Download - Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko
![Page 1: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/1.jpg)
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA
ELEKTROMEHANIČKE I ELEKTRIČNE PRETVORBE ENERGIJE
ASINKRONI STROJEVI I POGONI
Prof.dr.sc. Damir Žarko
ZAVOD ZA ELEKTROSTROJARSTVOI AUTOMATIZACIJU 30.11.2011Ak. god. 2011/2012 Zagreb,
![Page 2: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/2.jpg)
Strojevi izmjenične struje
Strojevi izmjenične struje se dijele na:Strojevi izmjenične struje se dijele na:Sinkrone, Asinkrone iIzmjenične kolektorske (komutatorske).
Nikola Tesla je 1888 god patentirao i javnosti prikazao svojNikola Tesla je 1888. god. patentirao i javnosti prikazao svojnovo izumljeni motor (patentno ime, “Electro‐Magnetic Motor”)u kojemu prvi puta objašnjava stvaranje i primjenu okretnogmagnetskog polja.
Si k i i i k i l kt ič i t j i d i i k tSinkroni i asinkroni električni strojevi rade na principu okretnogmagnetskog polja.
230.11.2011
![Page 3: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/3.jpg)
Teslin dvofazni generator i motor, sustav za okretno magnetsko polje(1)
Dvofazni izmjenični napon Tesla dobiva iz armature istosmjernog generatorakoristeći 4 klizna koluta i četkice, a dvofazno okretno polje u provrtu torusnej k j d f đ b k 90jezgre na koju su namotana dva fazna namota međusobno zakrenuta za 90stupnjeva.
GeneratorMotor
330.11.2011
![Page 4: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/4.jpg)
Teslin dvofazni generator i motor, sustav za okretno magnetsko polje (2)
Dvofazni izmjenični napon Tesla dobiva iz armature istosmjernog generatorakoristeći 4 klizna koluta i četkice, a dvofazno okretno polje u provrtu torusnejezgre na koju su namotana dva fazna namota međusobno zakrenuta za 90jezgre na koju su namotana dva fazna namota međusobno zakrenuta za 90stupnjeva.
430.11.2011
![Page 5: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/5.jpg)
Dvofazni generator i dvofazni motor prema Teslinom patentu br. 381968
Generator
Dvofazni napon uzima se sa statora, a ne s kliznih koluta.
MotorGenerator
530.11.2011
![Page 6: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/6.jpg)
Dvofazni sustav generatora i motora prema Tesli
Motor Generator
630.11.2011
![Page 7: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/7.jpg)
Okretno magnetsko polje
Da bi se stvorilo bilo kakvo okretno magnetsko polje moraju postojati na statorubarem dva namota pomaknuta međusobno prostorno za neki kut a struje koje ubarem dva namota, pomaknuta međusobno prostorno za neki kut, a struje koje unjima teku moraju međusobno biti fazno pomaknute za neki kut.
Ako su prostorni pomaci između potpuno simetričnih faznih namota jednakivremenskim pomacima između potpuno simetričnih faznih struja koje kroz njihteku, stvarat će se simetrično (kružno) okretno magnetsko polje.
Ako postoje prostorni pomaci između namota i vremenski pomaci između strujaAko postoje prostorni pomaci između namota i vremenski pomaci između struja,stvarat će se okretna protjecanja koja nisu simetrična (kružna) nego su nesimetrična(eliptična).
Da li će motor raditi kao sinkroni ili asinkroni zavisi o tome kako mu je izveden rotor.Statori sinkronog i asinkronog motora se ne razlikuje. U njemu struje trebaju stvoritiokretno magnetsko polje.g p j
Tesla se na početku bavio dvofaznim asinkronim i sinkronim motorom jer mu je tobilo najjednostavnije za mogućnosti izrade u njegovom laboratoriju.
730.11.2011
![Page 8: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/8.jpg)
Osnovne podjele asinkronih strojeva
Prema obliku gibanja:Rotirajući (engl. rotating machines),
Linearni (engl. linear machines).
Prema izvedbi rotora:Asinkroni stroje i s ka e nim rotorom ( engl sq irrel cage rotor ind ction motors)Asinkroni strojevi s kaveznim rotorom ( engl. squirrel‐cage rotor induction motors) ,
Asinkrone strojevi s kliznokolutnim (namotanim) rotorom ( engl. wound rotor induction motors or slipring induction motors),
Asinkroni strojevi s masivnim rotorom (engl. massive rotor induction motors).Asinkroni strojevi s masivnim rotorom (engl. massive rotor induction motors).
Prema broju faza i priključku na izvor napona:Trofazni, dvofazni i jednofazni (za male snage).
Prema veličini nazivnog napona:Visokonaponski (iznad 1000V do 15000 V) i niskonaponski (do 1000V).
Prema pretvorbi energije:Asinkroni motori,
Asinkroni generatori.
830.11.2011
g
![Page 9: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/9.jpg)
Suvremene izvedbe asinkronih strojeva i pogona
Današnji asinkroni strojevi se po konstrukciji i tehnologijibitno razlikuju od strojeva iz vremena Nikole Tesle, Ferarisa iDobrovoljskog. Princip rada je ostao isti.
Neke suvremene industrijske izvedbe kompletnog asinkronogstroja ili njegovih dijelova su prikazani na sljedećimstroja ili njegovih dijelova su prikazani na sljedećimslajdovima.
930.11.2011
![Page 10: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/10.jpg)
Suvremeni asinkroni kavezni motor s aluminijskim kavezom na rotoru
GLAVE NAMOTAPRIKLJUČNA KUTIJA
VENTILATOR
KRATKOSPOJNI PRSTEN
ROTORSKIOSOVINA (magnetski ili nemagnetski čelik)
KUĆIŠTELEŽAJ
ROTORSKI PAKET
1030.11.2011
AJSTATORSKI PAKET
![Page 11: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/11.jpg)
Rotorski lim asinkronog kaveznog motora
a) aluminijski dvokavezni rotor b) bakreni kavez)
a) b)
1130.11.2011
![Page 12: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/12.jpg)
Statorski paket (jezgra) trofaznog asinkronog motora pripremljen za ulaganje namota
1230.11.2011
![Page 13: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/13.jpg)
Stator novog asinkronog motora za visoki napon (6 ‐10 kV, 50 Hz)
1330.11.2011
Pogled na glave namota i izvode do priključne kutije
![Page 14: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/14.jpg)
Ulaganje namota u statorski paket trofaznog asinkronog motora (400 V, 50 Hz)
1430.11.2011
![Page 15: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/15.jpg)
Kavezni rotor trofaznog asinkronog motora u fazi završne izrade(motor za električnu vuču)
1530.11.2011
![Page 16: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/16.jpg)
Kavezni rotor trofaznog asinkronog motora opće namjene nakon završne obrade
1630.11.2011
![Page 17: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/17.jpg)
Rotor trofaznog asinkronog motora s kliznim kolutima
Klizni kolutiKlizni koluti
1730.11.2011
![Page 18: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/18.jpg)
Neke tipične primjene asinkronih strojeva
1830.11.2011
![Page 19: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/19.jpg)
Strojarnica u TE‐TO Osijek
Jednu fotografiju motora iz termoelektrane
ki l kNapojna kotlovska pumpa
Pogonski elektromotor
1930.11.2011
![Page 20: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/20.jpg)
Motori naftovodnih pumpi u terminalu Omišalj, 6000 V, 50 Hz(Protueksplozijska zaštita oklapanjem)
Naftovodni terminal Omišalj
2030.11.2011
Naftovodni terminal Omišalj
![Page 21: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/21.jpg)
Kavezni motori naftovodnih pumpi na terminalu Omišalj, 3300 kW, 6000 V, 50 Hz, 2p=4
2130.11.2011
Terminal Omišalj
![Page 22: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/22.jpg)
Asinkroni motori povećane sigurnosti, Terminal Sisak1900 kW, 6000 V, 50 Hz, 2p=2
Terminal Sisak
2230.11.2011
Terminal Sisak
![Page 23: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/23.jpg)
Elektromotorni pogon naftovodne pumpe sa zaletnom spojnicom
Hidraulična spojka
Visokonaponski motorPumpa
p j
2330.11.2011
![Page 24: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/24.jpg)
Motori naftovodnih pumpi 3300 kW, 6000 V, 50 Hz, Melnice
2430.11.2011
![Page 25: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/25.jpg)
Elektromotorni pogon – asinkroni motor + pumpa aMDEA otopine, procesno postrojenje za obradu plina CPS Molve
2530.11.2011
Frekvencijski regulirani motor, Exde II AT3
![Page 26: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/26.jpg)
Elektromotorni pogon procesne pumpe, motor 1800 kW, 2p=2, frekvencijski reguliran
MotorPumpa MotorPumpaTurbinaSpojka
2630.11.2011
![Page 27: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/27.jpg)
Asinkroni motor 350 kW, 2p=2, 400V, za pogon vijčanog kompresora na plinskoj bušotini
2730.11.2011
![Page 28: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/28.jpg)
Dvobrzinski asinkroni generator
Multiplikator
bi
generator
Turbina
2830.11.2011
![Page 29: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/29.jpg)
Dvostrano napajani asinkroni generator (DFIG) vjetroagregata promjenljive brzine vrtnje
Mreža
Asinkroni generator
Multiplikator
Elektronički energetski pretvarač
Turbinap
2930.11.2011
![Page 30: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/30.jpg)
Osnovna teorija ‐ okretno magnetsko polje
Okretno magnetsko polje stvoreno u statorskim namotima protjecanimaizmjeničnim fazno pomaknutim strujama vrti se sinkronom brzinom vrtnje:
=60
, o/minss
fn
p
gdje je f frekvencija struja a p broj pari polova motoragdje je fs frekvencija struja, a p broj pari polova motora.
Okretno magnetsko polje inducira u vodičima rotora napone koji kroz namotOkretno magnetsko polje inducira u vodičima rotora napone koji kroz namotrotora protjeraju struje. Interakcijom struja rotora i okretnog mag. polja stvara sesila na vodiče rotora koja zakreće rotor u smjeru vrtnje okretnog polja.
Ako je moment svih sila na vodiče rotora veći od momenta otpora vrtnji, rotor ćese vrtjeti brzinom koja je uvijek različita od brzine vrtnje okretnog polja, te sezbog toga motor zove asinkroni*.g g
*asinkrono – koje nije sinkrono, nije istovremenosinkrono – koje je s nečim ili nekim sinkrono, istovremeno
3030.11.2011
![Page 31: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/31.jpg)
Pojam klizanja asinkronog stroja (1)
Okretno polje se vrti u odnosu na stator sinkronom brzinom
ns= 60f/p, o/minns 60f/p, o/minRotor se vrti brzinom vrtnje n, o/min
Razlika brzine vrtnje rotora (mehaničke brzine) i brzine vrtnje okretnog polja
naziva se klizanje i računa se prema izrazu:
−= sn n
s =s
sn
3130.11.2011
![Page 32: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/32.jpg)
Pojam klizanja asinkronog stroja (2)
Brzina vrtnje rotora je nakon definicije klizanja s:
= − = −60
(1 ) (1 )fsn n s s
Brzina vrtnje rotora može teoretski biti bilo koja vrijednost, pa odnosi izmeđunje i klizanja s izgledaju kao na slici
= − = −(1 ) (1 )n n s ss p
nje i klizanja s izgledaju kao na slici.
rotor se vrti sinkronom brzinom s = 0dok rotor stoji (zakočen) s = 1dok rotor stoji (zakočen) s = 1
brzina vrtnje rotora manja od sinkrone s > 0rotor se vrti brže od okretnog polja s < 0
3230.11.2011
rotor se vrti u suprotnom smjeru (n<0) od okretnog polja s > 1
![Page 33: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/33.jpg)
Pojam klizanja asinkronog stroja (3)
s
s
n ns [%] 100 %n−
=Klizanje u tehnički prihvatljivim iznosima mora biti sasvim mala veličina (zbogutjecaja na gubitke energije) te se zbog toga iskazuje u postocima.
snKlizanje se obično kreće između 0.1 i 5 %. Veća vrijednost odnosi se na motoremanjih snaga (do oko 1 kW).
Primjer iz kataloga:Motor snage 180 W, 400 V, 50 HZ, 2p = 2 ima brzinu vrtnje pri nazivnomopterećenju 2905 o/minopterećenju 2905 o/min.Klizanje je
= = ⋅ =3000‐2900‐
100 3,33%n nss
Motor snage 1 MW 10 kV 50 Hz 2p = 4 nazivna brzina vrtnje n = 1491 o/min
100 3,33%3000
sns
= = ⋅ = 1500‐1491‐
100 0,6%n nss
Motor snage 1 MW, 10 kV, 50 Hz, 2p = 4 , nazivna brzina vrtnje n = 1491 o/min
3330.11.2011
1500ns
![Page 34: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/34.jpg)
Rotorski napon
Dok rotor miruje (s=1) u njemu okretno polje inducira napon Er0.
Nakon što se rotor počne vrtjeti, mijenja se relativna brzina okretnog poljap j j j g p jstatora prema rotoru, a napon Er se mijenja prema izrazu:
P i l ti j b i i 0 tj 0 t t j il iEr = Er0 s
Pri relativnoj brzini 0, tj. za s=0, nema napona u rotoru, nema struje, sile nimomenta pa motor ne može raditi pri tom klizanju. Samo pri različitimbrzinama vrtnje okretnog polja i rotora postoji inducirani napon, struje urotoru i elektromagnetski moment. Zbog toga je naziv asinkroni motor.
3430.11.2011
![Page 35: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/35.jpg)
Frekvencija rotorskih struja
−( )sp n nf f
Inducirani napon i struja rotora imaju frekvenciju
= =( )60s
r sp n n
f s f
O f k ij i f k ij kli j T ki ž i i bilOvu frekvenciju nazivamo frekvencija klizanja. Teoretski ona može imati bilo koju vrijednost.
fsfr
1
n0 ns
3530.11.2011
n0 ns
![Page 36: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/36.jpg)
Elektromehanička pretvorba energije posredstvom okretnih magnetskih polja
Za elektromehaničku pretvorbu energije posredstvom magnetskih poljaneophodno je da se statorsko i rotorsko magnetsko polje vrte istom brzinom,odnosno da im relativna brzina bude jednaka nuli. Ukupna brzina vrtnjerotorskog polja u odnosu na jednu fiksnu točku statora je zbroj brzineokretnog polja rotora u odnosu na rotor n0r i brzine rotora n u odnosu nag p j 0rjednu fiksnu točku statora
n + n0r = nsd i k j j i j b d j ili j iKod sinkronog stroja na rotoru je istosmjerna uzbudna struja ili su trajni
magneti; nema okretnog polja rotorskih struja u odnosu na rotor koji se zbogtoga mora vrtjeti sinkronom brzinom vrtnje statorskog polja.
Kod asinkronog stroja pretvorba je uvijek moguća osim pri vrtnji rotorasinkronom brzinom statorskog polja kada je klizanje jednako nulisinkronom brzinom statorskog polja kada je klizanje jednako nuli.
Asinkroni stroj je pri tome prirodno puno prihvatljiviji za primjenu odsinkronog jer su na raspolaganju velike mogućnosti promjena rotorske brzine
3630.11.2011
vrtnje i frekvencije.
![Page 37: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/37.jpg)
Odnosi brzina vrtnje u asinkronom stroju
ns ‐ brzina vrtnje statorskog okretnog polja u odnosu na stator n ‐ brzina vrtnje rotora u odnosu na statorjn0r ‐ brzina vrtnje rotorskog okretnog polja u odnosu na rotor
+n + n0r = ns
3730.11.2011
![Page 38: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/38.jpg)
Osnovne jednadžbe asinkronog motora
Naponska jednadžba statora
ψψ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 0
0 0as s as as
bs s bs bs
u R id
u R i ψψ
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0
bs s bs bs
cs s cs cs
dtu R i
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
Naponska jednadžba rotora
Osnovni dvopolni prikaz asinkronog motora
ψψ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 0
0 0ar r ar ar
br r br br
u R id
u R idt
ψ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦0 0cr r cr cr
dtu R i
R – otpor namotaΨ l č i t k t
3830.11.2011
Ψ ‐ ulančeni tok namota
![Page 39: Asihroni Strojevi i Pogoni- D.zarko](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012316/577cce481a28ab9e788dc0b2/html5/thumbnails/39.jpg)
Osnovne jednadžbe asinkronog motora
Ulančeni tokovi statora
( ) ( ) ( )σψ α α α+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
as asas s asbs ascs as asar r asbr r ascr r arL L L L i L L L i( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
σ
σ
ψ α α αψ α α α
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
bs bsas bsbs s bscs bs bsar r bsbr r bscr r br
cs csas csbs cscs s cs csar r csbr r cscr r cr
L L L L i L L L i
L L L L i L L L i
Ulančeni tokovi rotora
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
σ
σ
ψ α α αψ α α α
+⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
ar aras r arbs r arcs r as arar r arbr arcr ar
br bras r brbs r brcs r bs brar brbr r brcr br
L L L i L L L L i
L L L i L L L L i( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) σψ α α α
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦cr cras r crbs r crcs r cs crar crbr crcr r crL L L i L L L L i
Lasbs – međuinduktivitet (as – namot koji ulančuje tok, bs – namot koji pobuđuje tok)Lσ ‐ rasipni tok namota
3930.11.2011
σ p