• Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsurdengan kriteria/syarat tertentu.
• Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota(elemen) S. (elemen) S.
• Himpunan yang tidak memiliki anggota disebuthimpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.
• Jika a merupakan anggota himpunan S, makadituliskan dan dibaca “a elemen S”.
• Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan
dan dibaca “a bukan elemen S”.
a S∈
a S∉
∅
Pada umumnya, sebarang himpunan dapat
dinyatakan dengan 2 cara.
• Dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai
contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsurcontoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur
1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:
• Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh
seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki
oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan
tersebut.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =
{ bilangan bulat positif kurangdari 10}A x x=
• Bilangan asli adalah salah satu sistem bilangan
yang paling sederhana, anggota-anggotanya
adalah: 1, 2, 3, 4, ……
Himpunan bilangan asli diberi lambang N, jadiHimpunan bilangan asli diberi lambang N, jadi
N = {1, 2, 3, 4, …………}
• Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli,
negatifnya, dan bilangan nol. Bilangan bulat
diberi lambang Z, jadi
Z = {….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
• Bilangan rasional adalah bilangan yang
dapat dinyatakan sebagai bentuk , di mana a
dan b adalah bilangan bulat dan .
Bilangan Rasional diberi lambang : Q
a
b
0b ≠
Bilangan Rasional diberi lambang : Q
• Contoh
Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai:
atau dan sebagainya12
2
30
5
• Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanya
desimal berulang
• Contoh
merupakan bilangan rasional3 merupakan bilangan rasional3
7
Bukti Misal x = 0,753753753753…. 1000 x = 753,753753753… 1000 x – x = 753 999 x = 753
753
999x = (terbukti)
• Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan
rasional, persisnya adalah bilangan yang tidak dapat
dinyatakan sebagai bentuk a/ b di mana a dan b
adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.
ContohContoh
• π = 3,141592653358…….. (desimalnya tidak
beraturan/tidak berulang)
• e = 2,71828281284590….... (desimalnya tidak
beraturan/tidak berulang)
• √2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidak
beraturan/tidak berulang
• Bilangan riil adalah gabungan dari himpunan
bilangan rasional dan irrasional.
• Himpunan bilangan riil dilambangkan dengan
RR
R
Q
Z
Bilangan Riil
Bilangan Rasional
Bilangan Bulat
NBilangan
Asli
• Suatu garis bilangan adalah suatu penyajian
bilangan-bilangan riil secara grafis oleh titik-
titik pada suatu garis lurus
1 = 2,7182e=2 1,4142
− = −2 1,4142 π = 3,14159
− 1100= 2,7182e
• Interval atau selang adalah suatu himpunan
bagian tidak kosong dari himpunan bilangan
riil R yang memenuhi suatu ketidaksamaan
tertentutertentu
• Jika digambarkan pada garis bilangan (garis
riil), maka interval akan berupa suatu segmen
garis (ruas garis) yang batas – batasnya jelas.
• Ada dua jenis interval, yaitu interval berhingga
dan interval tak berhingga.
Interval Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas
No Notasi
Himpunan
Notasi
Interval Grafik
1 { }|x a x b< < ( ),a b
2 { }|x a x b≤ ≤ [ ],a b
3 { }|x a x b≤ < [ ),a b
4 { }|x a x b< ≤ ( ],a b
Interval Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas
No Notasi
Himpunan
Notasi
Interval Grafik
1 { }|x x a> ( ),a +∞
2 { }|x x a≥ [ , )a ∞
3 { }|x x b< ( , )b−∞
4 { }|x x b≤ −∞( , ]b
1. 2 4x− < ≤
2. − < ≤1,5 4,7x
3. > 2x
4. ≤ −3,5x
5. 2 3 6x atau x≤ − < ≤
• Peubah (variable) adalah lambang (symbol)
yang digunakan untuk menyatakan sebarang
anggota suatu himpunan.
• Jika himpunannya R maka peubahnya disebut• Jika himpunannya R maka peubahnya disebut
peubah real.
• Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan
matematis yang memuat satu perubah atau
lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan
(<, >, ≤, ≥).
• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki
arti mencari seluruh bilangan real yang dapat
dicapai oleh peubah-peubah yang ada dalam
pertidaksamaan tersebut sehinggapertidaksamaan tersebut sehingga
pertidaksamaan tersebut menjadi benar.
• Himpunan semua bilangan yang demikian ini
disebut penyelesaian (Himpunan Penyelesaian)
Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan berikut:
A. 4x + 2 < 2x +10 F. -2x + 3 ≤ x – 6 ≤ 3
B. 3x - 2 ≤ 4x + 5B. 3x - 2 ≤ 4x + 5
C. x2 – 7x + 10 < 0 G.
D. 2x2 + x – 15 ≥ 0
E. -1 < 3x – 4 < 8 H.
30
2
x
x
+≥
−
34
2
x
x
+≥
−
A. 4x + 2 < 2x +10
� 4x – 2x < 10 – 2
� 2x < 8
� x < 4
B. 3x - 2 ≤ 4x + 5
� 3x – 4x ≤ 5 + 2
� -x ≤ 7
� x ≥ -7� x < 4
� Hp = { x | x < 4 }
Hp = (-∞, 4)
� x ≥ -7
� Hp = { x | x ≥ -7 }
Hp = [-7, ∞)
C. x2 – 7x + 10 < 0 ⇔ (x – 2)(x – 5) < 0
• Tentukan pembuat nol ruas kiri
x = 2 atau x = 5
• Gambarkan pada garis bilangan, sehingga• Gambarkan pada garis bilangan, sehingga
terbentuk beberapa selang (yaitu x < 2, 2 <x <
5, dan x > 5)
2 5
• Tentukan tanda pada masing – masing interval (selang)
dengan cara memberikan nilai dari masing-masing interval
(cukup satu wakil), misal kita ambil : x = 0; x = 3; dan x = 6.
x = 0 � (x – 2)(x – 5) = (-2)(-5) = 10 > 0 (positif)
Maka pada selang x <2 beri tanda (+)Maka pada selang x <2 beri tanda (+)
x = 3 � (x – 2)(x – 5) = (1)(-2) = -2 < 0 (negatif)
Maka pada selang 2 < x < 5 beri tanda (-)
x = 6 � (x – 2)(x – 5) = (4) (1) = 4 > 0 (positif)
Maka apda selang x > 5 beri tanda (+)
• Sekarang perhatikan tanda pertidaksamaan
yaitu < 0, atau negatif (-)
• Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
interval yang bertanda (-) [negatif] yaituinterval yang bertanda (-) [negatif] yaitu
• HP = {x| 2 < x < 5} = (2,5)
D. 2x2 + x – 15 ≥ 0 ⇔ (2x – 5)(x + 3) ≥ 0
Pembuat nol x = -3 dan x = 5/2
• HP = {x| x ≤≤≤≤ -3 atau x ≥≥≥≥ 5/2}
= (-∞, -3] U [5/2, ∞)
E. -1 < 3x – 4 < 8
� -1 + 4 < 3x < 8 + 4
� 3 < 3x < 12
� 1 < x < 4
F. -2x + 3 ≤ x – 6 ≤ 3
(1) - 2x + 3 ≤ x – 6
� - 2x – x ≤ - 6 – 3
� -3x ≤ -9� 1 < x < 4
� Hp = {x | 1 < x < 4}
= (1,4)
� -3x ≤ -9
� -x ≤ -3
� x ≥ 3
� Hp1 = {x | x ≥ 3}
= [3, ∞) 1 4
(2) x – 6 ≤ 3
� x ≤ 3 + 6
� x ≤ 9
Hp2 = {x | x ≤ 9}
Hp = Hp1 Hp2∩
-3
9Hp2 = {x | x ≤ 9}
= (-∞, 9] Hp = { x |-3 ≤ x ≤ 9}
9
9
-3 9
G. Penyelesaian
– Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebut
ruas-ruas kiri
– Uji tanda pada setiap selang
• Pembuat nol pembilang : x = - 3
02
3≥≥≥≥
−−−−
++++
x
x
• Pembuat nol pembilang : x = - 3
• Pembuat nol penyebut : x = 2
• HP = {x| x ≤≤≤≤ 3 atau x > 2} = (-∞∞∞∞,3] U (2,∞∞∞∞)-3
(+) (-) (+)
2
H. Penyelesaian
• Ruas kanan dijadikan nol
34
2
x
x
+≥
−
3 34 4 0
2 2
x x
x x
+ +≥ ⇔ − ≥
− −2 2x x− −
( )4 230
2 2
xx
x x
−+⇔ − ≥
− −
+ − +⇔ ≥
−3 4 8
02
x x
x
− +⇔ ≥
−
3 1 10
2
x
x
• Tentukan pembuat nol dari pembilang dan
penyebut ruas ruas kiri
• Pembuat nol pembilang : x = 11/3
• Pembuat nol penyebut : x = 2
• Uji tanda pada setiap selang
• HP: {x|2 < x ≤≤≤≤ 11/3} = (2, 11/3]
Definisi
Nilai mutlak R∈x , ditulis dengan notasi x , didefinisikan sebagai:
2xx = .
Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai: Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:
<−
≥
=
0,
0,
xx
xx
x
Sebagai contoh, 8)8(8 =−−=− , 2
5
2
5= , 33 = , dst
Jika Ryx ∈, maka:
a. 0≥x 00 =⇔= xx
b. . .x y x y= 0, ≠= yasalxx
b. . .x y x y= 0, ≠= yasaly
x
y
x
c. , 0x a a x a a< ⇔ − < < ≥ dan atau x a x a x a> ⇔ > < −
d. 2 2x y x y≤ ⇔ ≤
• Untuk menyelesaikan pertidaksamaan mutlak
dapat dilakukan dengan:
• Menggunkan sifat nilai mutlak mutlak bagian c
a. , 0x a a x a a< ⇔ − < < ≥a.
b.
• Menggunakan sifat nilai mutlak bagian d2 2x y x y≤ ⇔ ≤
, 0x a a x a a< ⇔ − < < ≥
atau x a x a x a> ⇔ > < −
1. | 2x – 3 | < 4 ⇔ -4 < 2x – 3 < 4
⇔ -4 + 3 < 2x < 4 + 3
⇔ -1 < 2x < 7
⇔ -1/2 < x < 7/2⇔ -1/2 < x < 7/2
• HP = { x / -1/2 < x < 7/2 }
= ( - 1/2 , 7/2 )
-1/2 7/2
2. | 5x + 1 | ≥ 9 ⇔ 5x + 1 ≤ -9 atau 5x + 1 ≥ 9
5x ≤ -10 atau 5x ≥ 8
x ≤ -2 atau x ≥ 8/5
• HP = { x / x ≤ -2 atau x ≥ 8/5 } • HP = { x / x ≤ -2 atau x ≥ 8/5 }
= (- ∞, -2]U[ 8/5, ∞)
3. |2x – 1| > |x + 4|
� (2x – 1)2 > (x + 4)2
� 4x2 – 4x + 1 > x2 + 8x + 16
� (4x2 – x2) + (-4x – 8x) + (1 – 16) > 0� (4x2 – x2) + (-4x – 8x) + (1 – 16) > 0
� 3x2 – 12x – 15 > 0
�(3x + 3)(x – 5 )> 0
� Hp = {x | x < -1 U x > 5}
= (- ∞, -1) U (5, ∞)
-1
(+)
5
(-)(+)
Cara lain: a2 – b2 = (a + b)(a – b)
�(2x – 1)2 > (x + 4)2
� (2x – 1)2 - (x + 4)2 > 0
� ((2x – 1)+(x + 4)) ((2x – 1)-(x + 4)) > 0 � ((2x – 1)+(x + 4)) ((2x – 1)-(x + 4)) > 0
� (3x + 3)(x – 5 )> 0
�Hp = {x | x < -1 U x > 5}
= (- ∞, -1) U (5, ∞)
-1
(+)
5
(-)(+)
• Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan berikut
1. 6.
2. 7.
− < − ≤2 2 4 6x
2 1 5 3x− < − ≤
2 2 3 0x x− − ≤2
3 4 0x x+ − ≥2. 7.
3. 8.
4. 9.
5. 10.
2 1 5 3x− < − ≤
2 10
2
x
x
−>
−
2 4 6 7 3 6x x x− ≤ − ≤ +
2 13
2
x
x
−≤
−
23 4 0x x+ − ≥
2 5 3x + ≤2
5 13
x+ ≥
2 3 6x x− > +