Download - Aula_03 Sistemas Não lineares
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Sistemas Nao
Lineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Sistemas Nao Lineares
Aula 03 – Metodos determinısticos Aplicados a SNL
Prof. Wesley Pacheco Calixto, Dr.
Email: [email protected]ıtio: http://www.nextgo.org
Instituto Federal de Goias
December 3, 2015, Goiania
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Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Sumario
1 Escritas das Equacoes
2 Entendendo o Plano de Fase
3 Analise Qualitativa dos Sistemas Nao Lineares
4 Otimizando os Pontos de Equilıbrio com MetodosDeterminısticos
5 Leitura
6 Bibliografia
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Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das EquacoesModelagem do Pendulo Simples.
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Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das EquacoesModelagem do Pendulo Simples.
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dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1 Desconsiderando o atrito com o ar.
P = m · g
P y = P · cos θ
P x = P · sin θ
(1)
2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da
gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o
comprimento do arco.
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1 Desconsiderando o atrito com o ar.
P = m · g
P y = P · cos θ
P x = P · sin θ
(1)
2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da
gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o
comprimento do arco.
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Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1 Desconsiderando o atrito com o ar.
P = m · g
P y = P · cos θ
P x = P · sin θ
(1)
2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da
gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o
comprimento do arco.
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Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1 Desconsiderando o atrito com o ar.
P = m · g
P y = P · cos θ
P x = P · sin θ
(1)
2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da
gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o
comprimento do arco.
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Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1 Desconsiderando o atrito com o ar.
P = m · g P y = P · cos θ
P x = P · sin θ
(1)
2 Somente atua sobre o corpo de massa m a forca da
gravidade.3 Sendo L o comprimento da haste/corda e S a o
comprimento do arco.
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Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
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Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
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Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
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Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
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Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
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Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes1 Da segunda Lei de Newton, tem-se:
md 2S a
dt 2 = −mg sin θ (2)
2 Sendo S a:
S a = L · θ (3)
3 Tem-se:
Ld 2θ
dt 2 = −g sin θ (4)
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Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1
A expressao (4) pode ser escrita:
Lθ = −g sin θ (5)
2
Que e a expressao das aulas anteriores.
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Equilıbrio com
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terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Escrita das Equacoes
1
A expressao (4) pode ser escrita:
Lθ = −g sin θ (5)
2
Que e a expressao das aulas anteriores.
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Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
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Escrita das Equacoes
1
A expressao (4) pode ser escrita:
Lθ = −g sin θ (5)
2
Que e a expressao das aulas anteriores.
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-
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Leitura
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Equacionamento
Escrita das Equacoes
1
A expressao (4) pode ser escrita:
Lθ = −g sin θ (5)
2
Que e a expressao das aulas anteriores.
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Escrita das Equacoes
Apresentar Animacao 1 do Pendulo.
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Apresentar Animacao 1 do Pendulo.
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Entendendo o Plano de FasePlano de Fase Pendulo Simples.
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Entendendo o Plano de FasePlano de Fase Pendulo Simples.
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Entendendo o Plano de Fase
1 Utilizando o pplane simule a expressao (4)
Apresentar Animacao 2 do Pendulo.
E i
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1 Utilizando o pplane simule a expressao (4)
Apresentar Animacao 2 do Pendulo.
E i
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1 Utilizando o pplane simule a expressao (4)
Apresentar Animacao 2 do Pendulo.
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Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Entendendo o Plano de Fase
1 O estudo de SNL de ate 2a ordem baseia-se na
determinacao das trajetorias no plano de estados, querecebe a denominacao de plano de fase.
2 Um metodo grafico, que admite interpretacoesgeometricas podem por deducao dar uma analise docomportamento qualitativo da solucao no tempo, sem
recorrer a expressoes analıticas na forma fechada.
E i t
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Equacionamento
Entendendo o Plano de Fase
1 O estudo de SNL de ate 2a ordem baseia-se na
determinacao das trajetorias no plano de estados, querecebe a denominacao de plano de fase.
2 Um metodo grafico, que admite interpretacoesgeometricas podem por deducao dar uma analise docomportamento qualitativo da solucao no tempo, sem
recorrer a expressoes analıticas na forma fechada.
E i t
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dos Sistemas
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Equilıbrio com
Meto dos De-
terminısticos
Leitura
Bibliografia
Equacionamento
Entendendo o Plano de Fase
1 O estudo de SNL de ate 2a ordem baseia-se na
determinacao das trajetorias no plano de estados, querecebe a denominacao de plano de fase.
2 Um metodo grafico, que admite interpretacoesgeometricas podem por deducao dar uma analise docomportamento qualitativo da solucao no tempo, sem
recorrer a expressoes analıticas na forma fechada.
Equacionamento
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quac o a e to
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Metodos Determinısticos
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Metodos de Otimizacao Determinısticos
Geram uma sequencia determinıstica de possıveis solucoesrequerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a
primeira derivada da funcao objetivo em relacao asvariaveis do problema.
Metodos Determinısticos
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Metodos de Otimizacao Determinısticos
Geram uma sequencia determinıstica de possıveis solucoesrequerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a
primeira derivada da funcao objetivo em relacao asvariaveis do problema.
A funcao objetivo deve ser contınua e diferenciavel noespaco de busca.
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Metodos de Otimizacao Determinısticos
Geram uma sequencia determinıstica de possıveis solucoesrequerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a
primeira derivada da funcao objetivo em relacao asvariaveis do problema.
A funcao objetivo deve ser contınua e diferenciavel noespaco de busca.
Estes metodos apresentam teoremas que lhes garantem aconvergencia para uma solucao otima que nao enecessariamente a solucao otima global.
Metodos Determinısticos
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Metodos de Otimizacao Determinısticos
Os problemas de otimizacao abordados pelos metodosclassicos podem ser classificados de duas formas:
Metodos Determinısticos
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Metodos de Otimizacao Determinısticos
Os problemas de otimizacao abordados pelos metodosclassicos podem ser classificados de duas formas:
1 Programacao Linear: Quando a funcao objetivo f (x ) eas restricoes sao funcoes lineares das variaveis doproblema.
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Metodos de Otimizacao Determinısticos
Os problemas de otimizacao abordados pelos metodosclassicos podem ser classificados de duas formas:
1 Programacao Linear: Quando a funcao objetivo f (x ) eas restricoes sao funcoes lineares das variaveis doproblema.
2 Programacao Nao-Linear: Quando a funcao objetivo
f (x ), ou pelo menos uma das restricoes, e uma funcaonao-linear das variaveis do problema (sistemas naolineares).
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Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
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Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1
Simplex (metodo mais tradicional);
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1
Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;
Metodos Determinısticos
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
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Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;
Metodos Determinısticos
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Equilıbrio com
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Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;
Metodos Determinısticos
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Equilıbrio com
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Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;5 Simplex-Chio;
Metodos Determinısticos
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Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;5 Simplex-Chio;
6 Yamnitsky-Levin;
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
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Bibliografia
Algoritmos de Programacao Linear
1 Programacao Linear:
1 Simplex (metodo mais tradicional);2 Gauss-Jordan;3 Determinantes;4 Gauss-Jordan-Chio;5 Simplex-Chio;
6 Yamnitsky-Levin;7 Inteira etc.
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Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
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Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
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Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);
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2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);
Metodos Determinısticos
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
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Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;
Metodos Determinısticos
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2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;
Metodos Determinısticos
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Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;6 Quase-Newton (gradiente/Newton);
Metodos Determinısticos
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Entendendo o
Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algoritmos de Programacao Nao Linear
2 Programacao Nao-Linear:
1 Newton, Newton Modificado (metodo mais
tradicional);2 Quadratica (aproximacoes quadraticas);3 Direcoes Viaveis (otimizacao irrestrita);4 Gradiente Reduzido;5 Exclusao de semi-espaco;6 Quase-Newton (gradiente/Newton);7 Elipsoidal etc.
Metodos Determinısticos
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Plano de Fase
AnaliseQualitativa
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Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Metodos de Otimizacao Determinısticos
A maioria dos metodos anteriormente descritos estaoimplementados no software MatLab;
Metodos Determinısticos
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Plano de Fase
AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Metodos de Otimizacao Determinısticos
A maioria dos metodos anteriormente descritos estaoimplementados no software MatLab;
O software MatLab tambem conta com um Tool Box deotimizacao.
Metodos Determinısticos
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear irrestrito:
Metodos Determinısticos
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AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear irrestrito:
2 – Seja o problema de minimizar F (x 1,x 2) dada por:
Ou seja, sem restricao.
Metodos Determinısticos
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AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear irrestrito:
2 – Seja o problema de minimizar F (x 1,x 2) dada por:
min F (x 1,x 2) = 100 ·
x 2 − x 21
+ (1 − x 1)2
sujeito a :x 1 e x 2 ∈ Ω ⊂ R2
(6)
Ou seja, sem restricao.
Metodos Determinısticos
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Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear irrestrito:
Metodos Determinısticos
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Qualitativados Sistemas
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Equilıbrio com
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Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
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Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
3 – Seja o problema de minimizar F (ξ,δ ) dada por:
Metodos Determinısticos
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Qualitativados Sistemas
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
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Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
3 – Seja o problema de minimizar F (ξ,δ ) dada por:
min F (ξ,δ ) = e ξ
4ξ 2 + 2δ 2 + 4ξδ + 2δ + 1
sujeito a :ξ e δ ∈ Ω ⊂ R2
ξδ − ξ − δ + 1.5 ≤ 0
ξδ ≥ −10(7)
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Qualitativados Sistemas
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
3 – Seja o problema de minimizar F (ξ,δ ) dada por:
min F (ξ,δ ) = e ξ
4ξ 2 + 2δ 2 + 4ξδ + 2δ + 1
sujeito a :ξ e δ ∈ Ω ⊂ R2
ξδ − ξ − δ + 1.5 ≤ 0
ξδ ≥ −10(7)
Ou seja, com restricao.
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Qualitativados Sistemas
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
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Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
Metodos Determinısticos
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
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Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
Faca mudanca no chute inicial (semente, ponto de partidaetc.) e observe os valores encontrados para F (ξ,δ ) e ξ e δ .Tente comecar com: ξ = −1 e δ = 1, ξ = 1 e δ = 1,ξ = 0 e δ = 0, ξ = −10 e δ = 0 etc.
Metodos Determinısticos
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Qualitativados Sistemas
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
Faca mudanca no chute inicial (semente, ponto de partidaetc.) e observe os valores encontrados para F (ξ,δ ) e ξ e δ .Tente comecar com: ξ = −1 e δ = 1, ξ = 1 e δ = 1,ξ = 0 e δ = 0, ξ = −10 e δ = 0 etc.
Faca a mudanca da semente sempre observando o valor deF (ξ,δ ) (fval, funcao de avaliacao etc.).
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Qualitativados Sistemas
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
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Bibliografia
Rotina de Otimizacao no MatLab
Um exemplo nao linear restrito:
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Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
Metodos Determinısticos
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Qualitativados Sistemas
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
5 Programacao quadratica =⇒ quadprog
S N
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
5 Programacao quadratica =⇒ quadprog
6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog
Si N˜
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
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Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
5 Programacao quadratica =⇒ quadprog
6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog
7 Solucao de equacao nao linear =⇒ fzero
Sist s N˜
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Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
5 Programacao quadratica =⇒ quadprog
6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog
7 Solucao de equacao nao linear =⇒ fzero
8 Solucao de sistema nao linear =⇒ fsolve
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Algumas Classes de Problemas × Funcoes/Rotina1 Minimizacao irrestrita =⇒ fminunc, fminsearch
2 Minimizacao restrita =⇒ fmincon
3 Minimizacao escalar (uma funcao e uma variavel) =⇒
fminbnd4 Programacao linear =⇒ linprog
5 Programacao quadratica =⇒ quadprog
6 Programacao inteira binaria =⇒ bintprog
7 Solucao de equacao nao linear =⇒ fzero
8 Solucao de sistema nao linear =⇒ fsolve
9 Outras
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Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Para utilizar as rotinas descritas anteriormente e otimizaros sistemas nao lineares da aula passada, e necessario
responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?
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Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Para utilizar as rotinas descritas anteriormente e otimizaros sistemas nao lineares da aula passada, e necessario
responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?A resposta pode ser: Queremos colocar os sistemas emequilıbrio.
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Metodos Determinısticos
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Sistemas NaoLineares
Calixto, W. P.
Escritas dasEquacoes
Entendendo o
Plano de Fase
Analise
Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Para utilizar as rotinas descritas anteriormente e otimizaros sistemas nao lineares da aula passada, e necessario
responder a seguinte pergunta: o que queremos otimizar?A resposta pode ser: Queremos colocar os sistemas emequilıbrio.
Para isto ha a necessidade de formular uma expressao quequantifique o statu de cada candidato, ou seja, querepresente o quao boa uma determinada solucao esta.
Sistemas Nao
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Lineares
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Qualitativados Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
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Como sabemos que qualquer um dos sistemasanteriormente estudados, quando em equilıbrio, tem umgrafico que e uma reta paralela ao eixo das abscissas,
podemos entao expressar, por exemplo, uma metrica quenos de uma nota para cada possıvel solucao.
Sistemas Nao
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
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Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Como sabemos que qualquer um dos sistemasanteriormente estudados, quando em equilıbrio, tem umgrafico que e uma reta paralela ao eixo das abscissas,
podemos entao expressar, por exemplo, uma metrica quenos de uma nota para cada possıvel solucao.
Assim sendo:
f (x 1,x 2) = [max(x 1) − min(x 1)] + [max(x 2) − min(x 2)](8)
Sistemas Nao
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Utilizando as rotinas descritas anteriormente, otimize ossistemas nao lineares da aula passada:
Sistemas Nao
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Utilizando as rotinas descritas anteriormente, otimize ossistemas nao lineares da aula passada:
O movimento de um pendulo conectado a uma hasterıgida sem amortecimento e dado pela equacao:
Sistemas NaoLi
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
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Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Utilizando as rotinas descritas anteriormente, otimize ossistemas nao lineares da aula passada:
O movimento de um pendulo conectado a uma hasterıgida sem amortecimento e dado pela equacao:
Lθ = −g sin θ (9)
Sistemas NaoLi
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Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:
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Equilıbrio com
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Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:
u 1
= u 2u 2 = −g L
sin(u 1) (10)
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Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:
u 1
= u 2u 2 = −g L
sin(u 1) (10)
a) Utilize a rotina do MatLab pplane paraobservar os pontos de equilıbrio do sistema acima.
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Onde as variaveis de estado u 1 = θ, posicao angular eu 2 = θ, velocidade angular conduz a:
u 1 = u 2u 2 = −g
L sin(u 1) (10)
a) Utilize a rotina do MatLab pplane paraobservar os pontos de equilıbrio do sistema acima.
b) No pplane, coloque os valores das variaveis−10 ≤ x 2, x 1 ≤ 10 e g = 9.8, L = 0.5.
Sistemas NaoLineares
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O i i ˜ d Si N˜ Li d A l P d
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Meto dos De-terminısticos
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Identificacao dos Pontos de Equilıbrio no pplane
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Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio
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Qualitativados Sistemas
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
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Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio
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Qualitativados Sistemas
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Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
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Sistema Caotico
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dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Otimizacao dos Sistemas Nao Lineares da Aula Passada
Sistema Caotico
Pequenas variacoes nas condicoes iniciais podem provocar
grandes pertubacoes nas respostas do sistema provocandoum Caos.
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AnaliseQualitativa
dos Sistemas
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
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Sistema Caotico
Pequenas variacoes nas condicoes iniciais podem provocar
grandes pertubacoes nas respostas do sistema provocandoum Caos.Seja o seguinte sistema:
x + 0.1x + x 5 = 6sin(t ) (11)
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Equilıbrio com
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Leitura
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Tela do pplane
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Identificacao dos Pontos de Equilıbrio no pplane
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dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
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Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio
Sistemas NaoLineares
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AnaliseQualitativa
dos Sistemas
Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
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Otimizacao dos Pontos de Equilıbrio
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Material Didatico
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Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Leitura
1 Ler e reproduzir passo a passo o material chamado de
Problema 2.2 Estudar o material disposto no sıtio chamado de Leitura
complementar 1.
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Material Didatico
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Nao Lineares
Otimizando osPontos de
Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Leitura
1 Ler e reproduzir passo a passo o material chamado de
Problema 2.2 Estudar o material disposto no sıtio chamado de Leitura
complementar 1.
Sistemas NaoLineares
C li W P
Referencias
Bibliografia
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Leitura
Bibliografia
Bibliografia
1 KHALIL, H. K. Nonlinear systems. New Jersey (EUA):3a Ed. Prentice Hall, 2002.
2 MONTEIRO, L. H. A. Sistemas dinamicos. 2a Ed.Livraria da Fısica, 2006.
3 HEMERLY, E. M. Controle por computador de sistemasdinamicos. Sao Paulo: 2a Ed. Edgar Blucher, 2000.
4 VIDYASAGAR, M. Nonlinear systems analysis.Philadelphia (EUA): 2a Ed. SIAM Society for Industrial
and Applied Mathematics, 2002.5 SLOTINE, J. J. E.; LI, W. Applied nonlinear control.
New Jersey (EUA): Prentice Hall, 1991.
Sistemas NaoLineares
C li t W P
Referencias
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Bibliografia
1 Bazaraa, M. S.; Sherali, H. D.; Shetty, C. M.Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. JohnWiley & Sons, 2006.
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3 Izmailov, A; Solodov, M.. Otimizacao: Condicoes deOtimalidade, Elementos de Analise Convexa e de
Dualidade. Impa. 2007.
Sistemas NaoLineares
Calixto W P
Referencias
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
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Souza, A. C. Z; Pinheiro, C. A. M.. Introducao aModelagem, Analise e Simulacao de Sistemas Dinamicos.Editora Interciencia. 2008.
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Sistemas NaoLineares
Calixto W P
Referencias
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dos SistemasNao Lineares
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Equilıbrio com
Meto dos De-terminısticos
Leitura
Bibliografia
Bibliografia1 L. Chwif; A. C. Medina. Modelagem e Simulacao de
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Ed., Edicao do Autor. 2002.
3 Silva, G. V. M.. Controlo Nao Linear. Escola Superior deTecnologia, Instituto Politecnico de Setubal. 2003.
4 Rios Neto, A.. Controle Otimo de Sistemas Dinamicos:Notas de aulas e exemplos de aplicacao. Sao Jose dosCampos. 2012.