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Aula I
Determinação dos esforços solicitantes em estruturas
isostáticas
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Apresentação da aula
1. Análise estrutural em engenharia2. Classificação dos elementos e dos sistemas
estruturais 2.1- Elementos estruturais 2.2- Sistemas estruturais
3. Vinculação dos sistemas estruturais lineares planos 3.1- Elementos componentes 3.2- Vínculos e movimentos dos elementos 3.3- Determinação geométrica das estruturas
planas4. Equações de equilíbrio dos sistemas estruturais
planos isostáticos
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5. Esforços solicitantes em estruturas planas isostáticas
6. Equações analíticas e diagrama de esforços
7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e carregamentos
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1. Análise estrutural em engenharia
Mecânica clássica dos corpos
Estática: estudo das condições de equilíbrio de um corpo ou de um sistema de corpos sujeitos à ação de forças externas; estudo das deformações do corpo
Dinâmica: estudo dos movimentos dos corpos ou de um sistema de corpos
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Elemento estrutural
Elementos estruturais são os componentes da estrutura portante de uma edificação
Funções
- atender às condições arquitetônicas e funcionais e dar forma à edificação
- transmitir os carregamentos advindos das ações às bases da estrutura (solo) – “caminho das cargas”
- resistir às ações e garantir a estabilidade (segurança estrutural)
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Projeto Estrutural
- Geometria da edificação: arquitetura (função), forma, dimensões, espaços, localização- Sistema estrutural: classificação, definição e posicionamento dos elementos componentes, vinculações entre eles (concepção estrutural)- Ações: classificação, quantificação, combinação (carregamentos)- Esforços solicitantes nos elementos estruturais: análise do comportamento (resposta) estrutural do elemento submetido às ações (carregamentos)- Dimensionamento dos elementos estruturais: comportamento estrutural e resistência do material que o compõe
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2. Classificação dos elementos e dos sistemas estruturais
2.1- Elementos estruturais
Classificação segundo as dimensões
Elementos tridimensionais
Elementos bidimensionais ou planos
Elementos unidimensionais ou lineares
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Elementos tridimensionais
Elementos com as três dimensões da mesma ordem de grandeza.
Elementos de fundação, de arrimo (gravidade) ou de barragens
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Elementos bidimensionais ou planosElementos com duas dimensões preponderantes em relação à terceira.
Submetidos a carregamentos no plano médio (chapas ou paredes) ou transversais (placas, cascas)
Placas ou cascas:
Sujeitos a esforços de flexão e de força cortante
Transmite as cargas em direção aos apoios (bordas)- caminho das cargas
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Elementos unidimensionais ou lineares
Elementos com uma dimensão preponderante em relação às outras duas, de eixo reto ou curvo.
Submetidos a carregamentos no eixo longitudinal (barras, colunas ou tirantes) ou transversais (vigas)
Sujeitos a esforços normais(axiais), de flexão, de força cortante e de torção
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2.1- Sistemas estruturais
Espaciais (treliças, cúpulas, Planos (treliças, pórticos, cestas, cabos-treliça) arcos, cabos-treliça)
Subsistemas horizontais – lajes, vigas, grelhas, cascas, treliças espaciais;
Subsistemas verticais – treliças planas, pórticos planos, painéis e paredes
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Subsistemas horizontais
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Subsistemas verticais
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3. Vinculação dos sistemas estruturais lineares planos
3.1- Elementos componentes
Barras – elementos lineares simples (apenas esforços axiais) e gerais (qualquer esforço, chapa)
Nós – ponto de une extremidades de barras
Vínculos – ligações (vinculações) pelas quais as barras são unidas entre si ou com a
“chapa-terra”, impedindo os deslocamentos relativos entre elas, translação ou rotação
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3.2- Vínculos e movimentos dos elementos
vínculos representação movimentos reação gráfica impedidos correspondente
translação em Ry
y
translações em Rx, Ry
x e y
translações em x e y Rx, Ry, Mz
e rotação em z
x
yz
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3.3- Determinação geométrica das estruturas planas
Estruturas treliçadas (barras simples) – necessários dois (02) vínculos para determinação geométrica de um nó no plano, correspondentes a duas translações (nas direções x e y)
Barras gerais (ou chapas) – necessários três (03) vínculos para determinação geométrica no plano, correspondentes a três movimentos de corpo rígido, duas translações (nas direções x e y) e uma rotação (na direção z, perpendicular ao plano x,y)
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Estruturas com barras simples e gerais:
Número de nós: nNúmero de barras (chapas): cNúmero de barras (vínculos) necessárias:
bnec = 3.c + 2.n
Determinação geométrica de estruturas
estruturabexistentes < bnec = 3.c + 2.n - hipostáticabexistentes = bnec = 3.c + 2.n - isostáticabexistentes > bnec = 3.c + 2.n - hiperestática
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4. Equações de equilíbrio dos sistemas estruturais planos isostáticos
Estruturas isostáticas
Estruturas com vínculos externos em número necessário e suficiente para sua determinação geométrica, ou seja, com as equações de equilíbrio é possível a determinação das forças externas incógnitas (reativas) .
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Tipos de cargas externas
Cargas distribuídas: carregamento distribuído ao longo do comprimento de uma barra, na direção ou perpendicularmente ao seu eixo axial.
Cargas concentradas: carregamento distribuído em um comprimento considerado pequeno em relação ao comprimento de uma barra, podendo ser considerado como praticamente concentrado em um ponto.
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Exemplo: parede de tijolo apoiada sobre viga, ao longo de seu comprimento
Carregamento = peso da viga
de peso próprio da viga comprimento da viga
Carregamento = peso da parede
de peso próprio da parede comprimento da vigamkN
L
LeHg
mkNL
Lbhg
viga
tijoloparede
viga
concretoviga
/6,20,5
0,5.10,0.0,2.13...
/75,00,5
0,5.10,0.30,0.25...
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Tipos de reações de apoio
Apoio contínuo ou distribuído: caso de barras apoiadas em meio contínuo, como vigas de fundação ou sapata corrida, apoiadas sobre o solo ao longo do seu comprimento e com reação na direção perpendicular ao seu eixo axial.
Apoios discretos ou pontuais: elemento de apoio cuja dimensão de contato com a barra tem um comprimento considerado pequeno em relação ao comprimento desta barra, podendo ser considerado como praticamente concentrado em um ponto (barra de vínculo).
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Equações de equilíbrio no plano
Definição: Um sistema estrutural, submetido a carregamentos conhecidos, mantém-se em equilíbrio devido às reações (incógnitas) correspondentes aos vínculos externos que restringem os graus de liberdade (movimentos) deste sistema.
Reações de apoio: Dado o corpo rígido (chapa) qualquer contido no plano Oxy, sujeito a carregamento externo conhecido, para o seu equilíbrio deve-se ter:
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Estrutura de chapa isostática
Número de vínculos externos:
bext = 3.c = 3.1 = 3
3 reações de apoio incógnitas
Equações de equilíbrio
0
0
0
z
y
x
M
F
F
x
yz
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5. Esforços solicitantes em estruturas planas isostáticas
5.1- Definição e convenção de sinais
Definição: Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes em uma seção transversal genérica são as forças que equilibram as ações externas que atuam à esquerda ou à direita desta seção. Os esforços solicitantes formam pares (ação e reação entre corpos) de mesma direção e intensidade, porém de sentidos contrários, nas duas seções transversais.
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Estas forças atuantes na seção transversal podem ser reduzidas a uma força resultante aplicada em um ponto (centro de gravidade da seção) e a um momento (binário) resultante.
Para facilitar os cálculos destes esforços solicitantes, obtêm-se as componentes destas resultantes nas direções do eixo longitudinal e dos eixos ortogonais a este, que contêm a seção transversal da barra.
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N - força normal ou axial
V - força cortante
M - momento fletor
T - momento torçor
As componentes destas forças, considerando-se estrutura plana e carregamento contidos no plano xy, são os esforços solicitantes esforço axial N, momento fletor Mz e esforço cortante Vy.
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Convenção de sinais: sentidos positivos dos esforços
Esforço normal (axial): N
Esforço cortante: V
Momento fletor: M
Momento torçor: T
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Determinação dos esforços solicitantes
As equações de equilíbrio determinam as condições da estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à direita da seção transversal estudada.
Exemplo
apoio fixo A: deslocamentos restritos vx e vy
apoio móvel C: deslocamento restrito vy
x
y
C
B
VA
A
Vc
HA
4,0 1,5 m
5,0 kN/m
8,0 kN
8,0 kN
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Reações de apoio
Carga distribuída transformada em força concentrada fictícia,
Fq = 5,0.5,5=27,5 kN
Equações de equilíbrio
x
y27,5 kN
RARc
HA
4,0 1,5 m
kNRRM
kNRRRRF
kNHF
CCzA
CACAy
Ax
9,1804.2
5,5.5,27:0
5,2705,5.5:0
0,8:0
kNRR CA 6,89,185,275,27
8,0 kN
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Esforços solicitantes
Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A)
equações de equilíbrio
x
y10,0 kN
RA
2,0
MB
mkNMMRM
kNVkNVVRF
kNNNHF
BBAzB
BBBAy
BBAx
.2,702
0,2.0,2.0,50,2.:0
4,10,106,800,2.0,5:0
0,80:0
VB
NB
HA
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6. Equações analíticas e diagrama de esforços
6.1- Equações analíticas
Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada seção transversal;
Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao longo do elemento estrutural ou da estrutura como um todo;
Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em função da coordenada x, onde são representados os valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seção transversal de referência em posição genérica.
As funções obtidas são contínuas para carregamentos contínuos e descontínuas onde houver alguma força (ou reação) concentrada ou descontinuidade geométrica da estrutura.
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Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A)Variação de a coordenada s: 0 < s < 4,0 mequações de equilíbrio
x
y5,0.s
RA
s
MS
2.5,2.6,802
..0,5.:0
.0,56,8.0,56,80.0,5:0
0,80:0
ssMMs
ssRM
sVsVsVRF
kNNNHF
SSAzS
SSSAy
SSAx
VS
NS
s
HA
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Esforços solicitantes para o trecho AC, entre apoios
Para s=0:
Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):
0,0.5,2.6,8
6,8.0,56,82
ssMM
kNsVV
AS
AS
mkNssMM
kNsVV
esqSS
esqSS
.6,50,4.5,20,4.6,8.5,2.6,8
4,110,4.0,56,8.0,56,822
,
,
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Esforços solicitantes
Seção transversal S (distante de s do apoio A)Variação de a coordenada s: 4,0 < s < 5,5 m
x
y5,0.s
RA
s
MS
2.5,2)0,4.(9,18.6,8
02
..0,5)0,4.(.:0
5,27.0,5
.0,59,186,80.0,5:0
0,80:0
sssM
Ms
ssRsRM
sV
sVsVRRF
kNNNHF
S
SCAzS
S
SSCAy
SSAx
VS
NS
s
RC
HA
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mkN
sssMM
kNsVV
dirCS
dirCS
.6,50,4.5,2)0,40,4.(9,180,4.6,8
.5,2)0,4.(9,18.6,8
5,75,270,4.0,55,27.0,5
2
2,
,
Esforços solicitantes para o trecho CD, em balanço
Para s=4,0:
Para s=5,5 (seção extrema do balanço):
0,05,5.5,2)0,45,5.(9,185,5.6,8
.5,2)0,4.(9,18.6,8
0,05,275,5.0,55,27.0,5
2
2
sssMM
sVV
DS
DS
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Diagrama dos esforços solicitantes
As expressões obtidas permitem traçar os diagramas dos esforços solicitantes seguindo algumas convenções:Momento fletor e força cortante, valores positivos indicados abaixo do eixo de abcissa x
8,6
11,4
7,5+
_
+
7,2
5,6
+
_
B
1,4
V (kN)
M (kN.m)
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Observações:
Força cortante: descontinuidade no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)
A diferença (ou a soma dos módulos) dos valores de força cortante, à direita e à esquerda do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN) representam a carga concentrada naquele ponto (reação de apoio VC=18,9kN)
Momento fletor: descontinuidade da inclinação no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)
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7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e carregamentos
As expressões analíticas dos esforços solicitantes de flexão (momento fletor e força cortante) apresentam relações diferenciais entre si.Considere-se um elemento de comprimento infinitesimal dx de uma barra geral em equilíbrio, sobrecarregada uniformemente:
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Equações de equilíbrio
qxqdx
MdouV
dx
dM
Assim
dxdVdx
dxdVdxVdM
dxdVVdMM
dxVMM
qxqdx
dV
Assim
dxxqdVdxxqdVVVF
z
y
)(
,
02
.:002
..
02
).()(2
.:0
)(
,
)(0)()(:0
2
2
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Integrando-se as duas equações, tem-se:
onde C1 e C2 são constantes de integração e são conhecidos a partir da definição de condições de contorno do problema estudado.
21
2
1
1
.2
..
.)(
CxCx
qdxCxqMVdxdM
CxqVdxxqdV
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Segundo as expressões diferenciais pode-se prever a forma dos diagramas de esforços M e V para os diversos tipos de carga distribuída:
q=0: V - constante M - variação linear
q=constante: V - variação linear M - polinômio 2o. grau
q=linear: V – pol. 2o. Grau M - polinômio 3o. grau
E ainda:
máximoéMdx
Md
mínimooumáximoMVdx
dM
0
:0
2
2
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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - NBR6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. 6p.
DIAS, L. A M. Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem. Zigurate, 1998.
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Bibliografia