Download - Asnia Yulinda Utami 4311413040
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
1/90
TUGAS PORTOFOLIO
MATEMATIKA DASAR
NAMA : ASNIA YULINDA UTAMI
NIM : 4311413040
PRODI : KIMIA
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2013
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
2/90
BAB I
SISTEM BILANGAN REAL
1. BILANGAN REAL
Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan darihimpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional
1.1 Bilanan Ra!i"nal
Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentukdi mana a, b Z, dengan b 0.
Notasinya: Q = {xx = dengan a, b Z, dengan b 0!"ontoh :Himpunan#himpunan berikut ada di dalam himpunan bilangan rasional :Himpunan bilangan asli,N = {$,%,&,...!Himpunan bilangan bulat,Z = {'#%,#$,0,$,%,'!1.2 Bilanan I##a!i"nal $Ta% Ra!i"nal&
Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .
Notasinya: iR = {xR x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk !"ontoh : (, e, log ).*
+ika ilangan -eal dinyatakan dalam suatu diagram dapat berbentuk sebagai berikut:
1. 3 D'!i(al B'#)lan *an Ta% B'#)lan
esimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama.
"ontohnya : = 0.&/), atau 0.&/)0000000'.
R
Q
Z
N
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
3/90
= $.$$$$$'1etiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya"ontoh : x = 0.$&2$&2$&2'. y = 0.%/$%/$%/$'..
B)%+i%an , *an - ('#'#'!'n+a!i%an /ilanan #a!i"nal esimal bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya."ontoh : 0.$0$00$000$0000$'.
1.4 Ga#i! Bilanan
1etiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garisbilangan, yang disebut garis bilangan real.
-2. SISTEM BILANGAN REALHimpunan bilangan real yang dilengkapi dengan si3at#si3at bilangan disebut sistembilangan real.1i3at#si3at bilangan real dibagi men4adi : si3at#si3at al4abar5 si3at#si3at urutan, dan si3atsi3atkelengkapan.2.1 Sia+!ia+ Ala/a# Bilanan R'al
1i3at 6 si3at al4abar menyatakan bah7a % bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan,dikalikan, dibagi 8ke"uali dengan 09 untuk memperoleh bilangan real yang baru."ontoh:
% ) = /) # 0,; = ;,2
; x = &
& : ; =
.2.1.1 Sia+!ia+ Laanan $Field& :)%)( K"()+a+i :,5- 6 -5, 7 ,-6-,
)%)( A!!"!ia+i :
,5$-58& 6 $,5-&589 ,$-8&6$,-&8)%)( Di!+#i/)+i :,$-58& 6 ,-5,8
El'('n'l'('n i*'n+i+a! :, 5 0 6 , 7 , 1 6 ,
Bali%an $In;'#!& :,5$,& 6 0 7 , 6 1
-4 -1 0 1
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
4/90
2.1.2 Sia+!ia+ U#)+an Bilanan R'al
ilangan real a disebut bilangan positi3, 4ika a nilainya lebih dari 0, ditulis a < 0. - i%a *an =an-a i%a ,8 > -8
@i%a 8 n'a+i9 , > - i%a *an =an-a i%a ,8 ? -8
2.1.3 Sia+!ia+ K'l'n%aan Bilanan R'al
1i3at kelengkapan dari himpunan bilangan real se"ara garis besar menyatakan bah7aterdapat "ukup banyak bilangan 6 bilangan real untuk mengisi garis bilangan real se"aralengkap sehingga tidak ada setitikpun "elah diantaranya?ontoh :Nyatakanlah apakah masing#masing yang berikut benar atau salah@a. #% #)
b.
3. INTERVAL BILANGAN REAL
nterBal adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung palingsedikit % bilangan real yang berbeda dari semua bilangan real yang terletak diantarakeduanya.>ntuk setiapx, a, bR,a. Ca, bD = {x a Ex E b! disebut interval tutupb. Ca, b9 = {x a Ex b! disebut interval setengah tertutup atau terbuka". 8a, bD = {x a x E b! disebut interval setengah terbuka atau tertutupd. 8a, b9 = {x a x b! disebut interval terbuka1elain interBal#interBal di atas 4uga terdapat interBal#interBal tak hinggaa. 86F, bD = {x x E b!b. 86F, b9 = {x x b!". Ca, F9 = {x x G a!d. 8a, F9 = {x x < a!e. 86F, F9 = {x xR!
4. PERTIDAKSAMAAN
enyelesaikan pertidaksamaan dalamxberarti men"ari interBal atau interBal#interBaldari bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.?ara menyelesaikan pertidaksamaan:a. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama,b. kalikan kedua sisi dengan bilangan positi3,
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
5/90
a
a
a
ba
ba
". kalikan kedua sisi dengan bilangan negati3, tapi tanda ketidaksaman berubah.
BAB 2
PERTIDAKSAMAAN
enyelesaikan pertidaksamaan dalamxberarti men"ari interBal atau interBal#interBaldari bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.?ara menyelesaikan pertidaksamaan:a. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama,b. kalikan kedua sisi dengan bilangan positi3,". kalikan kedua sisi dengan bilangan negati3, tapi tanda ketidaksaman berubah.?ontoh:1elesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garisbilangan real@
a. )x6 & E / # &x
b. < %
". % E ;
A.2. N"+a!iSi(/"l
Si(/"lN"+a!i Ga#i! Bilanan
x < a
x G a
x a
x E a
a E x E b
x a atau
x G b
1imbol < artinya I lebih dari J1imbol G artinya I lebih dari atau sama dengan J1imbol artinya I kurang dari J1imbol E artinya I kurang dari atau sama dengan J
A.3. Sia+!ia+ P'#+i*a%!a(aan
$. >ntuk setiap bilangan real x, y, K berlaku 4ika x < y dan y < K maka x < K.
a
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
6/90
-1
?ontoh : x= $0, y = ) dan K = % maka $0 < ), ) < % maka $0 < %x= $, y = 0 dan K = # ; maka $ < 0, 0 < # ; maka $ < # ;
%. >ntuk setiap dua bilangan real x dan y dan a sembarang bilangan , maka berlaku :
+ika x < y maka
x : a < y : a
x # a < y # a
?ontoh : x=/, y=), a=&/ntuk setiap dua bilangan real x dan y dan a sembarang bilangan , maka berlaku :
untuk a < 0 8positi39, +ika x < y, maka?ontoh : x=), y=% dan a=&, berlaku
ax = ay
yxa a
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
7/90
e3inisi nilai mutlak :x = #x apabila x 0M apabila x G 0
+adi x 0 untuk setiap bilangan realx dan x = 0 4ika dan hanya 4ikax = 0.
x| dapat 4uga dide3inisikan sebagai:1e"ara eometri:x| menyatakan 4arak darix ke titik asal.x y = 4arak diantarax dany
.1 Sia+!ia+ Nilai M)+la%
O #a = aO ab = abO a b E a bO =O x a4ika dan hanya 4ika # a x a
O x < a4ika dan hanya 4ikax < a ataux #aO x y 4ika dan hanya 4ika
Nilai mutlak suatu bilangan adalah pan4angP4arak bilangan tersebut dari bilangan 0. +adi, nilaimutlak ) adalah ), nilai mutlak / adalah /, nilai mutlak 0 adalah 0, dan seterusnya.
Nilai mutlakRx
, ditulis dengan notasix
, dide3inisikan sebagai:%xx =
.
e3inisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
8/90
1e"ara geometris, nilai mutlakax
dapat diartikan sebagai 4arak dari ake x. 1ebagai
"ontoh, 4ika/&=x
maka artinyaxber4arak / unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri &
+adi, penyelesaian/&=x
adalah{ }$0,;
.R
engan mengingat 1i3at $.$./ 8b9, kiranya mudah dipahami si3at berikut:
. +ika0a
, maka:axaxax === atau
.
1ebagai "ontoh,;atau;berarti; === xxx
&
)atau
&
)
)&atau)&)&
==
===
xx
xxx
1e"ara sama,
%atau);%atau$0%
/&%atau/&%berarti/&%
== ==
===
xxxx
xxx
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
9/90
+adi, penyelesaian adalah{ })atau% xxRx
.R
BAB 4
AKAR KUADRAT DAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT
Lersamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk :
ax% bx " = 0, dengan a, b, "
- dan a 0
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
10/90
".$
20&
=+x
x
kalikan kedua ruas dengan9$8 x
209&98$8 =+ xx
02&%%
=+ xx
09T98/8 =+ xx
9/8 x= 0 atau
9T8 +x= 0
x
= / ataux
=T
+adi, HL = {T
, /!
%. elengkapkan entuk Quadrat 1empurna?ontoh 1oal:
1elesaikan persamaan0$% % =++ xx
dengan melengkapkan kuadrat.
Lenyelesaian:0$% % =++ xx
$% % =+ xx
$9;8%% =+ xx
%$% ; =+ xx
%$%%% 9%89%8; =++ xx
tiap ruas ditambah dengan 8%$
b9%
%/%9%8 =+x
%/% =+x
+adi,
%/% +=x
atau%/% =x
&. enggunakan -umus abc-umus untuk menentukan akar#akar persamaan kuadrat atau sering disebut dengan-umus abcadalah:
MATERI
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
11/90
a
acbbx
%
;%
%,$
=
?ontoh soal:
unakan rumus untuk menentukan akar#akar persamaan0$)% =+ xx
Lenyelesaian:0$)% =+ xx
aka,a = $b = 6 " = $)
1ubstitusi nilai a, b, " ke rumus abc
1ehingga,
9$8%
9$)98$8;9898 %
%,$
=x
%
202;%,$
=x
%
%$
+=x
atau%
%%
=x
)$=x atau &%=x
PERSAMAAN KUADRAT9 FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN
KUADRAT
Lersamaan Quadrata. entuk >mum Lersamaan Quadrat
isalkan a,b," U - dan a 0 maka persamaan yang berbentuk0% =++ cbxax
dinamakan persamaan kuadrat dalam peubahx.
alam persamaan kuadrat0% =++ cbxax
, a adalah koe3isien darix%, b adalahkoe3isien dari x dan " adalah suku tetapan.
?ontoh:$. x%6 ;, nilai a = $, b= 0, " = #;
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
12/90
%. x% %x = 0 nilai a = $, b =%, " = 0&. x%6 )x % = 0 nilai a = %, b = #), " = %;. x% x 6 % = 0 nilai a = $, b =%, " = #%
b. ?ara enyelesaikan Lersamaan QuadratLersamaan
0% =++ cbxaxdapat diselesaikan dengan "ara menentukan nilai
pengganti x yang memenuhi persamaan itu, dan disebut penyelesaian atau akar
dari persamaan kuadrat0% =++ cbxax
.
>ntuk menyelesaikan 8menentukan akar#akar9 persamaan kuadrat ada beberapa"ara, diantaranya adalah dengan "ara:$. em3aktorkan%. elengkapkan bentuk kuadrat sempurna
&. enggunakan rumus kuadrat
$. em3aktorkan?ontoh:1elesaikan persamaan kuadrat berikut ini@
a. x%6 T = 0
b.0%&% ==+ xx
".0$% % =xx
+a7ab:a. x%6 T = 0
09&98&8 =+ xx
&= xatau
&=x
b.0%&% ==+ xx
0%&%
=++ xx
=raian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.
isalkan a, b, " bilangan rela dan0a
maka akar#akar persamaan kuadrat0% =++ cbxax
ditentukan oleh:
a
acbbx
%
;%
$%
=
?ontoh:
1elesaikan persamaan kuadrat berikut ini@
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
16/90
a.0%&% =++ xx
b.0%2& % =+ xx
+a7ab :
a.0%&% =++ xx
=< a = $, b = &, " = %
= xx
adalah x #$ atau x < ;.
+adi himpunan penyelesainnya adalah${
+
x
x
iB.
0%
;%
%
xx
x
Siap pertidaksamaan di atas memuat Bariabel x pada bagian penyebut dari suatu pe"ahan.Lertidaksamaan dengan "iri demikian disebut pertidaksamaan pe"ahan ataupertidaksamaan rasional.
Lenyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukandengan menggunakan garis bilangan. 1ebagai "ontoh, penyelesaian pertidaksamaanrasional
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
26/90
0&
$ntuk menentukan nilai yang benar perlu diperhatikan letak titikP,apakah di k7adran atau , ataukah dik7adran atau [. Apabila dipilih nilai yang lain,
maka
%% yxr +=.
BAB
GRAFIK
etode gra3ik adalah satu "ara yang dapat digunakan untuk meme"ahkan masalah optimalisasidalam programasi linier. Qeterbatasan metode ini adalah Bariabel yang bisa digunakan terbatas8hanya dua9, penggunaan & Bariabel akan sangat sulit dilakukan.
F)n!i P'(/a+a!
a. x G %
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
33/90
b. y E ;
". x = %0
G#ai% F)n!i Lini'#
>ntuk 3ungsi yang lebih kompleks 8% Bariabel9 kita terlebih dahulu menentukan garis 3ungsinya.?ontoh % :%x ;y E %0
>ntuk mempermudah penyelesaian 3ungsinya, tanda pertidaksaman 8E9 men4adi persamaan8=9 , sehingga :%x ;y = %0.
Sentukan titik potong terhadap sumbu x : %x &.0 = %0 %x = %0 x = $0 sehingga titik yang berpotongan dengan sumbu x 8$0,09.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
34/90
Sentukan titik potong terhadap sumbu y : %.0 ;.y = %0 ;y = %0 y = ) sehingga titik yang berpotongan dengan sumbu y80,)9
Qita kembali ke 3ungsi pertama %x ;y E %0, daerah E adalah daerah yang diarsir.
?ontoh &:
ila 3ungsi pembatasnya )x &y G $).
?ontoh ;:
ila 3ungsi pembatasnya ;x %y = $2
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
35/90
M'(a%!i()(%an F)n!i Lini'#
1etelah kita dapat menentukan daerah pembatas, kita dapat melan4utkan dengan menentukanbeberapa 3ungsi pembatas.
?ontoh ) :
1eorang pengusaha menghadapi 3ungsi tu4uan dan kendala seperti di ba7ah ini :
aksimumkan 3ungsi tu4uan : K = ;000x )000y
Serhadap 3ungsi kendala : )x &y E $)0
%x &y E $%0
x, y G 0
maka yang kita buat gra3iknya adalah gra3ik#gra3ik kendalanya.
)x &y E $)0 _ )x &y = $)0 bila x = 0 :
0 &y = $)0 y = )0 80,)09
bila y = 0 :)x 0 =$)0 x = &0 8&0,09
%x &y E $%0 _ %x &y = $%0 bila x = 0
0 &y = $%0 y = ;0 80,;09
bila y = 0%x 0 = $%0 M = 20 820,09
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
36/90
Qarena kedua garis kendala bertanda E maka daerah pembatasnya adalah yang berada diba7ahkedua garis tersebut 8daerah yang diarsir9. 1edangkan daerah diluar daerah pembatas tidak dapatditerima karena diluar dari kendala 8sumberdaya tidak memenuhi9. 1ehingga pengusaha tersebuthanya bisa berproduksi dengan kombinasi x dan y yang berada di dalam daerah pembatasnya.
ila kita namakan titik#titik di daerah pembatas dengan a, b, ", dan d, kita dapat menentukankoordinat masing#masing titik tersebut :
a. berada di pun"ak garis kendala %, sehingga koordinatnya 80,;09b. berada pada perpotongan kendala $ dan %, sehingga koordinatnya merupakan persamaan
dari kedua kendala tersebut :kendala $, )x &y E $)0 )x &y = $)0
kendala %, %x &y E $%0 %x &y = $%0
Qita dapat men"ari titik perpotongan dengan menggunakan metode eliminasi,
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
37/90
$0 x&0&x
$%0&y%x$)0&y)x
==
=+=+
ila x = $0)8$09 &y = $)0 )0 &y = $)0 &y = $00 ^ = &&,&erarti b berada pada titik 8$0, &&,&9
". berada di dasar gra3ik kendala , sehingga koordinatnya 8&0,09d. kita letakkan disembarang tempat di dalam daerah pembatas, misalnya 8$0,$09
kembali ke 3ungsi tu4uan kita yaitu : K = ;000x )000y
1ekarang kita sudah memiliki titik a, b, ", dan d lalu kita masukkan ke empat titik tersebut kedalam 3ungsi tu4uan kita.
a 80,;09 _ K = ;000809 )0008;09
K = 0 %00000
K = %00000
b 8$0, &&,&9 _ K = ;0008$09 )0008&&,&9
K = ;0000 $22)00
K = %02)00
" 8&0,09 _ K = ;0008&09 )000809
K = $%0000 0
K = $%0000
d 8$0,$09 _ K = ;0008$09 )0008$09
K = ;0000 )0000
K = T0000karena tu4uan kita adalah memaksimumkan 3ungsi tu4uan, maka titik yang kita ambil adalah titikyang memiliki nilai tu4uan paling besar yaitu b.
aka 3ungsi K = ;000x )000y
engan kendala )x &y E $)0
%x &y E $%0,
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
38/90
Akan maksimum pada titik 8$0, &&,&9.
1ehingga pengusaha tersebut akan memperoleh hasil maksimum bila memproduksi x sebanyak$0 unit dan y sebanyak &&,& unit.
M'(ini()(%an F)n!i Lini'#
?ontoh di atas digunakan untuk men"ari nilai maksimum dari 3ungsi tu4uan yang telah kitatetapkan. >ntuk men"ari nilai minimum 8misalnya untuk meminimumkan biaya atau kerugian9"ara yang kita gunakan sama, hanya sa4a kita men"ari nilai tu4uan 8K9 yang paling ke"il. >ntukkasus minimisasi, tanda dari 3ungsi kendala adalah G.
M'n'n+)%an T))an *an K'n*ala
1etelah kita mempela4ari bagaimana men"ari nilai maksimum 8minimum9 3ungsi tu4uan dengan3ungsi yang telah diketahui, kita lan4utkan dengan bagaimana menentukan persamaan#persamaan3ungsi tu4uan dan kendala, apabila yang kita hadapi adalah soal "erita.
BAB
PERSAMAAN LINIER
Lersamaan linier dalam n peubah$x
,%x
,&x
,'.nx
adalah persamaan yang dapat dinyatakan
dalam bentuknnxaxaxa +++ %%$= b, dimana
naaa ,,, %$
dan b adalah konstanta 6
konstanta riil. 1ebuah himpunan berhingga dari persamaan 6 persamaan linier dalam peubah$x
,%x
,&x
,'.nx
dinamakan sistem persamaan linier.
1ebuah persamaan linier yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tidak konsisten,sedangkan yang paling sedikit mempunyai satu penyelesaian disebut konsisten.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
39/90
1ebuah sistem persamaan linier dikatakan homogen 4ika semua suku konstanta samadengan nol, system tersebut mempunyai bentuk
0
0
0
%%$$
%%%%%%$
$%$%$$$
=+++
=+++=+++
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Siap 6 tiap sistem persamaan linier homogen adalah system yang konsisten, karena$x
,%x
,&x
,
'.nx
= 0 selalu merupakan penyelesaian. Lenyelesaian$x
,%x
,&x
,'.nx
= 0 dikatakanpenyelesaian triBial. +ika ada penyelesaian lain selain penyelesaian tersebut maka penyelesaiandisebut penyelesaian taktriBial.
T'"#'(a 1
+ika adalah matriks n x n, maka pernyataan 6 pernyataan berikut ekiBalen :
a. A inBertibelb. AM = 0 hanya mempunyai penyelesaian triBial". A ekiBalen baris terhadap n
ukti :
8a
b
9 Anggap A inBertibelisalkan Moadalah penyelesaian bagi AM = 0. +adi A Mo = 0.
engan mengalikan kedua ruas dengan A#$maka
A#$8A Mo9 = A#$0
8AA#$9M0= 0
M = 0
Mo = 0.
+adi AM = 0 mempunyai penyelesaian triBial
8cb
9 isalkan AM = 0 adalah bentuk matriks dari system
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
40/90
0
0
0
%%$$
%%%%%%$
$%$%$$$
=+++
=+++=+++
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
an anggap system tersebut hanya mempunyai penyelesaian triBial. 1istem persamaantersebut bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi deri matriks yang diperbesarakan men4adi
0
0
0
%$
%%$
$$$
nn
n
n
aa
aa
aa
atriks yang diperbesar dengan tidak memperhatikan urutan operasi baris elementer
0$0
00000$
+ika kolom terakhir tidak diperhatikan, dapat disimpulkan bah7a A dapat direduksiterhadap ndengan urutan operasi baris elementer yaitu A ekiBalen baris pada n.
( )acAnggap A ekiBalen baris pada n,
1ehingga A dapat direduksi pada ndengan urutan berhingga dari operasi 6 operasi bariselementer.
`$, `%, '.., `k, sehingga `k '`%`$A = n
1esuai si3at matriks elementer dimana inBersnya merupakan matriks elementer.
`$, `%, '.., `k inBertibel.
engan mengalikan kedua ruas dari sebelah kiri berturut 6 turut dengan`k#$'`%#$`$#$.1ehingga didapatA = $#$ `%#$'. `k#$n= `$#$ `%#$'. `k#$
^ang menyatakan A sebagai hasil kali matriks 6 matriks inBertibel.+adi A inBertibel
T'#"#'(a 2 :
1istem persamaan linier homogen m x n memiliki penyelesaian taktriBial 4ika
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
41/90
n
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
42/90
Xungsi biasanya dilambangkan dengan huru3 ke"il sepertif ataug.Yambangf : _ ` berartifadalah 3ungsi dari ke `.Xungsi yang akan dibahas di sini adalah 3ungsi dengan daerah asal R dan daerahhasil `R, yang sering dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti
y = x2
atauf8x9 = x2
,x R.
?ontoh $.Xungsif8x9 = x2
memetakan setiap bilangan realx ke kuadratnya, yakni x2
. aerahasalnya
adalah R dan daerah hasilnya adalah C0,F9.?ontoh %.Xungsig8x9 =xmemetakan setiap bilangan real x 0 ke kebalikannya, yaknix$ .aerah asalnya sama dengan daerah hasilnya, yaitu {x R x 0 !.1.1 O'#a!i a*a F)n!i
1eperti halnya pada bilangan, kita de3inisikan operasipenjumlahan,pengurangan,perkalian, danpembagianpada 3ungsi, sebagai berikut:$ 5g&$,& 6$,& 5g$,&
$g&$,& 6$,& g$,&
$.g&$,& 6$,&.g$,&$g&$,& 6$,&g$,&9 $,& 0asalkan bentuk di ruas kanan terde3inisi. aerah asalf g adalah irisan dari daerah asalfdan daerah asalg.?ontoh
4ikaf8x9 = x2
dang8x9 =x
$ , makaf g
adalah 3ungsi yang memetakan x ke x2
x
$ , yakni 8f g98x9 = x2
x
$ .1elain keempat operasi tadi, kita dapat pula mende3inisikanpangkatp dari 3ungsif,yakni $,& 6 H$,&, asalkan bentuk di ruas kanan terde3inisi.
1eperti hal nya himpunan konsep 3ungsi memegang peranan yang penting dan digunakan se"araekstnsi3 dalam matematika. 1e"ara umum 3ungsi adalah suatu aturan yang menghubungkanunsure#unsur di dua himpunan, de3inisi 3ormalnya adalah sebagai berikut.
$F)n!i !'/aai '('+aan&
isalkan A dan adalah dua himpunan tak kosong. 1uatu 3ungsi dari A ke adalah suatu aturanyang memasangkan setiap unsure di A dengan tepat satu unsure di .
ila 3ungsi ini dilambangkan dengan 3, maka unsure y di yang merupakan pasangan unsure xdi A di beri lambing y = 38x9, 4adi kita mempunyai 3ungsi 3 : A , y = 38x9. dalam kasusini y = 38x9 dinamakan persamaan 3ungsi 3 dengan x sebagai Bariable bebas dan y sebagaiBariable tak bebas.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
43/90
1elan4utnya himpunan A dinamakan *a'#a= *'ini!i8daerah asal P domain9 dari 3ungsi 3, yangdinotasikan dengan Dyaitu himpunan elemen#elemen sehingga 3ungsi 3 mempunyai nilai riil.Qemudian himpunan semua nilai#nilai y di yang mempunyai pasangan di A dinamakan *a'#a=nilai 8daerah hasil P range9 dari 3ungsi 3 yang dinotasikan dengan R , dengan kata lain domaindan range dapat di tuliskan dalam bentuk : +ika 3 : A, maka :
3= A atau 3= {x 38x9 -! dan
-3= {38x9 x 3!
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
44/90
!
!1
" "# $
%("#$)
%(")
& ' %(")
Gambar 41
"os 8#V9 = "os V@a*i :
C"! $J & 6 C"! J C"! 5 !in J !in
4.1 P'n'#+ian *an Sia+ T)#)nan
Lada gambar di atas, garis3menyinggung kurBa yf8x9 di titik 8x,f8x99, sedangkan garis3$ melalui titik 8x,f8x99 dan titik 8x/h,f8x/h99. +ika h mendekati nol, maka garis 3$ akan
mendekati garis3, sehingga gradien garis3$akan mendekati gradien garis3. Hal ini dapatdinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:
h
xfhxfmmh
3h
39898
limlim00 $
+==
.
entukh
xfhxf
h
9898lim
0
+
dikenal sebagi turunan 3ungsi y = f8x9, yang dinotasikandengan
dx
dy
, y ,dx
df
, atauf8x9.engan demikian se"ara geometri, turunan 3ungsi merupakan gradien dari garis singgung kurBa3ungsi tersebut.
Qarena turunan dedi3inisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit 3ungsi bisatidak ada, maka 3ungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
45/90
Gambar
1ebagai "ontoh, perhatikan 3ungsi nilai mutlakxxf =98
, yang gra3iknya diberikandalam gambar di ba7ah ini.
+ika kita memperhatikan gambar dengan "ermat, maka kita akan dapatkan bah7a gra3ik3ungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu yadalah berupa garisy. xsedangkan yang sebelah kiri sumbuyberupa garisy . &x. aris di kanan dan kiri sumbuy
mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut di"urigai bah7a 3ungsixxf =98
tidakmempunyai turunan di perpotongan kurBa dengan sumbuy, yaitu titik 80,09. Lembuktian bah7a
3ungsixxf =98
tidak mempunyai turunan di titik 80,09 diberikan di ba7ah ini.
Qarena
$$limlim0lim908908lim0000
====+++++ hhhh h
hh
hh
fhf
dan
$9$8limlim0
lim908908
lim0000
==
=
=+
+++ hhhh h
h
h
h
h
fhf
,
maka
h
fhf
h
fhf
hh
908908lim
908908lim
00
+++
,
sehinggah
fhff
h
908908lim908c
0
+=
tidak ada.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
46/90
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
47/90
[ ] 98989898 xgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d=
4. A+)#an =a!il %ali.
+ika f dangkeduanya dapat diturunkan, maka
[ ] 989898989898 xfdx
dxgxg
dx
dxfxgxf
dx
d+=
. A+)#an =a!il /ai.
+ikaf dangkeduanya dapat diturunkan, maka
[ ]%98
98989898
98
98
xg
xgdx
dxfxf
dx
dxg
xg
xf
dx
d
=
B)%+i:
1. A+)#an '#%alian *'nan %"n!+an+a.
+ika " konstanta danf 3ungsi yang dapat diturunkan, maka
[ ]
[ ]989898
lim
998988lim
9898lim98
0
00
xfdx
dc
h
xfhxfc
h
xfhxfc
h
xcfhxcfxcf
dx
d
h
hh
=+
=
+=
+=
2. A+)#an )(la=.
+ikaf dang keduanya dapat diturunkan, maka
[ ] [ ]
[ ]
9898
9D898Clim
9D898Clim
98989D898Clim
98989D898Clim9898
00
0
0
xgdx
dxf
dx
d
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxgxfhxf
h
xgxfhxghxfxgxf
dx
d
hh
h
h
+=
++
+=
+++=
++++=+
3. A+)#an !'li!i=.
>ntuk latihan
4. A+)#an =a!il %ali.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
48/90
+ika f dangkeduanya dapat diturunkan, maka
[ ]
98989898
9D898Clim98
9D898Clim98lim
9D8989C8lim
9D8989C8lim
9D8989C89D8989C8lim
98989898lim9898
000
00
0
0
xfdx
dxgxg
dx
dxf
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
h
xfhxfxg
h
xghxghxfh
xfhxfxgxghxghxf
h
xgxfhxghxfxgxf
dx
d
hhh
hh
h
h
+=
++
++=
++
++=
++++=
++=
. A+)#an
=a!il /ai.
1elan4utnya di ba7ah ini beberapa rumus dasar turunan.
N"("# F)n!i T)#)nan )n!i
$ y . k% kkonstanta y = 0% y . xn y4 .nxn#$
& y = lnxy4=
x
$
B)%+i:
$.
0lim9898
limc00
=
=+
== h
kk
h
xfhxfyky
hh
%.h
xhx
h
xfhxfyxy
nn
hh
n +=+
==
98lim
9898limc
00
$
$%
%
9$8$
0
$%
%
9$8$
0
%%
%
9$8$
0
D...Clim
D...Clim
...lim
=
+++=
+++=
++++=
n
nnnnn
h
nnnnn
h
nnnnnnn
h
nx
hhxnx
h
hhxnxhh
xhhxhnxx
s
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
49/90
&.h
xhx
h
xfhxfyxy
hh
ln9ln8lim
9898limcln
00
+=
+==
x
e
h
x
h
h
x
hx
x
xhx
h
x
h
h
x
h
hh
h
$ln
D9$C8limln
9$ln8lim
D$lnC
lim
ln
lim
$
$
$
0
00
0
==
+=
+=+
=
+
=
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
50/90
%&
%%&
%
&%pembagianaturan
&
%
928
&9.%89298$%8ccc
2,%,c2
%
+
+++=
=
+=+== +
+=
x
xxxxx
v
uvvuy
xvxxuv
uy
x
xxy
( )%&%&;
2
2$%2%c
+
+++=
x
xxxxy
4.2. A+)#an
Ran+ai.
i ba7ah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk menentukan turunan3ungsi.
+ikafdangkeduanya mempunyai turunan, dan h . f g adalah 3ungsi komposisi yangdide3inisikan oleh h(x! . f(g(x!!%maka hmempunyai turunan, yaitu h yang dinyatakan oleh
h (x! . f(g(x!!, g (x!
alam notasi YeibniK, 4ika y . f(u! danu . g(x!keduanya 3ungsi yang mempunyaiturunan, maka
dx
du
du
dy
dx
dy=
.
B)%+i:
98c9988c
9898lim.
99889988lim
9898
lim.9898
99889988
lim
9898.
9898
99889988lim
99889988lim
9898lim98c
00
00
0
00
xgxgf
t
xgtxg
p
xgfpxgf
t
xgtxg
xgtxg
xgftxgf
t
xgtxg
xgtxg
xgftxgf
t
xgftxgf
t
thtxhxh
tp
tt
t
tt
=
++=
+++
=
+++
=
+=
+=
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
51/90
engan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus sebelumnya kitaakan dapatkan rumus#rumus di ba7ah ini.
N"("# F)n!i T)#)nan )n!i
$ y= ex y4 . ex
% y . ax
% a$ y4 . ax
ln a
& y . alogx, a
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
52/90
( ) ( )dx
dyy
dx
dyydy
dydx
d%%% ==
Zleh karena itu %x %y dx
dy
= 0, sehingga y
x
dx
dy=
b. +ika Bariabelxdany kita turunkan terhadap parameter t, maka akan kita peroleh
%=dt
dx
sedangkan
$% += tdt
dy
.
Qarena yang akan kita "ari adalahdx
dy
maka
dtdxdtdy
dx
dt
dt
dy
dx
dy== .
=%
$% +t
.
4.4. T)#)nan F)n!i T#i"n"('+#i *an Si%l"('+#i
-umus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan 3ungsi sinus dan "osinus,sedangkan turunan 3ungsi trigonometri yang lainnya dan turunan 3ungsi siklometri dapatditentukan dengan rumus turunan sinus dan "osinus, si3at turunan, dan aturan rantai.
Surunan rumus sinus dan "osinus diberikan di ba7ah ini.
N"("# F)n!i T)#)nan )n!i
$ y= sinx y = "osx% y= "osx y = # sinx
B)%+i:
$.h
xhx
h
xfhxfyxy
hh
sin9sin8lim
9898limcsin
00
+=
+==
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
53/90
&
"1
%$ x
x
xh
h
hx
h
hhx
hh
h
"os
%
$
.$."os%%
$
.
%
%sin
lim%
%
"oslim%
%sin
%
%"os%
lim
00
0
=
=
+
=
+
=
%.h
xhx
h
xfhxfyxy
hh
"os9"os8lim
9898limc"os
00
+=
+==
x
xh
h
hx
h
hhx
hh
h
sin
%
$.$.sin%
%
$.
%
%sin
lim%
%sinlim%
%sin
%
%sin%
lim
00
0
=
=+
=
+
=
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
54/90
&
"
1
%$ x+
&
"
1
$%x
3.
%
%%rantaiaturan
$
$"oscse"c$tanar"tan
xyyyyyxxy
+=== ==
g.yyyyxxarcy tanse"c$se"se"
rantaiaturan = ==
$
$"ot"osc
% ==
xx
yyy
%.
a.xevvuxeuuyxey xxx ln,sin9,lnsin8,9ln8sin ;
rantaiaturan; +==+== +=
9ln8sin9ln"os89$
8;9ln"os89$
8;.c
9ln"os89$
8"osc98sin,$
&&;
xexex
exex
eudx
du
du
duy
xex
evvdx
dvv
dv
d
dx
du
xe
dx
dv
xxxxx
xxx
+++=++==
++===+=
b.
9$8%sin%9$8sin
9$"os89$sin8%.%9$8sin
%9.$"os89.$sin8%.9$8sin
9$8sin9$8sinc
9$8sin
%%%
%%%%
%%%%
%%%%
perkaliandanrantaiaturan%%
+++=
++++=
++++=
+++=
+=
xxexe
xxxexe
xxxexe
dx
xdex
dx
dey
xey
xx
xx
xx
xx
x
T)#)nan Tin%a+ Tini
+ikaf 3ungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya 8f 9 4uga berupa 3ungsi. +ikaf mempunyai turunan, maka turunanf4 kita notasikan denganf . Notasi lain untuk turunan keduadariy=f8x9 adalah
98%
%
%
xfDdx
yd
dx
dy
dx
d==
.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
55/90
>mumnya turunan ke#ndariy=f8x9 dinyatakan dengan
( ) 9898 xfDdx
ydy n
n
nn ==
.
]]
LIMIT FUNGSI
K"n!' Li(i+
isalkan = 8a,b9 suatu interBal buka di R dan " . Xungsi 38x9 dikatakan terde3inisi di ke"ualimungkin di ", artinya 38x9 terde3inisi di semua titik pada P{"! dan di " boleh terde3inisi boleh4uga tidakLi(i+ )n!i *i !a+) +i+i%
+ika nilaix "ukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilaif8x9 "ukup dekat ke nilai tetap Y,
dan 4uga 4ika nilaif8x9 dapat dibuat seke"il mungkin dekat dengan Y dengan "ara memilih nilai xyang "ukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilaix dalam daerah asal 3ungsif ke"ualimungkin untukx = a, maka kita katakan bah7a limit 3ungsi f8x9 untukx mendekati a samadengan Y, ditulislim$,& 6 L.
x a
3.2 T'"#'(aT'"#'(a Li(i+ F)n!i
enghitung limit 3ungsi di suatu titik dengan menggunakan de3inisi dan pembuktian sepertiyang telah diuraikan di atas adalah peker4aan rumit. 1emakin rumit bentuk 3ungsinya, semakinrumit pula masalah yang dihadapi. >ntuk itu berikut ini diberikan suatu rangkaian rumus#rumus
menghitung limit di suatu titik dengan "ara sederhana. Qita mulai dengan teorema berikut: 8buktiteorema diserahkan kepada pemba"a9.
!e"rema #$2$1 (%etunggalan limit ungsi)
+ika
3xfax
=
98lim
dan
9xfax
=
98lim
maka 3 . 9
!e"rema #$2$2
8i9 +ika mdan nkonstanta, maka
nmanmxax
+=+
98lim
8ii9 Seorema akibat:aaax =lim
8iii9 Seorema akibat, 4ika msuatu konstanta maka
mmax
=
lim
8iB9
axax
=
lim
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
56/90
8B9
0,lim =
aaxax
(&i)
0,$$
lim =
aaxax
!e"rema #$2$# ('perasi pada limit ungsi)
isalkan f dan g adalah 3ungsi#3ungsi yang terde3inisi pada selang buka# yangmemuat ake"uali mungkin pada asendiri dan misalkan limitfdang di aada, 4ika
9xfax
=
98lim
dan
:xgax
=
98lim
, maka:
8i9
:9xgxfxgxfaxaxax
+=+=+
98lim98lim998988lim
8ii9
:9xgxfxgxfaxaxax
==
98lim98lim998988lim
8iii9
9:xgxfxgxfaxaxax
==
98lim98lim998988lim
8iB9
098lim,
98lim
98lim
98
98lim ==
xgasalkan
:
9
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
ax
8B9
nn
ax
n
ax9xfxf ==
98lim98lim
, dengan nbilangan positi3 dan
98lim xfax
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
57/90
Seorema :Yimit nilai mutlak 3ungsi : 4ika suatu 3ungsi mempunyai limit disuatu titik, maka nilai mutlak3ungsinya mempunyai limit dititik itu, tetapi kebalikannya tidak berlaku.
1i3at#si3at : 4ika
3xfax
=
98lim
maka
3xfax
=
98lim
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
58/90
2
-2
-1
1
0
&
"
%.%
2)lim
%
% +++
x
xx
x
).%
%$$
lim%
x
x
x
&.$&%
%lim &
%
$ ++
xx
xx
x
enyelesaian*
$.9988
limlim%%&& aaxxax
ax
ax
ax
axax ++
=
5 a0
98
$lim
%% aaxxax ++=
%%% &
$
9.8
$
aaaaa=
++=
%.
$9&8lim9%8
9&98%8lim
%
2)lim
%%
%
% =+=+
++
=+
++x
x
xx
x
xx
xxx
&.9$%%98$8
9%98$8lim
$&%
%lim
%$&
%
$ ++
=+
+ xxx
xx
xx
xx
xx$
$%%
%$
9$%%8
9%8lim
%$=
++=
++=
xx
x
x
;.
;%lim9%8
9%98%8lim
%
;lim
;;;=+=
+
=
x
x
xx
x
x
xxx
).%
%
%
lim%
%
$9$8lim
%%
=
xx
x
xx
xx ;
$
%
$lim9%8%
9%8lim %%
=
=
= xxxx
xx
3.3 Li(i+ Ki#i *an Li(i+ Kanan $Li(i+ S'i=a%&
1ebelum kita membahas konsep IYimit kiriJ dan Ilimit kananJ, perhatikan denganseksama 3ungsi 3 beserta gra3ik pada "ontoh berikut :
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
59/90
1ebagaimana halnya pada "ontoh % maka pada "ontoh ini kita amati perilaku 3ungsi 38x9 =x
x
disekitar x = 0. ilamana x "ukup dekat ke 0, maka 38x9 tidak mendekati suatu nilai tertentu,sehingga kita katakan
lim98lim
00 xxxf
xx =
tidak ada . Akan tetapi, bilamana x mendekati 0 dari arah kanan 8dari arah nilai#nilai x yang besar
dari 09, maka 38x9 akan mendekati $. dalam hal ini kita katakan bah7a 3ungsi xmempunyai Ilimit kananJ di 0 dengan nilai limit kanan $, ditulis
$
lim98lim00
==++ x
xxfxx
emikian 4uga bilamana x mendekati 0 dari arah kiri 8dari arah nilai#nilai x yang lebih
ke"il 09, maka 38x9 akan mendekati bilangan #$. alam hal ini kita katakan bah7a 3ungsi3 mempunyai Ilimit kiriJ di 0 dengan nilai limit kirinya #$, ditulis
$
lim98lim00
== x
xxfxx
ari kenyataan ini kita de3enisikan limit kanan dan limit kiri sebagai berikut :
+einisi #$#$1* 8e3inisi Yimit Qanan9isalkan f sebuah 3ungsi paling sedikit terde3inisi pada selang terbuka (a%b!% maka limitkananfdititik aditulis sebagai:
3xfax
=+
98lim
atau 8 38x9 Y bila x a94ika < 0 terdapat bilangan < 0 sedemikian sehingga
0x & a |f(x! & 3| perhatikan bah7a 0xa mengakibatkan x ) ayang berartixterletak disebelah kanan a
+einisi #$#$2*8e3inisi Yimit Qiri9isalkanfsebuah 3ungsi paling sedikit terde3inisi pada selang terbuka (c%a!% maka limit kiri fdititik aditulis sebagai:
3xfax
=
98lim
atau 8 38x9 Y bila x a#94ika < 0 terdapat bilangan < 0 sedemikian sehingga
0 a x |f(x! & 3| perhatikan bah7a 0 ax mengakibatkan x ' ayang berartixterletak disebelah kiri a
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
60/90
&
0 "
%(")
a
!
%
Gambar !imit *iri %un+i % i a
%
ba "
%(")
!
&
0
Gambar !imit *anan %un+i % i a
Lerhatikan gambar diba7ah ini yang memperlihatkan situasi geometri untuk limit kanan danlimit kiri
andingkan kedua de3enisi ini dengan de3enisi limit 3ungsi 3 di a.3xf
ax=
98lim
4ika < 0 , < 0 sehingga0 x 6 a 38x9 6 Y
ila x a, maka x < a. Akibatnya x 6 a < 0, sehingga x 6 a = x 6 a, yang bila digantikan pada de3enisi limit akan menghasilkande3enisi limit kanan. emikian 4uga
bila x a#, maka x a. Akibatnya x 6 a 0, sehingga x 6 a = a 6 x, yang bila digantikan pada de3enisi limit akan menghasilkande3enisi limit kiri.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
61/90
10
1
2
-1 "
&
& ' "2 & ' 2
Gambar .
,atatan *
Seorema ini menyatakan bah7a limit kiri dan limit kanan 3ungsi 3 di a dapat dihitung dengan"ara menghitung limit 3ungsinya di a, asalkan limit 3ungsi tersebut ada.
Seorema &.&.&.b
+ika
ada.dakti98lim
makadengan98limdan98lim %$%$
xf
333xf3xf
ax
axax
== +
=$5%$598
%
xxxxf
Sun4ukkan bah7a
98lim$
xfx
tidak ada, dan gambar gra3iknya.
enyelesaian*
f(x! .
>
$5%
$5%
x
xx
>ntuk menghitung limit kiri dari f digunakanpersamaan
$598 % = xxxf
8domain dari f di sebelah kiri dari $9.1ebaliknya untuk menghitung limit kanan dari f
digunakan persamaan$5%98 >= xxf
,1ehingga
$lim98lim %$$
== xxf
xx
sedangkan%%lim98lim
$$==
++ xxxf
karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bah7a
98lim$
xfx
tidakada.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
62/90
10
1
2
-1
&
%(") 3
-1
-2
"
Gambar 7
"1 2 3 4 / . 7
1
2
3
4
/
.
7
-1-2-3 0
Gambar
iberikan 3ungsi f(x! .
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
63/90
Lerhatikan bah7a gra3ik 3ungsi f adalah sebuah lengkungan yang tidak terputus pada selang8#&,$9 5 C$,&9 5 C&,295 82,TD.ari gra3ik di atas mudah diketahui bah7a :
/98lim&
=+
xfx
)98lim&
=+
xfx
$98lim$
=
xfx
;98lim2
=
xfx
;98lim$
=+
xfx
;98lim2
=+
xfx
&98lim&
=
xfx
)98limT
=
xfx
Lerhatikan bah7a, dititikx . &7% hanya ada limit kanan dan f(&7! tidak terde3inisi sedangkandititikx . an dititikx . 6%
98lim98lim$$
xfxfxx +
sehingga
98lim$
xfx
tidak ada demikian 4uga dititik
x.7%
98lim98lim&&
xfxfxx +
sehingga
98lim&
xfx
tidak ada
an dititikx.>%;98lim98lim 22 == + xfxf xx
sehingga;98lim
2=
xf
x
dan f(>! = ,atatan*
Nilai 3ungsi disuatu titik tidak mempengaruhi penentuan limit di titik tersebut.
3.4 Li(i+ Ta% ina Dan Li(i+ Di Ta% ina
3.4.1. LIMIT TAK INGGA
+einisi #$$1$1*
isalkanf suatu 3ungsi yang terde3inisi pada selang terbuka yang memuat a, ke"uali mungkinpada asendiri, maka:
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
64/90
10
12
3 "
-1
-2
-3
-4-1
-2
-4
2
&
x
$
x
$
Gambar
8i9 Yimit f(x! dikatakan ?membesar tanpa batas@ 89 bilamanax mendekati a, ditulissebagai:
+=
98lim xfax
4ika < 0, < 0 sedemikian sehingga9xfax >
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
65/90
10
1
2 3 4-1-2-3-4 -1
-2
2
4
x
$
x
$
"
&
Gambar 10
ari tabel &.;.$.$ terlihat bah7a :
Nilai f(x! akan semakin membesar tanpa batas,bilamanxsemakin dekat ke 0 dari arah kanan , dalamhal ini dikatakan
+=+ 98lim0 xfx
Nilai f(x! akan semakin menge"il tanpa batas,bilaman xsemakin dekat ke 0 dari arah kiri , dalamhal ini dikatakan
=
98lim0
xfx
+adi limit kanan f(x! dan limit kirif(x! pada x .
dikatakan tidak ada.?atatan : Yambang #dan bukan bilangan.
Serlihat bah7a tidak ada bilangan tertentu yang bisadidekati f(x! manakalaxdibuat mendekati 0.
+adixx
$lim
0
tidak ada,
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
66/90
10
1
2 3 "
-1-2-3
&
-1
-2
-4
%
$
x
%
$
x
Gambar 11
a, f(x! .
=
05$
05$
$
xx
xx
x
aerah asal f adalah semua bilangan riil xke"ualix.
atau 8#,09 80,9. an rangefadalah 80,9 atau y )
gra3ikfakan membesar tanpa batas bilamanaxmendekati 0, dari sebelah kiri maupun darisebelah kanan, sehingga dikatakan:
+==+
98lim98lim00
xfxfxx
eskipun dalam hal ini limit kiri dan limit kanannya sama#sama menu4u , akan tetapi bukan suatu bilangan, maka dikatakan:
+=xxx
5$
lim0
8membesar tanpa batas atau tidak ada.9
b, g(x! .
%
$
x
Lerhatikan bah7a nilaif(x! akan menge"iltanpa batas bilamanaxsemakin dekat ke nol,baik dari kiri maupun dari kanan, maka kitakatakan
=
98
$lim
%0 xx
8tidak ada!
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
67/90
BAB
TURUNAN
La) P'#)/a=an Nilai F)n!i7 I*' T)#)nan a*a , 6 a.
+ika sebuah benda bergerak maka benda itu memiliki ke"epatan. Lada bagian ,
telah diuraikan makna ke"epatan rata#rata gerak benda. ^aitu:kecepatan rata&rata ="aktu yang diperlukanjarak yang ditempuh =perubahan "aktuperubahan jarak .+ika benda tersebut bergerak sepan4ang lintasany =f8x9, maka perbandingan di atasmenun4ukkan perubahan nilai rata#rata:perubahan nilai rata&rata =perubahan iabel x
perubahan nilai fungsiBar
.isalkan 3ungsif : -- ditentukan oleh rumusf:xf8x9.y . f8x9 ambar di samping adalah
f8ah9 sketsa suatu kurBay =f8x9.Sitik A8a,f8a99 dan 8a/h%f8ah99f8a9 A adalah dua titik yang terletak padakurBa.Apa yang ter4adi 4ika h mendekatiZ a a/h M nilai nolLerhatikan perubahan dari A ke . >ntuk daerah asal dalam interBal axa / h,nilai 3ungsi berubah darif8a9 padax . a sampaif8a h9 padax . a / h,
Lerbandingan selisih nilai 3ungsi dan selisih nilai Bariabel merupakan perubahanrata#rata nilai 3ungsi dalam interBal axa / h untuk h0, yakni:Perubahan rata&rata =perubahan nilai iabel
perubahan nilai fungsiBar
a h a
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
68/90
!
!1
" "# $
%("#$)
%(")
& ' %(")
Gambar
Gambar
P'n'#+ian *an Sia+ T)#)nan
Lada gambar di atas, garis3menyinggung kurBa yf8x9 di titik 8x,f8x99, sedangkan garis3$ melalui titik 8x,f8x99 dan titik 8x/h,f8x/h99. +ika h mendekati nol, maka garis 3$ akanmendekati garis3, sehingga gradien garis3$akan mendekati gradien garis3. Hal ini dapatdinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:
h
xfhxfmmh
3h
39898
limlim00 $
+==
.
entukhxfhxf
h9898lim
0+
dikenal sebagi turunan 3ungsi y = f8x9, yang dinotasikandengan
dx
dy
, y ,dx
df
, atauf8x9.engan demikian se"ara geometri, turunan 3ungsi merupakan gradien dari garis singgung kurBa3ungsi tersebut.
Qarena turunan dedi3inisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit 3ungsi bisatidak ada, maka 3ungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu.
1ebagai "ontoh, perhatikan 3ungsi nilai mutlakxxf =98
, yang gra3iknya diberikandalam gambar di ba7ah ini.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
69/90
+ika kita memperhatikan gambar dengan "ermat, maka kita akan dapatkan bah7a gra3ik3ungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu yadalah berupa garisy
. xsedangkan yang sebelah kiri sumbuyberupa garisy . &x. aris di kanan dan kiri sumbuy
mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut di"urigai bah7a 3ungsixxf =98
tidakmempunyai turunan di perpotongan kurBa dengan sumbuy, yaitu titik 80,09. Lembuktian bah7a
3ungsixxf =98
tidak mempunyai turunan di titik 80,09 diberikan di ba7ah ini.Qarena
$$limlim0
lim908908
lim0000
===
=+
++++ hhhh h
h
h
h
h
fhf
dan$9$8limlim
0lim
908908lim
0000
==
=
=+
+++ hhhh h
h
h
h
h
fhf
,maka
h
fhf
h
fhf
hh
908908lim
908908lim
00
+
++
,
sehinggah
fhff
h
908908lim908c
0
+=
tidak ada.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
70/90
d. Qarena
0lim0
lim908908
lim908c0
%%
00==
=
+=
h
h
h
h
fhff
hhh
, maka
%xy=
mempunyai turunan di x = 0.
+ika kita menentukan turunan se"ara langsung dengan menggunakan de3inisi turunan,maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan 7aktu lama. >ntuk itu, diperlukan"ara lain di samping dengan menggunakan de3inisi se"ara langsung, yaitu dengan menggunakansi3at dan rumus turunan.
erikut diberikan beberapa si3at penting dalam pen"arian turunan suatu 3ungsi.. A+)#an '#%alian *'nan %"n!+an+a.
+ika " konstanta danf 3ungsi yang dapat diturunkan, maka
[ ] 9898 xfdx
dcxcf
dx
d=
. A+)#an )(la=.
+ikaf dang keduanya dapat diturunkan, maka
[ ] 98989898 xgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d+=+
. A+)#an !'li!i=.
+ikaf dang keduanya dapat diturunkan, maka
[ ] 98989898 xgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d=
. A+)#an =a!il %ali.
+ika f dangkeduanya dapat diturunkan, maka
[ ] 989898989898 xfdxdxgxgdxdxfxgxfdxd +=
10. A+)#an =a!il /ai.
+ikaf dangkeduanya dapat diturunkan, maka
[ ]%98
98989898
98
98
xg
xgdx
dxfxf
dx
dxg
xg
xf
dx
d
=
B)%+i:
. A+)#an '#%alian *'nan %"n!+an+a.
+ika " konstanta danf 3ungsi yang dapat diturunkan, maka[ ]
[ ]989898
lim
998988lim
9898lim98
0
00
xfdx
dc
h
xfhxfc
h
xfhxfc
h
xcfhxcfxcf
dx
d
h
hh
=+
=
+=
+=
. A+)#an )(la=.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
71/90
+ikaf dang keduanya dapat diturunkan, maka
[ ] [ ]
[ ]
9898
9D898Clim
9D898Clim
98989D898Clim
98989D898Clim9898
00
0
0
xgdx
dxf
dx
d
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxgxfhxf
h
xgxfhxghxfxgxf
dx
d
hh
h
h
+=
+++=
+++=
++++=+
. A+)#an !'li!i=.
>ntuk latihan. A+)#an =a!il %ali.
+ika f dangkeduanya dapat diturunkan, maka
[ ]
98989898
9D898Clim98
9D898Clim98lim
9D8989C8lim
9D8989C8lim
9D8989C89D8989C8lim
98989898lim9898
000
00
0
0
xfdx
dxgxg
dx
dxf
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
h
xfhxfxg
h
xghxghxf
h
xfhxfxgxghxghxfh
xgxfhxghxfxgxf
dx
d
hhh
hh
h
h
+=
++
++=
++
++=
++++=
++=
. A+)#an
=a!il /ai.
1elan4utnya di ba7ah ini diberikan beberapa rumus dasar turunan.N"("# F)n!i T)#)nan )n!i
$ y . k% kkonstanta y = 0% y . xn y4 .nxn#$
& y = lnxy4=
x
$
B)%+i:
;.
0lim9898limc00
==+== hkk
hxfhxfykyhh
).h
xhx
h
xfhxfyxy
nn
hh
n +=+
==
98lim
9898limc
00
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
72/90
$
$%
%
9$8$
0
$%
%
9$8$
0
%%
%
9$8$
0
D...Clim
D...Clim
...lim
=
+++=
+++=
++++=
n
nnnnn
h
nnnnn
h
nnnnnnn
h
nx
hhxnxh
hhxnxh
h
xhhxhnxx
s
2.h
xhx
h
xfhxfyxy
hh
ln9ln8lim
9898limcln
00
+=
+==
x
e
h
x
hh
x
hx
x
xhx
h
x
h
h
x
h
hh
h
$ln
D9$C8limln
9$ln8lim
D$lnC
lim
ln
lim
$
$
$
0
00
0
==
+=
+=+
=
+
=
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
73/90
=2&0$220 %&;/ ++ xxxx
b.
%&
%%&
%
&%pembagianaturan
&
%
928
&9.%89298$%8ccc
2,%,c
2
%
+
+++=
=
+=+==
+
+=
x
xxxxx
v
uvvuy
xvxxuv
uy
x
xxy
( )%&%&;
2
2$%2%c
+
+++=
x
xxxxy
A+)#an Ran+ai.
i ba7ah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk menentukan turunan3ungsi.
+ikafdangkeduanya mempunyai turunan, dan h . f g adalah 3ungsi komposisi yangdide3inisikan oleh h(x! . f(g(x!!%maka hmempunyai turunan, yaitu h yang dinyatakan oleh
h (x! . f(g(x!!, g (x!alam notasi YeibniK, 4ika y . f(u! danu . g(x!keduanya 3ungsi yang mempunyai
turunan, maka
dx
du
du
dy
dx
dy=
.B)%+i:
98c9988c
9898lim.
99889988lim
9898lim.
9898
99889988lim
9898.
9898
99889988lim
99889988lim
9898lim98c
00
00
0
00
xgxgf
t
xgtxg
p
xgfpxgf
t
xgtxg
xgtxg
xgftxgf
t
xgtxg
xgtxg
xgftxgf
t
xgftxgf
t
thtxhxh
tp
tt
t
tt
=
++=
+++
=
+++
=
+=
+=
engan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus sebelumnya kitaakan dapatkan rumus#rumus di ba7ah ini.
N"("# F)n!i T)#)nan )n!i
$ y= ex y4 . ex
% y . ax% a$ y4 . axln a
& y . alogx, a
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
74/90
B)%+i:
$.
xx eyyyy
yxey === == cc.$
$lnrantaiaturan
%. >ntuk latihan&. >ntuk latihan
4.3. T)#)nan F)n!i I(li!i+ *an F)n!i Pa#a('+#i%
alam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas turunan 3ungsi eksplisit. kali inikita akanm membahas turunan 3ungsi implisit dan 3ungsi parametrik. etode yang digunakanserupa dengan turunan 3ungsi eksplisit.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
75/90
dtdxdtdy
dx
dt
dt
dy
dx
dy== .
=%
$% +t
.4.. T)#)nan F)n!i T#i"n"('+#i *an Si%l"('+#i
-umus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan 3ungsi sinus dan "osinus,sedangkan turunan 3ungsi trigonometri yang lainnya dan turunan 3ungsi siklometri dapatditentukan dengan rumus turunan sinus dan "osinus, si3at turunan, dan aturan rantai.
Surunan rumus sinus dan "osinus diberikan di ba7ah ini.N"("# F)n!i T)#)nan )n!i
$ y= sinx y = "osx% y= "osx y = # sinx
B)%+i:
$.h
xhx
h
xfhxfyxy
hh
sin9sin8lim
9898limcsin
00
+=
+==
x
xh
h
hx
h
hhx
hh
h
"os
%
$.$."os%
%
$.
%
%sin
lim%
%"oslim%
%sin
%
%"os%
lim
00
0
=
=+
=
+
=
%.hxhx
hxfhxfyxyhh
"os9"os8lim9898limc"os00
+=+==
x
xh
h
hx
h
hhx
hh
h
sin
%
$.$.sin%
%
$.
%
%sin
lim%
%sinlim%
%sin
%
%sin%
lim
00
0
=
=+
=
+
=
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
76/90
&
"1
%$ x
&
"
1
%$ x+
".xy se"=
d.xy "s"=
e.xy ar"sin=
3.xy ar"tan=
g.xarcy se"=
%. ?arilah turunan 3ungsi:
a.9ln8sin ; xey x +=
b.9$8sin %% += xey x
P'n-'l'!aian:
$.
h.
xx
xxxxy
x
xxy %
%
pembagianaturanse"
"os
9sin.8sin"os"osc
"os
sintan =
= ==
i.
xx
xxxxy
x
xxy %
%
pembagianaturan "s"sin
9.8"os"os98sinsinc
sin
"os"ot =
= ==
4.
xxx
xxy
xxy tanse"
"os
9sin.8$9.8"os0c
"os
$se"
%
pembagianaturan =
= ==
k.
xxx
xxyx
xy "ot"s"sin
9.8"os$9.8sin0csin
$"s"%
pembagianaturan == ==
l.
%
rantaiaturan
$
$
"os
$c"osc$sinar"sin
xyyyyyxxy
=== ==
m.
%
%%rantaiaturan
$
$"oscse"c$tanar"tan
xyyyyyxxy
+=== ==
n.yyyyxxarcy tanse"c$se"se"
rantaiaturan = ==
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
77/90
&
"
1
$%x
$
$"ot"osc
% ==
xx
yyy
%.
".xevvuxeuuyxey xxx ln,sin9,lnsin8,9ln8sin ;rantaiaturan; +==+== +=
9ln8sin9ln"os89$
8;9ln"os89$
8;.c
9ln"os89$
8"osc98sin,$
&&;
xexex
exex
eudx
du
du
duy
xex
evvdx
dvv
dv
d
dx
du
xe
dx
dv
xxxxx
xxx
+++=++==
++===+=
d.
9$8%sin%9$8sin
9$"os89$sin8%.%9$8sin
%9.$"os89.$sin8%.9$8sin
9$8sin9$8sinc
9$8sin
%%%
%%%%
%%%%
%%%%
perkaliandanrantaiaturan%%
+++=
++++=
++++=
+++=
+=
xxexe
xxxexe
xxxexe
dx
xdexdx
dey
xey
xx
xx
xx
xx
x
4.. T)#)nan Tin%a+ Tini
+ikaf 3ungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya 8f 9 4uga berupa 3ungsi. +ikaf mempunyai turunan, maka turunanf4 kita notasikan denganf . Notasi lain untuk turunan kedua
dariy=f8x9 adalah98
%
%
%
xfDdx
yd
dx
dy
dx
d==
.>mumnya turunan ke#ndariy=f8x9 dinyatakan dengan
( )98
98xfD
dx
ydy
n
n
nn ==
.
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
78/90
a.
kxey=
b.xy ln=
P'n-'l'!aian :
$. ari "ontoh sub bab sebelumnya telah diperolehdx
dy
dari x%y%= %), yaituy
x
dx
dy =
.
Qarena
=
=
y
x
dx
d
dx
dy
dx
d
dx
yd
%
%
an mengingatyadalah 3ungsi darix, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperoleh
&
%%
%%
..$...
y
xy
y
yxxy
y
dxdy
xdx
dxy
y
x
dx
d +=
=
=
+adi
&
%%
%
% .
y
xy
dx
yd +=
%.a, y= ln t,x . et
dt
dxdt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy== .
=
te
t$
=
tte
$
dt
dxdt
dxdy
d
dx
dt
dt
dxdyd
dx
dy
dx
d
dx
yd
=
=
= .
%
%
=
Zleh karena
tt
tt
tet
t
et
tee
tedt
ddxdy
dt
d
%%%
$$ +=+
=
=
dan
tedt
dx=
maka
tt
t
et
t
e
et
t
dx
yd
%%
%
%
% $
$
+=
+
=
.
. y .
tte +
%
, x = ln 8et$9
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
79/90
dt
dxdt
dy
dx
dy=
=9$e8
e
e9$t%8
t
t
t%t
+
+ +
=
%tt e9$e98$t%8 ++
dt
dxdt
dxdyd
dx
dxdy
d
dx
yd
%
%
=
=
=9$te8
t
%ttt%t%tt
e
e9$e98$t%8t%e9$t%8e9$e8%
+
+ ++++++
=
t%t%t%ttt%t%t
e9$e98$t%8t%e9$e98$t%8e9$e8%
+++++++
&. a.
kxnnkxkxkxkx ekyekyekykeyey ===== 98&% ...cccccc
b.
n
nn
xny
xxy
xy
xyxy
9@$8
9$8...
@%
9$8
%.$
9$8ccc
$9$8cc
$cln
$98
&
%
&
%
%
=
=
====
BAB 10
APLIKASI TURUNAN
Ma%!i()( *an Mini()(
isalkan kita mengetahui 3ungsifdan domain 8daerah asal9 1 seperti pada ambar A. makakita akan menentukanfmemiliki nilai maksimum atau minimum pada 1. Anggap sa4a bah7anilai#nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lan4ut dimana dalam 1 nilai#nilai itu berada.Lada akhirnya kita dapat menentukan nilai#nilai maksimum dan minimum.
D'ini!i :
Andaikan 1, daerah asalf , memuat titik ?, kita katakana bah7a:
i. f8"9 adalah nilai maksimumfpada 1 4ikaf8"9Gf8x9 untuk semua x di 1
ii. f8"9 adalah nilai minimumfpada 1 4ikaf8"9Ef8x9 untuk semua x di 1
iii. f8"9 adalah nilai ekstrimfpada 1 4ika ia adalah nilai maksimum atau minimum
T'"#'(a A
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
80/90
$T'"#'(a E%!i!+'n!i Ma%!Min&. +ikafkontinu pada selang tertutup Ca,bD, maka f men"apainilai maksimum dan nilai minimum.
T'#a*in-a NilaiNilai E%!+#i( :
iasanya 3ungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatuselang#sebagai daerah asalnya. Setapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yangdibahas $.&. beberapa dari selang ini memuat +i+%+i+i% ))n5 beberapa tidak. isalnya# = Ca,bDmemuat titik#titik u4ung dua#duanya5 8a,b9 hanya memuat titik u4ung kiri5 8a,b9 tidak memuat titku4ung satupun. Nilai#nilai ekstrim sebuah 3ungsi yan dide3inisikan pada selang tertutup seringkali ter4adi pada titik#titik u4ung. 8Yihat ambar 9
+ika " sebuah titik pada manaf8"9 = 0 disebut " titik stasioner. Lada titik stasioner, gra3ikf mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai#nilai ekstrim ter4adi pada titik#titik stasioner.8ambar ? 9
+ika " adalah titik dalam dari # dimana f tidak ada, disebut " titik singular. ra3ik fmempunyai sudut ta4am, garis singgung Bertikal. Nilai#nilai ekstrim dapat ter4adi pada titik#titiksingular. 8ambar 9 7alaupun dalam masalah#masalah praktis sangat langka.
T'"#'(a B
$T'"#'(a +i+i% %#i+i!&. Andaikanf dide3inisikan pada selang#yang memuat titik ". +ikaf8"9adalah titik ekstrim, maka " haruslah suatu titik kritis, yakni " berupa salah satu :
i. titik u4ung
ii. titik stasioner dari 3 838"9 = 09
iii. titik singular dari 3 83 8"9 tidak ada9
engingat teorema A dan , untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu3ungsi kontinufpadaselang tertutup # ,
Yangkah $ : ?arilah titik#titik kritis dari 3 pada Yangkah % : hitunglah 3 pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan yangterke"il adalah nilai minimum.
soal :
?arilah nilai# nilai maksimum dan minimum dari 38x9 = x% ;x pada C#&, $D
Lenyelesaian:
enurunkan 3ungsinya 38x9 = %x ;
Qemudian men"ari titik kritis 38x9 = 0
%x ; = 0
M = #%erarti titik#titik kritis yang di dapat #&, #%, $ maka :
38#&9 = #&
38#%9 = #;
38$9 = )
+adi nilai maksimum adalah ) 8di"apai pada $9 dan nilai minimum adalah #; 8di"apai pada #%9
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
81/90
2.K'("n"+"nan *an K'C'%)nan
D'ini!i :
Andaikanfterde3inisi pada selang#8terbuka, tertutup atau tak satupun9. Qita katakan bah7a :
i. fadalah naik pada#4ika untuk setiap pasang bilangan x$dan x%dalam#, x$ x%_38x$9 38x%9
ii. fadalah turun pada#4ika untuk setiap pasang bilangan x$ dan x%dalam#, x$< x%_ 38x$9 < 38x%9
iii. fmonoton murni pada#4ika ia naik pada# atau turun pada#
T'"#'(a A
$T'"#'(a K'("n"+"nan&. Andaikanf kontinu pada selang #dan dapat dide3erensialkan padasetiap titik dalam dari#
i. +ikaf48x9 < 0 untuk semua titik dalam x dari#%makafnaik pada#
ii. +ikaf48x9 0 untuk semua titik dalam x dari#%makafturun pada#
T)#)nan P'#+a(a *an K'("n"+"nan
ngat kembali bah7a turunan pertamaf48x9 memberi kita kemiringan dari garis singgungf dititik x, kemudian 4ikaf48x9 < 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, 4ika f48x9 0, garissinggung 4atuh ke kanan. 8ambar A9
T)#)nan K'*)a *an K'C'%)nan1ebuah 3ungsi mungkin naik dan tetap mempunyai gra3ik yang sangat bergoyang 8ambar 9,maka kita perlu mempela4ari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepan4anggra3ik dari kiri ke kanan. +ika se"ara tetap berla7anan arah putaran 4arum 4am, kita katakanbah7a gra3ik "ekung ke atas, 4ika garis singgung berliku searah 4arum 4am, gra3ik "ekung keba7ah
D'ini!i:
Andaikanf terde3erensial pada selang terbuka# = 8a,b9. 4ikaf4naik pada#, f 8dan gra3iknya9C'%)n %' a+a!disana5 4ikaf4turun pada#,fC'%)n %' /aa=pada#,
T'"#'(a B
$T'"#'(a %'C'%)nan&.Andaikanf terde3erensial dua kali pada selang terbuka 8a,b9.
i. +ikaf448x9 < 0 ntuk semua x dalam 8a,b9 makaf "ekung ke atas pada 8a,b9
ii. +ikaf448x9 0 ntuk semua x dalam 8a,b9 makaf "ekung ke ba7ah pada 8a,b9
Ti+i% Bali%
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
82/90
Andaikanfkontinu di ", kita sebut 8",f8"99 suatu titik balik dari gra3ikf4ikaf"ekung keatas pada satu sisi dan "ekung ke ba7ah pada sisi lainnya dari ". gra3ik dalam ambar ?menun4ukkan se4umlah kemungkinan.
ambar
soal :
+ika 38x9 = x& 2x% Tx & "ari dimana 3 naik dan dimana turun
Lenyelesaian:
en"ari turunan 3
38x9 = &x% $%x T
= & 8x% ;x &9
= & 8x&98M$9
Qita perlu menentukan 8x&9 8x$9 < 0 dan 8x&9 8x $9 0 terdapat titik pemisah #& dan #$,membagi sumbuxatas tiga selang 8 #F, #&9, 8#&, #$9 dan 8#$, F9. engan memakai titik u4i #;, #%,
0 didapatf f8x9 < 0 pada pertama dan akhir selang danf f8x9 0 pada selang tengah.+adi, 3 naik pada 8#F, #&D dan C#$, F9 dan turun pada C#&, #$D
ra3ik
f8#&9 = &
f8#$9 = #$
f809 = &
3.Ma%!i()( *an Mini()( L"%al
D'ini!i :
Andaikan 1, daerah asalf, memuat titik ". kita katakan bah7a :i. f("9 nilai maksimum lokalf4ika terdapat selang 8a,b9 yang memuat " sedemikian
sehinggaf8"9 adalah nilai maksimumfpada 8a,b9 1
ii. f8"9 nilai minimum lokalf4ika terdapat selang 8a,b9 yang memuat " sedemikiansehinggaf8"9 adalah nilai minimumfpada 8a,b9 1
iii. f8"9 nilai ekstrim lokalf4ika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal
Seorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim
diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. +ika turunan adalah positi3 pada salahsatu pihak dari titik kritis dan negatiBe pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.
AA- AQ1.YZQAY AN N YZQAY
T'"#'(a A
$Ui T)#)nan P'#+a(a )n+)% E%!+#i( L"%al& . Andaikanf kontinu pada selang terbuka 8a,b9yang memuat titik kritis ".
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
83/90
i. +ikaf48x9 < 0 untuk semua x dalam 8a,"9 danf48x9 0 untuk semua x dalam 8",b9,makaf8"9 adalah nilai maksimum lokalf
ii. +ikaf48x9 0 untuk semua x dalam 8a,"9 danf48x9 0 untuk semua x dalam 8",b9,makaf8"9 adalah nilai minimum lokalf
iii. +ikaf48x9 bertanda sama pada kedua pihak ", makaf8"9 bukan nilai ekstrim lokalf.
T'"#'(a B
$Ui T)#)nan K'*)a )n+)% E%!+#i( L"%al&.Andaikanf danf44ada pada setiap titik dalamselang terbuka 8a,b9 yang memuat ", dan andaikanf48"9 = 0
i, +ikaf448"9 0,f8"9 adalah nilai maksimum lokalf
ii. +ikaf448"9 < 0,f8"9 adalah nilai minimum lokalf
soal :
?ari nilai ekstrim lokal dari 3ungsi 38x9 = x%6 x / pada 8#F,F9
penyelesaian:
3ungsi polinom kontinu dimana#mana dan turunannya, 38x9 = %x 6 , ada untuk semua x. 4adisatu#satunya titik kritis untuk 3 adalah penyelesaian tunggal dari 38x9 = 0 yakni x = ; karena38x9 = %8x#;9 0 untuk x0, 3 turun pada 8#F,;9 dank arena %8x 6 ;9
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
84/90
soal :
?ari 84ika mungkin9 nilai maksimum dan minimum darif8x9 =x76 &x8/Bpada 8 #F, F9.
Lenyelesaian :
ff8x9 = &x86 2x = x8&x6 29
x=0 dan x= %f8%9 =
f89 =B
3ungsi memiliki nilai maksimum ; 8pada 09 dan nilai minimum 0 8pada %9
.P'n'#aan E%"n"(i%
alam mempela4ari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus.isalkan dalam suatu perusahaan, LS A?. +ika A? men4ual x satuan barang tahun ini, A?akan mampu membebankan harga, p8x9 untuk setiap satuan. Qita tun4ukkan bah7a p tergantungpada x. pendapatan total yang diharapkan A? diberikan oleh -8x9 = x p8x9, banyak satuan kali
harga tiap satuan.>ntuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, A? akan mempunyai biaya total ?8x9. nibiasanya 4umlah dari biaya tetap ditambah biaya Bariable. Qonsep dasar untuk sebuahperusahaan adalah total laba L8x9, yakni slisih antara pendapatan dan biaya.
P$,& 6 R$,&
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
85/90
Lada M = ;00 diperoleh
iaya rata#rata = %%,; x ;00 = T20
iaya mar4inal = ;,T x ;00 = $T20
ni berarti bah7a rata#rata biaya tiap satuan adalah -p. T20 untuk memproduksi ;00satuan yang
pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas ;00 hanya memerlukan biaya -p.$T20.
.Li(i+ *i K'+a%=inaan9 Li(i+ Ta% T'#=ina
e3inisi#de3inisi ?ermat Yimit bila x_ j F
alam analogi dengan de3inisi, kita untuk limit#limit biasa, kita membuet de3inii berikut.
D'ini!i:
8Yimit bila x _ F9. Andaikan 3 terde3inisi pada C",F9 untuk suatu bilangan ". kita katakan bah7aYim 38x9 = Y 4ika untuk masing#masing
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
86/90
lim &x%Px%6 %xPx% 2Px% P 2x%Px&6 )xPx% TPx% = &P2 = $P%
x_
.P'na(/a#an G#ai%
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
87/90
kita peroleh titik kritis #&, 0, &
38#&9 = &
3809 = 0
38&9 = $%
kemudian kita de3erensialkan kembali 3J8x9 = 8;0x$0x9P$0 = {x8;0x%#$09!P$0kita peroleh x = #%.$ x = %.$ x = 0
38#%.$9 = $.
38%.$9 = #$.
3809 = 0
.T'"#'(a Nilai Ra+aRa+a
Seorema nilai rata#rata adalah bidang kalkulus 6 tidak begitu penting, tetapi sering kalimembantu melahirkan teorema#teorema lain yang "ukup berarti. alam bahasa geometri,teorema nilai rata#rata mudah dinyatakan dan dipahami. Seorema mengatakan bah7a 4ika gra3iksebuah 3ungsi kontinu mempunyai garis singgung tak Bertikal pada setiap titik antara A dan ,maka terdapat paling sedikit satu titik ? pada gra3ik antara A dan sehingga garis singgung dititik ? se4a4at talibusur A. alam ambar $, hanya terdapat satu titik ? yang demikian, dandalam ambar % terdapat beberapa.
AA- $ dan %
T'"#'(a A
$T'"#'(a Nilai #a+a#a+a )n+)% T)#)nan&. +ika f kontinu pada selang tertutup Ca,bD danterde3erensial pada titik#titik dalam dari 8a,b9, maka terdapat paling sedikit satu bilangan " dalam8a,b9 dimana
f8b9 6f8a9 P b 6 a =f48"9atau se"ara setara, dimana
f8b9 6f8a9 =f48"9 8b#a9
T'"#'(a B
+ika X8x9 = 8x9 untuk semua 6x dalam 8a,b9, maka terdapat konstanta ? sedemikian sehinggaX8x9 = 8x9 ?
>ntuk semua x dalam 8a,b9
soal:
?ari bilangan " yang di4amin oleh teorema Nilai rata#rata untuk 38x9 = x%6 & pada C$,&D
penyelesaian :38x9 = %x
dan {38&9 6 38$9!P & 6 $ = {2 6 8#%9!P% = P% = ;
4adi kita harus menyelesaikan %? = ; maka ? = %
4a7aban tunggal adalah ? = %
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
88/90
2.2 BEBERAPA
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
89/90
biaya rata#rata = ?8x9Px= &%00&,%)x#0,000&x%P M= &%00&,%) 8$0009#0,000&8$0009%P $000= 2$)0 P $000 = 2,$)aka biaya rata#rata persatuan yaitu 2,$) x $000 = -p.2$)0
biaya mar4inal = d"Pdx= &,%)#0,0002x= &,%)#0.0002 8$0009= %,2)maka biaya mar4inalnya, %,2) x $000 = -p.%2)0 Lada x=$000 ari hasil di atas, dapat dikatakan bah7a dibutuhkan -p.2$)0 untuk memproduksi $000barang pertama dan membutuhkan -p. %,2) untuk membuat $ barang setelah barang yang ke$000, hanya dibutuhkan -p. %2)0 untuk membuat $000 barang yang sama.emikian postingan saya tentang turunan parsial. ohon maa3 bila ada kesalahan 1emogapostingan ini berman3aat. +ika anda butuh postingan yang lain, anda bisa meninggalkan "ommentdan saya akan berusaha memposting postingan yang anda butuhkan.
ELASTISITAS alam ilmu ekonomi, elastisitas adalah perbandingan perubahan proporsional dari sebuahBariabel dengan perubahan Bariable lainnya. engan kata lain, elastisitas mengukur seberapabesar besar kepekaan atau reaksi konsumen terhadap perubahan harga. Lenggunaan paling umum dari konsep elastisitas ini adalah untuk meramalkan apa yangakan barangP4asa dinaikkan. Lengetahuan mengenai seberapa dampak perubahan harga terhadappermintaan sangatlah penting. agi produsen, pengetahuan ini digunakan sebagai pedomanseberapa besar ia harus mengubah harga produknya. Hal ini sangat berkaitan dengan seberapabesar penerimaan pen4ualan yang akan ia peroleh. 1ebagai "ontoh, anggaplah biaya produksisebuah barang meningkat sehingga seorang produsen terpaksa menaikkan harga 4ual produknya.enurut hukum permintaan, tindakan menaikkan harga ini 4elas akan menurunkan permintaan.
+ika permintaan hanya menurun dalam 4umlah yang ke"il, kenaikan harga akan menutupi biayaproduksi sehingga produsen masih mendapatkan keuntungan. Namun, 4ika peningkatan harga initernyata menurunkan permintaan demikian besar, maka bukan keuntungan yang ia peroleh. Hasilpen4ualannya mungkin sa4a tidak dapat menutupi biaya produksinya, sehingga ia menderitakerugian. +elas di sini bah7a produsen harus mempertimbangkan tingkat elastisitas barangproduksinya sebelum membuat suatu keputusan. a harus memperkirakan seberapa besarkepekaan konsumen atau seberapa besar konsumen akan bereaksi 4ika ia mengubah hargasebesar sepuluh persen, dua puluh persen, dan seterusnya.`XN1 AS AS1Qoe3esien elastisitas diukur dari persentase perubahan kuantitas barang dibagi dengan persentaseperubahan harga. 1e"ara sederhana kalimat tersebut dapat dirumuskan:Atau se"ara umum, elastisitas Iy terhadap xJ adalah:`lastisitas biasa disimbolkan sebagai `, e atau epsilon ke"il, . 1elain elastisitas liniertersebut ada 4uga elastisitas non liniersumber
4. Ali%a!i T)#)nan Pa#!ial Dala( Bi*an Fi!i%a
-
7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040
90/90
atematika merupakan ilmu dasar dari segala ilmu yang lain,sekarng inimatematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang ilmu pengetahuan,salah satunyadalam bidang pengetahuan 3isika dengan menghubungkan 3ungsi suatu turunan parsial dalambidang tersebut. 1ebelum diper4elas apa sa4a hubungan diatas kita harus tahu dulu de3inisi dari turunan
parsial itu sendiri. Surunan parsial itu adalah suatu proses melakukan di33erensial dari suatu3ungsi yang hanya melibatkan satu ma"am Bariabel dari keseluruhan Bariabel yang berkontribusiterhadap perubahan 3ungsi tersebut. erikut ini adalah "ontoh turunan parsial yang menggunakan & Bariabel. alam bidang3isika saya mengambil "ontoh rumus 4arak yang ditempuh oleh benda yaitu: - 6Q,25;0,5-0dimana y0 menyatakan 4arak a7al dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan men4aditurunan yang pertama y = dyPdx maka akan men4adi -6 ,5;0, dimana B0menyatakan ke"epatana7al. -umus ini masih bisa diturunkan men4adi turunan yang kedua yaitu d%yPdx%,men4adi-68konstan9, sehingga men4adi rumus per"epatan, dimana 4ika suatu benda di4atuhkandari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi.1ehingga kita dapat mengetahui bah7a dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan rumus#
rumus dari turunan sebelumnya. 1eperti rumus diatas dari rumus 4arak,hingga dapat rumusper"epatan. -umus#rumus itu didapat hanya dari satu rumus sa4a.engan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu 3ungsidengan turunan#turunannya melalui Bariabel#Bariabel yang dimaksud.
. B'!a#an T)#)nan *an Sa+)ann-a Dala( Il() Fi!i%a Fi!i%a
esaran Surunan adalah besaran yang terbentuk dari satu atau lebih besaran pokok yangada. esaran adalah segala sesuatu yang memiliki nilai dan dapat dinyatakan dengan angka. isalnya adalah luas yang merupakan hasil turunan satuan pan4ang dengan satuan meterpersegi atau m pangkat % 8mq%9. Yuas didapat dari mengalikan pan4ang dengan pan4ang. erikut ini adalah berbagai "ontoh besaran turunan sesuai dengan sistem internasional P
1 yang diturunkan dari sistem Q1 8meter # kilogram # sekonPse"ond9 :# esaran turunan energi satuannya 4oule dengan lambang +# esaran turunan gaya satuannya ne7ton dengan lambang N# esaran turunan daya satuannya 7att dengan lambang # esaran turunan tekanan satuannya pas"al dengan lambang La# esaran turunan 3rekuensi satuannya HertK dengan lambang HK# esaran turunan muatan listrik satuannya "oulomb dengan lambang ?# esaran turunan beda potensial satuannya Bolt dengan lambang [# esaran turunan hambatan listrik satuannya ohm dengan lambang ohm
k i k i 3 d d l b X