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Augustin Louis Cauchy
(1789 bis 1857)
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Gliederung
• 1. Biographie
• 2. Seine Werke
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Biographie
• Am 21. August 1789 in Paris geboren• Vater: Louis - Francois Cauchy, Jurist und
hoher Beamter in der vorrevolutionären Bürokratie
• Cauchy verbringt seine Jugendjahre während der Revolutionszeit in Arcueil
• Wird vom Vater erzogen, der klassische Sprachen und Literatur studiert hatte
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Biographie
• Nach Ende der Terrorherrschaft kehrt die Familie nach Paris zurück
• Sein Vater macht wieder Karriere, was auch zu engen Freundschaften mit Pierre Simon Laplace (damaliger Innenminister) und Joseph-Louis Lagrange (Senator) führt
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• Früh erkennt Laplace Cauchys mathematische Begabung („Eines Tages wird dieser Junge uns simple Geometer alle übertreffen.“)
• Cauchy soll sich zunächst eine gute Allgemeinbildung verschaffen, um fähig zu sein, seine eigene Sprache zu schreiben
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Biographie
• 1805: Eintritt in die Ecole Polytechnique - Absolviert als einer der
besten Schüler die grundlegenden Disziplinen Mathematik und Mechanik
• 1807: Eintritt in die Ecole des Ponts et Chaussées (staatliche Ingenieurschule)
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Biographie
• 1809: – Ende der Ingenieurausbildung– Aufnahme praktischer Tätigkeiten in
Nordfrankreich, unter anderem 1810 im Hafen von Cherbourg
– Studiert systematische Mathematik und gelangt auch zu den ersten Entdeckungen
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Biographie
• 1811: Erste mathematische Publikationen– Befasst sich auf Anregung von Lagrange mit
der Polyeder
– Schafft sich durch seine Arbeiten einen Namen in der akademischen Pariser Gesellschaft
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Biographie
• 1813: Rückkehr nach Paris
• 1813/ 1814: Strebt nach einer offiziellen wissenschaftlichen Funktion entweder an der Akademie oder an einer Hochschule
- Bestrebungen zunächst erfolglos
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Biographie
• 1815: Professor an der Ecole Polytechnique– Schreibt seine Vorstellung von der Lehre in
einigen Büchern nieder– Geht als Lehrer mit großem Eifer zur Sache– Legt sehr viel Wert auf die Genauigkeit der
Definitionen– Führt neuen Stoff ein
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Biographie
• 1816: Heirat mit Aloise de Bure, Tochter eines angesehenen Buchhändlers und Verlegers– Aus der Ehe gehen zwei Töchter hervor
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Biographie
• In den folgenden Jahren beschäftigt sich Cauchy systematisch mit mathematischen Problemen
• Zeitraum der erfolgreichsten wissenschaftlichen Ergebnisse
• Zeitraum dauerte bis Julirevolution 1830
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Biographie
• 1830: Nach der Julirevolution und dem Sturz des letzten Bourbonenkönigs Karl X. verweigert Cauchy den Untertaneneid auf den „Bürgerkönig“ Louis-Philippe
• Cauchy emigriert, zunächst in die Schweiz, später tritt er eine Professur in Turin an
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Biographie
• 1833 bis 1838: Aufenthalt in Prag am Exilhof– Verbringt fünf Jahre in der Funktion des
Erziehers• 1838: Rückkehr nach Paris
– Weil er es ablehnt einen Treueid zu leisten, erhält er kein Lehramt an Hochschulen
– Lebt als Privatmann
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Biographie
• 1848: Die Revolution schafft den Amtseid ab, Cauchy tritt eine Professur an der Sorbonne an
• Mai 1857 erkrankt Cauchy• 23. Mai 1857 stirbt er in Sceaux bei Paris
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Seine Werke
• Cauchy war einer der produktivsten Mathematiker:– Cauchy erstrebte ein weites Gebiet der ganzen
Mathematik, wie nur sehr wenige Mathematiker des 19. Jahrhunderts
– Er publizierte sieben Bücher und mehr als 800 wissenschaftliche Abhandlungen
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Seine Werke
• Inspirationen für seine Forschung holte sich Cauchy aus 2 Quellen:– Mathematik
– Physik
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Seine Werke
• Aus seinen Vorlesungen an der Ecole Polytechnique entstanden bedeutsame Werke:
• „Cours d´analyse de l´Ecole Polytechnique“ (Lehrgang der Analysis an der polytechnischen Schule) (1821)
• „Lecons sur le calcul infinitésimal“ (Vorlesungen über den Infinitesimalkalkül) (1823)
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Die wichtigsten Richtungen der mathematischen Arbeiten
Cauchys
• Folgen und Reihen• Differential- und Integralrechnung• Funktionentheorie und
Differentialgleichungen• Algebra
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Folgen und Reihen
• Cauchy definiert den Begriff der Folge und der Konvergenz
• Bringt Ordnung in die Reihentheorie– liefert für die Konvergenz auch die
erforderlichen Kriterien
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Kriterien für die Konvergenz von Reihen
• Verdichtungskriterium
• Quotienten-Kriterium
• Wurzelkriterium
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Verdichtungskriterium
• Ist (xk) eine monoton fallende Nullfolge, so sind die beiden Reihen
∞ ∞
Σ xk und Σ 2^k*xk
k=1 k=1
entweder beide konvergent oder beide divergent
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Quotienten-Kriterium
(an)n sei eine komplexe Folge. Es gebe ein 0<α<1 und ein N€ , so dass giltℕ
|(a(n+1): (an)| ≤ α für alle n≥N. Dann ist die Reihe absolut konvergent
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Wurzelkriterium
(an)n sei eine komplexe Folge. Es existiere ein 0<α<1 und ein N€ mit ℕ
ⁿ√|an|≤αfür alle n≥N. Dann ist die Reihe absolut konvergent
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Differential- und Integralrechnung
• Cauchy formuliert den Begriff des Limes, mit denselben Worten, die auch noch heute verwendet werden
• Der Grenzwertsatz besagt, dass das arithmetische Mittel der Elemente einer konvergenten Folge gegen den Grenzwert dieser Folge strebt
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Differential- und Integralrechnung
• Als erster beweist Cauchy streng die Kovergenz der schon von Euler untersuchten Folge
(1+1/n )ⁿ
(Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl e)
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Differential- und Integralrechnung
• Cauchy definiert den Begriff des Integrals:Das Integral
∫ f(x)dx ist die Menge aller Stammfunktionen.
Integral von f(x) = ∫ f(x)dx = F(x)+c
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Funktionentheorie und Differentialgleichungen
• Detaillierte Ausarbeitung der Theorie der Differentialgleichungen– schafft Ordnung und Genauigkeit in dieses
System, dies vor allem durch seine Beweise für die Existenz der Lösung
• Beschäftigt sich mit der Theorie der Funktionen der komplexen Veränderlichen
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Sonstige Leistungen
• Viele weitere Sätze und Begriffe der Mathematik sind nach Cauchy benannt:– Cauchysche Grenzwertsätze– Cauchyscher Integralsatz– Cauchy-Produkt von Reihen– Cauchy-Determinante– und andere
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Sonstige Leistungen
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
|a*b| ≤ |a| * |b|
(Sie gibt an, dass der Absolutwert des Skalarproduktes zweier Vektoren nie größer als das Produkt der jeweiligen Vektornorm ist. Dient z.B. der Vektorrechnung
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Sonstige Leistungen
• Viele Beiträge zur Physik
• Cauchy beschäftigt sich insbesondere mit– der Forschung der Elastizitätstheorie und
– der Forschung der Wellentheorie
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Zusammenfassung
• Cauchys mathematisches Werk trug wesentlich zur Entstehung der modernen Mathematik bei und bleibt für immer bestehen als sein eigentliches Vermächtnis.
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Literaturverzeichnis• Belhoste, Bruno: Augustin-Louis Cauchy, A
Biography, Springer-Verlag, 1991• Gottwald, Siegfried, Lexikon bedeutender
Mathematiker, 1. Auflage, 1990• Meschkowski, Herbert, Mathematik-Lexikon,
1980• Cauchy, A.L: Abhandlungen über bestimmte
Integrale zwischen imaginären Grenzen, Dtsch, ed. P. Stäckel, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaft, Nr. 112, Leipzig, 1900