Download - Aula Cálculo III - Estácio
-
Prof: Jorge Bitencourt
email: [email protected]
Plano de Ensino:
1 - Objetivo
- equaes diferenciais de primeira e segunda ordem;
- Solues de equaes diferenciais de primeira e segunda ordem;
- Transformada de Laplace
- Transformada inversa de Laplace
- Sries de Fourrier
2 - Ementa
3 - Metodologia
AV1: Teste + AE (Ativ Estruturada)
AV2: Prova Unificada
AV3: Prova Unificada
4 - Avaliao:
- material didtico
- Zill & Cullen - equaes diferenciais
- Boyce e Diprima - Equaes diferenciais elementares e problemas de valores de contorno
- Bronson - Moderna introduo s equaes diferenciais
- Spigel - Transformada de Laplace
5 - Referncias bibliogrficas:
2T
2C - atividades estruturadas
+ lista de exerccios
CCE0116 - Calc IIIquarta-feira, 31 de julho de 2013
20:34
Pgina 1 de Calc III
-
O que vem a ser uma equao diferencial?
MRU:
tdtdx
xx
vtxxvtSS
+=
+=+=
0
00
fxkam =+ ..
=
dtdx
dtd
dtdv
)()()(2
tftkxdt
txdm =+
fkxdt
xdm =+2
2
xeydxdy
dxyd
=++ 3222
EDO
EDO
EDO
x - varivel dependente
t - varivel independente
Massa - Mola
K
Mf
X
f = fm + fk
x - varivel dependente
f - varivel independente
Tipo
Linearidade
Ordem
EDO - equaes diferenciais ordinrias (uma nica varivel independente)
EDP - Equaes diferenciais parciais (duas ou mais variveis independentes)
Exemplos:
x
v
yu
xtv
x
u
xdxdv
dxdu
ydxdy
=
=
=
= 15 EDO
EDO
EDP
1)
2)
3)
4)0
53
45
04
2
4
4
42
373
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=+
+
=++
=
fu
x
ua
xydxdyy
dxyd
eydxdy
dxyd
x
yx
y
x
5)
6)
7)
8)
EDP
EDPEDP
EDO
EDO
Equaes Diferenciaisquarta-feira, 31 de julho de 2013
21:20
Pgina 2 de Calc III
-
Equaes Diferenciais (EDO)
Uma ED classificada como LINEAR quando pode ser escrita na forma:
)()()(...)()( 111
1 xfyxadxdy
xadx
ydxa
dxyd
xa nn
n
nn
n
n =++++
As EDL's so caracterizadas por:
1- A varivel dependente e suas derivadas estarem elevadas a grau um.
2- Os coeficientes dependem apenas da varivel independente.
Exemplos: OBS:
4)4(
)()(
3
3
....
2
2
..
)(
)(
)(
)(
yy
ytydt
yd
ytydt
yd
ytydt
yd
ytydtdy
nn
n
n
==
==
==
==
varivel dependente
varivel independente
xyyy =+...
2)1
a2(y) = y (BAD) / a1(x) = 2 / a0(x) = 0 / f(x) = x No linear
xyyxyx cos54)1)(2...
=+
a2(x) = (1 - x) / a1(x) = -4x / a0(x) = 5 / f(x) = cos(x) EDL - 2a ordem
0)(2)3 4.
=+
yyyx
3a ordem No linear
034)4...
2)4(
3=+ yyxyxyx
a4(x) = x3 / a3(x) = 0 / a2(x) = -x2 / a1(x) = 4x / a0(x) = -3 / f(x) = 0 EDL - 4a ordem
0)5 2..
2
..
=+= kRRRkR
2a ordem No linear
a1(x) = x2 / a0(x) = (1 - x) / f(x) = xex EDL - 1a ordem
xx
x
xeyxdxdy
xxexyydxdy
x
dxdxxexyydyx
=+=+
=+
)1(0)()(0)()6
22
2
Linearidadequarta-feira, 7 de agosto de 2013
21:00
Pgina 3 de Calc III
-
Objetivo: Encontrar solues (funes) que satisfaam as EDO's dadas:
OBS: A funo f tem que ser definida no intervalo I.
contnua, sem ponto de singularidade..SP
Exemplo:
16
4xy = 21
xydxdy
= soluo de ?
x
y
RxI );,( +
x
y
+
== ),0(
)0,(1x
xI
xy
4444164
4164
1633232
143
21
.
33.
4
xxxx
xxx
xxyy
xxyxy
=
=
==
===
soluo!
xxey = soluo de 02
...
=+ yyy ?
00022220)2(2)2(2
..
.
==+=+++
+=++=
+=
xxxxxxxxx
xxxxx
xx
xeexeexexeexee
xeexeeey
xeey
soluo!
y(x0)
y(x0)
y(x0).
PVI
y(x0)
y(x0)
PVC
..y(x0) x0 x1y(x1)
Nmero de Solues:
Uma dada ED, geralmente, possui um nmero infinito de solues. neste caso dizemos que uma soluo, ou
seja, uma funo que satisfaz a ED um membro da famlia de solues. Exemplo:
1+=x
Cy uma soluo da EDL 1.
=+ yyx ?
111111)(1
1112
2.
1
==++=++
=+=
CxCxCxCxxCxyCxy
),0(: xIx
y
1
C = -1 (C < 0)
C = 0
C > 0
Objetivosegunda-feira, 5 de agosto de 2013
21:00
Pgina 4 de Calc III
-
Uma soluo y = f(x)para uma EDO dita ser uma soluo explcita. Dizemos que uma relao G(x,y) = 0
uma soluo implcita de uma EDO, em um intervalo I, se ela define uma ou mais solues explcitas em I.
-
x
y
+k-k
222 Ryx =+
kykIkxkI
y
x
-
Representa-se a estrutura, comportamento e/ou desempenho de sistemas atravs de modelos
matemticos. No domnio do tempo comum representar a dinmica de um sistema atravs de uma
equao diferencial ou um sistema de equaes diferenciais. Exemplos:
S0S
V0
gdt
tsd=2
2 )(
Corpo em queda livre:
x = 0
K K K
MM
x(t) < 0 x(t) > 0
Sistema massa-mola:
0
)()(22
=+
=
=
Kxxm
tKxdt
txdm
Kxma
&&
Lei de resfriamento de Newton
T0T
)( 0TTkdtdT
=
OBS: resistncia do ar
desprezvel
0mgSEp =
2
21
mvEc =
00 kTT
00 >< kTT
Problema de valor inicial (PVI):
Resolver uma ED de 1a ordem, = f(x,y), sujeita a condio inicial y(x0) = y0, em que x0 um valor no
intervalo I um PVI.
x
y
y0
x0
(x0,y0)
Exemplo:
y = Cex uma famlia de solues de = y, sendo o intervalo I(-,)
x
y
x0
(0,1)
(0,-2)
C > 0
C < 0
C = 0 y = 0
C = 1 y = ex
C = -2 y = -2ex
xx CeyCey == &
=
ee
1xx CeCe =
y(2) = 1
y(-2) = -3
y(0) = 0
22
2 11 ==== ee
CCeCey x ( ) 22 == xx eeey2
22 333 e
eCCeCey x ====
( ) 22 33 +== xx eeey00 0 === CCeCey x
Obtendo a funo:
Modelos Matemticosquarta-feira, 14 de agosto de 2013
19:00
Pgina 6 de Calc III
-
Existncia e unicidade da soluo que passa por (x0,y0). Seja R uma regio no plano xy, definida por
a x b, c y d, que contm em seu interior o ponto (x0,y0), Se f(x) e so contnuas em R, ento
existe uma nica y = f(x) soluo do PVI. x
f
x
y
y0
x0 b
d
c
a
(x0,y0)
regio R
Representao de uma ED:
Forma normal: = H(x,y). Exemplos:
03)(3)()(3)3
22
2242)2
)1
24324343
2
=+=++
=
+==+=+
+=
yxyyxyxyyxyxyxy
eyyeyyeyy
senxyyxx
x
&&&
&&&
&
a1(x,y) a1(x)
EDL 1a ordem
Forma diferencial: ),(
),(),(yxN
yxMyxHy
==&
0),(),(
),(),(),(),(
=+
=
=
dyyxNdxyxM
dyyxNdxyxMyxN
yxMdxdy
yNxM
exemplos:
0)()( =+=++= dydxsenxydydxsenxysenxydxdy M(x,y) N(x,y)
02
202)4(2)4(2
442 =
+=+=+
+==+ dydxeydydxeydydxeyey
dxdy
eydxdy xxxxx
0)()3()()3()(3 432432
43
2
=++=+
= dyyxdxyxdyyxdxyxyxyx
dxdy
ADROGr
Forma padro: EDL 1a ordem
)()()( 01 xgyxadxdy
xa =+
)()(1
)()(
11
0 xgxa
yxa
xa
dxdy
=+
)(1 xa
)()( xfyxPdxdy
=+
=
=
)()(1)(
)()()(
1
1
0
xgxa
xfxa
xaxP
Exemplo:
2242
xx ey
dxdy
eydxdy
=+=+
=
=
2)(
2)(x
exf
xP
Teorema de Picardquarta-feira, 14 de agosto de 2013
20:00
Pgina 7 de Calc III
-
Professor: Marival
Apresentao: Professor Marival1.
Plano de Ensino2.
Avaliaes3.
Boyce, William E, Diprima, Richard C. - Equaes diferenciais elementares e problemas de
contorno, Ed. LTC 2006
a.
Edwards C. H, Penney, David E. - Equaes diferenciais Elementares - Pearson 2006.b.
Material Didticoc.
Bibliografia4.
Conduo das Aulas5.
Introduo s equaes diferenciais:
1) Definio: Tratam-se de equaes envolvendo uma funo incgnita e suas derivadas, alm de variveis
independentes.
Exemplos:
022
=+ senlg
dtd Na equao, a incgnita a funo (t). Assim, a varivel
dependente e t a varivel independente.
Nesta equao a incgnita a funo u(x,y). Assim, u a varivel
dependente e x y as variveis independentes.022
2
2
=
+
yu
x
u
2) Motivao para estudo: As equaes diferenciais esto presentes na formulao dos modelos
representativos de fenmenos fsicos, por exemplo.
3) O que se deseja com as equaes diferenciais: Encontrar uma funo incgnita que satisfaa a
equao diferencial.
4) Exemplos de equaes diferenciais em fenmenos fsicos.
sengm ..
gmP .=
sengm .. 022
=+ sengdtd
l
Pndulo Simples
Potencial em uma regio plana:
022
2
2
=
+
yu
x
uO potencial eltrico em cada regio do plano satisfaz a equao diferencial.
Lembrando que u a varivel dependente de x e y, que so as variveis independentes.
Mudana de Professorquarta-feira, 28 de agosto de 2013
08:51
Pgina 8 de Calc III
-
3) Circuito RC (resistor - capacitor)
V(t)
resistor
capacitor
)(1 tvQCdt
dQR =+ A incgnita a funo Q(t). Assim Q(t) a varivel dependente e t a varivel independente.
4) Classificao
4.1 - Quanto ao tipo de equao diferencial, ela pode ser ordinria ou parcial. Ela ordinria se as
funes incgnitas forem somente uma varivel. Caso contrrio, ela parcial.
4.2 - Quanto a ordem, ela pode ser de 1a, 2a, ... ou de ensima ordem, dependendo da derivada de
maior ordem.
4.3 - Quanto a linearidade: Uma equao diferencial pode ser linear ou no linear. Ela linear se as
incgnitas e suas derivadas aparecem de forma linear na equao, isto , as incgnitas e suas derivadas
aparecem em uma soma em que cada parcela um produto de alguma derivada com uma funo que
no depende das incgnitas.
)()()()()( 22
210 tfdtyd
tadt
ydta
dtdy
taytan
n
n =++++ K
Exemplos de equaes diferenciaisquarta-feira, 28 de agosto de 2013
09:25
Pgina 9 de Calc III
-
1.1 - Representaes: Simbolicamente pode ser escrita como:
( ) 0,,'',',, )( =nyyyyxF K ou 0,,,,, 22 =
n
n
dxyd
dxyd
dxdyyxF K
Se a funo incgnita depende apenas de uma varivel, temos uma equao diferencial ordinria. Se
depender de mais de uma varivel, tem-se uma equao diferencial parcial.
1.2 - Exemplos:
1.2.1) Ordinria:
0324
2
2
3
32
=+
+
dxdy
dxydy
dxyd
x
1.2.2) Parcial:
,022
2
2
=
+
t
u
x
uonde u = (x,t)
1.3 - Classificao
1.3.1) A ordem de uma equao diferencial o nmero que corresponde ordem mxima das derivadas da
equao.
1.3.2) O grau de uma equao diferencial a maior potncia da derivada de maior ordem.
07)3
2
2
=
+
dxdy
dxdy
dxyd
a Eq. diferencial de 2a ordem, 1o grau
03)2
=+
ydxdy
dxdyb Eq. diferencial de 1a ordem, 2o grau
2) Verificao da soluo de uma equao diferencial:
Uma soluo de uma equao diferencial uma funo y = f(x) a qual, justamente com as derivadas, satisfaz a
equao diferencial dada.
Exemplo: Verificar se y = 4e-x+5 uma soluo da equao diferencial de segunda ordem e 1o grau.
xx edx
yde
dxdy
dxdy
dxyd
===+ 4e4;0 22
2
2
substituindo ==+ 00;0)4(4 xx ee soluo
Geometricamente, a soluo geral de uma equao diferencial de 1a ordem representa uma famlia de
curvas conhecidas como curvas-soluo, uma para cada valor constante arbitrria. Uma soluo particular
pode ser obtida se forem dadas certas condies iniciais. Uma condio inicial uma condio que especifica
o valor de y, y0 correspondente a x,x0. Essa soluo conhecida como problema de valor inicial (PVI).
x
z
y
z = f(x,y)
(x,y)
Equaes Diferenciaisquarta-feira, 4 de setembro de 2013
21:00
Pgina 10 de Calc III
-
02 322
32
3
=+ dyyxyxdx
yxxy
3) Mtodo de Separao de variveis para resolver equaes diferenciais de 1a ordem.
Uma equao diferencial de 1a ordem uma relao envolvendo a primeira derivada. Ento pode ser
escrita da forma:
0),(),( =+dxdyyxNyxM ou multiplicando por dx : 0),(),( =+ dyyxNdxyxM
onde M(x,y) e N(x,y) so funes envolvendo as variveis x e y.
3.1) Separao de variveis:
cdyyNdxxMbdyyNdxxMdyyNdxxMa
+=
==+
)()())()(ou0)()()
3.2) Exemplo: Reescreva a equao diferencial de 1o grau x2yy' - 2xy3 = 0 na forma da letra a do item 3.1:
dxxydxdxdyyx
xydxdyyxxyyyx
32
3232
2
0202'
== (multiplicando por dx )
multiplicando cada
membro por
Ento e
321yx 012 2 =+ dyyx
dx
xxM 2)( = 2
1)(y
yN =
3.3) Exemplo: Determinar a soluo geral da equao diferencial1
' 2 +=
x
yy
111 222 +=
+=
+=
x
dxy
dydxx
ydyx
ydxdy
multiplicou por dx multiplicou por 1/y
cxarctgyx
dxy
dy+=
+= ln12
cxarctgcxarctgccxarctg eeeekeky +=== ++ :,.xeyx
y
e
=
=log
3.1) Resolver a equao diferencial (1a lista de exerccios):
02 = dxyxdy 21xy
00 222
2 == x
dxydy
xydxy
xyxdy
cxy
cxyx
dxdyy ==+= ln10ln102 cyxycyxy
yx
=++= ln1ln
yyyy 1
1121
112
==
=
+
+
(-y)y
Equaes Diferenciaisquarta-feira, 4 de setembro de 2013
11:58
Pgina 11 de Calc III
-
1) Resolva a equao diferencial homognea
x
yvxdvvdxdyxvy
x
yxy =+==+= ;;.;2
'
0)(2))((02)(2)(2
=++=+=++
= xdvvdxxdxvxxxdydxyxxdydxyxx
yxdxdy
)(02)1(02022 2222 xdvxdxvxdvxvxdxxdxdvxvxdxvxdxxdx ===+
)1(02)1(2)1( 22
2 vdvxdxv
x
dvxx
dxvx=
0)1(20)1(
2)1(
)1(=
=
vdv
x
dxv
dvvx
dxvc
x
yxcvx == 1ln2ln|1|ln2ln
2
22
22
)(ln)(lnlnlnlnln2ln
x
yxx
cx
yxxc
x
yxxc
x
yxx
=
=
=
2222
3
2
2
2
2 )(1ln)(ln)(ln)(.ln)(ln yxxyxx
x
yxx
yxx
x
x
yxx
=
=
=
resultado duvidoso
xyxcxyxx
ecyxx
cyxx
c
e
2222 )()(
1)(
1log)(1ln =
==
=
Equaes diferenciais exatas:
1) Definio: Uma equao diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy uma diferencial exata em uma regio do plano xy se
ela corresponde diferencial total de alguma funo f(x,y). Uma equao diferencial da forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 chamada de uma equao exata se existir uma funo f(x,y) com derivadas parciais
contnuas tais que fx(x,y) = M(x,y) e fy(x,y) = N(x,y).
2) Critrio para uma diferencial exata:
Sejam M(x,y) e N(x,y) funes contnuas com derivadas parciais contnuas em uma regio R definida a < x < b,
c < y < d. Ento a condio necessria e suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy seja exata :
x
Ny
M
=
pg 15, mat did2
2a Lista de Exercciosquarta-feira, 18 de setembro de 2013
21:00
Pgina 12 de Calc III
-
cont.
Dada a equao M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
1) Mostrar que
x
Ny
M
=
2) Suponha que +==
)(),(),(),( ygdxyxMyxfyxMx
f
3)
4)
),()('),(),( yxNygdxyxMyy
fyxNyf
=+
=
=
= dxyxMy
yxNyg ),(),()('
3) Exemplo: 3 lista, 1 exerccio:
=
=
=+ 3;3;0)32()32(x
Ny
Mdyxydxyx EXATA
cxhxyyyxfxhdyxyyxfxyyf
++=+==
)(322),()()32(),(32
2
yxcxhyxyxx
f 32))(3( 2 =++
=
cxxhyxcxhy +==++ 2)('32)('3
cyyxxyxfxxh ++== 222 3),(;)(
),( yxMx
f=
),( yxN
yf
=
Equaes diferenciais exatasquarta-feira, 18 de setembro de 2013
21:30
Pgina 13 de Calc III
-
a) xydxdy
xdx
ydx ln22
22
=+2
1)(x
xy =
32)('x
xy =
46)("x
xy =
2222342234
2 26).2().6(126 xxxxxxxxxx
xx
x
xxx
ln29126 22
=
b)
No soluo.
tetydtdy
dtyd 322
2
.96 =+ tetty 34
.212
)(
+= 3
.64
)('33
34 t
t ete
tty +
+=
tttetete
tty 33323
4
2.184
3)(" ++
+=
++
+
+
++
+ t
ttttt e
tete
tetete
t 3433
34
333234
.212
93
.64
62.184
3
++
++
+++ ttttttttt ee
te
tee
tetetee
t 334
33
334
3332334
212
93
64
62184
3
ttt et
ett
ettt 3
43
34332
4
18129
3636
46218
43
++
++
+++
tt et
ttttt
ettt
ttt 3
332
4443
43432
4
362
43
46
4318
129
3636
46218
43
+++=
+++++
soluo[ ] [ ] tt etettt 323332 22 =+
Atividade Estruturada 01
Pgina 14 de Calc III
-
a) 0)( 22 =+ dyxdxyxyx
yvxdvvdxdyxvy =+== //.
0)())().(( 22 =++ xdvvdxxdxvxxvx
0)(0)().( 2232222 =+=+ xdvvdxdxvvdxxdvxdxvxdxxvdxxv
cv
xv
dvx
dxv
dvx
dxxdvdxvxdvdxv =+====
1)ln(0 2222
cyx
x =+)ln(
b)
x
xyydxdy )1ln(ln +
= x
yvxdvvdxdyxvy =+== //.
0)1ln(ln)1ln(ln =++= xdydxxyydxxyyxdy)()ln(.)ln(.0)()1ln)(ln( 2 vxdxdvxvxdxvxdxdxxvxdxvxvxxdvvdxxdxxvxvx +=++
vv
dvx
dxvdxxdv
vvdxxdv
x
vx
vdxxdv
xvxvxdx
dvxxvx
lnln0ln0)ln()ln(0)ln()ln(
2
===
==
c
x
yx
cvxvv
dvx
dx=
==
lnln)ln(lnln
ln
Atividade Estruturada 04
Pgina 15 de Calc III
-
a) 0)146()524( =+++ dyxydxxy 1)0( =y
verificao: EXATA
cxgyxyyxgdyxyyxfxyyf
+++=++=+=
)(426)(146),()146(
2
cxgyxyyyxf +++= )(43),( 2
cxxdxxxgcyxyxg +==++= 552)(4524)(' 2
413)0(5)0()1()1)(0(4)1(3)1,0(543),( 2222
=+=
=++=+++=
c
cfcxxyxyyyxf
b) 0)1(2 2 =+ dyxxydx 1)2( =yverificao: EXATA
cxgyyxxgdyxyxfxyf
+++==
)(')(1),()1( 222
cxgxgxycxgxyxyx
cxgyyxx
f===++=
++=
)(,0)('2)('22))('(2
3)1()1()2()1,2(),( 22 ==+= cfcyyxyxf
M N
M N
=
=
x
yN
xy
M 22
=
=
44yN
yM
524)('4524))(43(2
+=++++++
=
xycxgyxyx
cxgyxyyx
f
Atividade Estruturada 05
Pgina 16 de Calc III
-
a)
cvvxxxvxvxxv
xvxxvdxvxvdvdxvxvdv
v
v
dxdv
x
+====
===
=
112211)(211823
42
3)41(3)41(3341
2222
22
22
2
b)
1)1ln(1)3cos(1ln)01(3)0(
|sec|ln)1()1()1(3)0(
)1(
2
222
2
=+=
+==
++=+=+=
=
+=
cy
cxyytgxdxydytgxdxydyy
tgxydxdy
Atividade Estruturada 03quarta-feira, 2 de outubro de 2013
17:07
Pgina 17 de Calc III
-
2a lista de exerccio - Errata das respostas:
xcyouxkycyxoukyx
cyxxyxcx
33)322)2
)(1)()1 22
==
=+=+
==
3a lista de exerccios:
{
),();,(
3)(
)(3
)()(),(
!2;2
311)3(;02)()8
23
22
23
2222
22
yxNyfyxM
x
f
cxyxdxyx
cygxyxygdxyxyxfyxx
f
ExataEquaoyx
Nyy
M
xeyydyxydxyxNM
=
=
++=+
+++++=+=
=
=
====++
43421
Portanto:
123
),(
12)1).(3(3)3(31/;
3),(
)(0)('2)('22)(
3
23
23
23
23
++=
==+==++=
===+=
+++
=
xyxyxf
ccxeypcxyxyxf
cygygxyygyxxyy
cygxyx
yf
2a lista de exerccio
2) ;)(2' yxyy+
=
x
yvvdyydvdxvyx =+== ;;.
)2(;0)2(02)1(;02022
0).(2)(0)(2)(2)(2
22
22
vdvydyvydvyyvdyydyydyyvdydvyydyyvdyvydydvy
dyyvyvdyydvydyyxydxdyyxydxyx
ydxdy
+=+=+
==+
=++=++=+
=
0)2()(;0)2(0)2()2()2(
2
2
22
22
=
+=
+=
+
+
+
vydvy
yydyy
v
dvyydyv
dvyv
dyvy
cy
yxycy
yxycvy
v
dvy
dy=
+=+=+=
+
2lnln12lnln|2|lnln0)2(
222
)2(22
ln.2
ln2
ln yyxcyx
yec
yxyycy
yxyyc
yyx
y c=+
+==
+=
+=
+
Errata lista de exercciosquarta-feira, 25 de setembro de 2013
20:30
Pgina 18 de Calc III
-
1a lista de exerccios:
3.6) dxxydyxx
xydxdy )()3(;
32
2 =++=
0)3(0)3(03)(0
3)(
3)3(
22222
2
=
+=
+=
+=
+
+
+ x
xdxy
dyxyxydx
ydy
x
dxxydyx
dxxyx
dyx
)3( 2 +x )( y
21
2
21
221
2
2 )3()3()3(
ln3ln21ln +=
+
==
+
=+ xcyx
yec
x
ycxy c
a b c ou k
=
baba lnlnln
Exercciosquarta-feira, 25 de setembro de 2013
21:00
Pgina 19 de Calc III
-
Equao diferencial de 2a ordem com coeficientes constantes:
1) Definio:
a) Equao Diferencial Homognea so equaes da forma: ay" + by' + cy = 0
b) Equao diferencial no homognea so equaes da forma : ay" + by' + cy = f(x), onde a, b e c so
constantes reais.
2) Exemplos:
a) Homognea: 2y" + 3y' - 5y = 0
b) No homognea: xy''' - 2xy" + 5y' + 6y = ex
OBS: A busca da soluo geral da equao diferencial ordinria (EDO) de 2a ordem envolve a determinao
da soluo geral homognea (H) e uma soluo particular da no homognea (NH).
3) Soluo geral da EDO Homognea:
(*) y" - y' = 0; a = 1, b = 0 e c = -1
y" = y y1(x) = ex e y2(x) = e-x
As equaes 2ex e 5e-x tambm satisfazem a equao (*) por meio dos clculos das derivadas assim,
c1y1(x) = C1ex e c2y2(x) = C2ex tambm satisfazem a equao diferencial (*) para todos os valores das
constantes C1 e C2. Ento podemos escrever a soluo geral:
xx eCeCxyCxyCy 212211 )()( +=+= (**)
y' = C1ex - C2e-x e y" = C1ex + C2e-x que (*); esta equao constitui uma famlia de solues.
3.1) Condies Iniciais:
C1 + C2 = 2; Derivando (**)
y' = C1ex - C2e-x ; substituindo: x = 0 e y = 1
y(0) = 2 e y'(0) = -1, fazendo x = 0 e y = 2
xx eey
CeCCC
+=
===
23
21
23
21;1 2121
(ar2 + bx + c) = 0, ento ar2 + bx + c = 0, que chamada equao caracterstica.
4) Retornando a equao mais geral (H): ay" + by' + cy = 0, que tem coeficientes constantes reais, vamos
supor que y = erx onde"r" um parmetro a ser determinado. Ento y' = r.erx e y" = r2.erx. Levando as
expresses de y, y' e y" para a equao (***) temos:
5) Soluo geral de uma equao linear homognea com base na equao caracterstica:
a) Razes reais e distintas se r1 r2,ento a soluo : xrxr eCeCy 21 21 +=
b) Razes reais iguais: se r1 = r2, ento: rxrxrx exCCxeCeCy )( 2121 +=+=
c) Razes Complexas, se r1 = + i e r2 = - i: xseneCxeCy xx 21 cos +=
ED 2a ordemquarta-feira, 16 de outubro de 2013
20:30
Pgina 20 de Calc III
-
5.1) Exemplo com duas razes reais distintas:
3)0('2)0(;06'5" ===++ yeyyyy 32;065 212 ===++ rerrr ento:
xx eCeCy 322
1 += para y = 2 e x = 0, temos C1 + C2 = 2. Como y' = 3 quando x = 0,
xx eCeCy 322
1 32'
= ento: 21 323 CC =
Logo: xx eeyCC
CCCC 32
2
1
21
21 797
9332
2
==
=
=
=+
5.2) Exemplo com razes reais e iguais:
1)0('2)0(;04'4" ===++ yeyyyy Eq. caracterstica: 0442 =++ xrxx xeCeCyrr 22
2121 .2
+=== como y = 2 e x = 0, temos C1 = 2 e y' = 1, quando x = 0;
( )xxx exeCeCy 22221 222' ++= [ ] 51)1).(0(2)1).(2).(2(1 22 =++= CCxx xeey 22 52 +=
5.3) Equaes caractersticas com razes complexas:
y" + 6y' + 12y = 0; Equao caracterstica: r2 + 6r + 12 = 0
124836;3333 ===== eir ir 332
126 ==
xseneCxeCy xx .3...3cos.. 323
1 +=
4a lista de Exerccio:
9) y" - y' - 2y = 0; y(0) = 2, y'(0) = 1
Equao caracterstica: r2 - r -2 = 0 r1 = 2 e r2 = -1
sobrando...
ED 2a ordemquarta-feira, 16 de outubro de 2013
21:00
Pgina 21 de Calc III
-
Soluo Geral de uma equao linear no homognea (NH):
1) Teorema: seja ay" + by' + cy = F(x) uma equao diferencial linear no homognea de 2a ordem. Se yp uma
soluo particular dessa equao e se yh a soluo geral de uma equao homognea correspondente,
ento:
= +
2) Mtodo dos coeficientes a determinar:
J temos as ferramentas para encontrar yh, faltando encontrar a soluo yp. Podemos encontrar uma soluo
particular pelo mtodo dos coeficientes a determinar. A idia do mtodo tentar uma soluo yp do mesmo tipo
que F(x). Exemplos:
1. Se = 5 + 4, escolher = + .2. Se = 2 + 5, escolher = + = + .3) Se = + 9 7, escolher = + + + 7 + 7
3) Exemplos pelo mtodo coeficientes a determinar:
a) Encontrar a soluo geral da equao y" + 2y' + 3y = 2senx:
= 2 3 = 0 = + 1 + 3 = 0 = 1 = 3; "#:%& + '; = + ( = + " = 2 + 3 + = 2 + 2 2 3 3 = 2 4 2 + 2 4 = 2;4 2 = 02 4 = 2 = 15 = 25 ;
= + = %& + ' + *15+ *25+
= ; ( = ; " =? 2 3 = 24 2 = 24 = 2;2 = 0 = 24
b) Encontre a soluo geral da equao:
2002;2'2" 212
===+= rerrrexyy xxx
h exxFeCCy 2)(;221 +=+= xp
x
p
x
p
CeBy
CeBxAy
eCBxAxy
+=
++=
++=
2"
2'
.
A soluo (A+Bx) + CexMult. x
Substituindo na equao diferencial:
xxx exCeBxACeB 2)2(2)2( +=+++xxxxx exCeBxABexCeBxACeB 24)22(22422 +=+=+
41
;2;14;022 ===== BACBAB
x
p exxy .241
41
+= A soluo geral : xx exxeCCy 241
41 22
21 +=
Equao Linear no homogneaquarta-feira, 23 de outubro de 2013
20:30
Pgina 22 de Calc III
-
4.1) Exemplos:
4) Equaes diferenciais de ordem mais alta.
0)1(1330'3"3) =+=+++=+++ rrrryyyya A raiz tripla; r = -1 xxx exCxeCeCy ++= 2321
0)1(1202) 4)4( =+=++=++ rrryyyb A raiz dupla com = 0 e = 1
A soluo geral da equao : xsenxCxxCsenxCxCy 4321 coscos +++=
ED - Ordem mais Altaquarta-feira, 23 de outubro de 2013
21:00
Pgina 23 de Calc III
-
1) A transformada de Laplace um mtodo para resolver equaes diferenciais lineares que surgem na
matemtica aplicada Engenharia. O mtodo consiste de trs etapas:
1a: A equao diferencial dada transformada em uma equao algbrica (equao subsidiria).
2a: Esta equao subsidiria resolvida por manipulaes algbricas.
3a: A soluo subsidiria transformada em sentido contrrio, de tal maneira que fornea a soluo desejada da
equao diferencial original.
A transformada de Laplace pode levar em conta as condies iniciais e ainda evita a necessidade de calcular uma
soluo geral e uma soluo particular.
2) A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equaes diferenciais lineares com coeficientes
constantes da forma: ay" + by' + cy = f(x) ou ay" + by' + cy = f(t)
3) Definio da transformada de laplace de uma funo f:[0, ) ./ = = 0 &12/3435
6
Representamos funo original por uma letra minscula, a sua varivel por t e a sua transformada de
Laplace pela letra correspondente maiscula e a sua varivel. Ex: f(t) g(t) h(t)
F(s) G(s) H(s)
4) Exemplos:
a) A transformada de Laplace da funo f:[0, ) Definida por f(t) = 1 dada por:
ss
e
s
e
s
e
s
edtesFssst
t
stst 101)(
0.0.
00 lim =
=
=
==
para s > 0
b) Seja a uma constante real. A transformada de Laplace da funo f:[0, ) definida por f(t) = eat dada por:
assa
e
sa
edtedteesFastas
tasatst
=
=
===
10)(
0).(
0
)(
0)(
0para s > 0
4) Propriedades:
a) Soma de duas funes: L7/%3 + /38 = 97/%38 + 97/38 = % +
b) Multiplicao por constante: 97:/38 = :97/38 = :
c) Derivada Primeira de uma funo: 9 ;
-
a) Use a transformada de Laplace para resolver a equao diferencial com problema do valor inicial:
y" - y' - 6y = 0; y(0) = 1; y'(0) = -1
)(}{1)()0()(}'{
1)()0(')0()(}"{
syyLssyyssyyL
ssysysysysyL
=
==
+==
( ) )2)(3(2)(26)(0)(61)(1)(+
===++ss
ssyssssysyssyssys
===
=+
54
;51
2321
BABABA
fraes parciais
( )tt eetyss
sy 23 451)(
254
351
)( +=+
+
=as
sFetf at
==1)()(
tabela:
232)(2322)3()2( =++=++=++ sBABAssBBsAAsssBsA
b) ;.96" 32 tetyyy =+ 6)0(';2)0( == yy
62)()0(')0()(}"{ 22 == ssysysysysyL
2)()0()(}'{ == ssyyssyyL
)(}{ syyL =
33132
)3(2
)3(1.2
)(!}.{}.{
=
=
=+ ssas
nteetL
n
natt
)3(2
)3(2)(
)3()3(2
)3()3(2)()3(2)3(
2)3)((
62)3(2)96)(()3(
2)(912)(662)(
5
22332
32
32
+
=
+
=+
=
+
=+
=++
sssy
s
s
sssys
sssy
ss
sssys
syssyssys
tt eetty 334 2121)( +=transf. inv
'
= 3 +
+ 2
Exercciosquarta-feira, 30 de outubro de 2013
19:26
Pgina 25 de Calc III
-
1) Funes Peridicas:
Uma funo f(x) dita peridica com um perodo I se f(x+t) = f(x) para qualquer x . Disso discorre f(x +nt) = f(x)
para n = 0, 1, 2,...)
2) Srie Trigonomtrica: uma srie de funes cujos termos so obtidos multiplicando-se os senos e cossenos dos mltiplos sucessivos da varivel independente x por coeficientes que no dependem da varivel x e so admitidos reais.
...2...)2(cos21
21210 ++++++ xsenbsenxbxosaxaaou
=
++1
0 )]()cos([21
n
nn nxsenbnxaa
Sendo esta uma srie de funes, sua soma s ser uma funo da varivel independente e como os termos da
srie so funes trigonomtricas, funes peridicas de perodo 2. A soma s(x) ser uma funo peridica de
perodo 2 (-, ) ou (0, 2).
As funes peridicas de interesse prtico podem sempre ser representadas por uma srie trigonomtrica.
=
++=1
0 )]()cos([21)(
n
nn nxsenbnxaaxf
3) Determinao dos coeficientes de Fourier:
Para determinar os coeficientes, fazemos a integral de:
=
=
=
==
++=
++=
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pipi
dxxfa
aadxadxxf
dxnxsenbdxnxadxadxxf
nxsenbnxaaxf
n
nn
n
nn
)(1]2[
21
21)(
)()cos(21)(
)]()cos([21)(
0
000
10
10
Clculo de an:
Multiplicando-se os termos da srie por (px), sendo p um nmero fixo dado, integrando-se no intervalo (-, ):
0 0
=
++1
0 )]cos()()cos()cos([)cos(21
n
nn dxpxnxsenbdxpxnxadxpxapi
pi
pi
pi
se n p
0 00
Lembrando:
)(2])[(
)(2])cos[()cos()(
)(2])[(
)(2])[()cos()cos(
baxbasen
baxbadxbxaxsen
baxbasen
baxbasendxbxax
++
+=
+
++
=
Srie de Fourierquarta-feira, 6 de novembro de 2013
20:40
Pgina 26 de Calc III
-
se n p
pipi
pi
pi
pi nnadxnxadxnxxf ==
)(cos)cos()(
Lembrando:
n
nxsenxdxnx4
)2(2
)(cos += ento: =pi
pipidxnxxfan )cos()(1
Clculo de bm:
Multiplicando-se agora por sen(px), entre (-, ):
=
++pi
pi
pi
pi
pi
pidxpxsennxsenbdxpxsennxadxpxsena n
n
n )()()()cos([)(21
10
Ento para n = p: pipi
pi
pi
pi nbdxnxsenbndxnxsenxf ==
)()()(
se n p
0 0 0
=
pi
pipidxnxsenxfbn )()(1
4) Funes pares e mpares:
Sejam g(x) e h(x) funes definidas no intervalo (-, ):
g(x) par se g(-x) = g(x) para todo x
h(x) impar se h(-x) = -h(x) para todo x
5) Produto de funes pares e mpares
a) O produto de uma funo par g(x) por uma funo mpar h(x):
q(x) = g(x) . h(x)
q(x) = g(-x) . h(-x)
q(x) = g(x) . h(-x)
q(x) = -g(x) . h(x)
q(x) = -q(x)
b) O produto de uma funo par g(x) por uma funo par uma funo par:
q(x) = g(x) . g(x)
q(x) = g(-x) . g(-x)
q(x) = g(x) . g(x) q(x) = q(x)
c) O produto de uma funo mpar h(x) por uma funo mpar uma funo par:
q(x) = h(x) .h(x)
q(x) = h(-x) . h(-x)
q(x) = -h(x) . -h(x) q(x) = q(x)
6) Concluso:
a) Se uma funo f(x) uma funo par, f(x)sen(nx) uma funo mpar 0)()(1 ==
pi
pipidxnxsenxfbn
b) Se f(x) uma funo mpar, f(x)cos(nx) mpar: 0)cos()(1 ==
pi
pipidxnxxfan
Srie de Fourierquarta-feira, 6 de novembro de 2013
21:22
Pgina 27 de Calc III
-
7) Exemplo: Determinar srie de Fourier da funo f(x):
=
==
+=
pi
pi
pi
pi
pi
pipipi
dxnxxfa
dxdxa
n
n
)cos()(11][1101
0
0
-
1) Use a transformada de Laplace para resolver as equaes diferenciais com problema do valor inicial:
1.4) 1)0(',1)0(;04'4" ===+ yyyyy
)(}{1)()0()(}'{
1)()0(')0()(}"{ 22
syyLssyyssyyL
ssysysysysyL
=
==
==
0)(44)(41)(0)(4]1)([41)( 22 =++=+ syssyssyssyssyssys
32)44(3)2()2( 22 =++=+ sBBsssAssBsA
324)4(3244 22 =+++=++ sBABAsAssBBsAAsAs
222
)2()2()()2(3)(3)44)((
+
=
==+s
Bs
Asy
s
ssyssssy
2,2324
14==
=
=+BB
BABA
411)2(4 ==+ AA
at
natn
etyas
sy
tetyas
nsy
=
=
=
= +
)(1)(
.)()(!)( 1tt
eetyss
sy 222 41)()2(
22
41
)( +=
+
=
4a Lista de Exerccios
4) ;015'13"2 =+ yyy 49;015132 2 ==+ rr 2121 ;235
4713
rrrerr ==
=
xx eCeCy 2
3
25
1 +=
logo:
5a lista de Exerccios:
2.1) 6322'4" 2 +=+ xxyyy 212
,24024 rrrr ==+
622;622;2
24421 =+=
= rrr )622(
2)622(
1)(+ += eCeCy g
AyBAxyCBxAxy ppp 2";2';2
=+=++=
632222482632)(2)2(42 2222 +=+++++=++++ xxCBxAxBAxAxxCBxAxBAxA
632242)28(2 22 +=+++ xxCBABAxAx
122 == AA
25328 == BBA
962254)1(2 ==
+ CC
925)( 2)622(2)622(1 += + xxeCeCxy
6a lista de Exercciosquarta-feira, 16 de outubro de 2013
00:27
Pgina 29 de Calc III
-
a) 0912
4 =+ ydxdy
dxyd
09'12"4 =+ yyy 0)0('1)0( == yy
09124 =+ rr 5,18
14414412)4(2
)9)(4(4)12()12(=
=
=r
xxx exCCxeCeCy 5,1215,1
25,1
1 )( +=+= 1))0((1 1)0(5,121 =+= CeCC
5,105,1)1()5,1)0(()1(5,10)5,1(5,1" 22)0(5,1)0(5,12)0(5,15,15,125,11 ==+++=++= CCeeCeexeCeCy xxx
xxx ex
ex
ey 5,15,15,12
312
3
==
23
=
b) 065
=+ y
dxdy
dxyd
06'5" =+ yy 1)0('1)0( == yy
2;3065 212 ===+ rrrr
212
23
1 1 CCeCeCyxx +=+=
21)0(2
2)0(3
12
23
1 23123123' CCeCeCeCeCyxx +=+=+=
4;3123
121
21
21==
=+
=+CC
CCCC
xx eey 23 43 +=
Atividade Estruturada 7
Pgina 30 de Calc III
-
Para cada uma das equaes abaixo, determine o valor da constante r, para que a funo f(x) = erx seja
uma soluo:
a) 0)(2 =+ tydtdy
b) 0)(
= ty
dtyd
c) 02
3
=+
dtdy
dtyd
dtyd
Resolva: 036
5
=
dtdy
dtyd
dtyd
2
202
0)(2)'(02'
=
==+
=+=+
r
e
erere
eeyy
rx
rxrxrx
rxrx
023
00)23(023
0)'(2)"(3'')'(0'2"3'''
=
+=
=+=+
=+=+
rxrxrx
rxrxrxrxrxrx
rxrxrx
ereerr
ereerrreerer
eeeyyy
y(0) = 0, y'(0) = 1, y"(0) = -7
00)365(03650'36"5'''
1 ===
=
rrrrrrr
yyy
365=
=
PS
94
3
2
=
=
r
r
78116)81()16(0)"()"()"(7194)9()4(0)'()'()'(1
00...
320
30
29
34
21
320
30
29
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Atividade Estruturada 8
Pgina 31 de Calc III
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Atividade Estruturada 9
Pgina 32 de Calc III