Contagem de ciclos em carregamento de Amplitude Variável: método Rainflow
Prof. Dr. José Benedito Marcomini
Deformação-Vida ( x N)
Assimetria do ciclo de carregamento
Regra de Palmgreen-Miner
Sensibilidade ao entalhe
DEFINIÇÕES E CONCEITOSDescrição do Ciclo de CarregamentoTensão,
max
min
Tensão média, m
Amplitude de Tensão,σa Intervalo de Tensão,
a = (max - min )/2 m = (max + min )/2
= (max - min ) R = σmin / σmax
A = a / mRAZÃO DE AMPLITUDE
Repetição ou Variação de Carga
Tempo
Cargas em
solo
Te
ns
ão
Média em terra
Vôo médio
Carregamento
em vôo
Estudo do Espectro de Tensão Aplicada
Str
ess
Nível de Tensão S1
Nível de Tensão S2
Nível de Tensão S3
Nível de tensão S4
Efeito da Assimetria do Ciclo
J. D. Morrow e verificada por R. Landgraf (1970)
Lei de Basquin modificada
Frequência dos Níveis de tensão Aplicados
n1 Ciclos de níveis S1
n2 ciclos de
níveis S2
ni ciclos de
níveis Si
n3 ciclos de
níveis S3
Dados S - N para vários níveis de tensão
N1 Números de ciclos para falhar se o componente é submetido a
somente S1 e assim por diante, sendo Ni Números de ciclos para
falhar se o componente é submetido a somente Si
Nív
el
de
Te
ns
ão
Núm. De ciclos para falhar, N
N1
S1
Ni
Si
O dano acumulado total devido a uma história de
tensão aplicada
Assim, a fração de dano causado por Si em 01 ciclo
D
i =
1
Ni
k
k
3
3
2
2
1
1
i
i
1
i
N
n+.......
N
n
N
n
N
n=
N
nDD
+++
== n
A falha irá acontecer se
1N
nD
i
i = Regra de Palmgren – Miner
ou regra de Miner
Comentários sobre a regra de MINER
- Modelo linear de dano acumulado;
- Não leva em conta a sequência de aplicação de cargas ou
tensões;
Exemplo: A regra de Miner prediz o mesmo dano para
sequências de alta para baixa tensões e de baixa para alta
tensões. Na prática, estas histórias de carregamentos
apresentam diferentes danos.
-Prediz que a taxa de dano acumulado é independente do nível
de tensão.
Em altas amplitudes de tensão, a nucleação de trincas ocorrerá
em poucos ciclos e em baixas amplitudes de tensão, quase toda
vida é gasta para nucleação.
Efeitos da regra de Miner sobre a curva S-N
n1
N´1 N1
S1
Ciclos para falhar (escala log)
Am
pl. d
e T
ensão
(escala
log)
Curva S-N original
Curva S-N após a aplicação
das tensões S1 por n1 ciclos
N´1= (N1 -n1) é o novo valor de vida no nível S1 após ter sido
submetido a n1 ciclos.
N´2 N2
S2
Ciclos para falhar, (escala log)
Am
plit
ude d
e tensão
(escala
log)
Curva S-N original
Curva S-N após a aplicação
de S1 por n1 ciclos
Se o nível S2 é aplicado, o componente falhará em N´2 ciclos, ao
invés de N2.
Implementação da regra de Miner
1. Estabeleça a história de carregamento/tensão para a
estrutura;
2. Espectro de tensão:
Nível de tensão(Tensão alternada e média) versus o
número de ocorrências em uma unidade de operação (tal como
dia, hora, ano, vôos, etc.)
3. Analise a geometria do componente para Kt , etc.;
4. Obtenha os dados S-N para o material correspondente ao
Kt e níveis de tensão.
5. Calcule o dano acumulado por unidade de operação
usando a regra de Miner.
Teoria do Dano Não Linear
Para superar os problemas na regra de Miner
-As teorias não lineares exigem constantes adicionais do
material e de geometria que devem ser obtidas a partir de
ensaios.
- A teoria não linear leva em conta o efeito da história. Cálculo
pode ser trabalhoso.
- Elas fornecem uma melhor previsão do que a regra de Miner
em alguns históricos de carregamentos simples, mas não é
garantia de que ela funciona melhor do que a aplicação real da
historia de carregamento real.
Descricão geral das teorias não lineares
D =
n
N
p
O exponente, p, é função do nível de tensão.
Geralmente, 0 < p < 1
para p =1, recorre-se a regra linear do dano de Miner
Alta - BaixaD
ano,
D
0
1
0 1Razão de ciclos, n/N
S1
S2
•
•
•
n1/N1
n2/N2
A
B
Baixa - Alta
DBDB
Dano,
D
0
1
0 1Razão de ciclos, n/N
S1
S2•
• •
n1/N1
n2/N2
A
B
Dano DB no final dos blocos de carregamentos são diferentes.
S2
••
n1 n2
0
A B
S1
t•
•
S2
• •
n2 n1
0 A B
S1
t
(c)
Efeito de Entalhes – Fator Concentrador de Tensão
• Kt é um fator teórico dependente da geometria
• Kt depende do modo de carregamento
• Kt não depende da magnitude do carregamento
• Kt não depende das propriedades do material
S Smax
Tensão máxima local
S
maxtK
=
S – tensão nominal (baseada na área da seção )
Fator concentrador de tensão estático:
Os resultados dos ensaios com peças contendo entalhes podem
ser comparados à curva S/N obtida com corpos de prova polidos e
a relação entre as tensões nominais correspondentes à vida em
fadiga define o chamado fator de concentração de tensão em
fadiga, ou fator de entalhe à fadiga Kf, dado pela equação, onde σfe
e σfu são os valores da tensão (para um determinado número de
ciclos) das peças com e sem entalhe, respectivamente.
Uma das formas de se avaliar o efeito do entalhe é definir a
“sensibilidade ao entalhe” em fadiga (q). O máximo efeito possível,
de modo que Kf = Kt, então q = 1. Se iguala a zero quando Kf = 1, ou
seja, o entalhe não tem efeito sobre a resistência à fadiga. O valor de
q varia com a severidade e tipo do entalhe, com o tamanho do
corpo-de-prova e com a forma do carregamento e, portanto, não é
uma constante do material. A sensibilidade ao entalhe aumenta com a
resistência à tração, ou seja, se a dureza ou resistência de um material
for aumentada por meio de tratamentos térmicos, é possível que seu
desempenho piore em termos da sensibilidade ao entalhe:
Relação Empírica (Peterson, 1974)
A constante de Peterson, a, depende da
resistência do material e dutilidade
obtidas experimentalmente
Su 0.5 BHN Usando a aproximação,
pol 10 0.5BHN
300 3-
1.8
=
( )pol. 10
ksiS
300 3-
1.8
u
=
Para ligas ferrosas
Su> 550MPa ou
Su>80 ksi
1
1
+
=q
mm )(
2070025,0
=
MPaS u
• De maneira geral:
• α=0,51 mm (0,02”) para ligas de Al
• α=0,25 mm (0,01”) para aço carbono recoz. ou norm.
• α=0,064 mm (0,0025”) para aços temperados e revenidos.
Combinando as equações tem-se que:
+
−+=
1
11
kk
t
f
001103,0309,1654,2log 1010327
+−=−−
uu
xx
Relação Empírica (Neuber)
(4.9) /1
1K1 K t
f+
−+=
ρ – é o raio do entalhe
β - é uma constante do material
Relacionando à sensibilidade ao entalhe
(4.10) /1
1 q
+=
CONTAGEM DE CICLOS PARA HISTÓRICO DE
CARREGAMENTOS IRREGULARES
MÉTODO RAINFLOW
DEFORMAÇÃO-VIDA ( x N)
Fadiga controlada pela deformação, fadiga de baixo ciclo
deformação-vida.
A apresentação dos dados de fadiga em termos da amplitude de
deformação apareceu na literatura técnica pela primeira vez no início
da década de 1950.
O número de ciclos para a fratura pode ser calculado pela equação
de Coffin-Manson, onde ε’f é o coeficiente de ductilidade à fadiga
e c é o expoente de ductilidade à fadiga.
Deformação - Vida Vs. Tensão Vida
100 103 106 N
Tensão
Metodologia
Def. - Vida Metodologia
Tensão - Vida
Fadiga de
baixo ciclo(FBC)Fadiga de alto ciclo
FAC
Def. de Eng. & Def. Verdadeira
Comparação entre Tensão – Def. Verd. e de Eng.
Te
nsã
o d
e E
ng
. , S
Te
nsã
o V
erd
. ,
Sy
Def. de Eng. , e
Def. Verd. ,
E=S/e
x
x
Falha
Emp. acontece
em Su
Eng. S-e
Verd. -
f
= ln 1+ e( )
= SA0
A= S 1+ e( )
f
Relação Monotônica entre Tensão-Def.
Descarregamento.
elástico
E E
•P
pe
t
Def. total t
Def. Elast. e
Def. Plast. p
t= e+ p
e=/E
Deformação Plástica
1.0
H
n
Log T
ensã
o V
erd
, (l
og
)
Log Def. Plast, (logp)
H – Coeficiente de resistência
n - Expoente de encruamento
( )
( )p
n
n
p
nH
Hor
H
logloglog
1
p
+=
=
=
Deform. Elástica, Plástica & Total
( )
pet
p
e
+=
=
=
Total
HPlástica
EElástica
n1
n
1
H
E
+=
t
Relação tensão – Def.
De Ramberg-Osgood
Comportamento Cíclico dos Materiais
Comportamento Cíclico dos Materiais
Laço de histerese
Resposta do Material a carregamentos cíclicos inelásticos
a =/2 = amplitude de def.
a = /2 amplitude de tensão
e - parte elástica
p – parte plástica
2=
e
2+
p
2;
e
= E
pe
E
Comportamento Transiente – Encruamento
+
-
Tempo
1
2
3
4
5
(a) Amplitude de deform. Const.
135
2
4
Tempo
1
2
3
4
5+
-
(b) Resposta da tensão
(aumentando o nível de tensão)
(c) Resposta Tensão-Def.
Comportamento Transiente –Amolecimento
+
-
Tempo
1
2
3
4
5
Tempo
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
(a) Ampl. De def. cíclica
(b) Resposta Tensão
(diminuindo o nível de tensão)
(c) Resposta cíclica tensão-def.
Materiais com alta energia de falha de empilhamento (EFE) apresentam
mais facilidade de ocorrência do deslizamento cruzado. Isso facilita a
formação de subestruturas celulares (Contornos de grão de baixo
ângulo: Linhas de discordâncias). Esses contornos podem ter a densidade
de discordâncias reduzidas por processos de aniquilação, levando ao
amolecimento como no caso de deformação a frio, cujas paredes celulares
são densas. Exemplos: Cu, Al, Ni, Fe, aços carbono. Os de baixa EFE,
nos quais é dificil ocorrer o deslizamento cruzado e não há formação de
contorno de baixo ângulo.Ex: ligas Cu-Zn, Fe-Si, aços austeníticos.
A ocorrência de amolecimento ou endurecimento cíclico depende da
estrutura inicial de LDs e sua evolução, presença de precipitados,
microestrutura.
Encruamento Vs. Amolecimento
( )
( )amolece teciclicamen material
0,1nou
12,1/ Se
endurece teciclicamen material 0,2nou
4,1/ Se
u
y
yu
Postulado de Manson: Baseado em observações experimentais.
Utilizando as propriedades estáticas do material (limite de
resist. e de escoamento e expoente de encruamento, n), pode ser
previsto se o material irá encruar ou amolecer.
n
1
H
E
+=
tonde, n é dado por
Laço de Histerese do Cobre
Laço de Histerese estabiliz.
em =0.0084
Material exibe endureci-
mento na condição de
recozido.
Laço de histerese
estabilizado em =0.0078
Material exibe amolecimento
Cíclico na condição
parcialmente recozido
Laço de Histerese do Cobre
Laço de histerese estab.
em =0.0099
Material exibe amolecimento
cíclico na cond. de traba-
lhado a frio.
Laço de Histerese do Cobre
- Aplicar uma amplitude de def. de
/2.
- O transiente de tensão é seguido de
um laço de histerese estabilizado
- Estabeleça o laço de histerese
estabilizado para este nível de def.
- Repetir o procedimento com uma
diferente amplitude de def.
- Unir as pontas dos laços de histerese
estabilizados.
- A CURVA TENSÃO DEF. do Material.
Determinação da Curva Tensão-Deformação Cíclica
Encruamento/amolecimento
RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA
( ) n1
H'Plast, Def.
E, Elast. Def.
Total Def.
=
=
+==
p
e
pet
( )n
p' H=
H' – Coef. de Resist. cíclica
n' - Expoente de encruamento cíclico.
n
1
H'E que maneira De
+=
t
1.0
H'
n'
Lo
g T
en
sã
o c
íclic
a, (l
og
)
Log Def. Ciclica, (logp)
( )
( )p
n
p
ou
lognH'loglog
H'
H'
n1
p
+=
=
=
RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICA
CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA
O processo tende à saturação (geralmente dentro de 10 a 20%
da vida em fadiga) quando os laços de histerese tornam-se
coincidentes, ou a variação do comportamento tensão-
deformação diminui com o aumento do número de ciclos:
comportamento tensão-deformação cíclico estável.
Hipótese de Masing:
-Para materiais exibindo comportamento simétrico em
tração e compressão.
-Curva de histerese pode ser ESTIMADA a partir da curva
Tensão - Def. cíclica estabilizada.
Segundo a hipótese de Masing: Dada uma curva tensão – def. cíclica,
obter o ponto B sobre a curva dobrando o valor correspondente ao
ponto A na curva tensão - deformação cíclica, estabilizada e
deslocar para a esquerda.
Curva tensão - def.
cíclica estabilizada
0.002
270A
(a)
540
0.0040
Curva de histerese
estabilizada
B
(b)
=0.004
= 540
0
Laço de histerese
estabilizadaB
(c)
CURVA DE HISTERESE ESTABILIZADA
EQUAÇÕES PARA O LAÇO DE HISTERESE
Seguindo a hipótese de Masing:
n
1
H'E Relembre
+==
t
= 2
= 2 = /2
= /2
Equação da
Histeresen
1
n
1
2H' 2
E
2H'2E2 que maneira De
+
=
+
=
Curvas Deformação-Vida
Conforme já visto, usando a amplitude de tensão verdadeira
(/2), os dados Tensão-vida (S-N) podem ser plotados linearmente
na escala log-log,
( ) 2N2
b
ff
=
ciclo) 2
1 reverso um (falhar para reversos 2N f ==
ff fadiga, a a verdadeirresist.
=
=
fadiga a resist. de expoente b
fadiga a resist. de coef. f Propriedade de fadiga
do material
Manson & Coffin encontraram que os dados def.-vida (p-N)
podem ser, também, linearizados na coord. log-log. (Coffin-
Manson)
( ) f
2N2
c
f
p =
plástica def. de amplitude 2
p=
=
=
fadiga em edutillidad de expoente c
fadiga. em dutilidade de coef. f Propriedade de
Fadiga do material
f
f
ciclo) 2
1 reverso um (falhar para reversos 2N f ==
Curvas Deformação-Vida
Como podemos relacionar a vida à Ampl. De Def. Total /2?
(2.39) 2E
2
22
2 Relembre,
e
pe
=
+
=
Relação
Def-vida
( )
( ) ( ) (2.41) 2N2NE
2
(2.40) 2NE2
2.39 & 2.37 De
c
ff
b
ff
b
ffe
+
=
=
elástica plástica
Curvas Deformação-Vida
As equações apresentadas são lineares no plano log-log
( )bf
fe N2E2
'=
2Nf100
Ef ' b
2
e ( )cff
pN2
2'=
2Nf100
'f
c
2
p
Def. – Vida Elástica Def. – Vida plástica
Relação Tensão – Vida Total
2
e
2
p 2
e/2
p/2
/2
2Nf
( )bf
fe N2E2
'=
( )cff
pN2
2'=
( ) ( )cff
bf
f N2N2E
2
''
+
=
Vida de Transição
Plástica
e/2
p/2
/2
2Nf
Dominante
Elástica
Dominante
plástica
TotalElástica
2Nt
22 :2N2N Em
petf
=
=
f'
E2N
t( )
b
= f' 2N
t( )
c
2Nt=
f' E
f'
1b−c
Def.
Total
Def.
ElásticaDef.
Plástica
600100
106
100
2N
t
Aços
BHN
Duro→ 2Nt é pequena – mais de 2Nf é elástica
Mole → 2Nt é grande – mais de 2Nf é plástica
2Nt
e/2
p/2
/2
Vida de Transição
Resistência e Dutilidade
Normalizado (material dútil)
Temperado (material duro)
Dútil tem melhor vida em alto
Duro tem melhor vida em baixo
2Nf , log
/
2, lo
g
100 108
100
10-4
Na ausência de “dados cíclicos”, os parâmetros de fadiga podem
ser obtidos por estimativas grosseiras a partir das “propriedades
monotônicas”
f´ f f Su + 50 ksi para aços com BHN < 500
Su+345 [MPa]
b varia com – 0,05 a – 0,12 com uma média de – 0,085
( a mesma que nós temos no modelo tensão-vida)
f´ fRA-1
1ln onde f =
c varia entre – 0.5 to – 0.7
Para metais mutio dútil c - 0.6
Para metais muito resist. c - 0.5
Propriedades de Fadiga
Exemplo
A partir dos dados monotônicos e ciclicos de tensão-
Def.Determine as constantes cíclicas de tensão-def & def. – vida)
Dados monotônicos: Sy=158 ksi E = 28.4103 ksi
Su=168 ksi f = 228 ksi
%RA = 52 f = 0.734
50
68
122
256
350
488
1,364
1,386
3,540
3,590
9,100
35,200
140,000
162.5
162
155
143.5
143.5
136.5
130.5
126.5
121
119
114
106
84.5
0.0393
0.0393
0.02925
0.01975
0.0196
0.01375
0.00980
0.00980
0.00655
0.00630
0.00460
0.00360
0.00295
Reversos para
Falhar, 2Nf
Ampl. De tensão
/2 (ksi)
Ampl. de
Def. Total,
/2
Ampl. Def. Plástica,
p/2*
0.0336
0.0336
0.0238
0.0147
0.0145
0.00894
0.00521
0.00534
0.00229
0.00211
0.00059
0.00000
0.00000
p
2=
2−
e
2=
2−
2E
2=
f' 2N
f( )
b
p
2=
f' 2N
f( )
c
f' = 222 ksi b = - 0.076
f' = 0.811 c = - 0.732
c
log 2Nf
log
p/2
b
log 2Nf
log
/2
Para determinar H´ e n´ (Dois métodos)
( )n'
p
p
H'
2 plástica, def. ampl. a
e 2
entre, potência de curva uma ajuste (A)
=
H´ = 216 ksi n´=0,094
y = 0,0939x + 2,6081
2,32
2,34
2,36
2,38
2,4
2,42
2,44
2,46
2,48
2,5
2,52
2,54
-3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0
Série1
Linear (Série1)
n
1
H'2
1
2E2
+
=
( )
( )ksi 227
0,811
222H'
0,1040,732-
0,076-b/cn'
'
'H' Relembre (B)
0,104
n'
f
f
==
===
=
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
1 100 10000 1000000
Def. Elástica
Def. Plástica
Def. Total
Potência (Def.
Plástica)
Potência (Def.
Elástica)
Reversos para falhar, 2Nf
Am
pl. d
e D
ef. ,
/2
EXEMPLO
Em um local de interesse em um componente aeronáutico feito de uma liga de Ti-6Al-4V da Tabela abaixo; o material é repetidamente carregado uniaxialmente com umahistória de carregamento da figura abaixo. Estime o número de repetições necessáriaspara causar a falha do componente.
Constantes para a curva S-N para materiais estruturais -CPS ensaiados com tensão média igual a zero e sem entalhe e carregamento axial(Ref: Dowling)
S = 'f (2Nf)b = A(Nf)
b a=C+D logNf Materiais Sy Su
'f A b C D
Aços AISI 1015 (N) Man-Ten (HR) RQC-100 (R Q&T) AISI 4142 (Q&T, 450 HB) AISI 4340 (qualidade aeronáutica)
227 322 683 1584 1103
415 557 758 1757 1172
976 1089 938 1937 1758
886 1006 897 1837 1643
-0.14 -0.115 -0.0648 -0.0762 -0.0977
545 703 780 1529 1247
-69.6 -83.0 -68.9 -148 -137
Liga de Al 2024-T4
303
476
900
839
-0.102
624
-69.9
Liga de Ti Ti-6Al-4V (Solubilizada e envelhecida)
1185
1233
2030
1889
-0.104
1393
-157
(N) Normalizada, (HR) laminado a quente. Sy, Su , 'f, A,C e D estão em MPa. Os dados são para fadiga de alto ciclo 10
3 < N < 10
6
• A contagem de ciclos inicia no primeiro ponto no nível A e termina quando a históriaretorna a este ponto, em A’. Considerando os eventos:
• A1-B1-A2 um ciclo é contado neste nível.
• A2-B2-A3
• A3-B3-A4
• O próximo evento A4-C1-D1 será considerado mas não contado.
• C1-D1-C2 outro ciclo de outro nível e assim por diante até 100 ciclos seremformados.
• Neste ponto todos os ciclos foram considerados menos os ciclos A4, E e A’. Estesforam o maior ciclo que pode ser formado.
Ciclo j Nj min
MPa
max
MPa
a
MPa
Nfj Nj/Nfj
A-B
C-D
A-E
1
2
3
3
100
1
130
-140
-250
950
560
950
410
350
600
4,21X104
1,14X106
6,75X103
7,12X10-5
8,74X10-5
1,481X10-4
S=3,068 x10-4
As constantes ’f e b para a liga de Ti-4Al-4V e a equação de SWT
b
f
a
f
b
ffa
N
N/1
max
maxmax
2
1
)0.(..........)2(
=
=
A estimativa do número de repetições pode ser obtida para :
repetições 3259 3,068x
1
1N
nD
10B 4-f
i
i
==
== B f
Uma história de carregamento é apresentada a seguir, sendo ocarregamento uniaxial aplicado em um CP não entalhadofabricado de um aço AISI 4340. Estime o número de repetiçõesnecessárias para falhar o CP.
j Nj min max a m Nfj Nj/Nfj
1
2
1
10
0
220
800
800
400
290
400
510
1,36 x 105
1,54 x 106
7,37 x 10-6
6,51 x 10-6
b
mf
a
f
ma
N
/1
minmaxminmax
2
1
2.................
2
−=
+=
−=
repetiçõesxN
BNN
B fj fj
j
f
B
..000.72388,1/11 105
1
===
−
=
’f= 1758 MPa e
b = -0,0977
Considere a história de carregamento anterior e:
a) Estime a vida usando o método da tensão equivalente com
amplitude constante.
b) Se para esta história de tensões é esperada 1000 repetições,
qual o fator de segurança em vida e em tensão?
j Nj min max a m arj Nj x (arj)-1/b
1
2
1
10
0
220
800
800
400
290
400
510
517,8
408,5
6,036 x 1027
5,330 x 1027
( ) MPax
bk
jB
b
arjjaq NN 8,435]11/137,1[ )0977,0(28
1
/1
10 ==
= −−
−
=
−
( )
000.7211
300.792
300.7921758
8,435
2
1
2
12
0977,0/1/1
===
=
=
==
−
f
f
f
b
f
aq
f
b
ffaq
NB
NN
Substituindo este valor em e calculando Nf:
O fator de segurança pode ser calculado como:
52,1
0,72100011
300.792
72
ˆ0977,0
2
===
===
−−
XX
N
NX
b
NS
f
N x
FIM