Download - Astronomie Geodezica Matei Florica
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
1/104
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
2/104
Cuprins
1 Introducere 5
1.1 Ramurile astronomiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Descrierea sumara a part ii accesibile a Universului . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Astronomia geodezica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Elemente de trigonometrie sferica 11
2.1 Triunghiul polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Formulele lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Determinarea unghiurilor n funct ie de laturi ntr-un triunghi sferic 192.2.2 Determinarea laturilor n funct ie de unghiuri ntr-un triunghi sferic 21
3 Astronomie sferic a 23
3.1 Sfera cereasca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Sisteme generale de coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Coordonate geograce ( , L ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Sistemul de coordonate orizontale - ( A, z ), sau (A, h) . . . . . . . . 303.2.3 Sistemul de coordonate orare (, H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.4 Sistemul de coordonate ecuatoriale ( , ) . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Relatiile dintre coordonatele ceresti si coordonate geograce . . . . . . . . 34
3.4 Miscarea anual a aparenta a Soarelui si consecintele ei . . . . . . . . . . . . 35
3.4.1 Coordonate ecliptice ( , ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.2 Coordonate galactice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Transform ari de coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
3/104
3.5.1 Transformarea coordonatelor orizontale n coordonate orare . . . . 40
3.5.2 Transformarea coordonatelor orare n coordonate ecuatoriale. . . . 41
3.5.3 Transformarea coordonatelor ecuatoriale n coordonate ecliptice . . 42
3.6 Rasaritul si apusul astrilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Culminatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 Trecerea astrilor la primul vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9 Elongatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 Timpul 53
4.1 Timpul sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Timpul solar adevarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Timpul solar mediu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 Timpul universal. Timpul legal. Conventia fuselor orare . . . . . . . . . . 57
4.5 Calendarul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6 Metode de determinare a timpului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Fenomene care modica pozit iile astrilor pe bolta cereasca 655.1 Refractia astronomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Aberatia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Paralaxe si distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.1 Paralaxa diurna si determinarea distant elor n sistemul solar . . . . 71
5.3.2 Paralaxa anuala si determinarea distant elor stelare . . . . . . . . . 73
5.4 Precesia si nutat ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Aplicat ii 79
6.1 Metode de determinare a timpului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.1 Metoda masur arii unei distante zenitale . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.1.2 Metoda n altimilor egale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.3 Metoda n alt imilor egale a doua stele . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.4 Metoda trecerii stelei la meridian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Determinarea azimutului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
4/104
6.2.1 Metoda masurarii distant ei zenitale a unui astru . . . . . . . . . . . 85
6.3 Determinarea latitudinii si longitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.1 Determinarea latitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3.2 Determinarea longitudinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7 Elemente de mecanica cereasca 93
7.1 Problema celor doua corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Index 100
Bibliograe 103
3
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
5/104
4
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
6/104
Capitolul 1
Introducere
Astronomia este stiint a care se ocupa cu studiul misc arii, structurii, originii si evolutiei
corpurilor ceresti, a sistemelor de corpuri ceresti precum si interactiunii acestora cu di-
versele campuri n care ele se g asesc. Cuvantul astronomie provine din cuvintele grecesti
astron -astru si nomos -lege. Totalitatea corpurilor ceresti, a materiei dintre corpuri si a
campurilor zice care interactioneaza formeaza Universul . Materia poate privita ca
ind alcatuita din:
- substant a reprezint a acea forma a existent ei cosmice care se compune din particule
cu masa de repaus (protoni si neutroni);
- camp celelate forme in care particulele nu au masa de repaus (fotonii)
sau din alt punct de vedere materia este:
- materia organizata - reprezint a acea parte a existentei cosmice care se manifesta
sub forma unor corpuri cu o structura bine determinata si de mare stabilitate
(i) stele O stea este n general un corp ceresc, masiv si stralucitor, de forma
aproximativ sferic a, alcatuit din plasma n oarecare echilibru hidrostatic, si
care a produs n trecut sau nc a mai produce si azi energie pe baza react iilor
de fuziune nuclear a din interiorul s au.
(ii) planetele O planet a este un corp ceresc de masa considerabil a care orbiteaza
n jurul unei stele si care nu produce energie prin fuziune nuclear a. Din aceasta
5
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
7/104
cauza, planetele sunt mult mai reci decat stelele, si nu au si nu emit lumina
proprie, ci doar pot reecta lumina stelelor.
(iii) quasari Quasi-stellar Radio Source Acestea emit enorme cantitat i de energie.
- materia neorganizata - reprezint a acea parte a existentei cosmice care nu are
structura bine determinata si nici stabilitate (materia interstelara, praful si gazul
interplanetar, materia meteoritic a, materia intergalactic a)
Metodele de studiu ale astronomiei sunt:
1. Observat ia Reprezinta metoda fundamental a a astronomiei care furnizez a fapte
si date ce permit explicarea fenomenelor astronomice n urma prelucr arii si inter-
pret arii unui num ar mare de m asur atori de mare precizie, pe baza unor calcule
laborioase;
2. Metoda modelelor teoretice Se realizeaza modele ale fenomenele astronomice.
Modelele se confrunta cu fenomenele real-observate. Metoda modelelor a dat rezul-
tate bune n numeroase domenii ale astronomiei;
3. Metoda experimentala In ultima perioada a dobandit o pondere din ce n ce mai
mare n cercetarea corpurilor ceresti astfel s-au produs comete articiale, seisme pe
luna, etc. Observat iile de la sol au nceput s a e completate cu observat ii obtinute
din spat iu (din sateliti articiali sau nave cosmice), de o mai mare precizie si n
domenii spectrale inaccesibile de la sol.
1.1 Ramurile astronomiei
Astronomia contemporana se mparte n mai multe ramuri str ans legate ntre ele si anume:
1. Astronomia clasic a
(a) Astrometria sau astronomia fundamental a studiaz a pozitia corpurilor ceresti,
distant a dintre corpurile ceresti precum si determinarea timpului;
6
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
8/104
(b) Astronomia sferic a elaboreaz a metode matematice de determinare a pozit iilor
aparente si a miscarilor aparente ale corpurilor ceresti, fat a de diferite sisteme
de referint a;
(c) Astronomia practica studiaz a tehnicile si tehnologiile de observat ie astromet-
rica, precum si erorile corespunz atoare.
2. Mecanica cereasc a se ocupa cu miscarea corpurilor ceresti sub act iunea diferitelor
forte si a atractiei universale Astronomia moderna:
3. Astrozica - studiaz a structura, materia zic a si compozit ia chimic a a corpurilor
ceresti
4. Astronomia stelara - se ocupa cu legile generale n distributia si miscarea stelelor
a sistemelor stelare (roiuri stelare si galaxii) si a materiei interstelare (inclusiv neb-
uloasele).
5. Cosmogonia cerceteaza problemele originii si evolutiei corpurilor ceresti, inclusiv
a P amantului.
6. Cosmologia - studiaza originea si evolutia universului la scara larg a. ntre aceste
ramuri ale astronomiei nu exista o delimitare riguroas a, astfel mai multe probleme
sunt cercetate simultan de mai multe ramuri.
1.2 Descrierea sumara a part ii accesibile a Universu-
lui
Metagalaxia reprezint a partea Universului accesibila observat iei astronomice. Meta-
galaxia este alcatuit din circa 200 de miliarde de galaxii. Galaxia este un sistem cu
masa, unit de fort e de atractie, alcatuit dintr-o aglomerat ie de stele, praf si gaz inter-
stelar. Galaxiile tipice contin ntre 10 milioane si un 10 12 , sau chiar mai multe stele,
toate orbitand n jurul unui centru de gravitat ie comun. Galaxiile cont in un num ar mare
de sisteme stelare, de clustere stelare si de tipuri variate de nebuloase (Daca densitatea
7
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
9/104
90000 al
15000alSoare
Figura 1.1: Sectiunea meridiana a Caii Lactee
prafului si a gazului interstelar este mare se formeaza o nebuloas a (nor)). Majoritatea
galaxiilor au un diametru cuprins ntre c ateva zeci si cateva sute de mii de ani lumina
si sunt de obicei separate una de alta prin distant e de ordinul catorva milioane de ani
lumin a. Unele galaxii mari cuprind n structura lor complex a si un num ar de galaxii mai
mici, numite galaxii satelit.
Calea Lactee , este galaxia gazd a a sistemului nostru solar si a altor aproximativ
100-400 miliarde de stele cu planetele lor, precum si a peste 1.000 nebuloase. Galaxia are
o forma circular a cu un bulb central numit nucleul galxiei. In sectiune meridiana (Fig
1) Soarele apart ine aproximativ planului ecuatorial la o distant a de 30000 a.l de centrul
galaxiei.
Sistemul Solar apartine galaxiei Calea Lactee prinicipalele elemente sunt:
1. Soarele constituie principala sursa de energie
2. Planetele sitemului solar sunt Mercur , Venus , Pamant , Marte , Jupiter , Sat-
urn , Uranus , Neptun . La a XXVI- ant alnire generala a Uniunii Astronomice
Internat ionale din august 2006 s-a decis ca Pluto s a nu mai e considerat a planet a.
P amantul are diametrul mediu de 6371km si graviteaz an jurul Soarelui la o distanta
medie de 149 597 870.691km
3. Satelitii Satelit ii naturali reprezint a corpuri ceresti care se misca pe o orbit a n
jurul unei planete sau corp ceresc mai mic care se numeste corp primar.
8
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
10/104
Tabelul 1.1: Satelit ii planetelor Sistemului Solar ( www.nasa.gov)
Planeta Numar de satelt i
Jupiter 63
Saturn 60
Uranus 27
Neptun 13
Marte 2
Pamant 1
Venus 0Mercur 0
4. Asteroizii reprezint a planete mici-bucati de roca care pot varia n diametru de
la cat iva metri la c ateva sute de kilometri (cel mai mare asteroid Ceres, 950 km).
Asteroizii se ntalnesc n special ntre orbitele lui Marte si Jupiter (br aul asteroizilor).
Cei mai mici se numesc meteorit i .
5. Cometele sunt bile de piatr a si gheat a, carora li se formeaza cozi cand se apropie
Soarele pe orbitele lor foarte eliptice. Comete se nc alzeasc, gazele si praful sunt
expulzate, Soarele lumineaz a acest traseu, determin and o str alucire. Trasee stralu-
citoare sunt vizibile pe cerul nopt ii.
6. Materia meteoritica reprezint a fragmente de asteroizi.
7. Materia interplanetar a este reprezentata de praf si gaz.
1.3 Astronomia geodezica
Astronomia geodezic a este disciplina care se aa la intersect ia a dou a stiinte fundamentale:
Astronomia si Geodezia reprezentand tehnica determinarii pozitiei locului de observat ie
n raport cu diferiti astrii de pe bolta cereasca [3].
Rolul astronomiei geodezice este de a determina latitudinea si longitudinea punctelor
geodezice, precum si azimutele direct iilor terestre. De asemenea, astronomia geodezica
9
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
11/104
modern a constituie suportul tehnologiilor geodezice satelitare si contribuie la crearea si
dezvoltarea sistemelor de referinta precum si a form arii si ntretinerii sc arilor de timp.
Printre aplcatiile astronomiei n geodezie se amintesc:
- introducerea unui elipsoid de referint a, nat ional, specic ecarei t ari;
- introducerea unui elipsoid local;
- elemente de constr angere sau compensare a ret elelor geodezice (n special azimutele
astronomice);
- studiul deviat iei verticale cu utiliz ari directe n: orientarea astronomo-geodezic a aunui elipsoid local, conversia ntre azimutele astronomice si azimutele geodezice,
reducerea direct iilor si unghiurilor orizontale la elipsoid, reducerea direct iilor zeni-
tale la elipsoid, transformarea coordonatelor astronomice n coordonate geodezice si
viceversa, determinarea diferentelor de nalt ime din m asur atori de unghiuri zenitale
si distant e nclinate.
10
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
12/104
Capitolul 2
Elemente de trigonometrie sferica
Pentru studiul astrilor pe bolta cereasc a trigonometria folosita pana acum nu mai poate
folosita, de aceea trebuie introduse notiuni specice trigonometriei sferice. Dintre acestea
se amintesc urm atoarele not iuni ilustrate in gura 2.1
Cerc mare pe sfera este intersect ia sferei cu un plan care trece prin centrul sferei. Doua
puncte de pe sfera care sunt extremittile aceluiasi diametru determina n mod unic un
cerc mare.
Distant a sferic a dintre doua puncte pe sfera este lungimea celui mai mic arc de cerc
mare care trece prin cele dou a puncte. Se numeste pol sau centru sferic al unui cerc
mare punctul de intersectie cu sfera a diametrului perpendicular pe planul cercului mare
n centrul sferei. Un semicerc mare care contine polii se numeste meridian . Se numeste
ecuator al unui punct de pe sfera, cercul mare care se aa la distant a de 2
fata de punct.
Se numeste unghi sau fus sferic una din cele doua part i n care o sfer a este impart it a de
doua semicercuri mari avand diametrul comun. Pe sfera orice fus sferic are doua elemente,unghiurile si laturile (semidiscurile). Laturile fusului sferic sunt identice pentru aceeasi
sfera, rezult a ca fusul sferic este determinat doar de unghiul sau.
Observat ia 2.0.1 Aria fusului sferic de unghi A este
S A = 2R2 A. (2.1)
Intuitiv srmatia de mai sus poate vericat a folosind regula de trei simpla. Daca unghiul
2 -intreaga sfera are aria 4 R 2 atunci fusul sferic determinat de un unghi A are aria S
11
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
13/104
A
R
Figura 2.1: Fusul sferic
de unde S A = 2R 2 A.
Se consirera trei puncte pe o sfer a de raza arbitrara si trei arce de cercuri mari necon-
curente. Acestea se intersecteaza dupa trei puncte A, B, C . Se numeste triunghi sferic
gura format a de arcele care unesc cele trei puncte. Elementele triunghiului sferic sunt
ilustrate n gura 2.2. Unghiurile A, B , C si laturile sale a, b, c. Corpul OABC se numeste
triedrul asociat triunghiului sferic indextriedrul asociat triunghiului sferic.
O
A
B Ca
bc
Figura 2.2: Triunghiul sferic ABC
1. Daca unghiul unui triunghi sferic este 2
atunci triunghiul se numeste dreptunghic .
2. Triedul asociat triunghiului sferic este corpul OABC .
12
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
14/104
3. Daca o latur a are masura 2
atunci triunghiul se numeste rectilater .
Triunghiurile sferice dreptunghice pot avea unul, dou a sau trei unghiuri drepte, iar tri-unghiurile sferice oarecare pot avea unul doua sau trei unghiuri obtuze. Daca intr-un
triunghi sferic, cel put in o latur a este egala cu un sfert din cerc, atunci triunghiul se
numeste cuadrantic. Dac a din varfurile triunghiului sferic ABC ducem raze la centru si le
prelungim p ana la intersect ia cu suprafat a sferei atunci, unind doua cate dou a punctele
obtinute prin arce de cerc mare, obtinem un triunghi sferic opus celui dintai, care se
numeste triunghi simetric triunghiului dat .
2.1 Triunghiul polar
Denitia 2.1.1 Triunghiul A B C se numeste triunghi polar al unui triunghi sferic
dat ABC un triunghi pentru care ecare latur a are ca pol unul din v arfurile triunghiului
ABC.
Lagaturile ntre elementele triungiului sferic si triunghiul init ial sunt date n propozit ia
de mai jos.
Propozit ia 2.1.1 Fie triunghiul sferic ABC si triunghiul s au polar A B C , atunci au
loc relat iile:
a = A, b = B, c = C
respectiv
a = A , b = B , c = C
Demostrat ie: Latura a se va scrie n funct ie de elementele triunghiului ABC . Deoarece
triunghiul A B C este triunghi polar pentru ABC rezult a din gura 2.3 MC = 2
si
B N = 2
deci
a = B C = B M + MC = B N MN + MC =
a =
2 MN + 2 = MN = A. (2.2)
13
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
15/104
A
B
C
A
B C
MN
Figura 2.3: Triunghiul polar
La fel se obtin relat iile:
b = B, c = C (2.3)
precum si
a = A , b = B , c = C (2.4)
Propozit ia 2.1.2 Intr-un triunghi sferic ABC au loc urm atoarele relat ii:
0 < a + b + c < 2, < A + B + C < 3 (2.5)
unde a, b, c sunt laturile triunghiului sferic si A, B, C sunt unghiurile triunghiului sferic.
Demonstrat ie: Folosind propriet at ile triunghiului sferic rezulta ca
a < b + c, (2.6)
Din (2.6) scrisa pentru triunghiul polar, (2.2) si (2.3) rezulta
B + C < A + (2.7)
Din 0 < a + b + c < 2 si (2.7) rezult a
< A + B + C < 3
Fie triunghiul sferic ABC si trunghiul polar asociat A B C atunci triunghiul polar asociat
triunghiului sferic A B C este triunghiul sferic ABC .
14
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
16/104
Denitia 2.1.2 Se numeste exces sferic diferent a
= A + B + C (2.8)
Deci suma unghiurilor unui triunghi sferic este mai mare de 180 .
Aplicat ie Sa se determine aria triunghiului sferic ABC situat pe sfera de centru O si
raza R.
Rezolvare: Se considera fusele sferice determinate de dou a cate dou a cercuri mari ale
laturilor triunghiului sferic ABC precum si varfurile triunghiului polar A B C din gura
2.4. Se observa ca fusele sferice cu diametrele AA , BB si CC si unghiurile a, B, C
acopera o jumatate de sfer a de raza R si de doua ori aria triunghiului ABC . Deci din
(2.1) rezult a
A
B
C
C
B
A
Figura 2.4: Arie triunghi sferic
2R 2 + 2 S ABC = 2R2 A + 2 R 2 B + 2R 2 C
S ABC = R2 (A + B + C ). Din (2.8)
S ABC = R2
sau S ABC = R 2
180
15
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
17/104
2.2 Formulele lui Gauss
In aceast a sectiune se vor determina formulele fundamentale pentru un triunghi sferic
analoage celor din trigonometria clasica. Pentru aceasta se considra o sfera de raza r si
doua sisteme de coordonate carteziene Oxyz respectiv Oxy z cu centrul n centrul sferei.
Deci sistemul Oxy z se obtine prin rotirea n jurul axei Ox a sistemului init ial cu unghiul
, deci axa Oz trece prin v arful B al triunghiului ABC din gura 2.5
A
B
C
x
O y
z
C
f
t
b
a
cz
y
Figura 2.5: Transformari de coordonate
Daca se proiecteaza punctul C n planul xOy rezult a
z = r cos
y = r sin cos
x = r sin sin
(2.9)
Daca se proiecteaza punctul C n planul xOy rezult a
z = r cos
y = r sin cos
x = r sin sin (2.10)
Proiect and triunghiul ABC pe planul ecuatorial fat a de A si tin and cont de = b rezult a
= A 2 . Din aceleasi considerente proiectand triunghiul ABC pe planul ecuatorial
16
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
18/104
fat a de Bx = r sin bsin A
y = r sin bcos Az = r cos b
,
x = r sin a sin B
y
= r sin a cos Bz = r cos a
(2.11)
Folosind [1] si tin and cont c a cele doua sisteme de coordonate sunt rotite cu unghiul c
rezult a
xyz
=
1 0 0
0 cosc sin c
0 sin c cosc
x
y
z (2.12)
De asemenea (2.13) se poate scrie si
x
y
z =
1 0 0
0 cosc sin c
0 sinc cosc
x
y
z
(2.13)
Inlocuind (2.11) n (2.13) se vor obt ine relat iile de mai jos cunoscute sub numele de
formulele lui Gauss :
sin a sin B = sin bsin Acos a = cos bcos c + sin bsin c cos A
sin a cos B = cos bsin c sin bcos c cos A
(2.14)
Fiecare relat ie din formulele lui Gauss se poate scrie si pentru celelalte elemente ale
triunghiului sferic iar n literatura de specialitate acestea se grupeaz a astfel:
Teorema 2.2.1 Teorema sinusurilor Fie ABC un triunghi sferic atunci:
sin asin A =
sin bsin B =
sin csin C (2.15)
Teorema 2.2.2 Teorema cosinusurilor Fie ABC un triunghi sferic atunci:
cos a = cos bcos c + sin bsin c cos A
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B
cos c = cos a cos b + sin a sin bcos C
(2.16)
In trigonometria sferic a din combinarea relat iilor (2.16) se obtin relat iile color cinci ele-
mente:
17
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
19/104
Observat ia 2.2.1 Formula celor cinci elemenete Fie ABC un triunghi sferic atunci:
sin a cos B = cos bsin c sin bcos c cos A
sin a cos C = cos c sin b sin c cos bcos A
sin bcos C = cos c sin a sin c cos a cos B
sin bcos A = cos a sin c sin a cos c cos B
sin c cos A = cos a sin b sin a cos bcos C
sin c cos B = cos bsin a sin bcos a cos C
(2.17)
Teorema cosinusului si formulele celor cinci elemente se scriu si pentru unghiurile unui
triunghi sferic. Pentru aceasta (2.16) si (2.17) se vor scrie pentru elementele triungiului
sferic polar si se va tine cont de (2.3) si (2.4) de unde rezulta:
cos A = cos B cos C + sin B sin C cosa
cos B = cos A cos C + sin A sin C cosb
cos C = cos A cos B + sin A sin B cos c
(2.18)
precum si
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cosa
sin A cos c = cos C sin B + sin C cosB cos a
sin B cos c = cos C sin A + sin C cosA cos b
sin B cos a = cos A sin C + sin A cos C cosb
sin C cosa = cos A sin B + sin A cos B cos c
sin C cosb = cos B sin A + sin B cos A cos c
(2.19)
Consecint a 2.2.1 Dac a triunghiul sferic ABC are unghiul A = 2
, atunci
cos a = cos bcos c = ctg B ctg C
sin b = sin a sin B = tg c ctg C
sin c = sin a sin C = tg b ctg B
cos B = cos bsin C = tg c ctg a
cos C = cos c sin B = tg b ctg a
(2.20)
18
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
20/104
Consecint a 2.2.2 Daca triunghiul sferic ABC este rectilater cu latura a = 2
, atunci
cos A = cos B cos C = ctg b ctg csin B = sin A sin b = tg C ctg c
sin C = sin A sin c = tg B ctg b
cos b = cos B sin c = tg C ctg A
cos c = cos C sin b = tg B ctg A
(2.21)
2.2.1 Determinarea unghiurilor n funct ie de laturi ntr-un tri-
unghi sferic
Aplicand Teorema 2.2.2 rezulta
cos A = cosa cos bcos c
sin bsin c . (2.22)
Deci
1 cos A = sin bsin c cos a + cos bcos c
sin bsin c =
2sin2 A2
= 2sin
a + b c2
sin b c a
2sin bsin c
,
daca p = a + b+ c
2 rezult a
sin A2
= sin( p b)sin( p c)sin bsin c (2.23)Analog rezult a
cos A2
= sin psin( p a)sin bsin c (2.24)Din (2.23) si (2.24) rezult a
tg A2
= sin( p b)sin( p c)sin psin( p a) (2.25)Proced and ca mai sus pentru celelalte unghiuri din triunghiul sferic rezult a:
19
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
21/104
sin B2 = sin( p a) sin( p c)sin a sin c sin C 2 = sin( p a)sin( p b)sin a sin bcos
B2
= sin psin( p b)sin a sin c cos C 2 = sin psin( p c)sin a sin btg
B2
= sin( p a)sin( p c)sin psin( p b) tg C 2 = sin( p a) sin( p b)sin psin( p c)
(2.26)
Formulele (2.23), (2.24), (2.25) si (2.32) se mai reg asescn literatura de specialitate sub nu-
mele de formulele lui Delambre . De asemenea sunt folosite n practica si urm atoarele
formule care completeaz a formulele lui Delambre [9].
cos A B
2sin
C 2
=sin
a + b
2sin
c2
,
cos A + B
2
sin C 2
=cos
a + b2
cos c2
,
cos A B
2cos
C 2
=sin
a b
2sin
c2
,
cos A + B
2
sin C 2
=sin
a b2
sin c2
.
(2.27)
Folosind formulele lui Delambre se obtin formulele lui Neper sau Napier [9]
20
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
22/104
tg A B
2
ctg C 2
=sin
a b2
sin a + b2
,
tg A + B
2
ctg C 2
=cos
a b2
cos a + b
2
,
tg a b
2
tg c2
=sin
A B2
sin A + B2
,
tg a + b
2tg
c2
=cos
A B2
cos A + B
2
.
(2.28)
2.2.2 Determinarea laturilor n funct ie de unghiuri ntr-un tri-
unghi sferic
Pentru exprimarea laturilor triunghiului sferic n funct ie de unghiuri se va aplica (2.23)
n triunghiul polar si se va tine cont de (2.3) si (2.4). De asemenea dac a
= A + B + C = 2E (2.29)
va rezulta
sin a
2 = sin(B E )sin(C E )sin B sin C , adica
cos a2
= sin(B E )sin(C E )sin B sin C (2.30)si de asemenea
sin a2
= sin E sin(A E )sin B sin C tg a2 = sin E sin(A E )sin(B E )sin(C E ) (2.31)Proced and ca mai sus pentru celelalte unghiuri din triunghiul sferic polar rezult a:
21
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
23/104
cos b
2 =
sin(A E )sin(C E )
sin A sin C cos
c
2 =
sin(A E ) sin(B E )
sin A sin B
sin b2
= sin E sin(B E )sin A sin C sin c2 = sin E sin(C E )sin A sin Btg
b2
= sin E sin(B E )sin(A E ) sin(C E ) tg c2 = sin E sin(C E )sin(A E )sin(B E )
(2.32)
Excesul sferic se exprima n funct ie de laturile triunghiului sferic, iar relat ia dintre acestea
este cunoscut a ca formula lui LHuiller [9].
tg 2 2
= tg p2
tg p a
2 tg
p b2
tg p c
2 (2.33)
22
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
24/104
Capitolul 3
Astronomie sferica
3.1 Sfera cereasca
Daca se observa cerul nstelat din orice punct al P amantului ntotdeauna se pare ca
tot i astrii se a a la aceeasi distanta fat a de observator, pe suprafata interioara a unei
sfere numite bolta cereasca . Ziua cerul senin are culoarea albastr a datorita difuziei
luminii Soarelui. Uneori n timpul zilei se observa si Luna iar seara si dimineat a planetelemai str alucitoare mai ales Venus (Luceafarul). Noaptea pe bolta cereasca se observa
stelele, planetele, Luna, cometele si alti astrii. Dintr-un punct oarecare de pe Pam ant
cu ochiul liber se pot observa aproximativ ntre 3000 si 6000 de astrii. Pozit iile relative
ale stelelor pe bolta cereasc a nu se schimba sensibil (pentru ochiul liber) n sute sau
chiar mii de ani datorita acestui fapt se folosesc stelelor pentru orientare. Constelat iile
reprezint a grupuri de stele vizibile pe cerul nocturn. Sunt identicate 88 constelat ii.
Numele constelat iei se refera at at la grupul de stele, c at si la ntreaga regiune de pecer pe care o ocupa aceste stele. Constelat iile au nume de animale (Ursa Mare, Taurul,
Leul,...) de eroi mitologici (Andromeda, Hercule, Perseu,...), de guri geometrice ( Seat a,
Triunghi, Balanta, ...). Stelele individuale din constelatii s-au identicat folosind litere
grecesti si numele constelatiei, astfel steaua Vega din coonstelat ia Lyra se mai numeste
si Lyra. Constelat iile sunt guri aparente si n general ntre stelele unei constelat ii nu
exist a legaturi zice.
Calea Lactee e situata n zona centrala a boltii ceresti si apare ca un brau des cu stele.
23
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
25/104
Bolta stelar a difera dup a anotimp, cu except ia unor stele numite stele xe , care servesc
n geodezie sau la orientare n navigat ia maritima. Constelat iile din emisfera nordic a
cunoscute azi au fost nregistrate de catre J. Helvelius n 1687. Distanta de la P amant lacea mai apropiat a stea este de aproximativ 10 9 raza medie terestra, deci raza Pamantului
poate neglijat a n comparatie cu aceasta. Cea mai apropiata stea este Centauri la
aproximativ 4 a.l. de P amant Urm atoarea stea este la 30 a.l de Pamant si se aa n
constelat ia Vega. Din aceste consideratii n astronomia sferica Pamantul va constitui
centrul sferei ceresti a c arei raza este arbitrar a; astfel determinarea pozitiei aparente a
astrilor pe sfera cereasc a va presupune determinarea direct iilor fat a de un anumit punct.
N S
Z
Z
Q
Q
P
P
V
E
Ci
Cs
A
R
M
Figura 3.1: Elementele sferei cereasti percepute de un observator la o latitudine medie
din emisfera nordic a
Daca s-ar observa cerul nstelat pentru c ateva ore s-as avea impresia ca sfera ceresc a
se roteste de la r asarit la apus cu o perioad a de 24 de ore. Acest fenomen se numeste
24
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
26/104
miscarea de rotat ie diurn a aparenta a sferei ceresti . Miscarea real a a P amantului
ind de la Apus la Rasarit. Fenomenul se poate observa cu o camera foto ndreptat a spre
Steaua polar a; ecare stea va descrie in cateva ore un arc de cerc, toate arcele au centrulntr-un punct numit polul nord ceresc notat cu P . Toate elementele ce sunt descrise
mai jos sunt reprezentate n Figura 3.1. Punctul de pe sfera cereasc a diametral opus este
Polul sud ceresc notat cu P . Diametrul care uneste cei doi poli se numeste axa lumii .
Daca se observa miscarea diurn a a stelelor, n emisfera nordica, se constat a ca rotat ia
diurn a aparenta se efectueaza n sens retrograd (invers trigonometric) de la R asarit la
Apus.
Prin prelungirea planului ecuatorial terestru pe bolta cereasc a se obtine planul ecuatorial
ceresc iar curba imaginar a dintre acest plan si bolta cereasca reprezint a ecuatorul ceresc
notat cu Q si Q .
Direct ia gravitatiei ntr-un punct oarecare pe P amant determina verticala locului .
Punctul n care verticala locului nt eap a bolta ceresc a se numeste Zenit , notat cu Z .
Punctul diametral opus pe bolta cereasca fat a de zenit se numeste Nadir , si se notaeza
cu Z
. Planul perpendicular pe verticala locului de pe suprafat a globului Pam antesc senumeste orizontul punctului de observat ie . Planul perpendicular pe verticala locu-
lui care intersecteaz a sfera cereasca se numeste planul orizontului astronomic si se
noteaz a cu N, S . Acest plan este diferit de planul orizontului aparent, adic a frontiera
aparenta dintre cer si P amant.
Un plan care contine verticala locului se numeste plan vertical . Daca M reprezint a
pozitia unui astru la un moment dat, semicercul mare ZMZ se numeste semicerc vertical
sau vertical al astrului. Planul determinat de axa lumii si vericala locului se numesteplanul meridianului ceresc al locului . Curba dup a care acest plan meridian al locu-
lui intersecteaz a sfera cereasca se numeste meridianul ceresc al locului sau meridianul
locului . Acest meridian se proiecteaz a pe suprafata Pamantului dupa meridianul terestru
corespunzator locului de observatie. Intersect ia dintre planul meridianului si planul ori-
zontului este dreapta N S numita meridiana locului care deneste Nordul ( N ) si Sudul
(S ) n punctul considerat. Dintre cele dou a puncte, punctul cel mai apropiat de Polul
Nord ceresc este N iar celalat punct este S . Planul ecuatorului ceresc intersecteaz a planul
25
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
27/104
orizontului ceresc dup a o dreapt a perpendicular a pe meridiana locului care intersecteaza
sfera cereasca n punctele cardinale Est si Vest si reprezint a intersect iile ecuatorului cu
orizontul. Verticalul care trece prin punctul cardinal E se numeste primul vertical iarcel ce trece prin punctul cardinal Vest se numeste al treilea sau ultimul vertical .
In miscarea diurn a aparenta a sferei ceresti ecare astru descrie un cerc paralel cu ecu-
atorul ceresc numit paralelul ceresc sau paralelul diurn al astrului . Exista doua
tipuri de astrii:
- astrii al c aror paralel intersecteaza orizontul n doua puncte punctul de rasarit ( R)
si punctul de apus ( A) numit i astrii cu rasarit si apus ;
- astrii al c aror paralel cersc nu intersecteaza orizontul numit i si astrii circumpolari .
Aplicat ii directe n geodezie are c Steua Polara sau -Carul mic.
Paralelul diurn al unui astru intersecteaz a meridianul locului n dou a puncte: C s
culminat ia superioara arcul RCsA din Figura 3.1 se numeste arcul diurn al as-
trului iar C i reprezint a culminat ia inferioar a, arcul RCiA din Figura 3.1 se numeste
arcul nocturn al astrului .Ecuatorul ceresc interseceaza meridianul ceresc al loculuin doua puncte: punctul superior
al ecuatorului Q cel mai apropiat de Zenit, arcul PZQMP din gura 3.1 se numeste
meridian superior , respectiv punctul inferior al ecuatorului Q , arcul P NQ P din gura
3.1 se numeste meridian inferior .
Modul de aparitie al misc arii diurne a unui astru depinde de emisfera din care se fac
observat iile. Figura 3.2 arata miscarea astrului pentru un observator de la Polul Nord.
Pentru un observator de la Polul Sud se modica sensul miscarii astrului.Modul n care este perceput un astru cu r asarit si apus respectiv circumpolar depinde de
locul n care se face observatia de pe suprfat a terestra. Asa cum rezulta din gura 3.2
daca observatorul este situat la poli atunci tot i astri sunt circumpolari.
Cazul misc arii astrului pentru observatorul situat la ecuator este redat n gura 3.3.
Rezult a ca daca observatorul este situat la ecuator tot i astrii sunt cu rasarit si apus.
Pentru astrii paralele diurne precum si punctele de ras arit si apus nu se schimb a de la
o zi la alta; acestea se modica foarte put in n perioade foarte lungi de timp iar pentru
26
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
28/104
P, Z
P, Z
N, QS,Q
M2
M1
Figura 3.2: Miscarea diurna a unui astru pentru un observator situat la Polul Nord
M1
M2
N, P S, P
Z, Q
Z, Q
Figura 3.3: Miscarea diurn a a unui astru pentru un observator aat la ecuator
27
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
29/104
a se evidentia aceste modicari trebuie realizate m asur atori de mare precizie. Soarele si
Luna prezint a variat ii vizibile ale misc arii diurne, punctele lor de r asarit si apus precum
si paralele diurne variaza continuu, astfel Soarele se deplaseaz a printre stele cu aprox. 1
pe zi, iar Luna se deplaseaza printre stele cu aproximativ 13 pe zi, datorit a miscii pe
care o efectueaza P amantul.
3.2 Sisteme generale de coordonate
Una din problemele de baz a ale geodeziei o constituie determinarea pozit iei unui punct
pe suprafat a terestr a . Se vor introduce n continuare sistemul de coordonate geograce si
sitemele de coordonate ceresti precum si trecerea dintr-un sistem de coordonate n altul.
Acest lucru este util din considerente practice n funct ie de ce se poate masura si ce se
poate determina din acele masur atori asa cum sunt prezentate n Capitolul 6.
3.2.1 Coordonate geograce ( , L )
In continuare se presupune c a P amantul are form a sferica cu raza de 6371km Pamantulexecut a o miscare complet a de rotat ie cu o perioada de 24 ore - rotatie n jurul axei
sale care intersecteaz a suprafat a terestra n dou a puncte: polul nord geograc p si polul
sud geograc p . Polul nord geograc este cel din care se observa rotat ia Pamantului
efectuandu-se in sens trigonometric direct. Planul perpendicular pe axa de rotat ie este
planul ecuatorului iar cercul dupa care se intersecteaz a acest plan cu suprafata terestra
este ecuatorul terestru. q, q . Cercurile mici de pe suprafat a terestra paralele cu ecuatorul
terestru se numesc paralele geograce. Se noteaz a cu O locul de observatie de pe suprafat aterstra arcul pOOe p se numeste meridianul geograc al punctului O. Meridianul pGGe p
al observatorului astronomic Greenwich se numeste meridian zero sau meridian origine.
Prin antimeridian se intelege meridianul din acelasi plan cu meridianul Greenwich dar din
partea opus a a Pamantului. Meridianul zero si antimeridianul s au impart Pamantul n
doua emisfere estica si vestic a.
Pentru a determina n mod unic un punct pe o sfer a avem nevoie de ungiurile la cen-
tru,astfel pe suprafata terestra un punct este determinat n mod unic prin:
28
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
30/104
p
p
q qT
LGe Oe
Z
O
phi
Figura 3.4: Coordonate geograce
(i) latitudine geograca din Figura 3.4 ce reprezint a unghiul format de verticala
locului cu planul ecuatorului terestru. Pentru P amant considerat sferic verticala
locului OZ trece prin centrul Pamantului T . Sensul pozitiv este de la ecuator c atre
Polul Nord si negativ de la ecuator la Polul Sud geograc.
Deci
= OeT O [ 900 , 900 ].
(ii) longitudinea geograc a L din Figura 3.4 reprezint a unghiul diedru format de
planul meridianului geograc al locului de observat ie cu planul meridianului Green-
wich. Sensul este cel al rotat iei P amantului-de la meridianul origine spre Est.
Deci
L = GeT Oe [00
, 3600
]Coordonate ceresti
Pozitia unui punct n spat iu se determin a folosind coordonate carteziene ( x,y,z ) sau co-
ordonate sferice ( r,, ). Semnicatia unghiurilor coordonatelor sferice este exemplicata
n Figura 2.5 iar trecerea de la un sistem la altul este dat a de(2.9).
Deoarece raza sferei ceresti este arbitr a (o determiare exacta se va face atunci cand se vor
studia fenomenele care modica pozitia astrilor pe sfera cereasca Capitolul ca:fen-mod)
pozitia astrului va dereminat a de cele doua unghiuri la centru. In astronomie exit a
29
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
31/104
mai multe tipuri de coordonate sferice, acestea diferent iindu-se prin alegerea planului
fundamental xOy, a axei fundamentale Oz si a sensului pozitiv n care se face masurarea.
3.2.2 Sistemul de coordonate orizontale - (A, z ), sau (A, h)
Pentru a deni aceste coordonate se considera
planul fundamental planul orizontului matematic SN cercul mare corespunzator
va orizontul matematic;
axa fundamentala verticala locului ZZ
;
sensul pozitiv se deneste pentru ecare unghi n parte.
Planul meridianului locului coincide cu planul Figurii 3.5. Intersect ia dintre planul merid-
ian si planul orizontului este meridiana locului, deci pentru cazul considerat meridiana
locului este dreapta SN. Fie un astru M al carui verical ZMZ intersecteaza orizontul
matematic n M o. Se presupune astrul punctiform ce emite radiatii in spectrul vizibil
si raza de lumin a se considera raza vectoare deci raza vectoare reprezint a raza vizuala.Direct iile care determina coordonatele orizontale sunt:
(i) nalt imea astrului notat a cu h = M oOM reprezint a unghiul dintre raza vectoare
a astrului si planul orizontului matematic, h [ 900 , 900 ] unde h > 0 reprezint a
n altimea deasupra orizontului si h < 0 reprezint a depresiunea sub orizont. Practic
este greu de masurat naltimea si se consider a complementara acesteia z numit a
distant a zenitala folosita ndeosebi pentru masur atori terestre z [00
, 1800
].
z + h = 900
(ii) azimutul reprezint a unghiul diedru format de planul meridianului locului cu planul
vertical al astrului se noteaza cu A = SOM o [00 , 3600 ].
Cercul paralel cu orizontul matematic care trece prin astru se numeste si cerc de n altime
al astrului sau almucantarat. In astronomie azimutul se masoar a de la S catre N (adica
30
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
32/104
c
Z
Z
N S
Mo
O
A
h
z
P
P
M
Me
Q
Q
H
V
d
Ci
Cs
Figura 3.5: Coordonate orizontale
retrograd-invers trigonometric) iar n geodezie se m asoar a de la N si este numit azimutul
geodezic . .
Coordonatele orizontale sunt usor de determinat folosind teodolitul si depind de locul de
observat ie de aceea se mai numesc si coordonate locale . Aceste coordonate mai depind
si de timp deci nu sunt coordonate caracteristice pentru un astru dat.
3.2.3 Sistemul de coordonate orare (, H )
Pentru a deni aceste coordonate se considera
planul fundamental planul ecuatorului ceresc;
axa fundamentala axa lumii
P P . Orice plan care contine axa lumii se numeste
plan orar. Cercul mare determinat de P, P si astrul M se numeste cercul orar al
astrului sau cerc de declinat ie ;
sensul pozitiv se deneste pentru ecare unghi n parte.
Direct iile care determina coordonatele orare sunt:
(i) Declinatia din Figura 3.6 reprezint a unghiul format de raza vectoare cu planul
ecuatorului, se m asoar a pe cercul orar de la ecuator spre poli.
31
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
33/104
c
Z
Z
N S
Mo
O
A
h
z
P
P
M
Me
Q
Q
H
V
d
Ci
Cs
Figura 3.6: Coordonate orare
= M OM e [ 900 , 900 ]
(ii) Unghiul orar H din Figura 3.6 reprezint a unghiul format de planul orar al astrului
cu planul meridianului locului si se m asoar a pe ecuator de la meridian spre punctul
cardinal vest in sens retrograd. H [00
, 3600
] sau H [0h
, 24h
]
Deoarece n miscarea diurna aparent a astrul descrie un cerc paralel cu ecuatorul declinat ia
este constanta, unghiul orar variind cu timpul depinzand de locul de observatie prin pozit ia
meridianului, deci aceste coordonate sunt coordonate semilocale . Unghiul orar variaz a
proport ional cu timpul reectand uniformitatea rotat iei terestre. Exista cazuri n care n
loc de declinatie se foloseste distant a polar a p unghiul dintre raza vectoare a astrului si
axa lumii, deci p + = 900 , 00 p 1800
3.2.4 Sistemul de coordonate ecuatoriale (, )
Aceste coordonate au fost introduse din nevoia de a ramane xe unghiurile (direct iile)
introduse n raport cu timpul si cu locul efectu arii masuratorii. Astfel se va introduce un
punct x pe ecuator n raport cu care s a se poat a efectua masuratoarea. Acest punct x se
va numi punct vernal care particip a la miscarea diurna mpreuna cu astrul. Punctul
vernal este punctul n care traiectoria aparenta a Soarelui intersecteaz a ecuatorul ceresc,
32
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
34/104
cand trece din emisfera sudic a (australa) n cea nordic a (boreal a); reprezent and punctul
echinoctiului de primavar a.
planul fundamental reprezint a planul ecuatorului ceresc cu QQ - cerc fundamental;
axa fundamentala reprezint a axa lumii P P ;
sensul pozitiv se deneste pentru ecare unghi n parte.
Diferenta ntre coordonatele orare si ecuatoriale const a n faptul c a pentru unghiul
masurat n planul ecuatorului se alege o alt a origine si se schimba sensul de masurare.
Astfel coordonatele ecuatoriale sunt:(i) Declinat ia a fost denita pentru sistemul de coordonate orare;
(ii) Ascensia dreapta notat a cu reprezint a unghiul format de planul orar al astrului
cu planul orar al punctului vernal. Se masoar a pe ecuator, de la punctul vernal
n sens direct sau sensul invers miscarii diurne aparente adica sensul trigonometric
Figura 3.7.
= OM e , 00 3600
Deoarece punctul vernal participa si el la miscarea diurna aparent a odat a cu astrul,
nseamna ca ascensia dreapta este constanta, ind o coordonat a caracteristica a astrului,
ca si declinat ia .
Timpul sideral notat cu reprezint a unghiul orar al punctului vernal , deci
= + H. (3.1)
Daca astrul trece pe la meridian unghiul orar este H = 0 si deci timpul sideral coincide
cu ascensia dreapt a = .
Relatia (3.1) este utila cand se cere determinarea timpului sideral pentru un astru care
trece pe la meridian cunosc andu-se ascensia dreapta. Sau se pot determina ascensiile
drepte c and se cunoaste timpul sideral.
Sistemul ( , ) constituie un sistem absolut de coordonate folosit pentru intocmirea
cataloagelor si h art ilor ceresti.
33
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
35/104
Ve
V
N
Q
Q
S
Z
ZP
P
alpha M
Me
Mo
delta
AH
Ci
Cs
Figura 3.7: Coordonate ecuatoriale
3.3 Relat iile dintre coordonatele ceresti si coordo-
nate geograce
Intre coordonatele ceresti si cele geograce exista relat ii utile care permit trecerea de la un
tip la altul. Astfel se pot determina pozit ii terestre pornind de la obsrvatii asupra astrilor,
e reciproc n cazul n care observatiile se fac din puncte terestre cu coordonate cunos-cute. Pentru a reliefa relatiile ntre coordonarte trebuie avut n vedere faptul c a centrul
sferei ceresti poate ales ntr-un punct arbitrar. In functie de problema studiata acest
centru se poate alege tocmai n punctul de observat ie si atunci sfera cereasca este sfera
cereasca topocentric a , sau n centrul Pamantului si atunci sfera cereasc a va sfera
cereasca geocentrica sau n centrul Soarelui rezult and sfera cereasca heliocentrica .
Transformarile se fac tinand cont de teoremele de mai jos.
Teorema 3.3.1 Latitudinea geograc a a locului de observat ie este egal a cu nalt imea
polului ceresc P deasupra orizontului h(P ). De asemenea declinat ia zenitului locului de
observat ie (Z ) este egal a cu latitudinea geograc a a locului de observat ie. Adic a
= h(P ) = (P ) (3.2)
Demonstrarea teoremei se g aseste n [12].
Daca se noteaza cu z m distant a zenital a meridian a a unui astru de declinat ie observat
la culminat ie ntr-un loc de latitudine geograc a , atunci are loc urm atoarea teorema.
34
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
36/104
Teorema 3.3.2 Pentru un astru aat la culminat ia superioar a are loc relat ia
= z m (3.3)
Se consider a + pentru culminat ia la sud de Zenit si pentru culminat ia la nord de Zenit.
Pentru un astru aat la culminat ia inferioar a are loc relatia
= 1800 ( + z m ) (3.4)
Demonstrarea teoremei se g aseste n [12].
Teorema 3.3.3 Diferent a unghiurilor orare ale unui astru M oarecare, pentru unul si acelasi moment, fat a de doua puncte diferite de pe suprafat a P am antului este egal a cu
diferent a longitudinilor geograce ale celor dou a puncte. Dac a A si B sunt cele dou a
puncte din care se observ a astrul n acelasi moment de timp atunci:
H A H B = LA LB (3.5)
Demonstrarea teoremei se g aseste n [12].
3.4 Miscarea anuala aparenta a Soarelui si
consecint ele ei
Fenomenele care atesta existenta misc arii anuale a Soarelui sunt:
Daca se urmarete pozit ia aparenta a Soarelui timp de un an de zile si se masoar a
n alt imea sa deasupra orizontului se constat a ca aceasta se modic a semnicativ n
acest interval de timp;
Modicarea zilnica a punctelor de r asarit si apus ale Soarelui;
Schimbarea continu a a aspectului cerului nocturn.
Pentru a stabili existenta misc arii anulale aparente a Soarelui se va realiza masurarea
zilnica a coordonatelor ecuatoriale a Soarelui la trecerea lui la meridian. Astfel, dac a se
35
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
37/104
masoar a distant a zenital a meridiana z m a Soarelui se obtine declinat ia S = z m si se
constat a ca aceasta variaza ntr-un an de zile ntre 230 27 si +23 0 27
Ecliptica reprezint a locul geometric al pozitiilor aparente ale Soarelui timp de un ande zile pe sfera cereasca. Acest loc geometric constituie un cerc mare al sferei ceresti
( ), al carui plan formeaza cu ecuatorul ( EE ) un unghi = 230 27 . Soarele descrie
ecliptica misc andu-se n sens direct. Planul eclipticii este inclinat fat a de ecuatorul ceresc
cu = 230 27 asa cum se vede din Figura 3.8
O
P
P
Pi
Pi
QQ
Epsilon 22VI
Epslon 22XII Vernal 21 III
Autumnal 23 IX
lambda
Mbeta
Mepsilon
Figura 3.8: Coordonatele ecliptice
Diametrul sferei ceresti este perpendicular pe planul ecliptcii si se noteaz a cu si se
numeste axa polilor ecliptici . Punctele principale de pe ecliptica sunt:
(i) planul eclipticii intersecteaza planul ecuatorului ceresc dupa o dreapta numita linia
nodurilor notata . Punctele si reprezint a punctele echinoct iale si anume:
punctul vernal n care Soarele se aa la 21 martie, trec and din emisfera sudic a
(australa) n cea nordica (boreal a), si respectiv punctul autumnal , n care Soarele
se aa la 23 septembrie, cand trece din emisfera nordic a n cea sudic a. Denumirea
36
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
38/104
de echinoctiu (echinox) provine din faptul ca, atunci cand Soarele se aa n unul din
aceste puncte sau , o jumatate a drumului sau diurn este deasupra orizontului,
iar cealalt a jumatate sub orizont si deci ziua este egala cu noaptea. Axa se mainumeste si linia echinoctiilor.
(ii) Punctele n care ecliptica intersecteaza meridianul locului, sau declinat ia Soarelui
S are valoare maxim a, reprezint a solstit iul de var a s = +23 0 27 punctul din
Figura 3.7 si respectiv punctul n care declinat ia Soarelui este minim a s = 230 27
reprezint a solstit iul de iarn a adica punctul din Figura 3.7
Denumirea de solstit iu provine de la faptul c a, n apropierea solstit iilor, Soarele misc andu-
se pe ecliptica aproape paralel cu ecuatorul ceresc, pare ca st a pe loc cateva zile, av and
la meridian aceesi naltime. Aceste patru puncte principale mpart ecliptica n patru arce
aproximativ egale, timpul necesar Soarelui pentru a parcurge ecare arc reprezent and un
anotimp; astfel primavara are 93 de zile, vara 93 zile, toamna 90 de zile si iarna 89 de zile.
Fenomenele misc arii aparente a Soarelui se explic a n ntregime prin cele doua misc ari
reale ale P amantului. Intervalul de timp mecesar trecerii Soarelui de dou a ori consecutiv
pe la punctul vernal se numeste an tropic si st a la baza calendarului.
Zona de pe sfera cereasca, cu o lat ime de 180 din jurul eclipticii se numeste zodiac .
In aceasta zona se gasesc 12 constelatii zodiacale pe care Soarele le parcurge n miscarea
sa anul a aparenta. In medie o constelatie este parcurs a ntr-o luna. Ordinea lor este data
dup a cum Soarele trece prin ele, astfel:
Primavara : Pesti, Berbec, Taur;
Vara: Gemeni, Rac, Leu;
Toamna: Fecioara, Balant a, Scorpion;
Iarna: Saget ator, Capricorn si Varsatorul.
Daca revenim la aparent a misc arii, se spune ca n realitate planul eclipticii este de fapt
planul orbitei Pamantului n miscarea sa n jurul Soarelui. Axa de rotat ie a P amantului
este nclinata fat a de planul orbitei cu un unghi de 6633 . Deci, asa cum ecuatorul ceresc
37
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
39/104
zona
calda
zona temperata de nord
zona temperata de sud
Figura 3.9: Zonele climatice
este de fapt intersect ia planului ecuatorului terestru cu sfera cereasc a, asa si ecliptica este
intersect ia orbitei Pamantului cu sfera cereasc a, deci unghiul de = 230 27 este nclinarea
orbitei P amantului fat a de ecuatorul ceresc.
Observat ia 3.4.1 Consecint ele misc arii aparente a Soarelui sunt:
(i) Succesiunea anaotimpurilor;
(ii) Existent a zonelor climatice asa cum apare n Figura 3.9
(iii) Inegalitatea zilelor si a noptilor.
Existent a zonelor climatice Declinatia Soarelui variaz a ntre S . Paralelulterestru pentru care = se numeste tropicul Racului . Paralelul de latitudine =
se numeste tropicul Capricornului . Paralelul de latitudine = 900 se numeste
cercul polar de nord . Paralelul de latitudine = (900 ) se numeste cercul polar
de sud.
Inegalitatea zilelor si a nopt ilor Compunand miscarea anuala aparenta a Soarelui cu
miscarea diurna aparenta va rezulta o miscare aparent a pentru Soare pe sfera cereasca n
spiral a. In ecare zi Soarele va descrie o spira cuprins a ntre paralele limit a cu declinatii n
38
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
40/104
intervalul [ , ]. Proiectia unei spire pe planul meridianului va un segment aproximativ
paralel cu ecuatorul ceresc. Intersectia acestuia cu orizontul matematic NS arat a ca la o
latitudine oarecare ziua si noaptea vor avea durate diferite care variaz a at at cu S catsi cu . Variat ia n raport cu S dau ziua cea mai lunga respectiv ziua cea mai scurta la
solstit ii. Variat ia n raport cu dau ca si cazuri limita ziua egala cu noaptea la ecuator
si la poli o zi polara de 6 luni si o noapte polara de 6 luni, acestea altern and ntre ele.
Intre ecuator si poli sunt zile si nopti normale.
3.4.1 Coordonate ecliptice (, )
Pentru sistemul de coordonate ecliptice se considera
planul fundamental ca ind planul eclipticii n Figura 3.8;
axa fundamentala se considera dreapta perpendicular a pe acest plan care se mai
numeste axa polilor ecliptici;
sensul de masurare va dat pentru ecare unghi n parte.
Punctele si se numesc poli ecliptici. Meridianul astrului contine axa ca
diametru si se numeste meridian ecliptic .
(i) Latitudinea ecliptica sau cereasca , este unghiul format de raza corespunz atoare
astrului M cu planul eclipticii, adic a = M OM . Acesta se masoar a ntre 0 0 si 900
spre polul nord ecliptic si ntre 0 si 900 spre polul sud ecliptic ca n Figura
3.8.
(ii) Longitudinea ecliptica sau cereasca = OM reprezint a unghiul diedru dintre
planul meridianul ecliptic al punctului vernal si planul meridianul ecliptic al astrului
, se masoar a n sens direct untre 0 0 si 3600 .
Coordonatele ecliptice nu depind de rotatia sferei ceresti. Ele nu se m asoar a cu in-
strumente, ci se deduc folosind coordonatele ecuatoriale prin calcul. Utilitatea lor este
evidentiat a la studiul misc arii Lunii si a planetelor, care au planele lor orbitale n
vecinatatea eclipticii.
39
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
41/104
3.4.2 Coordonate galactice
Se utilizeaza n special n astronomia galactic a, dinamica stelara si alte sisteme de corpuri
ceresti si nu fac obiectul astronomiei geodezice. Pentru am anunte se poate consulta [7].
3.5 Transformari de coordonate
Exist a situat ii n care se cer coordonatele unui astru ntr-un anumit sistem de coordonate,
care nu se pot masura direct, dar n acelasi timp se cunosc coordonatele acelui astru ntr-
un alt sistem de coordonate. Pentru aceasta este nevoie de o trecere de la un sistem decoordonate la altul.
3.5.1 Transformarea coordonatelor orizontale n coordonate
orare
Presupunem c a s-au masurat cu teodolitul coordonatele orizontale ( A, z ) ale unui astru M
ntr-un loc de latitudine geograc a la un moment sideral , atunci coordonatele orarepot determinate folosind triunghiul de pozit ie al astrului M numit si triunghi paralactic
gura3.10.
PZ
H180-A
z
M
90-phi
90-delta
Figura 3.10: Triunghiul de pozit ie pentru transformarea coordonatelor orizontalen coordonate
orare
Se considera pe sfera cereasca, un astru M . Coordonatele orizontale ale lui M sunt az-
imutul A si h sau z . Coordonatele orare ale lui M ,H si . Consideram separat triunghiul
P ZM care se numeste triunghi de pozitie al astrului si notam laturile n functie de coor-
donatele orizontale si orare: latura P Z = 90 , latura ZM = z , latura P M = 90 .
40
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
42/104
Aplicand formulele lui Gauss (2.14) n triunghiul P ZM se obtine
sin = cos z sin cos sin z cos A
cos cos H = cos z cos + sin sin z cos A
cos sin H = sin z sin A (3.6)
sau scrise matriceal
cos sin H
cos cos H
sin
=
1 0 0
0 sin cos
0 cos sin
sin z sin A
sin z cos A
cos z
(3.7)
Observat ia 3.5.1 Dac a se cunosc coordonatele orizontale ale unui astru, coordonatele
ecuatoriale sunt date de relatia 3.10
sin z sin A
sin z cos A
cos z
=
1 0 0
0 sin cos
0 cos sin
cos sin H
cos cos H
sin
(3.8)
3.5.2 Transformarea coordonatelor orare n coordonate ecua-toriale.
Deoarece declinat ia ramane constanta trebuie exprimata ascensia dreapt a n funct ie de
unghiul orar. Pentru acesta se t ine cont de relat ia
= + H (3.9)
Astfel din (3.7) si (3.9) coordonatele ecuatoriale se exprima cu ajutorul coordonatelor
orizontale folosind Observat ia 3.5.2.
Observat ia 3.5.2 Dac a se cunosc coordonatele orizontale ale unui astru, coordonatele
ecuatoriale sunt date de relatia 3.10
cos cos
cos sin
sin
=
sin cos sin cos cos
sin sin cos cos sin
cos 0 sin
sin z cos A
sin z sin A
cos z
(3.10)
RAMAS
41
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
43/104
3.5.3 Transformarea coordonatelor ecuatoriale n coordonate
ecliptice
La fel ca si n cazurile precedente se va considera triunghiul sferic P M avand ca vafuri
polul ecliptic , polul nord ceresc P si astrul considerat.
M
P
Pi
90-delta
epsilon
90-beta
90+aplha
90-lambda
Figura 3.11: Transformarea coordonatelor ecuatoriale n coordonate ecliptice
Laturile triunghiului sfreric sunt: P = , P M = 900 si M = 90 , unghiurile
aceluiasi triunghi sunt P M = 900 , P M = 900 + si atunci folosind formulele lui
Gauss si scriind n forma matricial a aceste relat ii are loc observat ia de mai jos.
Observat ia 3.5.3 Dac a se cunosc coordonatele ecuatoriale ale unui astru M coordo-natele ecliptice se obt in folosind relat ia de mai jos:
cos cos
cos sin
sin
=
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
cos cos
cos sin
sin
(3.11)
Pentru a obt ine coordonatele ecuatoriale atunci c and se cunosc coordonatele ecliptice se
va folosi observatia de mai jos.
Observat ia 3.5.4 Dac a se cunosc coordonatele ecliptice ale unui astru M coordonatele
ecuatoriale se obt in folosind relat ia de mai jos:
cos cos
cos sin
sin
=
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
cos cos
cos sin
sin
(3.12)
Trecerea de la relat iile (3.11) la relat iile (3.12) si invers se obtine prin determinarea ma-
tricei inverse pentru matricea 3 3.
42
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
44/104
3.6 Rasaritul si apusul astrilor
Abilitatea de a determina vizibilitatea pentru orice stea este fundamental a n astronomia
geodezica. Pentru a stabili un program de observat ii asupra unei stele trebuie stiut daca
aceasta este deasupra orizontului n intervalul orar ales [11].
Rasaritul si apusul astrilor sunt determinate de intersectarea paralelului de declinat ie al
astrului cu orizontul adevarat. Avem rasarit c and astrul trece din emisfera invizibila n
cea vizibila si apus la trecerea acestuia din emisfera vizibil a n cea invizibil a. Punctul de
rasarit si punctul de apus al unui astru sunt dou a puncte ale orizontului, simetrice fata
de punctul cardinal Sud. Astrii cu r asarit si apus se deplaseaza pe o portiune de arc deparalel de declinat ie n emisfera vizibila, numit arc diurn si pe o portiune de arc de paralel
de declinatie n emisfera invizibil a, numit arc nocturn.
Se considera un observator aat la latitudinea care studiaz a un astru de coordonate
ecuatoriale ( , ). Paralelul diurn al unui astru M intresecteaz a orizontul n doua puncte:
de rasarit si apus. In continuare se vor determina timpul sideral si azimutul pentru
punctele unde r asare si apune steaua M de coordonate ecuatorilae ( , ) ntr-o localitate
de latitudine . Pentru a determina momentele de mai sus se va folosi Figura 3.12.Determinarea timpului sideral de apus si r as arit a astrului M
In triunghiul P ZA se aplica teorema cosinusului Teorema 2.2.1 si se obt ine:
cos z = sin sin + cos cos cos H, dar cos z = 0 = (3.13)
cos H = tg tg (3.14)
Pentru determinarea lui H trebuie rezolvat a ecuatia (3.14) n care se considera solutia cu
+ pentru apusul astrului si solut ia cu pentru r asaritul astrului. Deci timpul sideral alrasaritului unui astru este
r = H (3.15)
si timpul sideral al apusului unui astru este
a = + H (3.16)
Analizand ecuat ia se observa ca nu ntotdeauna aceasta are solut ie. Pentru ca
cos H = tg
tg(90 ) [ 1, 1]
43
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
45/104
O
A
R
P
Z
P
Z
Q
Q
Ci
Cs
N S
H
180-A
90-phi
90=z
9 0
- d
e l t
a
Figura 3.12: Determinarea rasaritului si apusului unui astru
trebuie ca
| | (900
| |) (3.17)
Deci astrii care ndeplinesc condit ia (3.17) au r asarit si apus restul ind circumpolari adic a
nu apun sau nu r asar niciodat a n locul considerat. In functie de latitudinea observatorului
si declinat ia astrului, astrii se mpart n:
astrii cu r asarit si apus , adica rasar si apun atunci cand trec prin orizontul
adevarat al observatorului si veric a | | (900 | |).
astrii circumpolari care nu taie orizontul adev arat, nu r asar si nu apun ci par a
se roti n jurul polului ceresc ce are acelasi nume cu declinatia astrului, atunci cand
| | > (900 | |) cu conditia ca si sa e de acelasi semn cu . Astrii circumpolari
se mpart n
- astrii circumpolari vizibili Acesti astrii au declinat ia mai mare dec at colat-
itudinea si cu acelasi nume cu latitudinea observatorului. Astrii circumpolari
vizibili au culminat ia superioar a si inferioar a cuprinse n emisfera vizibila.
44
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
46/104
- astrii circumpolari invizibili sunt astrii care se mentin tot timpul n em-
isfera invizibila cu conditia ca si sa e de semn contrar cu . Adica astrii
circumpolari invizibili au declinatia mai mare dec at colatitudinea si de numecontrar cu latitudinea observatorului.
Determinarea azimutului pentru apusul si ras aritul astrului M
In triunghiul P ZA din Figura 3.12 se aplica teorema cosinusului Teorema 2.2.1 pentru
latura P A si se obtine n urma efectuarii calculelor:
cos A = sin cos
= sin
sin(900 ) (3.18)
Rezolvand ecuatia (3.18) se consider a cu azimutul punctului de ras arit a unui astru si
cu + azimutul punctului de apus a unui astru. Analiz and ecuat ia amintita din punctul
de vedere al existent ei cosinusului se vor determina aceleasi conditii din punct de vedere
a existentei rasaritului si apusului | | (900 | |), respectiv a astrilor circumpolari
| | > (900 | |).
Observat ia 3.6.1 Pentru determinarea momentelor de r as arit si apus formulele sunt
aproximative deoarece nu s-a t inut cont de refract ie la orizont. Astfel distant a zenital a
corespunz atoare apusului nu este 900 ci 900 + refract ia; refract ia este de aproximativ 35 .
Observat ia 3.6.2 Pentru astrii cu disc aparent (Soare, Lun a) se va considera inuent a
discului aparent si a paralaxei diurne orizontale. Acest lucru este foarte important pentru
Lun a.
Exemplul 3.6.1 Fie un observator situat n emisfera nordic a la latitudinea = 460 si
e astrii de declinat ii 1 = 350 si 2 = 500 . S a se determine dac a sunt astrii cu r as arit si
apus si n caz armativ s a se determine unghiul orar si azimutul.
Rezolvare Pentru observatiile realizate din emisfera nordica relatia (3.17) se mai scrie si
900 < < 90 (3.19)
Astfel pentru = 460 rezult a ca astrii cu r asarit si apus trebuie sa aiba declinatia
440 < < 440 .
45
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
47/104
Deci doar astrul cu declinat ia 1 = 350 poate folosit pentru observatii astronomice.
Astrul cu declinat ia 2 = 500 > 440 nu apune niciodata si este un astru circumpolar
vizibil n emisfera nordic a. Din (3.14) pentru primul astru rezult a
cos H = tg350 tg460 (3.20)
Rezolvand (3.20) se obtine
H apus = 1360 .4759 = 9h 05m 54s .22 (3.21)
H rasarit = 24h H apus = 14h 54m 05s .78 (3.22)
Pentru determinarea azimutului se va folosi (3.18) si se obt ine
cos A = sin 350
cos460 (3.23)
Din rezolvarea (3.23) se obtine
Aapus = 3250 39 32 .36 (3.24)
Arasarit = 340 20 27 .64 (3.25)
Observat ia 3.6.3 [8] Pentru astrii din emisfera nordic a > 00 limitele momentelor de
r as arit si apus sunt date n Tabelul 3.1
R as arit 12h < H < 18h 00 < A < 900
Apus 6h < H < 12h 2700 < A < 3600
Tabelul 3.1: R asaritul si apusul astrilor n emisfera nordic a
3.7 Culminat ia
Se considera un observator aat la latitudinea care studiaz a un astru de coordonate
ecuatoriale ( , ). Atunci cand cercul orar al unui astru M coincide cu meridianul locului
de observat ie se spune ca astrul este la culminat ie . Culminat ia superioar a C s este
cea care se aa pe semicercul determinat de Zenit si axa lumii n Figura 3.13 , n timp ce
culminat ia inferioara C i este situat a n celalalt semicerc al meridianului locului.
46
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
48/104
O
Ci
CsZ
Z
P
P
zm
delta
Q
Q
SN
z pentru Ciphi
Figura 3.13: Culminat ia unui astru
Exact ca n cazul rasaritului si apusului astrilor trebuie determinat momentul sideral pen-
tru C s si C i pentru un astru caruia i cunoastem coordonatele ecuatoriale ( , ). Folosind
Teorema 3.3.2 si Figura 3.13 rezult a
= + z pentru C s (3.26)
= 1800 ( + z ) pentru C i (3.27)
Observat ia 3.7.1 In cazul culminat iei
Unghiul orar pentru culminat ia superioar a este H = 0 si H = 12h pentru culminat ia
inferioar a.
Azimutul pentru culminat ia superioar a A = 0 0 , iar la culminat ia inferioar a A =
1800
.
Daca se tine cont de Observat ia 3.7.1, atunci
C i = 12h + (3.28)
C s = (3.29)
Exemplul 3.7.1 Pentru un observator situat n emisfera nordic a la latitudinea = 460
s a se determine distant a zenital a pentru culminat iile inferioare si superioare a astrilor de
declinnat ii 1 = 350 si 2 = 500 .
47
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
49/104
Rezolvare Din (3.26) si (3.27) se obtin distantele zenitale pentru cei doi astrii:
(z 1 )C s = 110 (3.30)
(z 1 )C i = 990 (3.31)
(z 2 )C s = 40 (3.32)
(z 2 )C i = 840 (3.33)
3.8 Trecerea astrilor la primul vertical
Se considera un observator aat la latitudinea care studiaz a un astru de coordonateecuatoriale ( , ). Primul vertical se deneste ca ind verticalul punctului cardinal
Est, verticalul punctului Vest ind numit al treilea vertical. In literatura de specialitate
anglo-saxona nu exist a notiunea de al treilea verical ci doar de prim vertical care trece
prin E sau prin V , [11].
Observat ia 3.8.1 (i) Pentru ca un astru s a trec a pe la primul certical trebuie ca
00
< < (3.34)
(ii) C and un astru trece pe la primul vertical n E azimutul este A = 900 , iar la trecerea
prin V azimutul este A = 2700 .
In continuare se vor determina distant ele zenitale ale unui astru care trece pe la primul
vertical n E si V , precum si unghiurile orare corespunzatoare. Figura 3.14 mpreun a cu
formulele lui Gauss (2.14) aplicate n triunghiul sferic MP Z sunt folosite pentru deducerea
formulelor distant ei zenitale si a unghiurilor orare.Din Teorema cosinusului aplicata laturii 90 0 din triunghiul sferic P ZM din Figura
3.14 se obtine
cos z = sin sin
(3.35)
Atat pentru E cat si pentru V se obtine aceeasi distanta zenital a. Pentru determinarea
unghiurilor orare din Teorema cosinusului aplicat a laturii z din triunghiul sferic P ZM
din Figura 3.14 se obtine
cos H = tg ctg (3.36)
48
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
50/104
O
Z
Z
P
P
M
Q
Q
N S
V
E
Me
PZ
M
z=?
90-phi
90-deltaH
180-A
Figura 3.14: Trecerea astrului pe la primul vertical
Observat ia 3.8.2 In cazul n care H (18h , 24h ) astrul trece pe la primul vertical n Est
si dac a H (0h , 6h ) astrul trece pe la primul vertical n Vest
Exemplul 3.8.1 Pentru un observator situat n emisfera nordic a la latitudiea = 460
s a se determine distant a zenital a si unghiurile orare pentru trecerea astrilor pe la primul
meridian atunci c and astrii au declinnat ii 1 = 350 si 2 = 500 .
Rezolvare: Se va folosi conditia (3.34) pentru a se verica daca astii trec sau nu pe la
primul meridian. Astrul cu declinat ia 2 = 500 > 460 = deci nu trece pe la primul
vertical. In continuare se vor determina unghiul orar si distant a zenitala pentru astrul de
declinat ie 1 = 350 . Acesta va avea azimutul de A = 900 la primul vertical n E , iar la
trecerea prin V azimutul este A = 2700 . Din (3.35) rezult a
cos z 1 = sin350
sin460 = 370
07
14
.8 (3.37)Pentru determinarea unghiului orar din (3.36) rezult a
cos H 1 = tg 35 0 ctg 460 =
H V 1 = 470 .45397
= 3 h 09m 48s .9 deci corespunde trecerii la prim vertical la Vest (3.38)
H E 1 = 24h 0m 0s 3h 09m 48s .9
= 20 h 50m 11s deci corespunde trecerii la prim vertical la Est (3.39)
49
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
51/104
3.9 Elongat ia
Se considera un observator aat la latitudinea care studiaz a un astru de coordonateecuatoriale ( , ). Fenomenul de elongatia apare atunci c and unghiul paralactic P MZ
din Figura 3.15 este de 900 . Acest lucru nseamna ca planul verticalului astrului si planul
cercului orar al astrului sunt perpendiculare. Elongat ia poate apare n ambele p art i ale
meridianului locului dar doar pentru astrii ce nu intersecteaz a primul vertical deci condit ia
pentru elongat ie este:
> (3.40)
O
V
Z
Z
P
P
M
Q
N
S
Q
90
P
Zz
90-phi
90-deta
90A
24-H
M
Figura 3.15: Elongat ia astrilor
Pentru un astru aat la elongat ie se vor determina azimutul, distant a zenital a si unghiul
orar. Pentru aceasta se vor folosi formulele lui Gauss (2.14) aplicate n triunghiul P ZM
din Figura 3.15. Astfel din Teorema sinusurilor se obtine:
sin A = cos cos
. (3.41)
Pentru elongatie estic a 00 < A < 900 , iar pentru elongat ie vestic a 2700 < A < 3600 .
50
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
52/104
Pentru determinarea distant ei zenitale se va folosi Teorema cosinusurilor pentru latura
90 si se va obtine
cos z = sinsin . (3.42)
Pentru determinarea unghiului orar se va folosi Teorema cosinusurilor pentru latura z si
relat ia (3.42) de unde va rezulta
cos H = tg ctg . (3.43)
Pentru elongat ia vestic a H E = 24h H V .
Exemplul 3.9.1 Pentru un observator situat n emisfera nordic a la latitudiea = 460
s a se determine care din astrii M 1 de declinat ie 1 = 350 si M 2 de declinat ie 2 = 500
sunt la elongat ie si n caz armativ s a se determine azimutul, distant a zenital a si unghiul
orar corespunz ator.
Rezolvare: Folosind conditia (3.40) rezult a ca doar pentru astrul M 2 poate avea loc
elongatia ( 1 < ). Pentru acest astru M 2 se obtin:
(i) azimutul:
sin A2 = cos500
cos460 =
AE 2 = 670 43
04 .7
AV 2 = 3600 AE 2 = 292
0 16
55 .3
(ii) distant a zenital a:
cos z 2
=
sin460
sin502 =z 2 = 200 06
37 .3
(iii) unghiul orar
cos H 2 = tg 46 0 ctg 500 =
hV 2 = 290 .66733 = 1h 58m 40s .2 =
hE 2 = 24h hV 2 = 22h 01m 19s .8
51
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
53/104
52
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
54/104
Capitolul 4
Timpul
Miscarile principale ale P amantului de rotatie si de revolut ie dau si unitat ile de masur a
pentru m asurarea timpului: ziua si anul. In vechime se presupunea uniformitatea misc arii
diurne aparente; n prezent se admite numai n prim a aproximat ie uniformitatea rotat iei
P amantului. Cauze geozice si deplas ari ale maselor de aer si ap a pe suprafat a P amantului
i modic a putin perioada de rotatie. Pe aceast a baza se va considera unghiul orar al unui
astru ca ind o m arime proport ionala cu timpul, deci poate utilizat pentru m asurarea
timpului. Exista diferite denumiri pentru timp, dup a astrul sau punctul de pe sfera
cereasca a carui miscare diurna o urmarim. Trebuie precizat ca timpul, ca m asur a a
duratei a fenomenelor materiale este unic deci difera numai unitatea sau originea de
masurare a timpului.
4.1 Timpul sideral
Timpul sideral reprezint a unghiul orar al punctului vernal . Unitatea de timp este
ziua sideral a si reprezinta timpul scurs ntre dou a culminat ii superioare consecutive ale
punctului vernal. Submultiplii zilei siderale sunt ora, minutul si secunda sideral a. Timpul
sideral se noteaz a cu si
= H (4.1)
Timpul sideral se poate determina cu ajutorul astrilor a c aror ascensie dreapta se cunoaste
atunci c and acestia trec pe la meridian. Pentru pastrarea timpului sideral se folosesc
53
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
55/104
orologii siderale. Datorit a fenomenului precesiei, ziua sideral a difera cu 0s .8 fata de pe-
rioada de rotat ie a P amantului. Punctul vernal este un punct ctiv de pe bolta cereasca
deci trecerile sale la meridianul superior al locului nu pot observate iar unghiul s au orarH este imposibil de masurat direct. De aceea, din locul considerat se urm areste trecerea
la meridianul superior al locului a unei stele cunoscute M si apoi, ntr-un moment diurn
oarecare, se determin a unghiul orar H al stelei, a carei ascensie dreapt a se cunoaste,
astfel nc at timpul sideral va dat de = M + H M . Masurarea timpului cu ajutorul
zilelor siderale si al fractiunilor de zile siderale este foarte simpl a si comoda n rezolvarea
problemelor de astronomie, dar este incomoda pentru viat a cotidian a a oamenilor, a caror
activitate este legat a de pozitiile aparente diurne si anuale ale Soarelui pe sfera cereasca.
Astfel daca la echinoctiul de prim avara ziua solara va ncepe odata cu culminat ia supe-
rioar a a Soarelui, peste sase luni ziua siderala va ncepe odata cu culminat ia inferioar a a
Soarelui.
4.2 Timpul solar adevarat
Un alt timp legat de viata practica este cel denit prin intermediul miscarii aparente a
Soarelui.
Timpul solar adev arat reprezint a unghiul orar al centrului Soarelui. Ca unitate de
masur a se utilizeaza ziua solar a adev arat a , adica timpul scurs ntre dou a culminat ii su-
perioare consecutive ale centrului Soarelui. Ziua solara adev arat a ncepe n momentul
culminat iei superioare a centrului Soarelui (la miezul zilei). Timpul solar adevarat se
noteaz a cu ta si are loc
ta = H (4.2)
Datorita misc arii sale anuale aparente, n miscarea pe paralelul s au diurn, Soarele r amane
n urma n ecare zi cu aproximativ un grad fata de stele, de unde rezult a o decalare
zilnica de 3m 56s (unit at i de timp sideral) a zilei siderale fat a de ziua solara mijlocie. Deci,
nceputul zilei siderale are loc n momente diferite ale zilei solare, fapt care face timpul
sideral necorespunz ator pentru viata practica. Dar si miscarea Soarelui are un neajuns
pentru determinarea timpului, ntruc at nu este uniform a, din urm atoarele motive:
54
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
56/104
O
Soare
Q
Q
SN
Z
Z
P
P
Vgamma
HSoare
H gamma
Figura 4.1: Timpul solar adevarat
Soarele adevarat, n miscarea sa anual a aparenta, descrie ecliptica n mod neuniform
datorita misc arii neuniforme a P amantului n jurul Soarelui;
Miscarea diurna a Soarelui n jurul axei lumii este neuniforma datorit a nclinatiei
eclipticii fata de ecuatorul ceresc.
Din aceste motive se consider a un Soare ctiv numit Soare mijlociu cu ajutorul c aruia
se va deni un timp care are unitat i egale ntre ele.
4.3 Timpul solar mediu
Se numeste Soare mijlociu sau Soare mediu ecuatoriual un punct ctiv care se
misc a uniform pe ecuatorul ceresc si trece prin punctul vernal odata cu Soarele adevarat.
Timpul mijlociu sau timpul solar mediu reprezint a timpul m asurat prin unghiul orar
al Soarelui mijlociu. Unitatea de timp mediu este ziua solara medie , care reprezinta
intervalul de timp scurs ntre dou a culminat ii inferioare consecutive ale Soarelui mijlociu
la meridianul locului. S-a ales culminat ia inferioar a pentru ca nceputul zilei sa aiba loc
n perioada de ntuneric. Timpul mijlociu se noteaza cu tm si are loc
tm = H m + 12h (4.3)
55
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
57/104
unde H m reprezinta unghiul orar al Soarelui mijlociu. Soarele mijlociu, ind o ctiune,
nu se poate observa, dar pozit ia lui se poate calcula. Unghiul orar al Soarelui mijlociu
difera de unghiul orar al Soarelui adevarat cu o anumit a cantitate numit a ecuatia timpului(ecuat ie se foloseste n sensul de corect ie) de unde rezulta ca
tm ta = H m H + 12h = E + 12h (4.4)
iar ecuat ia timpului E este o cantitate variabila, a carei valoare este data pentru ecare
zi de anuarele astronomice [2], valoarile lui E [ 17 , +17 ].
Ziua solara mijlocie, la fel ca cea siderala, se divide n 24 de ore, ora n 60 de minute si
minutul n 60 de secunde (de timp mijlociu). Ziua are 86400 secunde. Perioada de rotat ie
a Pamantului este mai mica decat o zi solara medie si are 86164 secunde. Cu ale cuvinte
este mai mica tocmai cu 3m 56s .
Anul tropic este intervalul dintre doua treceri consecutive ale Soarelui la punctul vernal
.
Anul tropic are 365, 2422... zile medii, adica 365z 5h 48m 46s .045. Intr-un an tropic punctul
vernal execut a 366.2422 rotatii n jurul axei lumii adica cu o rotatie n plus fata de numarulde rotat ii efectuate de Soarele mijlociu. Rezulta ca
1 an tropic = 366 .2422 zile siderale = 365, 2422 zile solare medii (4.5)
De aici rezult a ca ntre subunit atile de masura ale timpului solar mediu si subunit atile de
masur a ale timpului sideral, denind = 1
365.2422 = 0.00273791 au loc relatiile date n
Tabelul 4.1.
1z.m.= (1+ )z.s.=1z.s. +3 m 56s .555 u.s.
1h.m.= (1+ )h.s.=1h.s. +9 s .856 u.s.
1m.m.=(1+ )m.s.= 1m.s. +0 s .164 u.s.
1s.m.=(1+ )z.s.= 1s.s. +0 s .003 u.s.
Tabelul 4.1: Transformarea unit atilor siderale n unit at i medii
Denind = 1
366.2422 = 0.00273043, transformarile inverse sunt date n Tabelul 4.2.
56
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
58/104
1z.s.=(1- )z.m.= 1z.m. 3m 55s .909 u.m.
1h.s.= (1- )h.m.=1h.m. 9s .83 u.m.
1m.s.=(1- )m.m.= 1m.m. 0s .164 u.m.
1s.s.= (1- )s.m.=1s.m. 0s .003 u.m.
Tabelul 4.2: Transformarea unit atilor medii n unitati siderale
Relat ia dintre si este 1 + = 11
. Se considera ca un eveniment a avut loc la
un moment sideral pentru un punct dat de pe suprafat a terestra. Pentru determinarea
momentului de timp mediu tm pentru acelasi punct si acelasi se considera:
tm 0 corespunzator lui 0 .
Atunci intervalului tm tm 0 i corespunde 0
deoarece o unitate de timp sideral este echivalent a cu 1 unit at i de timp mediu rezulta
tm tm 0 = (1 )( 0 ) (4.6)
Originea timpului mediu se considera miezul noptii medii deci tm 0 = 0 si rezult a
tm = (1 )( 0 ) (4.7)
Anuarele astronomice dau valoarea 0 G pentru Greenwich si atunci pentru un punct ter-
estru de longitudine L se obtine
0 G 0 = 9s .856L (4.8)
Pentru transformarea timpului mediu n timp sideral se foloseste:
0 = (1 + )t 0 G (4.9)
4.4 Timpul universal. Timpul legal. Convent ia
fuselor orare
Timpurile denite anterior sunt timpuri locale deoarece au fost denite prin intermediul
unghiurilor orare. Pentru toate localit atile situate pe acelasi meridian geograc timpurile
57
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
59/104
locale de acelasi fel sunt egale, ns a pentru orice dou a localitati situate pe meridiane
diferite acestea difer a.
Se pune problema schimb arii timpurilor locale de acelasi fel odata cu schimbarea longi-tudinii geograce. Fie doua localitati Asi B de longitudini geograce LA si LB fata de
meridianul de la Greenwich. Unghiurile orare ale unui astru M observat din A si B se
noreaza cu H A si H B . Din Figura 4.2 rezulta:
H A H B = LA LB . (4.10)
O
A B
LA-LB
HA-HB
P
p
Figura 4.2: Legatura dintre timpul local si longitudine
Deoarece timpul sideral, timpul solar adevarat si timpul solar mediu sunt date de relat iile
(4.1), (4.2), respectiv (4.3) prin aplicarea relatiei (4.10) rezult a
A B = LA LB ,
tA tB = LA LB ,
tmA tmB = LA LB .
(4.11)
Din (4.11) rezult a ca toate timpurile de mai jos depind de longitudine. pentru eliminarea
acestor dicult ati se debnest timpul universal.
58
-
8/12/2019 Astronomie Geodezica Matei Florica
60/104
Se numeste timp universal notat T U sau GMT Greenwich Mean Time timpul solar