7
BAB II
DASAR TEORI DAN PEMODELAN
PROGRAM SIMULASI
2.1 Analisis Kestabilan Lereng
Lereng merupakan permukaan tanah (material) terbuka yang membentuk sudut
tertentu dengan bidang datar (horizontal). Lereng dapat terjadi secara alamiah atau
buatan yang direkayasa oleh manusia. Lereng alamiah seperti bukit dan tebing
sungai. Lereng buatan seperti galian, timbunan untuk membuat jalan raya, urugan
bendungan, tanggul, dan lereng-lereng penambangan.
Longsoran merupakan keruntuhan dari massa tanah (material) yang berada di
bagian bawah lereng dan menunjukkan adanya ketidakstabilan dalam lereng.
Dalam peristiwa tersebut, terjadi pergerakan massa tanah dari arah bawah ke arah
luar. Longsoran dapat terjadi dengan berbagai cara, secara perlahan-lahan,
mendadak, dan dengan ataupun tanpa provokasi yang terlihat. Analisis dan
perhitungan kestabilan bukan merupakan hal mudah karena adanya
ketidaksamaan yang terdeteksi dalam tanah, rembesan dan pemilihan bentuk
bidang runtuh. (Terzaghi dan Peck, 1993).
Analisis kestabilan lereng melibatkan perbandingan gaya-gaya penahan dalam
lereng seperti gaya gesek material dan gaya-gaya penggerak massa material
longsoran yang tersedia seperti gaya hidrostatik dari permukaan phreatik air
dalam rekahan tarik. Metode kesetimbangan batas dapat menghitung satu atau
lebih kesetimbangan persamaan, antara lain kesetimbangan gaya pada arah
horizontal, kesetimbagan gaya pada arah vertikal, dan kesetimbangan momen.
Ketersediaan teknologi dan kecepatan komputer telah membuat penggunaan
metode-metode tersebut memudahkan perhitungan persamaan-persamaan
kesetimbangan yang terjadi dalam massa material longsoran, sehingga proses
rekayasa (engineering) geometri lereng dapat dikerjakan secara mudah dan cepat
dengan bantuan program komputer.
8
2.1.1 Tujuan Perhitungan Kestabilan Lereng
Dalam praktek, tujuan perhitungan kestabilan lereng sebagai berikut:
1. Merupakan dasar rancangan ulang lereng setelah mengalami longsoran.
2. Memperkirakan kestabilan lereng selama proses konstruksi geometri dan
untuk jangka waktu yang panjang.
3. Mencari rancangan yang aman dan murah sesuai dengan spesifikasi
persyaratan keamanan sebelum pelaksanaan pembangunan geometri
dilakukan.
4. Mempelajari kemungkinan terjadinya longsoran (baik pada lereng alamiah
atau lereng buatan).
5. Mempelajari pengaruh tekanan pori air berupa permukaan phreatik air tanah
dalam lereng.
(Abramson, 1996; Terzaghi dan Peck, 1993).
2.1.2 Faktor yang Mempengaruhi Kestabilan Lereng
Dalam analisis kestabilan lereng yang baik, dibutuhkan representasi konfigurasi
dari lereng, berupa faktor-faktor yang akan mempengaruhi kestabilan lereng,
faktor-faktor tersebut adalah:
1. Proses-proses yang menyebabkan naiknya tegangan geser, antara lain: erosi,
penggalian, pemindahan dinding penahan, penambahan beban akibat air
hujan, penambahan beban akibat adanya bangunan atau kendaraan di puncak
lereng, penambahan tekanan lateral akibat adanya air dalam rekahan tarik
atau akibat pengembangan lempung.
2. Kondisi-kondisi yang menyebabkan turunnya kekuatan geser, antara lain:
bidang perlapisan, pelapukan, kenaikan tekanan pori air, beban atau
guncangan berulang (gempa), hilangnya sementasi tanah (material), pengaruh
pembekuan dan pencairan.
(Abramson, 1996).
Dalam penelitian ini, hanya akan dibahas permukaan phreatik air tanah sebagai
9
salah satu faktor yang mempengaruhi kestabilan lereng.
2.1.3 Konsep Faktor Keamanan Lereng
Dalam analisis kestabilan dengan metode kesetimbangan batas, faktor keamanan
dihitung dengan satu atau lebih dari tiga kesetimbangan persamaan, yaitu,
kesetimbangan pada arah vertikal, kesetimbangan pada arah horizontal, dan
kesetimbangan momen. Faktor keamanan ( ) didefinisikan sebagai berikut:
....................................................................... (2.1)
Lereng diasumsikan berada pada kondisi kritis longsoran ketika sama dengan
satu atau gaya-gaya penahan yang tersedia seimbang dengan gaya-gaya penggerak
yang terjadi. Secara teori, lereng akan stabil jika , tidak stabil jika
, dan berada dalam kondisi kritis jika .
Secara umum, probabilitas longsoran kritis akan berkurang seiring dengan
meningkatnya nilai faktor keamanan. Bagaimanapun, hubungan unik antara
probabilitas longsoran dan faktor keamanan tidak dapat ditetapkan secara tepat
karena bermacam-macam ketidaktentuan kondisi lereng dari site ke site. Dalam
banyak kasus, ketidaktentuan kondisi lereng yang paling banyak digunakan adalah
kekuatan material (soil strength) dan kondisi air bawah tanah (groundwater).
2.1.4 Metode Kesetimbangan Batas
Kestabilan lereng biasanya dianalisis dengan membagi profil lereng menjadi
beberapa bagian irisan dan menghitung faktor keamanan rata-rata dari irisan
tersebut dengan metode kesetimbangan batas. Sebagai contoh, profil lereng yang
tersusun atas material tanah homogen, faktor keamanan terkadang dihitung
dengan menganalisis kestabilan lereng dengan asumsi yang lebih sederhana,
seperti dengan metode busur kritis Taylor. Analisis-analisis tersebut
membutuhkan pengetahuan terhadap geometri lereng dan perkiraan kekuatan
10
material.
Metode kesetimbangan batas mengasumsikan bahwa material bertindak sebagai
sebuah massa yang kaku atau keras dan tidak membutuhkan sifat regangan geser
material tersebut. Asumsi yang umum digunakan bahwa nilai faktor keamanan
adalah sama untuk semua irisan dan tegangan geser diterapkan secara simultan
pada keseluruhan bidang runtuh longsoran. Kebanyakan longsoran bergerak
secara progresif, oleh karena itu, memungkinkan tidak adanya asumsi yang tepat
bagi semua kestabilan lereng. Terlepas dari keterbatasan tersebut, penggunaan
metode ini tetap berkembang luas dan telah banyak dibuktikan bahwa lereng dapat
didesain secara aman, mudah, dan cepat dengan metode ini.
2.1.4.1 Metode Irisan Biasa
Dalam metode Irisan Biasa (Ordinary Method of Slices), gaya-gaya yang bekerja
seperti distribusi tegangan normal efektif pada bidang runtuh harus diketahui.
Kondisi ini pada umumnya dianalisis dengan mendiskretisasi massa bidang runtuh
lereng menjadi beberapa bagian irisan dan mengasumsikan setiap irisan tersebut
sebagai sebuah blok yang meluncur (sliding block). Metode irisan banyak
diaplikasikan pada program komputer kestabilan lereng, karena metode ini dapat
mengakomodasi persoalan geometri lereng yang kompleks, variabel kondisi
material, dan pengaruh beban eksternal.
11
Gambar 2.1 Diskretisasi Irisan Lereng 1)
Semua metode kesetimbangan batas dalam analisis kestabilan lereng membagi
bidang runtuh menjadi buah irisan, dimodelkan pada Gambar 2.1. Setiap irisan
dipengaruhi gaya-gaya yang bekerja secara umum, dimodelkan pada Gambar 2.2.
Dengan melihat Gambar 2.2, persamaan kesetimbangan gaya yang terjadi dapat
dimodelkan, namun juga ada beberapa persamaan kesetimbangan yang belum
diketahui. Oleh karena itu, persamaan kesetimbangan yang belum diketahui dapat
dikurangi dengan membuat beberapa asumsi sederhana. Asumsi yang umum
dibuat adalah tegangan normal pada dasar irisan bekerja pada titik tengah irisan.
Gambar 2.2 Gaya-gaya dalam Irisan 2)
1) Sumber: Buku Slope Stability and Stabilization Method 2nd Edition Halaman 370 2) Sumber: Buku Slope Stability and Stabilization Method 2nd Edition Halaman 354
12
Gambar 2.3 Perumusan Permukaan Bidang Runtuh
Penurunan rumus dalam metode irisan biasa banyak menggunakan prinsip
persamaan garis lurus dan persamaan lingkaran pada Gambar 2.3, dalam
penelitian ini menggunakan analisis dari kiri ke kanan (left to right analysis) pada
model lereng, selanjutnya dijabarkan sebagai berikut:
Pertama-tama, ordinat puncak pada lereng dan ordinat kaki pada lereng harus
ditentukan berdasarkan sistem persamaan garis lurus, didapat persamaan titik
ordinat pada puncak lereng :
............................................................................................... (2.2)
dan, persamaan titik ordinat pada kaki lereng ( ):
.................................................................... (2.3)
selanjutnya, sudut (Gambar 2.3) yang mengapit radius busur dengan titik
pusat ditentukan dengan persamaan:
.............................................................. (2.4)
13
Irisan vertikal lereng dibuat berdasarkan diskretisasi bagian-bagian dari sudut
sebanyak irisan yang ditentukan dengan persamaan:
....................................................................................................... (2.5)
kemudian sudut (Gambar 2.3) ditentukan dengan persamaan:
..................................................................................... (2.6)
lalu sudut (Gambar 2.3) ditentukan dengan persamaan:
..................................................................................... (2.7)
Jika nilai telah diketahui maka dapat ditentukan titik pusat busur
lingkaran tersebut melalui persamaan:
....................................................................... (2.8)
........................................................................ (2.9)
setelah titik pusat diketahui, dilanjutkan dengan mencari absis batas kanan
dan kiri tiap-tiap irisan dan (Gambar 2.3):
.................................................................. (2.10)
......................................................... (2.11)
dengan didapatnya absis batas kanan dan absis batas kiri , dapat dihitung
ordinat batas kanan dan ordinat batas kiri (Gambar 2.3), dengan
persamaan:
......................................................... (2.12)
.......................................................... (2.13)
14
kemudian absis titik tengah tiap-tiap irisan dan sudut dasar tiap-tiap irisan
(Gambar 2.3), dapat ditentukan dengan:
....................................................................................... (2.14)
............................................................................ (2.15)
Setelah absis titik tengah diketahui maka ordinat titik teratas dan ordinat
titik terbawah tiap-tiap irisan, dapat dihitung dengan persamaan:
Irisan sebelum kaki lereng (toe),
............................................................................................... (2.16)
Irisan antara kaki lereng dan puncak lereng,
.......................................................... (2.17)
Irisan sesudah puncak lereng (crest),
............................................................................................... (2.18)
persamaan sama untuk tiap-tiap irisan:
........................................................ (2.19)
Lalu panjang tali busur yang akan digunakan dalam fungsi faktor keamanan
metode Irisan Biasa dihitung dengan:
..................................................................................................... (2.20)
Sebagai langkah terakhir, tinggi irisan tiap-tiap irisan dan lebar tiap-tiap irisan
dapat ditentukan dengan persamaan:
................................................................................ (2.21)
Catatan:
15
Untuk kondisi adanya permukaan phreatik air tanah maka harus ditentukan
tinggi air dalam tiap-tiap irisan persamaan . Dalam penelitian ini,
persamaan permukaan phreatik air tanah tersebut didapat dari fungsi
interpolasi yang telah disediakan dalam MATLAB dan dapat dilihat pada
fungsi rutin fungsi_objektif.m terlampir.
.................................................................................. (2.22)
Akhirnya, semua variabel-variabel telah dirumuskan dan dibutuhkan dalam fungsi
persamaan faktor keamanan metode Irisan Biasa:
................................................................ (2.23)
2.1.4.2 Metode Bishop Sederhana
Metode Bishop Sederhana (Bishop Simplified Method) menggunakan prinsip-
prinsip irisan dalam penentuan faktor keamanan dari suatu massa tanah yang
berpotensi mengalami longsoran. Metode ini hanya memenuhi kesetimbangan
gaya pada arah vertikal dan kesetimbangan momen pada titik pusat lingkaran
bidang runtuh kritis. Akan tetapi, metode ini mengabaikan gaya geser antar irisan
( ).
Berikut ini merupakan rangkuman tabel persamaan yang dapat diketahui dan
besaran yang belum diketahui dalam metode Bishop Sederhana yang akan
digunakan dalam penelitian ini:
Tabel 2.1 Persamaan dan Besaran dalam Metode Bishop Sederhana 3)
3) Sumber: Buku Slope Stability and Stabilization Method 2nd Edition Halaman 355
16
Persamaan yang Diketahui Kondisi
n Kesetimbangan momen tiap irisan
n Kesetimbangan gaya pada arah vertikal
nHubungan Mohr-Coulomb antara tegangan
geser dan tegangan normal efektif
3n Total persamaan yang diketahui
Besaran yang Belum Diketahui Variabel
1 Faktor keamanan
n Tegangan normal pada dasar tiap irisan, N'
n Lokasi tegangan normal, N'
n Tegangan geser pada dasar tiap irisan, Sm
n-1 Asumsi tambahan yang dibuat
4n-1 Total persamaan yang belum diketahui
Persamaan yang digunakan dalam perhitungan faktor keamanan ( ) dengan
Metode Bishop Sederhana (Hoek dan Bray, 1981) sebagai berikut:
Gambar 2.4 Perumusan Metode Bishop Sederhana 4)
......................................................................................... (2.24)
Simbol:
4) Sumber: Buku Rock Slope Engineering Revised 3rd Edition Halaman 248
17
Keterangan:
= gaya kohesi material
= berat jenis material
= berat jenis air
= tinggi material dalam tiap-tiap irisan
= tinggi air dalam tiap-tiap irisan
= sudut gesek dalam material
= lebar tiap-tiap irisan
= sudut dasar tiap-tiap irisan
= kedalaman rekahan tarik
= elevasi dari titik pusat busur kritis sebesar sepertiga kedalaman rekahan
tarik
= radius busur lingkaran
2.1.4.3 Tegangan Normal Efektif
Metode kesetimbangan batas yang telah dikembangkan sejak dulu terkadang
menghasilkan kendala persoalan numerik yang disebabkan oleh tegangan normal
efektif negatif dalam proses perhitungan analisis menggunakan persamaan (Hoek
dan Bray):
........ (2.25)
dengan:
..................................................................... (2.26)
Tegangan normal efektif yang bernilai negatif biasanya terjadi pada kasus yang
18
melibatkan:
Besarnya nilai tekanan pori air ( ).
Kombinasi tipisnya lebar tiap-tiap irisan ( ) dengan nilai berat irisan material
( ) dan nilai kohesi irisan material ( ) yang besar.
Sudut dasar tiap-tiap irisan ( ) yang tajam.
Sudut dasar tiap-tiap irisan ( ),
Dari teori tekanan bumi (earth pressure), permukaan longsor atau bidang runtuh
dasar tiap-tiap irisan harus berada dalam sudut untuk zona pasif dan
sudut untuk zona aktif (SLOPE/W, 2007). Dalam analisis kestabilan
lereng, daerah dekat puncak lereng (crest) atau area masuk dianalogikan sebagai
zona aktif dan daerah dekat kaki lereng (toe) atau area keluar dianalogikan
sebagai zona pasif. Contoh, jika sudut gesek dalam material dalam irisan adalah
maka rentang sudut dasar tiap irisan harus berada antara sampai .
Gambar 2.5 Zona Aktif dan Pasif Tekanan Bumi 5)
Kondisi metode Bishop,
Jika terdapat sudut yang berada di luar rentang tersebut maka akan menimbulkan
kesulitan dalam proses konvergensi faktor keamanan metode Bishop Sederhana
yang merupakan persamaan non-linier. Sebagai konsekuensi, kita biasanya akan
melihat dari buku literatur representasi formula metode Bishop dengan diikuti
5) Sumber: Dokumen PDF Reference Program Slope/W, 2007
19
grafik . Ide grafik adalah untuk menggambarkan bahwa kesulitan proses
konvergensi persamaan fungsi faktor keamanan dapat timbul secara perlahan
dalam analisis jika sudut dasar irisan dekat puncak lereng dan kaki lereng terlalu
tajam.
Gambar 2.6 Grafik 6)
Dilihat dari Gambar 2.6, variabel merupakan fungsi kemiringan sudut dasar
tiap irisan, , dan . Kesulitan perhitungan terjadi ketika nilai
mendekati nol. Situasi ini terjadi ketika nilai kecil dan nilai sangat
besar, atau ketika nilai besar dan nilai sangat kecil maka nilai
akan mendekati nol. Ketika nilai mendekati nol maka nilai tegangan normal
efektif, , akan menjadi sangat besar, sehingga menyebabkan nilai faktor
keamanan menjadi tidak proporsional.
Kebanyakan masalah tersebut berhubungan dengan analisis kesetimbangan batas
yang tidak menentu. Untuk menanggulangi masalah tersebut, dalam program
simulasi yang dirancang, input data yang berkaitan dengan masalah di atas seperti
penentuan input jumlah irisan lereng dibuat fleksibel dengan memberikan
6) Sumber: Dokumen PDF Reference Program Slope/W, 2007
20
keleluasaan pengguna untuk mencoba-coba jumlah irisan yang diinginkan
sehingga diperoleh nilai faktor keamanan yang telah memenuhi kondisi dan
koreksi di atas.
2.1.4.4 Tahap Perhitungan Faktor Keamanan
Prosedur perhitungan faktor keamanan dengan Metode Bishop Sederhana, sebagai
berikut:
1. Geometri lereng dan bidang runtuh
Geometri lereng dinyatakan dengan membuat suatu profil berdasarkan
penampang vertikal lereng tersebut. Profil harus dibuat se-detail mungkin dan
sesuai dengan skala yang ada. Variabel-variabel yang membatasi busur
lingkaran (circular failure) berupa , , , dan jika ada harus ditentukan,
sebagai variabel yang dioptimasi dalam fungsi persamaan faktor keamanan.
2. Parameter irisan
Massa material bidang runtuh dibagi menjadi beberapa irisan berdasarkan
metode Irisan. Secara umum, paling sedikit digunakan lima buah irisan untuk
kasus yang sangat sederhana. Dalam profil lereng yang lebih kompleks atau
melibatkan banyak material dalam massa batuan atau tanah yang runtuh, maka
dibutuhkan jumlah irisan yang lebih banyak. Parameter yang harus
didefinisikan pada tiap irisan adalah sudut dasar pada tiap-tiap irisan,
tegangan vertikal pada dasar irisan yang diwakili oleh parameter tinggi
material dalam tiap-tiap irisan dan berat jenis material , tekanan air diwakili
oleh tinggi terhadap permukaan phreatik dan berat jenis air , serta lebar
tiap-tiap irisan .
3. Parameter tegangan geser
Tegangan geser yang bekerja pada dasar irisan diperhitungkan juga dalam
analisis kemantapan lereng. Pada kasus material yang homogen dan kriteria
failure-nya mengikuti kriteria Mohr-Coulomb, parameter gaya geser dan
akan sama di setiap dasar irisan. Jika lereng tersebut terdiri dari beberapa
material, parameter gaya geser tiap irisan harus dipilih sesuai dengan material
21
terbawah yang ada pada tiap irisan.
4. Iterasi faktor keamanan
Setelah parameter irisan dan parameter tegangan geser didefinisikan, maka
nilai dihitung untuk tiap irisan. Tekanan air ditambahkan pada
. merupakan penjumlahan komponen berat tiap irisan yang
bekerja sejajar dengan bidang runtuh. Faktor keamanan awal yang dimisalkan
pertama kali adalah faktor keamanan yang dihitung dengan metode Irisan
Biasa. Nilai faktor keamanan metode ini selalu lebih kecil dan mendekati nilai
faktor keamanan dari metode Bishop Sederhana. Jika faktor keamanan yang
dihitung dibandingkan dengan faktor keamaanan awal dari metode Irian Biasa.
Selanjutnya, nilai faktor keamanan yang dihitung ulang atau diiterasi sampai
diperoleh selisih nilai atau galat yang hampir mendekati nol. Pada kondisi
lereng yang sederhana, proses iterasi umumnya dibutuhkan sekitar lima sampai
sepuluh kali.
5. Kondisi dan koreksi
Ada dua hal kondisi yang harus dipenuhi oleh tiap-tiap irisan dalam analisis
kemantapan lereng ini, sebagai berikut:
- Kondisi pertama digunakan untuk memastikan tegangan normal efektif pada
dasar tiap irisan selalu positif (definit positif), ditentukan dengan
persamaan:
......................................................................... (2.27)
- Kondisi kedua digunakan untuk memastikan bahwa analisis tidak terganggu
oleh adanya suatu kondisi yang kadang terjadi di dekat kaki lereng (toe)
yang merupakan lokasi terdalam permukaan bidang runtuh tersebut
diasumsikan, dengan persamaan:
........................................................... (2.28)
2.2 Metode Optimasi
Pertama kali, metode optimasi diperkenalkan dalam liniear programming oleh
22
George Dantzig tahun 1940. Dalam bidang matematika, persoalan optimasi adalah
mencari nilai maksimum atau minimum dari sebuah fungsi persamaan terhadap
variabel-variabel yang menentukan persamaan tersebut.
Sebuah persoalan optimasi dapat direpresentasikan sebagai berikut:
Diberikan: fungsi , A merupakan bilangan real.
Diminta: elemen dalam yang memberikan untuk semua
nilai dalam yang memberikan hasil minimum; atau,
elemen dalam yang memberikan untuk semua
nilai dalam yang memberikan hasil maksimum.
Fungsi tersebut disebut sebagai fungsi objektif atau fungsi harga, kemungkinan
solusi yang memberikan nilai minimum atau maksimum dari fungsi objektif
disebut sebagai solusi optimal. (Sumber Wikipedia, the free encyclopedia).
Berdasarkan deskripsi tersebut maka persoalan optimasi faktor keamanan ( )
minimum metode Bishop Sederhana dalam penelitian ini dapat dimodelkan:
Tentukan variabel permukaan bidang runtuh sehingga ,
mempunyai nilai minimum.
Dengan kendala dan
Catatan:
Persamaan fungsi di atas merupakan penjabaran dari persamaan 2.24,
sedangkan merupakan variabel dari fungsi dari
persamaan 2.15, 2.21, dan 2.22.
Banyak metode optimasi yang telah dikembangkan, diantaranya adalah Algoritma
Genetika dan Quasi-Newton yang digunakan dalam penelitian ini.
23
2.2.1 Algoritma Genetika
Algoritma Genetika (AG) pertama kali dikembangkan oleh John Holland dalam
bukunya Adaptation in Natural and Artificial System pada tahun 1975. AG dapat
dipandang sebagai suatu teknik pencarian (searching method) secara stokastik
yang idenya diperoleh dari proses evolusi di alam. Algoritma ini meniru
mekanisme kerja seleksi alam dan genetika kehidupan manusia dalam
menyelesaikan masalah. Dengan kata lain, AG merupakan suatu proses evolusi
buatan terhadap sekumpulan titik (individu) yang merupakan kandidat solusi dari
suatu masalah (fungsi persamaan) yang terjadi di dalam komputer dan
berlangsung secara iteratif beberapa generasi sampai ditemukan individu dengan
kriteria terbaik yang memberikan hasil optimum (maksimum atau minimum).
2.2.1.1 Mekanisme Algoritma Genetika
Berbeda dengan teknik pencarian konvensional, AG bekerja dalam sekumpulan
calon solusi yang disebut sebagai populasi. Sedangkan masing-masing calon
solusi disebut sebagai individu atau string. Individu terdiri dari sekumpulan gen
atau bit yang merepresentasikan sifat dan karakter dalam satu iterasi atau generasi.
Untuk setiap iterasi atau generasi, individu akan mengalami proses evolusi
(seleksi alam) dan proses genetika (persilangan dan mutasi) yang nantinya akan
menghasilkan generasi populasi baru.
Dalam AG dikenal adanya fungsi fitness. Nilai fungsi fitness merupakan ukuran
seberapa adaptif suatu individu terhadap lingkungannya. Fungsi ini berkaitan erat
dengan masalah (fungsi persamaan) yang akan diselesaikan. Tidak semua masalah
(fungsi persamaan) dapat secara langsung diselesaikan dengan AG, melainkan
harus dimodifikasi sedemikian rupa menjadi suatu fungsi fitness sehingga dapat
diselesaikan oleh AG. Individu dengan nilai fungsi fitness tinggi menunjukkan
bahwa individu tersebut merupakan kandidat solusi masalah (fungsi persamaan).
24
AG bertujuan untuk mencari individu yang memiliki nilai fungsi fitness yang
tinggi.
Ada empat perbedaan dasar mekanisme kerja antara Algoritma Genetika dengan
metode konvensional, yaitu:
1. Algoritma Genetika bekerja pada suatu kode dari sekumpulan atau himpunan
parameter, bukan himpunan parameter itu sendiri.
2. Algoritma Genetika bekerja pada sekumpulan titik, bukan hanya sebuah titik.
Dengan bekerja pada sekumpulan titik, peluang AG untuk terjebak dalam
optimum lokal dapat dikurangi.
3. Algoritma Genetika bekerja hanya menggunakan informasi fungsi fitness. Hal
ini berarti AG tidak memerlukan syarat keterdifferensialan maupun
kekontinuan dalam bekerja dan dapat bekerja baik pada fungsi diskret.
4. Algoritma Genetika menggunakan aturan probabilistik, bukan aturan
deterministik.
Secara umum, ada enam langkah dasar dalam Algoritma Genetika, yaitu:
1. Populasi
Pada tahap awal, algoritma secara acak akan membangun populasi dengan
jumlah individu . Setiap individu terdiri dari sekumpulan gen atau bit yang
pada umumnya merupakan string biner. Jumlah gen dalam tiap individu atau
panjang individu biasanya berhubungan dengan berapa ketelitian nilai yang
diinginkan.
Hubungan ini dirumuskan sebagai berikut:
dengan:
=
= banyak variabel
= ketelitian nilai
= interval
= panjang bit varibel ke-
25
2. Evaluasi
Setelah terbentuk populasi awal, selanjutnya AG akan mengevaluasi setiap
individu ke dalam populasi. Pertama, tiap individu akan dikonversi terlebih
dahulu dari kode biner ke nilai riil. Adapun rumus:
dengan:
= bilangan desimal tiap string biner variabel
Setelah semua individu dikonversi ke nilai riilnya, selanjutnya akan dihitung
fitness tiap individu berdasarkan fungsi fitness.
3. Seleksi
Setelah mengevaluasi tiap individu, pada tahap ini akan dilakukan seleksi
calon orang tua berdasarkan fitness yang dimiliki. Individu yang lebih baik,
yakni yang mempunyai fitness yang lebih tinggi, mempunyai peluang yang
lebih sering dan besar untuk terseleksi ke dalam himpunan calon orang tua.
Ada beberapa metode seleksi dalam AG salah satunya metode Roulette Wheel
Selection. Metode ini meniru mekanisme permainan roda rolet. Setiap
individu mendapat bagian dalam roda rolet proporsional dengan nilai fitness
mereka. Individu yang memiliki fitness tinggi akan mendapat porsi roda yang
lebih besar. Selanjutnya seleksi individu ke dalam himpunan calon orang tua
dilakukan dengan melakukan pemutaran roda rolet secara acak sebanyak
jumlah individu . Individu yang memiliki bagian roda rolet yang lebar,
yakni mewakili fitness yang tinggi, akan mempunyai peluang yang lebih
besar dan lebih sering untuk terseleksi.
Berikut ini adalah langkah-langkah dalam Roulette Wheel Selection:
Hitung fitness untuk tiap individu .
Hitung total fitness dari populasi.
Hitung peluang terseleksi untuk tiap individu .
26
Hitung peluang kumulatif untuk tiap individu .
Pilih bilangan acak r antara [ ].
Jika , maka pilih individu pertama , jika tidak maka pilih individu
ke- , sedemikian hingga
4. Persilangan
Operator genetika ini bekerja pada dua individu yang dipilih secara acak dari
himpunan calon orang tua. Untuk setiap dua individu yang terpilih akan
dilakukan rekombinasi untuk menghasilkan individu baru (keturunan).
Peluang persilangan atau biasanya tinggi. Ada beberapa jenis metode
persilangan, diantaranya adalah:
Persilangan 1 titik (one-point crossover)
Persilangan 2 titik (two-point crossover)
Persilangan bergantian (cycle crossover)
One-point crossover,
Proses kerjanya adalah dengan memilih sepasang individu dari himpunan
calon orang tua lalu menyilangkan mereka dengan titik persilangan acak.
Tujuan dari proses persilangan adalah mengeksplorasi daerah solusi sekitar
orang tua. Atau dengan kata lain, proses persilangan bertujuan menghasilkan
keturunan (individu baru) yang tidak jauh berbeda dari orang tua. Karena
orang tua berasal dari individu dengan fitness tinggi, maka diharapkan
keturunan yang dihasilkan juga mempunyai fitness yang tinggi.
Skema metode one-point crossover,
Orang tua 1 Orang tua 2 Keterangan 1 Keterangan 2
1 0 1 Ξ 1 1 0 1 1 1 Ξ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0
Prosedur persilangan sebagai berikut:
Semua individu dalam populasi dipasangkan dua-dua sehingga terbentuk
[ ] pasangan dengan [ ]: bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
atau sama dengan .
Pilih bilangan acak rk antara [ ] dengan
27
Jika maka pasangan ke- mengalami persilangan, lakukan
persilangan one-point crossover. Jika tidak, pasangan ke- tidak
mengalami persilangan dan langsung terpilih ke populasi baru.
5. Mutasi
Selanjutnya, pada individu-individu ini akan dilakukan proses mutasi.
Operator genetika ini memodifikasi setiap gen/bit. Pada individu dengan
peluang , mutasi jarang terjadi sehingga . Pada individu dengan
string biner, jika bit mengalami mutasi maka nilai 0 akan berubah menjadi 1
dan nilai 1 berubah menjadi 0. Prosedur mutasi sebagai berikut:
Tentukan bilangan acak antara [ ] dengan .
merupakan jumlah keseluruhan bit dalam populasi.
Jika maka ubah nilai bit ke- dari 0 menjadi 1 atau sebaliknya
dari 1 menjadi 0.
Proses mutasi dalam AG mempunyai peranan penting dalam mengeksploitasi
daerah solusi global untuk mencari individu terbaik. Dengan mutasi
diharapkan solusi untuk terjebak di dalam optimum lokal dapat direduksi.
6. Terminasi
Setelah melewati proses evaluasi, persilangan dan mutasi, maka AG akan
menghasilkan populasi baru. Selanjutnya, populasi baru ini akan diuji apakah
sudah memenuhi kriteria penghentian.
Secara umum, ada dua kriteria penghentian, yaitu:
a. Uji kekonvergenan
Iterasi akan berhenti jika terjadi kestabilan populasi yang ditandai dengan
keseragaman hampir semua gen dalam populasi.
Misalkan: (Offermans, 1995)
: populasi dari individu dengan 1 gen.
kromosom pada individu ke dalam dengan . Jika gen
stabil maka ada lebih 90% individu dalam dengan
dan adalah posisi bit. stabil apabila semua gen
pada stabil.
b. Uji iterasi
28
Iterasi akan berhenti jika sudah mencapai iterasi atau generasi maksimum
yang ditetapkan.
Algoritma Genetika dengan enam langkah utama yang telah dijabarkan tersebut
untuk selanjutnya disebut sebagai Algoritma Genetika Sederhana.
(David E. Goldberg, 1989).
2.2.1.2 Diagram Algoritma Genetika
Berikut merupakan diagram alir Algoritma Genetika yang akan digunakan dalam
penyusunan kode script program:
START
INISIASI POPULASI
(XR, XL, R, Z)
EVALUASI
KONDISI GENERASI
REPRODUKSI
PERSILANGAN
MUTASI
GENERASI
I = I + 1
STOP
GENERASI AWAL
I = 1
ITERASI
|FSn+1 – FSn| < 10-7
FSn
FSn+1
FUNGSI
FITNESS
(FS Objektif)
GENERASI
AKHIR
(XR, XL, R, Z)
TIDAK
TIDAK
FAKTOR
KEAMANAN
(FS)
YA
YA
29
Gambar 2.7 Diagram Alir Algoritma Genetika
2.2.2 Quasi-Newton
Dalam penelitian tidak dibahas secara detail tentang Quasi-Newton karena
penggunaan metode dalam pemodelan program menggunakan optimization
toolbox yang telah ada dalam MATLAB. Oleh karena itu, hanya dijelaskan
gambaran umum dari Quasi-Newton tersebut.
Persoalan optimasi dengan Quasi-Newton cukup dikenal sebagai algoritma untuk
menemukan titik lokal maksimum atau lokal minimum dari sebuah fungsi
persamaan. Quasi-Newton berbasis pada metode Newton dalam menemukan titik
stasioner sebuah fungsi, dimana gradien fungsi tersebut adalah nol. Dalam metode
Newton, fungsi persamaan dapat secara lokal diaproksimasi sebagai persamaan
kuadrat di sekitar daerah optimum dan menggunakan turunan pertama (gradien)
dan turunan kedua (Hessian) untuk mencari nilai titik stasioner. (Wikipedia: The
Free Encycolpedia).
Dalam metode Newton, digunakan turunan kedua untuk mencari nilai minimum
fungsi . Deret Taylor dari fungsi :
dimana merupakan gradien dan merupakan matriks Hessian. Gradien dari
deret Taylor itu sendiri sebagai berikut:
juga disebut fungsi secant. Dengan menghitung nilai ,
memberikan langkah selanjutnya:
nilai tidak diketahui, sehingga untuk menghitung nilai ini digunakan formula
penunjang seperti formula Broyden. Jika nilai sudah diketahui dan nilai
diasumsikan maka nilai dapat dihitung, dan iterasi dilakukan sampai
30
diperoleh nilai dengan kondisi terminasi yang diinginkan. Nilai terakhir
digunakan dalam fungsi persamaan yang menghasilkan nilai minimum.
Beberapa perbedaan mekanisme kerja antara Quasi-Newton dengan metode
konvensional, yaitu:
1. Quasi-Newton berbasis metode Newton yang membutuhkan proses iterasi
dalam mencari solusi optimum sebuah persamaan fungsi.
2. Quasi-Newton memerlukan syarat keterdifferensialan maupun kekontinuan
dari persamaan fungsi fitness (fungsi objektif).
3. Quasi-Newton menggunakan aturan deterministik, bukan aturan probabilistik.
2.3 Pemodelan Program
Simulasi komputer untuk analisis kestabilan lereng menggunakan MATLAB
dibuat dengan memanfaatkan fasilitas formula matematika atau toolbox
matematika berupa fungsi matematika, logika, dan grafik yang telah tersedia
dalam MATLAB. Pemodelan matematis yang digunakan sebagai pembuatan kode
script pemrograman dalam MATLAB terutama didasarkan pada konsep-konsep
mengenai jarak antara dua titik, persamaan dan sifat garis lurus, persamaan dan
sifat lingkaran, perpotongan lingkaran dan garis lurus, fungsi trigonometri dan
koordinat titik polar. Program simulasi ini diberi nama DINI.
2.3.1 Program MATLAB
MATLAB merupakan program komputasi numerik dengan bahasa pemrograman
terintegrasi di dalamnya. MATLAB dirancang oleh MathWorks. MATLAB
memiliki banyak kemudahan dalam menghitung persoalan-persoalan rekayasa
(engineering), seperti: memanipulasi matriks, memplot fungsi persamaan,
mengimplementasikan sebuah algoritma, pembuatan objek interface. MATLAB
harus ter-install dalam komputer yang digunakan. MATLAB juga dilengkapi
dengan toolbox matematika lebih lanjut, seperti: genetic algorithm, optimization,
artificial neural network toolbox sehingga pemakai dapat langsung menggunakan
toolbox tersebut tanpa harus membuat fungsi-fungsi rutin (routine) berupa m-files.
31
Dalam penelitian ini, penyelesaian optimasi dengan Algoritma Genetika tidak
menggunakan genetic algorithm toolbox yang telah tersedia dalam MATLAB,
namun fungsi-fungsi rutin (routine) berupa m-files dibuat berdasarkan prinsip dan
proses Algoritma Genetika itu sendiri. Sedangkan penyelesaian optimasi dengan
Quasi-Newton, digunakan optimization toolbox yang telah tersedia dalam
MATLAB, penjelasan lebih lanjut pada sub-bab berikutnya.
2.3.2 Diagram Alir Pemodelan Program
Berikut merupakan diagram alir dalam membuat pemodelan program:
32
METODE KESETIMBANGAN BATAS
Irisan Biasa,
Bishop yang Disederhanakan
HASIL OPTIMASI
Geometri Bidang Runtuh,
Laporan Perhitungan,
Faktor Keamanan
ALGORITMA
GENETIKA
METODE
QUASI-NEWTON
METODE
OPTIMASI
PROSES
OPTIMASI
DATA MODEL LERENG
Koordinat, Profil,
Properti, Irisan Material
Permukaan Phreatik,
Rekahan Tarik
KONDISI BATAS
GEOMETRI BIDANG
RUNTUH
ANALISIS
HASIL OPTIMASI
(DINI)
VALIDASI
HASIL OPTIMASI
(GALENA)
KONDISI DAN KOREKSI
YA
TIDAK
START
STOP
HASIL OPTIMASI
AKHIR
Gambar 2.8 Diagram Alir Pemodelan Program
2.3.3 Proses Pemodelan Program
Setelah membuat diagram alir pemodelan program, proses dilanjutkan dengan
menuangkan alur pemodelan dalam perancangan kode-kode script program
dengan MATLAB berupa m-files. Perancangan program simulasi ini dibagi dalam
5 langkah penting, yaitu:
1. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses pemasukan data
(input).
2. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses optimasi dengan
33
Algoritma Genetika dan Quasi-Newton.
3. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses pengeluaran hasil
(output) berupa perhitungan dan grafik.
4. Perancangan fungsi rutin yang akan mengeksekusi proses penyimpanan data
dan hasil.
5. Penggabungan semua fungsi rutin dari 4 langkah sebelumnya dalam tampilan
antarmuka atau graphical user interface (GUI) program simulasi.
Fungsi rutin m-files merupakan tempat kode-kode script pemrograman MATLAB
yang akan dituangkan. Fungsi rutin tersebut dibuat melalui Objek Editor
Pemrograman dalan MATLAB. Semua fungsi rutin m-files dapat dilihat dalam
lampiran A.
2.3.3.1 Fungsi Rutin M-Files Proses Pemasukan Data
Proses awal pemodelan program simulasi ini, diawali dengan perancangan fungsi-
fungsi rutin yang akan membaca atau mengeksekusi data yang akan digunakan
dalam proses simulasi.
Fungsi-fungsi rutin m-files tersebut, terdiri dari:
1. fungsi_data.m, merupakan fungsi rutin untuk membaca data-data yang
digunakan dalam perhitungan kestabilan lereng yang ada dalam file berformat
text (*.txt) yang dapat diakses menggunakan Notepad, data-data tersebut
seperti geometri lereng, properti material, dan permukaan phreatik air tanah.
2. fungsi_proses_data.m, merupakan fungsi rutin lanjutan dari fungsi_data.m,
fungsi ini menjadi media penghantar antara data file berformat text dengan
MATLAB, format-format tulisan dalam file tersebut diproses menjadi input-
input variabel yang akan digunakan dalam persamaan fungsi faktor
keamanan, seperti nilai c (kohesi) dan variabel lainnya.
2.3.3.2 Fungsi Rutin M-Files Algoritma Genetika
34
Berdasarkan diagram alir Algoritma Genetika sebelumnya, fungsi-fungsi rutin
berupa m-files dibuat untuk mengimplementasikan Algoritma Genetika dalam
penyelesaian optimasi faktor keamanan minimum dengan menuangkan kode-kode
script pemodelan program simulasi.
Fungsi-fungsi rutin m-files tersebut, terdiri dari:
1. fungsi_bit_angka_ga_satu.m, merupakan fungsi rutin untuk mengkonversi
bilangan bit (0 dan 1) ke bilangan angka (real) secara individu.
2. fungsi_bit_angka_ga_dua.m, merupakan fungsi rutin untuk mengkonversi
bilangan bit (0 dan 1) ke bilangan angka (real) secara jamak atau banyak
(array).
3. fungsi_objektif.m, merupakan fungsi rutin yang berisi penjabaran fungsi
persamaan faktor keamanan berdasarkan metode Bishop Sederhana. Fungsi
rutin ini memuat perhitungan rumus yang telah dijabarkan dalam persamaan
2.1 sampai 2.28.
4. fungsi_evaluasi_populasi_ga.m, merupakan fungsi rutin untuk mengevaluasi
populasi-populasi individu selama proses optimasi apakah telah sesuai
dengan kriteria fitness fungsi yang ditentukan.
5. fungsi_generasi_ga.m, merupakan fungsi rutin untuk membuat generasi-
generasi individu dalam proses optimasi.
6. fungsi_optimasi_ga.m, merupakan fungsi rutin utama yang menghubungkan
semua fungsi-fungsi rutin yang telah dibuat, proses optimasi Algoritma
Genetika diinisiasi melalui fungsi rutin ini.
2.3.3.3 Fungsi Rutin M-Files Quasi-Newton
MATLAB telah menyediakan fasilitas optimization toolbox dengan berbagai
pilihan metode optimasi di dalamnya, salah satunya adalah Quasi-Newton.
Fasilitas toolbox ini dapat diakses dengan menggunakan perintah syntax fungsi
fmincon, syntax ini terdapat di dalam fungsi_optimasi_newton.m.
Fungsi-fungsi rutin m-files tersebut, terdiri dari:
1. fungsi_batas_newton.m, merupakan fungsi rutin yang berisi kondisi-kondisi
35
batas (constraint) dari variabel-variabel yang menentukan fungsi faktor
keamanan.
2. fungsi_objektif.m, merupakan fungsi rutin yang berisi penjabaran fungsi
persamaan faktor keamanan berdasarkan metode Bishop Sederhana, sama
seperti fungsi objektif yang digunakan dalam Algoritma Genetika.
3. fungsi_iterasi_newton.m, merupakan fungsi rutin untuk melakukan proses
iterasi terhadap nilai-nilai faktor keamanan minimum yang dihitung dalam
Quasi-Newton.
4. fungsi_optimasi_newton.m, merupakan fungsi rutin utama yang
menghubungkan semua fungsi-fungsi rutin yang telah dibuat, proses optimasi
Quasi-Newton diinisiasi melalui fungsi rutin ini.
2.3.3.4 Fungsi Rutin M-Files Proses Pengeluaran Hasil
Jika proses optimasi telah selesai, maka hasil-hasil perhitungan yang terjadi
dalam proses optimasi dapat ditampilkan, seperti laporan dan grafik hasil
perhitungan. Hal ini dapat dilakukan dengan membuat fungsi rutin yang akan
memproses hasil output tersebut.
Fungsi rutin tersebut antara lain fungsi_output.m, fungsi rutin ini akan memproses
hasil-hasil perhitungan berupa laporan dan grafik. Fungsi ini juga merupakan
bagian dalam fungsi_optimasi_ga.m dan fungsi optimasi_newton.m, karena kedua
fungsi ini akan mengeksekusi fungsi_output.m dalam setiap proses optimasinya.
2.3.3.5 Fungsi Rutin M-Files Proses Penyimpanan Data dan Hasil
Bagian penunjang atau tambahan dalam pemodelan program ini, adalah proses
penyimpanan data dan hasil dari program simulasi.
Fungsi-fungsi rutin tersebut, terdiri dari:
1. fungsi_simpan_data.m, merupakan fungsi rutin untuk memproses
penyimpanan data jika terdapat perubahan isi data dalam file berformat text
(*.txt).
36
2. fungsi_simpan_hasil.m, merupakan fungsi rutin untuk memproses
penyimpanan laporan hasil perhitungan ke dalam file berformat text (*.txt).
2.3.3.6 GUI Program
Tahapan terakhir dari pemodelan program ini adalah perancangan tampilan
antarmuka atau yang lebih dikenal dengan graphical user interface (GUI)
program. Sebenarnya dalam pemrograman MATLAB, proses-proses simulasi
sudah dapat dilakukan tanpa harus membuat GUI program dengan hanya
mengeksekusi fungsi-fungsi rutin m-files yang sudah dibuat sebelumnya pada
jendela console atau command MATLAB, tentunya dengan melakukan setiap
proses secara manual atau dengan menuliskan syntax yang ada dalam setiap fungsi
rutin secara berurutan. Hal ini akan menjadi tidak efisien, sehingga dibutuhkan
sebuah fasilitas yang dapat menghimpun semua proses-proses perhitungan, yaitu
GUI program.
Fungsi-fungsi rutin tersebut, terdiri dari:
1. BUSUR.fig, merupakan fungsi yang berisi objek-objek interface program
simulasi dalam MATLAB, seperti objek form, panel, button, edit text, static
text, dan axes. Bentuk tampilan (layout) dan isi dari objek-objek program
dapat didisain secara bebas dalam BUSUR.fig ini. Proses perancangan dapat
dilakukan dengan mengeksekusi perintah guide BUSUR pada jendela console
MATLAB.
2. BUSUR.m, merupakan fungsi yang berisi kode-kode script yang
memvisualisasikan objek-objek interface yang telah dirancang dalam
BUSUR.fig dan fungsi ini juga berisi kode-kode script tambahan untuk
menggabungkan semua fungsi rutin yang telah dibuat.
2.3.4 Penggunaan Program Simulasi
Setelah penggabungan fungsi-fungsi rutin m-files dalam GUI program, maka
program simulasi sudah dapat dijalankan. Langkah-langkah penggunaan program
37
simulasi DINI adalah sebagai berikut:
1. Jalankan program MATLAB, properti window MATLAB akan terlihat seperti
pada Gambar 2.9. Pilih lokasi direktori kerja dari fungsi-fungsi rutin m-files
(garis merah bagian kanan-atas pada Gambar 2.9), kemudian pilih file
START.m dan klik file tersebut (garis merah bagian kiri-bawah pada Gambar
2.9) atau ketik kata START dalam jendela console MATLAB yang ada di
bagian panel sebelah kanan.
Gambar 2.9 Tampilan Awal Window dalam MATLAB
Setelah file START.m diklik atau diketik pada jendela console, maka akan
muncul tampilan awal program simulasi DINI, sebagai berikut:
38
Gambar 2.10 Tampilan Awal Program Simulasi
2. Proses pemasukan input data diawali dengan membuka file data yang aka
dgunakan dalam program simulasi. Klik tombol browse pada tab Data Lereng
dan pilih file data yang akan digunakan, kemudian klik open.
Gambar 2.11 Proses Input File Data Simulasi
3. Parameter-parameter penunjang seperti metode optimasi, rekahan tarik, dan
kondisi batas variabel geometri dapat dipilih dan diisi pada tab Kondisi Batas.
39
Gambar 2.12 Proses Input Parameter Penunjang
4. Proses optimasi siap dilakukan dengan mengklik tombol. Selanjutnya, proses
optimasi ditunggu sampai selesai ditandai dengan tampilan tombol Stop
menjadi tidak aktif dan tampilan grafik optimasi faktor keamanan minimum.
Gambar 2.13 Tampilan Faktor Keamanan Minimum
5. Gambar permukaan bidang runtuh dan laporan hasil perhitungan dapat dilihat
dengan mengklik tombol Geometry dan tombol Report.
40
Output gambar permukaan bidang runtuh:
Gambar 2.14 Tampilan Permukaan Bidang Runtuh
Output laporan hasil perhitungan:
Gambar 2.15 Tampilan Laporan Hasil Perhitungan