Download - Aulão de geometria espacial
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1 - (D 53) UM TOPÓGRAFO FOI CHAMADO PARA
OBTER A ALTURA DE UM EDIFÍCIO. PARA FAZER
ISTO, ELE COLOCOU UM TEODOLITO (INSTRUMENTO
ÓTICO PARA MEDIR ÂNGULOS) A 200 METROS DO
EDIFÍCIO E MEDIU UM ÂNGULO DE 30°, COMO
INDICADO NA FIGURA A SEGUIR.
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SABENDO QUE A LUNETA DO TEODOLITO ESTÁ A 1,5
METROS DO SOLO, PODE-SE CONCLUIR QUE, DENTRE OS
VALORES ADIANTE, O QUE MELHOR APROXIMA A
ALTURA DO EDIFÍCIO, EM METROS, É: (USE OS
VALORES: SEN 30° = 0,50; COS 30° = 0,86 E TG 30° =
0,57).
(A) 110
(B) 114
(C) 118
(D) 122
(E) 126
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Lembre-se que:
sen 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
cos 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
tg 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼
sen 𝛼 = 𝐶𝑂
𝐻 ou
cos 𝛼 = 𝐶𝐴
𝐻
tg 𝛼 = 𝐶𝑂
𝐶𝐴
ou
ou
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30° 45° 60°
Seno 1
2
2
2
3
2
cosseno 3
2
2
2
1
2
tangente 3
3
1 3
Como construir a tabela dos ângulos notáveis?
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1,5
x
Solução:
Perceba que buscamos a soma
de x + 1,5,
Logo teremos que encontrar o
valor de x, mas como fazer
isso? 200 m
Utilizando a relação que envolve cateto oposto
e cateto adjacente, no caso do ângulo de 30°.
tg 30° = 𝐶𝑂
𝐶𝐴 0,57 =
𝑥
200 x = 114
Portanto o prédio tem 114 + 1,5 = 115,5 m
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2 – (D67) CONSIDERE QUE OS ÂNGULOS
DE TODOS OS CANTOS DA FIGURA ABAIXO
SÃO RETOS E QUE TODOS OS ARCOS SÃO
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIAS DE RAIO
5CM, COM CENTROS SOBRE OS PONTOS EM
DESTAQUE.
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A ÁREA DA REGIÃO SOMBREADA É IGUAL A:
(A) 400 m²
(B) 204π m²
(C) 225π m²
(D) 100 cm²
(E) 50 cm²
Solução:
Perceba que procuramos a área
rasurada que equivale a:
Acirculo + Aquadrado – Acirculo
Acirculo + Aquadrado – Acirculo
Aquadrado = l²
Aquadrado = 10²
Aquadrado = 100 cm²
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3 - (D67) CALCULE A ÁREA DA VARANDA
REPRESENTADA NA FIGURA ABAIXO (ADOTE
= 3).
(A) 7,875 m²
(B) 12,15 m²
(C) 12,25 m²
(D) 12,50 m²
(E) 13,00 m²
Solução: Perceba que procuramos a área
de um retângulo e da metade de
um circulo... Ar + 1
2 Ac
Ar + 1
2 Ac = 3 x 1,5 +
1
2 x 3 x 1,5²
Ar + 1
2 Ac = 7,875 m²
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Lembre-se:
Área de um quadrado é:
A = b.h
Área de um circulo é:
𝐴 = 𝜋𝑟2
A = 𝑏.ℎ
2
Área de um triângulo é:
Comprimento da circunferência
𝐶 = 2𝜋𝑟
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(MARIA PRECISA AZULEJAR SUA COZINHA DE 3M DE
COMPRIMENTO, 2M DE LARGURA E 2,80M DE ALTURA,
AS PORTAS E JANELAS OCUPAM UMA ÁREA DE 4M2.
QUANTOS M2 DE AZULEJOS MARIA PRECISA
COMPRAR?
D(67) Desafio
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4 – (D50) UM AVIÃO QUE LEVANTA VOO DE UM
PONTO X DA PISTA E SOBE FORMANDO UM
ÂNGULO CONSTANTE DE 15º COM A PISTA. A
QUE ALTURA ESTARÁ O AVIÃO E QUAL A
DISTANCIA PERCORRIDA QUANDO ESTE
ALCANÇAR A VERTICAL QUE PASSA SOBRE UMA
IGREJA SITUADA A DOIS MIL METROS DO PONTO
DE PARTIDA?
Dados: sen 15 º = 0,26; cos 15º = 0,97 e tg 15 º = 0,27
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Solução: Utilizando a relação que envolve cateto oposto e
cateto adjacente, no caso do ângulo de 15°,
encontramos a altura.
tg 15° = 𝐶𝑂
𝐶𝐴 0,27 =
ℎ
2000 h = 540 m
Para encontrar a distância percorrida basta usar
o Teorema de Pitágoras ou uma das relações que
envolvem a hipotenusa.( Prefiro Pitágoras)
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐²
𝑎2 = 20002 + 540²
𝑎2 = 4291600
𝑎 = 4291600 𝑎 ≅ 2071,618
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5 – (D49) ABAIXO, HÁ TRÊS TRIÂNGULOS QUE
SÃO SEMELHANTES DOIS A DOIS. ESSES
TRIÂNGULOS SÃO:
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A) I, II E II
B) II, III E V
C) I, III, VI
D) I, III E V
E) II, III E V
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0 QUE PODE CAIR A RESPEITO DE TRIÂNGULO:
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
A medida de cada lado é menor que a soma da
dos outros dois.
ATENÇÃO!!!
ENCONTRAR O VALOR DE UM DOS LADOS:
Teorema de Pitágoras.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐²
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QUE PODE SER CARACTERIZADO DE DUAS
MANEIRAS DIFERENTES:
Quanto aos lados
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Três lados iguais
Dois lados iguais
Todos os lados diferentes
Quanto aos ângulos
Acut ângulo
Ret ângulo
Obtus ângulo
Ângulos internos < 90
Ângulos internos = 90°
Um ângulo interno > 90°
NOME:
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6 - (D )SEJAM OS DADOS CONTIDOS NO
GRÁFICO ABAIXO.
Analisando os pagamentos nos anos de 1997
e 2001, é correto afirmar que houve:
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a) um decaimento nos pagamentos com cheque,
transação com cartões de credito e com cartões de
debito;
b) um crescimento nas transações com cartões de
credito, de 98%, e com cartões de debito, de 40%;
c) um decaimento de 11,56% nos pagamentos com
cheque e um crescimento de 562,5% nas
transações com cartão de debito;
d) um decaimento de 93,86% nas transações com
cartão de credito;
e) um crescimento de 93,86% nas transações com
cartões de credito e um deslocamento de 15%, nos
pagamentos com cheque.
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CHEQUE COMPENSADO
CARTÃO DE DÉBITO
CARTÃO DE CRÉDITO
1997 2940
2001 2600
1997 440
2001 853
1997 56
2001 371
340
413
315
2940
440
56
100
100
100
340 X
X
X 413
315
11,56%
93,86 %
562,5% 315
2940
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7 - (D) NO RETÂNGULO ABCD, MOSTRADO
NA FIGURA ABAIXO, M É O PONTO MÉDIO
DO LADO AB.
Se MD e MC são arcos de circunferências que
têm 8 cm de diâmetro, a área da região
sombreada, em centímetros quadrados é:
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a) 32(1 – 𝜋)
b) 16(2 – 𝜋)
c) 8(4 – 𝜋)
d) 4(1 – 𝜋)
e) 4 – 𝜋
Solução:
Área procurada é dada por:
AretÂngulo - 1
2 Acirculo
b.h - 1
2𝜋r²
8.4 - 1
2 𝜋.4²
32 - 1
2 16 𝜋 =
Observe que em nenhum dos itens aparece a
resposta encontrada, então esta errada?
Não a resposta esta fatorada...
32 – 8 𝜋
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8 - UM TERRENO PLANO TEM A FORMA DE
UM RETÂNGULO CUJO PERÍMETRO É 78M.
SE A SUPERFÍCIE DESSE TERRENO TEM
ÁREA DE 350M2, ENTÃO A DIFERENÇA
POSITIVA ENTRE AS MEDIDAS DO SEU
COMPRIMENTO E DA SUA LARGURA, EM
METROS, É:
a) 11
b) 12,5
c) 13
d) 14,5
e) 15
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9 - UM PRISMA TRIANGULAR TEM TODAS AS
ARESTAS CONGRUENTES E 48M² DE ÁREA
LATERAL. SEU VOLUME VALE:
Solução:
A área lateral é a soma de
todas as área das faces laterais
Logo temos:
3 x Aquadrado = 48 m²
3 x a² = 48
a² = 48/3
a² = 48/3
a² = 16 a = 4
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O volume de um prisma de base triangular é:
V = Abase. h
Abase = 𝑙² 3
4 Abase =
4² 3
4 Abase =
16 3
4 Abase = 4 3
V = Abase. h V = Abase. h V = 4 3 . 4 V = 16 3
![Page 26: Aulão de geometria espacial](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022050802/5593996f1a28ab811a8b4655/html5/thumbnails/26.jpg)
Há dois tipos de pessoas que
nunca chegam a realizar
muito ao longo da vida. Um
deles é quem não faz o que
lhe dizem para fazer e o outro
é quem faz apenas o que lhe
dizem para fazer."
(Andrew Carnegie)