Download - AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 2)
AUTOMATYKAi
ROBOTYKA
(wykład 2)
Wykładowca : dr inż. Iwona OprzędkiewiczNazwa wydziału: WIMiRNazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH
Przekształcenie Laplace’a
• Transformata Laplace'a jest jednym z narzędzi matematycznych służących do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych zwyczajnych. W metodzie tej przekształca się równanie różniczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne, którego zmienną jest operator Laplace'a „s”.
• Następnie (w równaniu algebraicznym) wykonuje się konieczne przekształcenia
• Rozwiązanie równania różniczkowego uzyskiwane jest poprzez zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a.
Definicja transformaty Laplace’a
0)( dtetf t
dla pewnej skończonej liczby rzeczywistej σ, transformatę Laplace'a tej funkcji wyznacza się z następującej całki:
£
0)()()( dtetfsFtf st
Mając funkcję czasową f(t) spełniającą następujący warunek:
Zmienna s określana tutaj jako operator Laplace'a i jest zmienną zespoloną określoną wzorem
s =σ + jω .
Podstawowe twierdzenia
1. Liniowość:
£{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s), a, b – stałe
2. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej:
£
s
sFdttf
t )()(
0
Podstawowe twierdzenia cd.
3. Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej:
£
1
0
)(1 )0()()( n
k
kknnn
n
fssFsdt
tfd
• pierwsza pochodna:
£ )0()()(
fssFdt
tdf
• druga pochodna:
£ )0(')0()()( 2
2
2
fsfsFsdt
tfd
Podstawowe twierdzenia cd.
sdssF
t
tf)(
)(
5. Różniczkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)
£
n
nnn
ds
sFdtft
)()1()(
4. Całkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)
£
Podstawowe twierdzenia cd.
6. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej
£ T jest stałą
)()( sFeTtf sT7. Przesunięcie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)
£ T jest stałą
asFtfeat )(
Podstawowe twierdzenia cd.
a
sF
aatf
1)(
9. Splot funkcji (twierdzenie Borela) :
£{f1(t) * f2(t)} = F1(s)F2(s) , gdzie f1(t)* f2(t) = £ dtfft
)()( 20 1
8. Zmiana skali :
£ ,a jest stałą dodatnią
Przykład wyznaczania transformaty z definicji
20
00 s
Adt
s
Ae
s
AtedtAtesF
ststst
Wtedy z definicji można zapisać:
Przy wyznaczaniu całki zastosowana została metoda całkowania przez części:
vduuvudv
gdzie u=At oraz dv=e-stdt
Dana jest funkcja liniowo narastająca:
0
00
tAt
ttf
Transformaty Laplace’a najczęściej spotykanych funkcji
Lp. Oryginał f(t) Transformata F(s)
1. )(
)(
Diracafunkcja
yjednostkowimpulst 1
2. )'(
)(1
aHeavysidefunkcja
yjednostkowskokt s
1
3. t 2
1
s
4. 1
)!1(
1
nt
t 1;
1n
s n
5. te s
1
6. tet 2)(
1
s
7. tn
et
t
)!1(
1
ns )(
1
8. tsin 22
s
9. tcos 22 s
s
10. tsinh 22
s
11. tcosh 22 s
s
12. te t sin 22)(
s
ZASTOSOWANIE TRANSFORMATY LAPLACE'A DO ROZWIĄZYWANIA LINIOWYCH RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH
Etapy:
1. Transformowanie równania różniczkowego w dziedzinę s przez transformatę Laplace'a przy użyciu tablicy transformat.
2. Przekształcanie transformowanego równania algebraicznego i jego rozwiązywanie.
3. Rozkładu transformowanego równania algebraicznego na ułamki proste.
4. Wyznaczenie odwrotnej transformaty Laplace'a z tablicy transformat.
Przykład 1 - Transformacji równania różniczkowego w dziedzinę s.
232
1
1
1
MJJ
ki
J
k
dt
d
vLL
ki
L
R
dt
diu
Mamy model matematyczny układu zapisany w postaci równań różniczkowych:
Po transformacie na dziedzinę s otrzymamy:
232
1
1)()()(
)(1
)()()(
MJ
sJ
ksI
J
kss
sVL
sL
ksI
L
RssI u
Przykład 2 - Transformacji równania różniczkowego w dziedzinę s.
0)(2
2
3
3
EtDidt
diC
dt
idB
dt
idA
Mamy model matematyczny układu zapisany w postaci równania różniczkowego:
Po transformacie na dziedzinę s otrzymamy:
0)()()()( 23 EsDIssCIsBIssAIs
ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE
)(
)()(
sM
sLsG Dana jest funkcja:
gdzie L(s) i M(s) są wielomianami względem s. Równanie zostało zapisane przy założeniu, że rząd wielomianu M(s) jest większy od rzędu wielomianu L(s). Wielomian mianownika M(s) może być zapisany następująco:
011
1 ...)( asasasasM nn
nn
gdzie a0 , a1 ,..., an są współczynnikami rzeczywistymi.
Bieguny funkcji G(s) są jednokrotne
))...()((
)(
)(
)()(
21 nssssss
sL
sM
sLsG
gdzie s1 ≠ s2 ≠…≠ sn . Jeśli rząd licznika jest mniejszy od rzędu mianownika, wówczas rozkład takiej funkcji na ułamki zwykłe jest następujący:
Następnie przystępuje się do wyznaczania współczynników Ki (i = 1, 2, ..., n). Polega to na sprowadzeniu sumy ułamków zwykłych do wspólnego mianownika i porównaniu ze sobą odpowiadających sobie współczynników liczników.
)(...
)()()(
)()(
2
2
1
1
n
n
ss
K
ss
K
ss
K
sM
sLsG
Przykład
Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:
)3)(2(
43)(
2
sss
ssG
Zapisujemy podaną funkcję w następującej postaci:
32)3)(2(
43 3212
s
K
s
K
s
K
sss
ssG
Po przemnożeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano:
)2()3()3)(2(43 3212 ssKssKssKs
Przekształcając: 13212
3212 6)235()(43 KsKKKsKKKs
Porównując współczynniki równania:
46
0235
3
1
321
321
K
KKK
KKK
Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy:
3
2323
2
3
2
1
K
K
K
Przykład cd.
Po podstawieniu otrzymujemy:
3
1
3
23
2
12
1
3
2
)3)(2(
43)(
2
ssssss
ssG
Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne
))...()(())...()((
)(
)(
)()(
2121 nn ssssss
resztowywielomianC
ssssss
sL
sM
sLsG
C-liczba całkowita
Jeśli stopień wielomianu licznika nie jest niższy niż stopień wielomianu mianownika, wówczas wielomian licznika musi zostać podzielony przez wielomian mianownika, aż uzyska się stopień wielomianu resztkowego niższy od stopnia mianownika
Funkcja G(s) ma bieguny jednokrotne-metoda residuów
))...()((
)(
)(
)()(
21 niii
i
sis
ii ssssss
sL
sM
sLssK
Tzw. metodą residuów, polega na obustronnym pomnożeniu wyrażenia G(s) przez (s- si), podstawieniu za s = si i wyznaczenie współczynnika Ki. Odbywa się następująco:
Przykład
)3)(2(
43)(
2
sss
ssG
Rozwiązanie:
3
2
6
4
)3)(2(
43))((
0
2
01
s
s ss
sssGK
42
8
)3(
43))()2((
2
2
22
s
s ss
ssGsK
3
23
)23(3
23
)2(
43))()3((
3
2
33
s
s ss
ssGsK
Rozłóż na ułamki proste (stosując metodę Residuów) funkcję operatorową:
Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne
rss
sL
sM
sLsG
)(
)(
)(
)()(
1
W tym przypadku funkcja operatorowa G(s) może być wyrażona w sposób:
Jeśli bieguny (pierwiastki równania charakterystycznego) funkcji operatorowej G(s) są wielokrotne i rzeczywiste wówczas można zapisać:
rr
ss
A
ss
A
ss
A
sM
sLsG
)(...
)()()(
)()(
12
1
2
1
1
współczynniki A1 , A2 ,..., Ar odpowiadają biegunom wielokrotnym i mogą zostać wyznaczone metodą (klasyczną) podaną dla poprzedniego przypadku.
Przykład
Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:
Funkcja ta ma potrójny biegun w s = −1. Rozkład funkcji operatorowej G(s) na ułamki proste odbywa się według zależności:
Rozwiązanie:
Po przemnożeniu przez mianownik lewej części równania otrzymano :
Po uporządkowaniu:
)2()1(
1)(
3
ssssG
35
24321
3 )1()1(12)2()1(
1
s
K
s
K
s
K
s
K
s
K
sss
)2()2)(1()2()1()1()2()1(1 542
33
23
1 ssKsssKsssKssKssK
154321
254321
34321
4321
2)2227(
)3539()435()(1
KsKKKKK
sKKKKKsKKKKsKKK
Przykład cd.
Porównując współczynniki równania otrzymujemy:
12
02227
03539
0435
0
1
54321
54321
4321
321
K
KKKKK
KKKKK
KKKK
KKK
Rozwiązanie układu:
1
0
12
12
1
5
4
3
2
1
K
K
K
K
K
Po rozłożeniu na ułamki proste funkcja G(s) zapisujemy w postaci::
3)1(
1
1
1
2
1
2
11
2
1)(
sssssG
Funkcja G(s) ma bieguny wielokrotne-metoda residuów
sis
rir sM
sLssA
)(
)()(
• Współczynniki wyznaczane są w następujący sposób:
sis
rir sM
sLss
ds
dA
)(
)()(1
sis
rir sM
sLss
ds
dA
)(
)()(
!2
12
2
2
sis
rir
r
sM
sLss
ds
d
rA
)(
)()(
!1
11
1
1
……………………………………………….
Przykład
Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową:
Rozwiązanie:
)2()1(
1)(
3
ssssG
2
1
)1(
1))(2(
2322
ss ss
sGsK
1)2(
1))(1(
11
33
ss ss
sGsK
0)2(
1))(1(
11
34
ss ssds
dsGs
ds
dK
1
)2(
22))(1(
2
1
1221
3
2
2
5
s
s ss
s
ds
dsGs
ds
dK
2
1
)2()1(
1))((
0301
ss ss
ssGK
Funkcja G(s) ma bieguny zespolone
W tym przypadku transmitancję zapisujemy w następującej postaci:
)(
)(
)(
)()(
2 cbss
sL
sM
sLsG
gdzie: b, c – stałe oraz
Rozkładając tego typu funkcję na ułamki proste, funkcję G(s) zapisujemy:
qps
DBs
cbss
sLsG
22 )()(
)()(
042 cb
Przykład
Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję operatorową :
)102(
8)(
2
sss
ssG
Otrzymujemy rozwiązanie:
102)102(
8)(
2321
2
ss
KsK
s
K
sss
ssG
sKsKssKs )()102(8 322
1
1312
21 10)2()(8 KsKsKsKKs
5
135
45
4
3
2
1
K
K
K
Przykład cd.
102
134
5
11
5
4
)102(
8)(
22
ss
s
ssss
ssG
91
134
5
11
5
4)( 2
s
s
ssG
albo:
Po rozłożeniu na ułamki proste podana transmitancja przyjmuje postać:
Wyznaczanie odwrotnej transformaty Laplace’a
Operację wyznaczania funkcji f(t) z danej transformaty operatorowej Laplace'a F(s) wykonuje się przy użyciu odwrotnej transformaty Laplace’a, a którą wyznacza się z następującego wzoru:
£-1
jc
jc
st
t
ttfdsesF
jsF
0,0
0),()(
2
1)(
gdzie c jest stałą .Dla funkcji złożonych, odwrotna transformata Laplace'a znajdowana jest
przez rozkład na ułamki proste i następnie przez zastosowanie tabeli transformat.
Przykład 1
Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s):
3
1
3
23
2
12
1
3
2
)3)(2(
43)(
2
ssssss
ssG
Odczytując wprost z tablicy transformat:)(1
3
21
3
2£ 1 t
s
i z własności transformat ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”:
£ asFtfeat )(
)(122
1£2
2
12£ 211 te
sst
)(13
23
3
1£
3
23
3
1
3
23 31 tess
t
1£
Przykład 1 cd.
)(1]3
232
3
2[)(1
3
23)(12)(1
3
2)( 3232 teetetettf tttt
)3)(2(
43)(
2
sss
ssGTransformata odwrotna (czyli oryginał ) funkcji
ma następującą postać:
Przykład 2
Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s):)2()1(
1)(
3
ssssG
3)1(
1
1
1
2
1
2
11
2
1)(
sssssGPo rozłożeniu na ułamki proste:
)(12
11
2
1£ 1 t
s
)(12
1
2
1£
2
1
2
1
2
1£ 211 te
sst
)(11
1£
1
1£ 11 te
sst
Przykład 2 cd.
3)1(
1
s
1
)!1(
1
nt
t1;
1n
s n
Lp.
Oryginał f(t) Transformata F(s)
4.
Składnik należy obliczyć następująco:
2
3
1
2
11£ t
s
Korzystamy z własności funkcji ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”:
£ asFtfeat )(tet
s12
31
2
1
)1(
1£
Otrzymujemy:
)(12
1)(1)(1
2
1)( 2 tettettf tt
Wyznaczony oryginał:
Przykład 3
Wyznacz transmitancję odwrotną transformaty G(s):)102(
8)(
2
sss
ssG
102
134
5
11
5
4)(
2
ss
s
ssG
Oryginał pierwszego składnika: )(15
41
5
4£ 1 t
s
Drugi składnik należy przekształcić w następujący sposób:
22222 3)1(
3
5
3
3)1(
1
5
4
102
134
5
1
ss
s
ss
s
Korzystając z własności „Liniowość” £{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s)
Otrzymano:
22
1
22
1
2
1
3)1(
3£
5
3
3)1(
1£
5
4
102
134
5
1£
ss
s
ss
s
Przykład 3 cd.
Korzystając z własności funkcji ”Przesunięcie w dziedzinie zespolonej”:
£ asFtfeat )(
tcos22 s
s
tsin22
s
Lp.
Oryginał f(t) Transformata F(s)
9.
8.
t-t-2
1 sin(3t)e5
3cos(3t)e
5
4
102
134
5
1£
ss
s
t-t- sin(3t)e5
3cos(3t)e
5
4)(1
5
4)( ttf
Otrzymujemy:
Odwrotna transformata:
Przykład 4
Wyznacz transformatę Laplace'a F(s) funkcji pokazanej na poniższym rysunku, gdzie f(t) = 0, dla t < 0 oraz dla t > 2a.
Rozwiązanie:
atdla
atadlaA
atdlaA
tdla
tf
2,0
2
0,
0,0
)( Podaną funkcję zapisujemy:
Albo f (t) = A *1(t) − 2A*1(t − a) + A*1(t − 2a) dla 0 ≤ t < 2a
F(s) = £{f (t)} = £{A *1(t)} + £{- 2A *1(t - a)} + £{A*1(t - 2a)}
222 )1()21(11
21
)( asasasasas es
Aee
s
Ae
sAe
sA
sAsF
Korzystając z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie rzeczywistej otrzymujemy: