
___ __________ __________ __________ 11
111
17)8()(
10)2()4()(
=+++
=+−+++
d ad a
d ad ad a
________ __________ __________ 11
111
178
1024
=+++
=−−+++
d ad a
d ad ad a
1
1 __________________
1
1
3 10 sa -2
2 9 17
2 6 20
2 9 17
a d pomnožimo
a d
a d
a d
+ = →
+ =
− − = −
+ =
1
33
−=
−=
d
d
13
103103
1
1
1
=
=−
=+
a
a
d a
Znači niz je opadajući I glasi 13,12,11,10,9,8,7,…
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 4/24
4
3) Odrediti aritmetički niz ako je: 0105 51 =+ aa i 4 14S =
Rešenje:
1
5 1
1 1
1 1
1
1
( 1)
4
5 10( 4 ) 0
5 10 40 0
15 40 0
3 8 0
na a n d
a a d
a a d
a a d
a d
a d
= + −
= +
+ + =
+ + =
+ =
+ =
[ ]
[ ]
[ ]
4
1
4 1
1
1
14
2 ( 1)2
42 (4 1)
2
14 2 2 3
2 3 7
n
S
nS a n d
S a d
a d
a d
=
= + −
= + −
= +
+ =
Sad ove dve jednačine “upakujemo” :
______ __________ __________ 1
1
)3(/732
2/083
−⋅=+
⋅=+
d a
d a
__ __________ __________ 1
1
2196
0166
−=−−
=+
d a
d a
0243083
3
217
11 =−⇒=+
−=
−=
ad a
d
d
8
243
1
1
=
=
a
a
Znači niz je : 8,5,2,-1,-4,…
4) Izračunati n i na u aritmetičkoj progresiji za koje su:
245
5
21
=
=
=
nS
d
a
Znači ovde nam treba n… www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 5/24
5
[ ]
[ ]
[ ][ ]
04905
5490
15490
5542245
5)1(222
245
)1(22
2
2
1
=−−
−=
−=
−+=
⋅−+⋅=
−+=
nn
nn
nn
nn
nn
d nan
S n
Dobili smo kvadratnu jednačinu “po n”.
490,1,5 −=−== cba
2
1,2
1,2
1 2
4
2
1 99
10
9810,
10
b b ac
n a
n
n n
− ± −=
±=
= = −
Nemoguće
Znači : 10=n je jedino rešenje
1
10
10
10
( 1)
2 (10 1) 5
2 45
47
n
a a n d
a
a
a
= + −
= + − ⋅
= +
=
5) Zbir prva tri člana aritmetičkog niza je 36, a zbir kvadrata prva tri člana je 482.
Odrediti niz.
Da postavimo problem:
________ __________ __________
2
3
2
2
2
1
321
482
36
=++
=++
aaa
aaa
Iskoristićemo da je
d aa
d aa
d naan
2
)1(
13
12
___ __________ __________ 1
+=
+=
−+=
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 6/24
6
______ __________ __________ __________ __________
2
1
2
1
2
1
111
482)2()(
36)2()(
=++++
=++++
d ad aa
d ad aa
1 1
1
1
3 3 36 Odavde ćemo izraziti i zameniti u drugu jednačinu sistema
12
12
a d a
a d
a d
+ =
+ =
= −
.
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
2
1
1
(12 ) (12 ) (12 2 ) 482
(12 ) 12 (12 ) 482
144 24 144 144 24 482
2 432 482
2 50
25
25 5
5
12 5
7
d d d d d
d d
d d d d
d
d
d
d d
Za d
a
a
− + − + + − + =
− + + + =
− + + + + + =
+ =
=
=
= ± → = ±
=
= −
=
Ili 1
1
5
12 5
17
Za d
a
a
= −
= +
=
Dakle, postoje 2 takva niza:
7,12,17,22,27,…
17,12,7,2,-3,…
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 7/24
7
6) Rešiti jednačinu: 210...1173 =++++ x
Uočimo najpre da se ovde radi o zbiru prvih n članova aritmetičkog niza i da je :
210
73
2
1
=
=
=
=
n
n
S
xa
aa
?
210
4
3
__ __________
1
==
=
=
=
n
n
a x
S
d
a
Dakle:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
021022210
242
210
4462
210
4)1(322
210
)1(22
2
2
1
=−+
+=
+=
−+=
⋅−+⋅=
−+=
nnnn
nn
nn
nn
d nan
S n
Kvadratna “po n”
1,2
1
2
1 41
4
10
42
4
n
n
n
− ±=
=
= −
Dakle 10=n
10 1 9 3 9 4 3 36 39
39
x a a d
x
= = + = + ⋅ = + =
=
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 8/24
8
7) Aritmetički niz ima 20 članova. Zbir članova koji su na parnim mestima je 250, a zbir
članova na neparnim mestima 220. Naći dva srednja člana.
Postavimo prvo problem:
220...
250...
1931
20642
=+++
=++++
aaa
aaaa
Na ovaj način smo ustvari dobili 2 niza sa po 10 članova čiji su zbirovi : za prvi 250 i za
drugi 220, a kod oba dva niza je razlika 2d.
Primenićemo formula za [ ]d nan
S n )1(22
1 −+=
Za prvi niz ⇒
[ ]
[ ]
10 2
2
2
2 2 1
1
102 (10 1) 2
2
250 5 2 18
2 18 50
9 25
10 25
S a d
a d
a d
a d a a d
a d
= + − ⋅
= +
+ =
+ = → = + →
+ =
Za drugi niz ⇒
[ ]
[ ]
10 1
1
1
1
102 (10 1) 2
2
220 5 2 18
2 18 44
9 22
S a d
a d
a d
a d
= + − ⋅
= +
+ =
+ =
Sad pravimo sistem:
______ __________ __________ 1
1
)1(/229
2510
−⋅=+
=+
d a
d a
_ __________ __________ 1
1
229
2510
−=−−
=+
d a
d a Pa je 525303 11 −=⇒=+⇒= aad
Znači niz je : -5,-2,1,4,7,…
Srednji članovi su 10a i 11a
2530510
222759
111
110
=+−=+=
=+−=+=
d aa
d aa
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 9/24
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 10/24
10
0276
0361296
361296
)6()3(
2
2
222
222
=−−
=−−++
++=+++
+=++
aa
aaa
aaaaa
aaa
1,2
1
2
6 12
2
9,
3
a
a
a
±=
=
= −
Dakle stranice su:
15696
12393
9
=+=+=
=+=+=
=
ac
ab
a
10) Odrediti x tako da brojevi log2, log( x2 -1), log(
x2 +3) budu uzastopni članovi
aritmetičkog niza.
Upotrebićemo 2
11 +− +
= nn
n
aaa tj,
2
312
aaa
+=
2
2
2
2
2
1,2
1
2
log2,log(2 1),log(2 3)
log2 log(2 3)log(2 1)
2
2log(2 1) log2 (2 3)
log(2 1) log2 (2 3)
(2 1) 2 (2 3)..... 2
( 1) 2( 3)
2 1 2 6
4 5 0
4 6
2
5
1
x x
x x
x x
x x
x x xsmena t
t t
t t t
t t
t
t
t
− +
+ +− =
− = ⋅ +
− = ⋅ +
− = ⋅ + =
− = +
− + = +
− − =
±=
=
= −
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 11/24
11
Vratimo se u smenu:
52 = x
ili 12 −= x
2log 5 x = nemoguće
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 12/24
1
Geometrijski niz
Podjimo od dva primera:
Primer 1: 3,6,12,24,48 ...
Primer 2: 81,27,9,3, ...
Pažljivim posmatranjem možemo zaključiti da je svaki sledeći član niza u
primeru 1. 3,6,12,24,48 ... 2 puta veći od predhodnog člana , pa će sledeći
članovi biti, 48 2 96, 96 2 192,...⋅ = ⋅ =
U primeru 2. 81,27,9,3, ... primećujemo da je svaki sledeći član tri puta manji od
predhodnog, pa bi sledeći članovi bili1 1 1
3:3 1, 1: 3 , : 3 ,...3 3 9
= = =
Ovakvi nizovi zovu se geometrijski i kao što vidimo , mogu biti rastući (primer 1.) i
opadajući (primer 2.)
Dakle: Niz brojeva u kome je količ
nik ma koja dva uzastopnač
lana niza stalan zove segeometrijski niz ili progresija. Naravno i ovde je važno od kog broja počinje niz, pa se
taj broj zove “prvi” član niza I obeležava se sa 1b .
→ za primer 1. 31 =b , 62 =b , ,...123 =b
→ za primer 2. 811 =b , 272 =b , ,...93 =b
→====−
qb
b
b
b
b
b
n
n
12
3
1
2 ... količnik niza
→ za primer 1. 2=q (rastući niz)
→ za primer 2.3
1=q (opadajući niz)
Ako znamo 1b (prvi član niza) i q (količnik niza) niz je potpuno odredjen , odnosno
možemo da ga zapišemo.
Bilo koji član niza ( n-ti član ) se traži po formuli :1
1
n
nb b q −= ⋅
Zbir prvih n-članova niza se traži
i) 1>q ii) 1<q
1
)1(1
−−=
q
qbS
n
n q
qbS
n
n−−=
1
)1(1
Za svaki član niza važi:1 1 geometrijska sredinan n nb b b− += ⋅ →
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 13/24
2
primer 1
O d re d it i g e om et rijsku prog resiju kod koje je 3015 4231 =+∧=+ bbbb
30
15
42
31
=+
=+
bb
bb
Iskoristimo formulu :
1
1
n
nb b q
−= ⋅ po njoj je:
2
3 1
2 1
3
4 1
b b q
b b q
b b q
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Zamenimo ovo u postavljeni sistem:
2
1 1
3
1 1
____________________
15
30
b b q
b q b q
+ =
+ = → Izvučemo “zajednički” iz obe jednačine:
_ __________ __________
2
1
2
1
30)1(
15)1(
=+
=+
qqb
qb→ Ovde je “trik” da se jednačine podele.
1b 2(1 )q+
1b 2(1 )q q+
15
30= → Skratimo šta može !
22
11=⇒= q
q
Vratimo se u jednu od jednačina: (naravno biramo lakšu).
315)41(
15)1(
11
2
1
=⇒=+
=+
bb
qb
Traženi niz je : 3,6,12,24,48,…
Ako izmedju brojeva a i b treba umetnuti (interpolirati) k brojeva tako da zajedno sa a i
b čine geometrijski niz, onda količnik q tog niza tražimo po formuli :
1+= k
a
bq
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 14/24
3
Zadaci:
1) Izračunati deseti član geometrijskog niza 1,3,9,27...
,...27,9,3,1
4321 bbbb ↓↓↓↓
Iz tog niza zaključujemo da je: 11 =b i 3=q
Pošto se bilo koji član niza računa po formuli1
1
n
nb b q −= ⋅ to će deseti član biti :
10 1
10 1
9
10 1
9
10
9
10
10
1 3
3
19683
b b q
b b q
b
b
b
−= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
=
2) U geometrijskom nizu je : 408216 1346 =∧=+∧=− nS bbbb
Izračunati 1a ,q i n
6 4
3 1
__________
11
216
8
40n
nn
b b
b b
S
b b q −
− =
− =
=
= ⋅
5
6 1
3
4 1
2
3 1
b b q
b b q
b b q
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Zamenimo u prve dve jednačine!
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−
=⋅−⋅
______ __________ 1
2
1
3
1
5
1
8
216
bqb
qbqb izvučemo zajednički
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−
=−
________ __________
2
1
23
1
8)1(
216)1(
qb
qqb podelimo ih
1b
3 2
( 1)q q −1
b 2( 1)q −
3 3 3
2
1
2
1 1 1
2168
27 3 3
( 1) 8
(3 1) 8 8 8 1
q q q
b q
b b b
=
= ⇒ = ⇒ =
− =
− = ⇒ ⋅ = ⇒ =
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 15/24
4
Pošto je 13 >=q koristimo formulu 1
)1(1
−
−
= q
qb
S
n
n ⇒
4
1 (3 1)40
3 1
3 140
2
3 1 803 81
3 3 4
n
n
n
n
n n
⋅ −=
−
−=
− ==
= ⇒ =
3) Tri broja, čiji je zbir 26, obrazuju geometrijski niz. Ako se im brojevima doda redom
1,6 i 3, dobijaju se tri broja koja obrazuju aritmetički niz. Odrediti te brojeve.
Neka su tri broja : 2,1 bb i 3b I važi : 26321 =++ bbb a kako je2
1312 qbbqbb =∧=
262
111 =++ qbqbb tj. 26)1( 2
1 =++ qqb
Ako im dodamo redom 1,6 i 3 dobićemo :
33
66
1
2
133
122
11
+=+=
+=+=
+=
qbba
qbba
ba
Pošto oni čine aritmetičku progresiju, mora biti :2
312
aaa
+= tj, 131 2aaa =+
→+=+++ )6(2)3()1( 1
2
11 qbqbb ”sredimo”
8)12(
31122
12231
2
1
11
2
1
1
2
11
=+−
−−=+−
+=+++
qqb
bqbqb
qbqbb
Napravimo sada sistem:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=+−
=++
____ __________ __________
2
1
2
1
8)12(
26)1(
qqb
qqb podelimo ih
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 16/24
5
09309
444132613
)1(4)12(13
2:/)1(8)12(26
8
26
12
1
2
22
22
22
2
2
=+−
++=+−
++=+−
++=+−
=+−
++
qqqq
qqqq
qqqq
→=+− 03103 2
qq kvadratna “po q”
3
13
6
810
23
810
21
2,1
=∧=
±=
⋅
±=
q
1 2
3
26 262
1 13
Za q
bq q
=
= = =+ +
1
1 3
26 2618
1 1 131
9 3 9
Za q
b
=
= = =+ +
Rešenja Rešenja
2,6,18 → Geometrijski niz 18,6,2 → Geometrijski niz
3,12,21 → Aritm. Niz 19,12,5 → Aritm. Niz
4) Izračunati zbir n brojeva oblika 1, 11, 111, 1111…
1, 11, 111, 1111, …
Trik je napisati brojeve drugačije:
9
110
9
11000111
9
110
9
110011
9
1101
3
2
−=
−=
−=
−=
−=
…….itd. www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 17/24
6
...111111 +++=nS =
2 3
2 3
2 2
10 1 10 1 10 1 10 1...
9 9 9 9
1
10 1 10 1 10 1 ... 10 1 Pazi: ima n jedinica...9
1[10 10 ... 10 ] ovde je 10 10 ... 10 geometrijski niz
9
n
n
n nn
− − − −= + + + +
⎡ ⎤= − + − + − + + −⎣ ⎦
= + + + − + + + →
Geometrijski niz → 101 =b 10=∧ q
1( 1)
1
nb qS
q
−=
− ovo je za geometrijski niz, pa je :
1 10 (10 1)
9 10 1
1 10(10 1) 110(10 1) 9
9 9 81
n
n
nn
n
S n
S n n
⎡ ⎤⋅ −= −⎢ ⎥
−⎣ ⎦⎡ ⎤−
⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
5) Izračunati zbir n brojeva oblika ...48
47,
24
23,
12
11,
6
5
Sličan trik kao malopre!
24
11
24
124
24
23
12
11
12
112
12
11
6
11
6
16
6
5
−=−
=
−=−
=
−=−=
…….itd.
...24
1112
116
11...24
23
12
11
6
5 +−+−+−=+++=nS
1 1 1( ...)6 12 24
n= − + + +
geometrijski niz www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 18/24
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 19/24
8
Pa je : 11 =⋅=⋅⋅ −−− oonk k p pn qbcba
Kra j d o ka za .
7) Odrediti paralelogram tako da merni brojevi osnovice, visine i površine čine
geometrijski niz.
a
a
bb h P=ah
→Pha ,, čine g. niz
→⋅= haP formula za površinu
A pošto Pha ,, čine geometrijski niz , to mora biti:
3222
22
aaaPaha
hah
a
hPaPhaPh
=⋅=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
Dakle:2, ahaa == i
3aP =
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 20/24
9
Beskonačni red
Neka je dat beskonačni niz realnih brojeva ,...,...,, 21 naaa
Izraz oblika ∑∞
==++++
121 ......n nn aaaa zove se beskonačni red.
Geometrijskom nizu ,...,...,,, 2 naqaqaqa odgovara red:
∑∞
==+++++
0
2...)...1(
n
nnqaqqqa
Zbir (suma)beskonačno opadajućeg reda (geometrijskog) je1
aS
q=
− za 1<q
Zadaci:
1) Decimalni broj 0,7777777… prebaciti u razlomak
2 3
7 7 70,7777... ...
10 100 10007 1 1 1
(1 ...)10 10 100 1000
7 1 1 1(1 ...)
10 10 10 10
= + + +
= + + + +
= + + + +
Ovde imamo geometrijski red ,10
1,
10
7== qa
Njegova suma je9
7
10
910
7
10
11
10
7
1==
−=
−=
q
aS
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 21/24
10
2) Izračunati vrednost mešovito periodičnog razlomka 0,3444….
3 4 4 40,3444... ...
10 100 1000 10000
3 4 1 1(1 ...)
10 100 10 100
= + + + +
= + ⋅ + + +
Pazi:4 1 1
(1 ...)100 10 100
⋅ + + + je geometrijski red :10
1,
100
4== qa
43 100
1101
10
43 100
910
10
3 4 31
10 90 90
= +−
= +
= + =
3) Nadji red ako je x
S −
=3
3
Mi znamo da je formula :q
aS
−=
1
Znači gde je 3 - x treba da je 1-q. Izvršićemo “sredjivanje” izraza :
3,1
31
1
)3
1(3
3
3
3 xqa
x x xS ==⇒
−=
−=
−=
Pa će traženi red biti:
...333
1...))3
()3
(3
1(1
...)1(
3
3
2
232
32
++++=++++⋅
=++++
x x x x x x
qqqa
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 22/24
11
4) Nadji red ako je x
S 23
6
−=
6 6
3 2S
x= =
−3
2 22,
2 2 3(1 ) 1
3 3
xa q
x x= ⇒ = =
− −
Pa će red biti :
...27
16
9
8
3
42
...))3
2()
3
2(
3
21(2
)...1(
32
32
32
++++
=++++
=+++++
x x x
x x x
qqqa
5) Sledeći periodični razlomak pretvoriti u običan razlomak 2,717171….
7 1 7 12,717171... 2 ...
10 100 1000 10000= + + + + +
Ovde ćemo uočiti 2 geometrijska reda:
...)100
11(
100
1...
1000000
1
10000
1
100
1
...)100
11(107...
1000007
10007
107
++=+++
++=+++
Zbir prvog reda je99
70
100
9910
7
100
11
10
7
1 ==−
=S
Zbir drugog reda je99
1
100
99100
1
100
11
100
1
2 ==−
=S
Vratimo se “na zadatak”:
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 23/24
12
70 1 2692,717171... 2
99 99 99
269
99S
= + + =
=
6) U jednakostraničnom trouglu stranice a upisan je novi jednakostranični trougao
spajanjem sredinama datog trougla . U dobijenom trouglu je upisan drugi trougao
na isti način, itd. Odrediti zbir obima svih trouglova.
a
aa 2
a
2
a
2
a
4
a
4
a
4
a
itd.
Stranica 1. trougla je a
Stranica 2. trougla je2
a
Stranica 3. trougla je4
a
Stranica 4. trougla je8
a
……. Itd.
Njihovi obimi će biti : aO ⋅= 3
Znači:
www.matematiranje.com
8/12/2019 Aritmeticki i Geometrijski_niz
http://slidepdf.com/reader/full/aritmeticki-i-geometrijskiniz 24/24
13
1
2
3
4
3
33
2 2
33
4 433
8 8
....... .
O a
a aO
a aO
a aO
itd
=
= ⋅ =
= ⋅ =
= ⋅ =
A njihov zbir je :
1 2 3 4
2 3
...
3 3 33 ...
2 4 8
1 1 1
3 (1 ...)2 4 8
1 1 13 (1 ...)
2 2 2
O O O O
a a aa
a
a
+ + + + =
= + + + +
= + + + +
= + + + +
Ovde je A=3a i1
2q =
po formuli :1
AS
q=
−
aaa
6
2
1
3
2
11
3
==−
= Znači zbir obima je 6a.
www.matematiranje.com