Download - B Desjardins Inaug
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 1/31
Analyse Mathématique des Ecoulements FluidesLes instabilités de Rayleigh–Taylor
Benoît Desjardins
Département de Mathématiques et Applications, Ecole Normale Supérieure
Fondation Hadamard, 18 Mai 2011
Collaborateurs :
Didier Bresch, LAMA, Université de Savoie
David Gérard-Varet, Université Paris 7
Jean-Michel Ghidaglia, CMLA E.N.S. Cachan
Emmanuel Grenier, UMPA, E.N.S. Lyon
1 / 3 1
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 2/31
La dynamique des fluides
Les fluides sont des milieux matériels parfaitement déformables,
assemblages de molécules, pouvant se déplacer relativement les unes auxautres.
Une description microscopique de la dynamique des fluides , où l’on suivraitchaque molécule, est impossible.
2 / 3 1
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 3/31
La dynamique des fluides
Les fluides sont des milieux matériels parfaitement déformables,
assemblages de molécules, pouvant se déplacer relativement les unes auxautres.
Une description microscopique de la dynamique des fluides , où l’on suivraitchaque molécule, est impossible.
On adopte une description macroscopique .
Le fluide est assimilé à un continuum, repéré par le temps t et la variabled’espace x = (x , y , z ).
L’évolution du fluide est décrite à l’aide de grandeurs moyennes ,dépendant de t et de x.
Par exemple : la vitesse du fluide u = (u , v , w ), la densité ρ, la pression p ,la température T , des traceurs (salinité S pour un océan, nature du fluide(phase). . .).
3 / 3 1
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 4/31
La dynamique des fluides
Les grandeurs u (t , x), . . . , T (t , x) correspondent à des moyennes sur unvolume élémentaire, au temps t , autour du point x.
L’évolution de ces grandeurs est exprimée à l’aide d’équations aux dérivées partielles (EDP).
4 / 3 1
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 5/31
La dynamique des fluides
Les grandeurs u (t , x), . . . , T (t , x) correspondent à des moyennes sur unvolume élémentaire, au temps t , autour du point x.
L’évolution de ces grandeurs est exprimée à l’aide d’équations aux dérivées partielles (EDP).
Dérivée et dérivées partielles : concepts introduits par
Isaac Newton (1643-1727) Gottfried Leibniz (1646-1716)
5 / 3 1
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 6/31
La dynamique des fluides
Pour une fonction d’une seule variable f (t ) :
Le taux de variation de f entre t et t + ∆t est
∆f
∆t =
f (t + ∆t ) − f (t )
∆t
Le taux de variation instantané en t estdf
dt (t ) = lim
∆t →0
f (t + ∆t ) − f (t )
∆t
6 / 3 1
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 7/31
La dynamique des fluides
Pour une fonction d’une seule variable f (t ) :
Le taux de variation de f entre t et t + ∆t est
∆f
∆t =
f (t + ∆t ) − f (t )
∆t
Le taux de variation instantané en t est
df
dt (t ) = lim
∆t →0
f (t + ∆t ) − f (t )
∆t
Pour une fonction de plusieurs variables f (t , x , y , z ) :
On peut dériver par rapport à chaque variable en figeant les autres.
Dérivée partielle par rapport à t , par rapport à x :
∂ f
∂ t (t , x , y , z ),
∂ f
∂ x (t , x , y , z ), etc.
7 / 3 1
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 8/31
La dynamique des fluides
Une EDP est une équation qui relie les grandeurs étudiées et leurs dérivées
partielles.
8 / 3 1
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 9/31
La dynamique des fluides
Une EDP est une équation qui relie les grandeurs étudiées et leurs dérivées
partielles.
Notation pratique : Le gradient ∇ =
∂
∂ x ,
∂
∂ y ,
∂
∂ z
est le vecteur des
dérivées partielles en espace. Se manipule presque comme un vrai vecteur :
u · ∇ = u ∂ ∂ x
+ v ∂ ∂ y
+ w ∂ ∂ z
,
∇ · u = ∂ u
∂ x +
∂ v
∂ y +
∂ w
∂ z ,
∇ · ∇ = ∂ ∂ x
∂ ∂ x
+ ∂ ∂ y
∂ ∂ y
+ ∂ ∂ z
∂ ∂ z
, etc
9 / 3 1
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 10/31
La dynamique des fluides
Une EDP est une équation qui relie les grandeurs étudiées et leurs dérivées
partielles.
Notation pratique : Le gradient ∇ =
∂
∂ x ,
∂
∂ y ,
∂
∂ z
est le vecteur des
dérivées partielles en espace. Se manipule presque comme un vrai vecteur :
u · ∇ = u ∂ ∂ x
+ v ∂ ∂ y
+ w ∂ ∂ z
,
∇ · u = ∂ u
∂ x +
∂ v
∂ y +
∂ w
∂ z ,
∇ · ∇ = ∂ ∂ x
∂ ∂ x
+ ∂ ∂ y
∂ ∂ y
+ ∂ ∂ z
∂ ∂ z
, etc
Pour un fluide homogène et incompressible, tel l’eau ou l’air à bassealtitude, les EDP de référence sont les équations de Navier-Stokes .
10/31
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 11/31
Les équations de Navier-Stokes
Claude-Louis Navier (1785-1836) George Stokes (1819-1903)
Il s’agit d’un système de deux équations, sur u et p :
La première traduit la relation fondamentale de la dynamique.
ρ
∂
∂ t + u · ∇
u
accélération
= ν ∇ · ∇u
diffusion
−∇p
pression
+ ρg
gravité
La deuxième traduit l’incompressibilité
∇ · u = 0
incompressibilité
11/31
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 12/31
Ecoulements complexes à plusieurs phases
Deux fluides de densités ρ+ (lourd) et ρ− (léger) séparés par une interfaceen présence de
forces de gravité.cisaillement U + = U − ou U + = U − = 0 ?
Pour des fluides non visqueux, l’interface plane est solution stationnaireexacte des équations d’évolution du système.
En général, pas de solutions analytique pour ce système.12/31
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 13/31
Ecoulements complexes à plusieurs phases : stabilité
Stabilité d’un système dynamique en dimension infinie
dZ
dt = f (Z ), Z (0) = z
dont Z (t , z ) = z ∗ est un point singulier (solution stationnaire f (z ∗) = 0).
13/31
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 14/31
Ecoulements complexes à plusieurs phases : stabilité
Stabilité d’un système dynamique en dimension infinie
dZ
dt = f (Z ), Z (0) = z
dont Z (t , z ) = z ∗ est un point singulier (solution stationnaire f (z ∗) = 0).
Stabilité sur [0, T ] : pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que siZ (0) − z ∗1 < α alors
supt ∈[0,T ]
Z (t ) − z ∗2 < ε.
14/31
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 15/31
Ecoulements complexes à plusieurs phases : stabilité
Stabilité d’un système dynamique en dimension infinie
dZ
dt = f (Z ), Z (0) = z
dont Z (t , z ) = z ∗ est un point singulier (solution stationnaire f (z ∗) = 0).
Stabilité sur [0, T ] : pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que siZ (0) − z ∗1 < α alors
supt ∈[0,T ]
Z (t ) − z ∗2 < ε.
Système linéarisé autour de z = z ∗ :
d Z̃
dt = f (z ∗) · Z̃ , Z̃ (0) << 1.
15/31
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 16/31
Instabilités de Rayleigh–Taylor
L’analyse de stabilité de cette solution z ∗ consiste à perturber l’interfacepar une onde plane y = a 0 sin(kx ) de longueur d’onde λ = 2π/k et
d’amplitude a 0 "petite" :
Lord Rayleigh (1842-1919)
16/31
I b l é d R l h T l
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 17/31
Instabilités de Rayleigh–Taylor
L’analyse de stabilité de cette solution z ∗ consiste à perturber l’interfacepar une onde plane y = a 0 sin(kx ) de longueur d’onde λ = 2π/k et
d’amplitude a 0 "petite" :
Lord Rayleigh (1842-1919)
Dans le régime linéaire, on cherche une solution sous la formey = a (t )sin(kx )
a (t ) = a 0 exp(γ t ) avec γ = Agk , A =
ρ+ − ρ−
ρ+ + ρ− (Atwood)17/31
F i fi i i l
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 18/31
Fusion par confinement inertiel
Instabilités de Rayleigh–Taylor dans le régime linéaire ou faiblement non
linéaire. 18/31
D li é i li é i
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 19/31
Du linéaire au non linéaire...
19/31
é i t b l t
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 20/31
... au régime turbulent
Expériences d’instabilités de Rayleigh–Taylor
S. Dalziel (1992)
20/31
é i t b l t
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 21/31
... au régime turbulent
G. Dimonte (1999)
21/31
Expériences d’instabilités de Rayleigh Taylor
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 22/31
Expériences d instabilités de Rayleigh–Taylor
Mesures de la taille de la zone de mélange turbulent (ZMT) : croissancede la taille des bulles Lb (t )
Lb (t ) = αAgt 2, A = ρ+ − ρ−
ρ+ + ρ− (nombre d’Atwood),
où α ∼ 0.06.
22/31
Instabilités de Rayleigh Taylor en Astrophysique
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 23/31
Instabilités de Rayleigh–Taylor en Astrophysique
Explosion de Supernovae de type II
Nébuleuse du Crabe 23/31
Simulation numérique
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 24/31
Simulation numérique
Discrétisation des équations aux dérivées partielles (différences finies,volumes finis, éléments finis...)
calcul parallèle : décomposition de domaines
TERA 100, CEA Bruyères le Châtel :
4 370 serveurs, 138 368 coeurs Intel Xeon 7500.
1.05 Petaflops (1015 flops)
300 To de RAM 24/31
Simulations numériques d’instabilités de Rayleigh–Taylor
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 25/31
Simulations numériques d instabilités de Rayleigh–Taylor
Simulations numériques (LLNL)
25/31
Simulations numériques d’instabilités de Rayleigh–Taylor
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 26/31
Simulations numériques d instabilités de Rayleigh–Taylor
Cabot (2006)
26/31
Comparaison expériences / Simulations numériques
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 27/31
Comparaison expériences / Simulations numériques
Croissance de la taille des bulles dans la zone de mélange turbulent :Lb (t ) = αb Agt 2 αb ∼ 0.06 :
27/31
Influence des schémas numériques
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 28/31
Influence des schémas numériques
Van Leer Superbee 5ème ordre WENO
28/31
Influence du pas de discrétisation
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 29/31
Influence du pas de discrétisation
1283 2563
29/31
Influence des conditions initiales
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 30/31
Influence des conditions initiales
16 × 16 32 × 32 64 × 64
30/31
Conclusions / Directions de recherche
7/21/2019 B Desjardins Inaug
http://slidepdf.com/reader/full/b-desjardins-inaug 31/31
Conclusions / Directions de recherche
Pistes de recherche :
Prise en compte des phénomènes physiques aux petites échelles
Méthodes numériques et calcul scientifique
Analyse mathématique des solutions
Modélisation : modèles statistiques, moyennés. . .
Merci pour votre attention !
31/31