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ASI 3
Méthodes numériquespour l’ingénieur
Calcul des valeurs propres
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Illustration : un système mécanique à deux degrés de liberté
)(221222
2
2
2212121
2
1
tfukukdt
udm
ukukkdt
udm
222
111
Ltxtu
Ltxtu
masse seconde lasur uniquementagissant force :)(ressortdu raideur de constante :
ressortdu bout au masse : reposau ressort du position :
ressortdu position :étatd' variable:
1
1
1
1
1
tfkmL
txtu
22
2
2
2
1
2
1
21
2
1
2
2
)(
0
, , )(
)( ,
mtfb
mk
mk
mk
mkk
Ktu
tuubuK
dt
ud
m1 m2 f(t)k1 k2
x1(t)x2(t)
Seconde loide Newton
Écriture matricielle
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Fréquences de résonance
, poseon
,0
0 : que telle matrice une on trouve si
,
2
2 2
11
2
2
bPDvdt
vdPuv
DPKPP
buKdt
ud
)(
)(
22222
2
11121
2
tgvdt
vd
tgvdt
vd
Le comportement des deux ressorts est découplé - si l’on admetque les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations propres caractérisant le système
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Résonances (T. Von Karman, the wind and beyond,1963)
• 1831, près de Manchester, des miltaires passent un pont au pas
• les avions qui vibrent et s’écrasent
• immeubles et tremblements de terre
• Ariane : moteur et structure
• pont de Tacoma– 1,6 km, pointe de la technologie
– 7 novembre 1940 : vents de 67 km/h, il se désagrège
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0 0.5 1 1.5 2 2.50
2
4
6
8
10
fré quence excitatrice
Mod
ule
de l'
ampl
itude
de
la r
épo
nse
Amplitude de la réponse d ’un système oscillant
22222
22
2
1
1 avec
)( :solution
k
ik
ketx
exxxti
ti
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-2 -1 0 1 2-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -2 0 2 4-2
-1
0
1
2
-10 -5 0 5 10-4
-2
0
2
4
-20 -10 0 10 20-10
-5
0
5
10
Définition illustrationDéfinition : i est une valeur propre de A,
vi est un vecteur propre de A. iii vvA
xAx
et ,
xAxAAxAx 2et ,
xAxAxAx 32 et , ,
xAxAxAxAx 432 et , , ,
Directionpropre
121
123
A
n ...21
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0 2 4 6 8 10 12
-2
-1
0
1
2
partie ré elle
imag
inai
re
Cercles de Gerschogrin
Théorème (cercle de Gerschogorin): Soit A une matrice carrée, soit R le cercle du plan complexe :
Alors toutes les valeurs propres de A sont dans un des cercles R
n
ijjijiii aazCzR
,1
902
120
114
A
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Démonstration
n
ijjijii
ji
n
ijj i
jijii
n
ijjjijiii
iiiiiii
n
ijjjij
i
n
jjij
aa
njnjxxi
x
xaaxaax
xaxaxxa
nixxaxAx
,1
,1,1
,1
1
,:1pour que telt choisissanen
doncet
,1
Toute valeur propre appartient à un cercle, donc à l’intersection de tous les cercles
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Supposons que l’on connaisseune valeur propre
LU méthode 0
vIA
vAv
Idée : approximation successives sur la valeur propre Méthode de la séquence.
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vvvv
vvvvxA
vvvvxA
vvvvxA
vAvAvAvAxA
vvvvx
Rx
k
kn
nk
k
k
kk
knn
kkkk
nn
nnn
nn
nn
niin
13
1
332
1
22111
333222111
23
2332
2221
211
2
333222111
332211
332211
,1
...
........... ...
...
...
...
que tels,
intuition
la matrice A admet n vecteurs propres vi linéairement indépendants Hypothèse
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intuition
la matrice A admet n vecteurs propres vi linéairement indépendants Hypothèse
vvvv
vvvvxA
vvvvxA
vvvvxA
vAvAvAvAxA
vvvvx
Rx
k
kn
nk
k
k
kk
knn
kkkk
nn
nnn
nn
nn
niin
13
1
332
1
22111
333222111
23
2332
2221
211
2
333222111
332211
332211
,1
...
........... ...
...
...
...
que tels,
![Page 12: ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Calcul des valeurs propres](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/551d9dc6497959293b8e2f67/html5/thumbnails/12.jpg)
Puissance itérée
old
oldnew
init
Ax
Axx
x equelquonqu:
Théorème : Si A est une matrice carrée, non singulière (régulière)
1)(
1
1)(
32
init
)(lim
lim
suivantes propriétés les possède dessus-ci algorithmel'par générée suite la Alors,
de propres vecteur les,...,par engendré vectorielespace sousau pas appartientn' si
vxsign
Ax
x
Avvvx
kk
k
k
k
Nkk
n
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Comment calculer la plus petite valeur propre ?
Exemple de question à l’examen
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Comment calculer la plus petite valeur propre ?
Exemple de question à l’examen
old
oldnew
init
xA
xAx
x
1
1
quelconque:
uu
x
xAux
new
old
init
quelconque:
![Page 15: ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Calcul des valeurs propres](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/551d9dc6497959293b8e2f67/html5/thumbnails/15.jpg)
Comment calculer la plus petite valeur propre ?
Exemple de question à l’examen
old
oldnew
init
xA
xAx
x
1
1
quelconque:
uu
x
xAux
new
old
init
quelconque:
Et si on remplace A par B=A-I ou est un réel ?
![Page 16: ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Calcul des valeurs propres](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/551d9dc6497959293b8e2f67/html5/thumbnails/16.jpg)
Calcul de toutes les valeurs propres : la méthode de déflation
TT1111
*1 doncet
eorthogonal base uneforment propres vecteursles
vvABvv
ouver comment tr
de place la à 0et que propres set vecteur valeursmêmes lesadmet alors
ou
*1
*111
*111
1
1*1
*111
v
vvvvvAvvvAvB
AB
vvvvAB
iiiiii
ii
Cas simple : A est symétrique
?
Cas général : A est quelconque, la méthode de Duncan et Collard
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Théorème (Shur) : Soit A une matrice carrée, Alors il existe une matrice U non singulière telle que :
avec T une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est composée des valeurs propres de A. Démonstration : voir Théodore et Lascaux
Propriétés des valeurs propresDéfinition : deux matrices A et B sont similaires s’il existe une matrice Q non singulière telle que :
BQQA 1
Théorème : Si A et B sont des matrices similaires et est une valeur propre de A associée au vecteur propre x (non nul), Alors est aussi une valeur propre de B avec le vecteur Qx Démonstration
vv
QxQxBxBQxQxAx
1
AUUT 1
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Théorème : Soit A une matrice carrée symétrique, Alors il existe une matrice Q orthogonale telle que :
avec D une matrice diagonale composée des valeurs propres de A; et Q composée des vecteurs propres de A qui sont orthogonaux. Démonstration :
Matrices équivalentes
DQQAQQD T 1
)()(
1
: colonnes les spour toute iii
i qdAq
QDAQAQQD
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Principe de la méthode QR
• les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont sur sa diagonale
• il existe un transformation orthogonale telle que T=Q’AQ alors T et A sont équivalentes (elles ont les même valeurs propres) et T est une matrice triangulaire
Comment construire Q ?
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La méthode QRIl est si facile le résoudre un système « triangulaire » !
1bQRxbAxQRA
Q « facilement » inversible et R triangulaire
Définition : on appelle matrice de Householder du vecteur normé u une matrice H de la forme suivante
2 TuuIH
Propriété : une matrice de Householder est symétrique et orthogonale HTH=I
xHx Les transformations orthogonales « conservent » la norme
![Page 21: ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Calcul des valeurs propres](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/551d9dc6497959293b8e2f67/html5/thumbnails/21.jpg)
QR et valeurs propres
)()()1(
)()()(
)1()1()2(
)1()1()1(
)1(
itération kkk
kkk
QRA
ARQk
QRA
ARQAA
Théorème : si A est une matrice inversible, de valeurs propres réelles différentes la suite converge vers une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est constituée des valeurs propres de A
Démonstration :toutes les matrices de la suite ont les mêmes vp
NkkA
)(
initialisation
Une fois qu’on a les valeurs propres, les vecteurs propres se trouvent facilement.
NkkA
)(
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Méthode de Householder ,, matrice la de propres valeursles rechercheon nnLA
1. On utilise l’algorithme de Householder pour construire une matrice T tris diagonale ayant les mêmes valeur propres que A
2. On pose T(0) = T On décompose T(0) = QR et on construit T(1) = RQ
et on itère : (Q,R) = decomposeQR(T(k)) T(k+1) = R*Q
Alors la suite diag(T(k)) converge vers les valeurs propres de A.
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Matrices semblables (qui ont les mêmes valeurs propres)
w
k
w
kk
kkTkk
kkTk
kkkTk
kkk
kkk
vQvQA
vvQAQvvA
QAQ
QRQQ
QRA
ARQ
)()()(
)()()()1(
)()()(
)()()()(
)()()1(
)()()(
![Page 24: ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Calcul des valeurs propres](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081504/551d9dc6497959293b8e2f67/html5/thumbnails/24.jpg)
n
i
d
d
d
00
00
001
SVD : décomposition en valeurs singulières
Matlab : deux programmes équivalents : svd(A).^2 eig(A'*A)
A'Ad
DIVVUU
VUDVUA
ii de propres valeursdes carrée racine
diagonale marice avec ''
esorthogonal marices et avec '
A U V=
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Conclusion
• on connaît le vecteur propre : calculer la valeur propre
• on connaît la valeur propre : calculer le vecteur propre
• calculer un vecteur et la valeur propre associé– la plus grande : puissance itérée– la plus petite : puissance inverse– la plus proche de k : puissance modifiée
• calculer toutes les valeurs propres d’un coup– A est symétrique : méthode de Jacobi– cas général : méthode QR