7
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Berikut diberikan landasan teori mengenai Teori Portofolio, Turunan
Parsial, Supremum dan Infimum, Himpunan Konveks, Program Nonlinear,
Matriks Definit Positif dan Definit Negatif, Persyaratan Karush Kuhn Tucker,
Metode Kuadratik, Permasalahan Komplementaritas Linear, Langkah-langkah
Metode Kuadratik dan Program Linear.
A. Teori Portofolio
1. Pengertian Portofolio
Menurut Sunariyah (2004:194), portofolio adalah serangkaian
kombinasi beberapa sekuritas yang diinvestasi dan dipegang oleh
investor, baik perorangan maupun lembaga. Sekuritas dapat berupa
saham, surat berharga, obligasi, sertifikat dan lain-lain. Portofolio dapat
didefinisikan sebagai suatu kombinasi atau gabungan sekumpulan aset
dengan mengalokasikan dana pada aset-aset tersebut dengan tujuan
memperoleh keuntungan di masa yang akan datang. Portofolio efisien
adalah memaksimalkan expected return dengan tingkat resiko tertentu,
atau portofolio yang menawarkan risiko rendah dengan expected return
tertentu. Investor cenderung menghindari risiko dalam pembentukan
portofolio efisien yang artinya apabila portofolio tersebut dibandingkan
dengan portofolio lain mempunyai expected return terbesar dengan risiko
terkecil.
8
2. Return
Return merupakan hasil yang diperoleh dari investasi. Adanya
hubungan positif antara return dan risiko dalam berinvestasi yang dikenal
dengan high risk- high return, yang artinya semakin besar risiko yang
ditanggung, semakin besar pula return yang diperoleh. Hal ini
dimaksudkan sebagai harus ada pertambahan return sebagai kompensasi
dari pertambahan risiko yang akan ditanggung oleh investor. (Jogiyanto,
2014:19).
Return realisasi (realized return) merupakan return yang telah
terjadi. Return realisasi banyak digunakan sebagai data untuk investasi,
termasuk digunakan sebagai data analisis portofolio. Return realisasi
(realized return) dihitung dengan menggunakan data historis. Menurut
Jogiyanto (2003:109) return historis juga berguna sebagai dasar
penentuan return ekspektasi (expected return) dan risiko di masa
mendatang. Return ekspektasi (expected return) adalah return yang
diharapkan akan diperoleh oleh investor di masa mendatang. Berbeda
dengan return realisasi yang sifatnya sudah terjadi, return ekspektasi
sifatnya belum terjadi.
a) Return realisasi portofolio adalah rata-rata tertimbang dari return
realisasi setiap aset tunggal di dalam portofolio (Jogiyanto,
2014:94). Secara matematis untuk n aset, return realisasi portofolio
dapat ditulis:
(2.1)
9
Keterangan:
: return realisasian portofolio
: proporsi dana yang diinvestasikan pada saham i
: return realisasian dari aset ke-
: jumlah dari aset tunggal
b) Jika seseorang menginvestasikan dananya pada saham ke-i periode
dengan harga dan harga pada periode selanjutnya
adalah , maka return total pada periode sampai adalah
. Return total dapat digambarkan sebagai
pendapatan relatif atau tingkat keuntungan (profit rate).
Dengan demikian, return total dapat dinyatakan sebagai berikut
(Jogiyanto, 2003:206)
= (2.2)
Keterangan:
: return total realisasi portofolio
: Harga penutupan saham ke-i pada periode ke-
: Harga penutupan saham ke-i pada periode ke-
3. Expected Return
Menurut Jogiyanto (2014:24) return ekspekatasi (expected return)
merupakan return yang diharapkan dari investasi yang akan dilakukan.
Return ekpektasi merupakan return yang penting karena dapat digunakan
sebagai pengambilan keputusan investasi. Return ekspektasi yang
10
menggunakan data historis dapat dihitung berdasarkan beberapa cara
sebagai berikut:
1) Metode rata-rata (mean method)
2) Metode tren (trend method)
3) Metode jalan acak (random walk method)
Diantara ketiga metode yang paling banyak digunakan adalah metode
rata-rata (mean method) dibandingkan dengan metode rata-rata aritmatika
(arithmetic mean) dan rata-rata geometrik (geometric mean).
a. Expected return saham individual
= (2.3)
Keterangan:
: nilai ekspektasi
: return aset ke- pada periode ke-
: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi
b. Expected return Portofolio
Menurut Jogiyanto (2014:19) return ekspektasian
portofolio dapat dihitung dari rata-rata return ekspektasian masing-
masing aset tunggal di dalam portofolio. Untuk aset, return
ekspektasian portofolio dapat dinyatakan secara matematis sebagai
berikut:
= (2.4)
Keterangan:
: nilai harapan return portofolio
11
: proporsi dari aset ke-i terhadap seluruh aset di
portofolio
: nilai harapan return aktiva ke-i
: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi
4. Risiko
Menurut Abdul Halim (2003:42) risiko didefinisikan sebagai
besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan
(expected return) dengan tingkat pengembalian yang dicapai secara nyata
(realized return). Semakin besar penyimpangannya maka semakin besar
pula tingkat risikonya. Apabila risiko dinyatakan sebagai seberapa jauh
hasil yang diperoleh dapat menyimpang dari hasil yang diharapkan, maka
digunakan ukuran penyebaran adalah varians atau deviasi standar.
Risiko dalam investasi dibedakan menjadi dua, yaitu:
a. Risiko saham individual
Risiko saham invidual dihitung dengan menggunakan rumus
sebagai berikut:
(2.5)
Keterangan:
σi2 : varians dari investasi pada saham i
: nilai harapan return aktiva ke-i
: return aset ke-i pada periode ke-t
: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi
12
b. Risiko Portofolio
Menurut Jogiyanto (2014:59) salah satu pengukur risiko adalah
standar deviasi atau varian (variance) yang merupakan kuadrat dari
standar deviasi. Risiko portofolio dapat diukur dengan ukuran
besarnya standar deviasi atau varian dari nilai-nilai return aktiva
tunggal. Dengan demikian, varian return portofolio yang merupakan
risiko portofolio dapat ditulis sebagai berikut:
(2.6)
Dimana , sehingga persamaan (2.6)
menjadi:
(2.7)
13
Jika persamaan (2.7) ditulis dalam simbol-simbol diperoleh
persamaan sebagai berikut:
(2.8)
(2.9)
Keterangan:
σi2 : varians dari investasi pada saham i
: Risiko portofolio
: nilai harapan return aktiva ke-i
: return aktiva ke-i pada periode ke-t
: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi
5. Model Mean Variance Markowitz
Model mean variance markowitz pertama kali diperkenalkan
tahun 1952 oleh Harry Markowitz dala paper berjudul portofolio
selection tentang pemilihan portofolio optimal secara kuantitatif.
Dalam paper tersebut, Harry Markowitz mengidentifikasi expected
return dan risiko menggunakan varians return, dimana varians tersebut
diminimalkan untuk tingkat ekspektasi tertentu.
Teori portofolio optimal menggunakan model Markowitz didasarkan
pada empat asumsi sebagai berikut (Jogiyanto, 2003:204):
1) Waktu yang digunakan hanya satu periode
2) Tidak ada biaya transaksi
14
3) Prefensi investor hanya didasarkan pada expected return dan risiko
dari portofolio
4) Tidak adanya pinjaman dan simpanan bebas risiko
Menurut Moehring (2013) portofolio optimal menggunakan model
mean-variance Markowitz berdasarkan prefensi investor adalah
sebagai berikut:
a. Meminimumkan risiko untuk tingkat return tertentu
Fungsi tujuan:
Meminimumkan (2.10)
dengan kendala:
(2.11)
artinya jumlah proporsi dana sama dengan satu (2.12)
(2.13)
b. Memaksimumkan return dengan tingkat risiko tertentu
Fungsi tujuan:
Memaksimumkan (2.14)
dengan kendala:
(2.15)
artinya jumlah proporsi dana sama dengan satu
15
B. Turunan Parsial
Definisi 2.1 (Purcell dan Varberg, 2001:141)
Jika terdefinisi dalam domain D dibidang , sedangkan turunan
pertama terhadap dan disetiap titik ada maka:
Turunan pertama di (selain dianggap konstan) adalah
Turunan pertama di (selain dianggap konstan) adalah
Dapat dinotasikan sebagai
1. Turunan parsial fungsi n variabel
Diberikan fungsi n variabel dari dengan persamaan
, maka turunan-turunan parsialnya yaitu:
, , ....,
Khusus untuk fungsi tiga variabel dari dengan persamaan
, maka turunan-turunan parsialnya yaitu:
, ,
2. Turunan Parsial Derajat Dua
Pengertian dan notasi turunan parsial derajat dua fungsi
dinyatakan dalam simbol-simbol berikut:
16
C. Supremum dan Infimum
Berikut ini diperkenalkan konsep tentang batas atas dan batas bawah dari
suatu himpunan bilangan real.
Definisi 2.2 (Robert G. Bartle, 1927:35)
Diberikan S subset tak kosong
(a) Himpunan S dikatakan terbatas ke atas (bounded above) jika terdapat
suatu bilangan sedemikian hingga untuk semua . Setiap
bilangan u seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound) dari S.
(b) Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah (bounded below) jika terdapat
suatu bilangan sedemikian hingga untuk semua . Setiap
bilangan w seperti ini disebut dengan batas bawah (lower bound) dari S.
(c) Suatu himpunan dikatakan terbatas (bounded) jika terbatas ke atas dan
terbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikatakan tidak terbatas
(unbounded).
17
Definisi 2.3 (Robert G. Bartle, 1927:35)
Diberikan S subset tak kosong ℝ .
(a) Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan u disebut supremum (batas
atas terkecil) dari S jika memenuhi kondisi berikut:
(1) u merupakan batas atas S, dan
(2) jika v adalah sebarang batas atas S, maka .
Ditulis u = sup S .
(b) Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan w disebut infimum (batas
bawah terbesar) dari S jika memenuhi kondisi berikut:
(1) w merupakan batas bawah S, dan
(2) jika t adalah sebarang batas bawah S, maka .
Ditulis w = inf S
D. Himpunan Konveks
Menurut Mokhtar S Bazaraa (1979:34) konsep konveks sangat penting
dalam permasalahan optimasi. Konsep fungsi konveks berhubungan langsung
dengan himpunan konveks. Jika adalah fungsi konveks maka
kumpulan titik-titik yang terletak pada membentuk himpunan
konveks.
Definisi 2.4 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:34)
Himpunan S yang tidak kosong di merupakan konveks jika segment garis
menghubungkan dua titik yang berada dalam himpunan. Dengan kata lain,
jika S maka λ +(1-λ) juga anggota S untuk λ (0,1).
18
Perbedaan fungsi konveks dan konkaf tampak pada gambar di bawah ini:
1. Fungsi Konveks
Definisi 2.5 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:80)
Diketahui dimana S adalah himpunan konveks yang tidak
kosong di . Fungsi dikatakan fungsi konveks di S ketika
untuk setiap dan
untuk λ (0,1).
Fungsi dikatakan fungsi konveks ketat ketika tanda ≥ dapat
diganti dengan dan merupakan fungsi konkaf (fungsi konkaf ketat) jika
dapat diganti dengan . Untuk fungsi dengan satu variabel ketika
fungsi memiliki turunan kedua, maka bersifat konveks jika dan
hanya jika , untuk setiap nilai .
Dapat disimpulkan bahwa:
a. Fungsi konveks jika dan hanya jika , untuk setiap nilai
.................................. (2.16)
A
B
Konkaf
A
B
konveks
Gambar 1. Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf
19
b. Fungsi konveks ketat jika dan hanya jika , untuk setiap
nilai .
c. Fungsi konkaf jika dan hanya jika , untuk setiap nilai .
d. Fungsi konkaf ketat jika dan hanya jika , untuk setiap
nilai .
2. Fungsi konveks dan fungsi konkaf dengan banyak variabel
Turunan parsial kedua dapat digunakan untuk menguji konveks
atau konkafnya suatu fungsi dengan banyak variabel. Sebagai contoh
terdapat dua variabel maka untuk mengetahui fungsi konveks
atau konkaf seperti pada tabel dibawah ini:
Tabel 1 Fungsi Konveks dan Konkaf Dengan Variabel Banyak
Kuantitas Konveks Konveks
Ketat
Konkaf Konkaf
Ketat
20
3. Pseudoconvex
Definisi 2.6 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:106)
S bukan himpunan kosong di dan terdiferensial di S. Fungsi
dikatakan pseudoconvex ketika untuk setiap dengan
, maka . Ekuivalen dengan ketika
, maka . Fungsi dikatakan
pseduconcave jika adalah pseudoconvex.
Perbedaan pseudoconvex dan bukan pseudoconvex tampak pada Gambar
2 di bawah ini:
(i) Pseudoconvex (ii) bukan pseudoconvex
Gambar 2. Perbedaan Pseudoconvex
4. Quasiconvex
Definisi 2.7 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:100)
Terdapat dimana S himpunan konveks yang tidak kosong di
. Fungsi dikatakan quasiconvex ketika untuk setiap
memenuhi pertidaksamaan sebagai berikut:
21
, .
Fungsi dikatakan quasiconcave jika – adalah quasiconvex.
Dari definisi di atas, fungsi quasiconvex jika
dimana lebih besar atau sama dengan fungsi dari semua
kombinasi konveks dan . Fungsi dikatakan quasiconcave jika
dimana fungsi dari semua kombinasi konveks dan
lebih besar atau sama dengan .
Perbedaan quasiconvex, quasiconcave dan bukan keduanya tampak pada
Gambar 3 di bawah ini:
(i) Quasiconvex (ii) Quasiconcave (iii) Bukan keduanya
Gambar 3. Perbedaan Quasiconvex
5. Closure And Interior Of A Convex Set
Definisi 2.8 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:38)
Diketahui S himpunan di , titik dikatakan closure dari dinotasikan
dengan ketika untuk setiap . Ketika ,
dinamakan closed. dikatakan interior dari dinotasikan dengan
yaitu ketika untuk Ketika , dikatakan open.
22
Adapun teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi Konveks dan akan
berkaitan dengan syarat Karush Kuhn Tucker antara lain yaitu:
(i) Teorema 2.1 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:45)
Jika S himpunan konveks tertutup tak kosong di dan , maka ada
vektor taknol p dan skalar α sedemikian sehingga dan
untuk .
Bukti:
Karena S himpunan konveks tertutup tak kosong di dan , maka
ada titik minimum khusus sedemikian sehingga
untuk . Perhatikan bahwa
(a)
Karena untuk , maka persamaan (a)
menjadi untuk yang lain, dimana
. Terlihat bahwa untuk .
Diperoleh α=sup{ }.
(ii) Teorema 2.2 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:48)
Diketahui S himpunan konveks tak kosong di . Jika , maka ada
sebuah hyperplane yang mendukung S pada yaitu ada sebuah vektor
taknol p sedemikian sehingga untuk yang lain.
Bukti:
Karena , ada sebuah barisan yang bukan pada sedemikian
sehingga . Berdasarkan pada Teorema 2.1, berkorespondensi
untuk yang lain ada sedemikian sehingga untuk
23
yang lain. Karena adalah terbatas, sehingga memiliki sebuah
subbarisan yang konvergen dengan limit p dengan panjang adalah
sama dengan satu. Mempertimbangkan subbarisan ini memiliki
untuk yang lain. Menentukan dan memilih limit
seperti mendekati . Sehingga . Jadi ada hyperplane
yang mendukung S untuk .
(iii) Teorema 2.3 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:49)
Jika dan adalah himpunan konveks tak kosong sehingga
, maka ada hyperplane pemisah dan , dan juga ada vektor bukan
nol p di sedemikian sehingga inf{ sup{ .
Bukti:
Ada dan .
S= . Perhatikan bahwa S adalah konveks dan
karena akan mengakibatkan menjadi tidak kosong. Karena S
adalah himpunan konveks maka ada vektor p bukan nol dimana p
sedemikian sehingga untuk setiap . Ini berarti
untuk setiap dan
(iv) Epigraph (Epi)
Definisi 2.9 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:84)
Diketahui S himpunan tak kosong di dan . Epigraph dari
dinotasikan dengan epi , yang merupakan subset dari dan
didefinisikan oleh
24
(v) Teorema 2.4 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:85)
Diketahui S himpunan konveks tak kosong di , dan jika
maka fungsi konveks jika dan hanya jika epi adalah himpunan
konveks.
Bukti:
Dengan mengasumsikan bahwa adalah konveks, dan jika ( dan
( epi , maka , dan . Untuk
λ berlaku
Dimana pertidaksamaan di atas mengikuti konvektivitas dan
. Demikian juga karena epi adalah konveks maka
epi . Bertentangan dengan
asumsi bahwa epi adalah konveks, dan jika maka
dan termasuk dalam epi . Dengan mengikuti konvektivitas
epi maka epi untuk
λ
Dengan kata lain, karena
untuk λ sehingga adalah konveks.
(vi) Teorema 2.5 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:87)
Diketahui S himpunan konveks tak kosong di , dan jika
maka untuk ada sebuah vektor Ɛ sehingga hyperplane
didukung epi pada [ )]. Pada
25
bagian khusus untuk yang
lainnya,sehingga adalah sebuah subgradient dari untuk .
Bukti:
Berdasarkan pada Teorema 2.4, epi adalah konveks. Dilain sisi
[ )] menjadi batas dari epi . Dan berdasarkan Teorema 2.2 ada
vektor taknol sedemikian sehingga
untuk semua (a)
Perhatikan bahwa adalah tidak positif karena pertidaksamaan di atas
akan terjadi kontradiksi dengan memilih y yang cukup besar. Akan
diperlihatkan bahwa , dengan cara kontradiksi, dan didukung oleh
, maka untuk semua Karena , ada
sedemikian sehingga , dan karena
berimplikasi bahwa dan ( . Terjadi kontradiksi
dengan ( adalah sebuah vektor taknol. Walaupun begitu,
Menunjukkan oleh dan dengan membagi pertidaksamaan (a)
dengan , diperoleh untuk semua
epi (b)
Secara khusus, hyperplane
didukung epi pada [ )]. Dengan pada persamaan (b),
diperoleh untuk semua .
26
(vii) Lemma 2.1 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:90)
Diketahui S himpunan konveks tak kosong di , dan fungsi
konveks. Jika terdiferensial di maka ada subgradient untuk
adalah himpunan tunggal { }.
Bukti:
Karena terdiferensial di dan S himpunan konveks yang tak
kosong, maka subgradient untuk juga tidak kosong. Dimisalkan Ɛ
adalah subgradient untuk . Untuk beberapa vektor d dan λ diperoleh
(a)
(b)
Dengan mengurangi persamaan (a) dan (b) dari pertidaksamaan,
diperoleh
Jika membagi persamaan (c) dengan λ diperoleh
jika λ atau berdasarkan pada Definisi 2.2 nilai
maka . Untuk d= , sehingga
. Misal sehingga jelas
bahwa . Jadi sehingga .
E. Matriks Hessian
Matriks Hessian adalah matriks yang setiap elemennya dibentuk dari
turunan parsial kedua dari suatu fungsi. Misalkan suatu fungsi dengan n
variabel, matriks Hessian dari yaitu:
27
(2.17)
F. Vektor Gradien
Definisi 2.10 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:89)
Terdapat S bukan himpunan kosong di dan . dikatakan
terdiferensial di jika ada vektor gradien )(xf yaitu:
xd
df
x
f
x
f
x
f
xf
n
.
.)( 2
1
(2.18)
Suatu fungsi sedemikian sehingga
dengan .
Contoh 2.1
686423)( 2121
2
2
2
1 xxxxxxxf
maka,
28
844
646)(
21
21
2
1
xx
xx
x
f
x
f
xf
Dengan memenuhi syarat perlu keoptimalan, yaitu
0xf .0646 21 xx
0844 21 xx
022 1x
11x 32x
Jadi 3
1*x adalah titik optimal dari xf .
G. Titik Kritis
Teorema 2.6 (Edwin J Purcell, 2010:248)
(Teorema Titik Kritis) andaikan fungsi didefinisikan pada selang I yang
memuat titik c. Jika adalah nilai ekstrem, maka haruslah berupa suatu
titik kritis, yakni berupa salah satu dari:
(i) Titik ujung dari I
(ii) Titik stasioner dari atau
(iii) Titik singular dari
29
Bukti:
Dengan berupa nilai maksimum pada I , maka untuk
semua dalam I, yaitu .
Jadi, jika sehingga , maka
(1)
Sedangkan jika , maka
(2)
Akan tetapi, ada karena c bukan titik singular. Akibatnya, apabila
dalam persamaan (1) dan dalam persamaan (2), maka
diperoleh dan . Sehingga dapat disimpulkan bahwa
.
Titik kritis untuk penyelesaian program nonlinear dapat digolongkan
sebagai maksimum atau minimum lokal. Maksimum atau minimum global
akan diperoleh dengan membandingkan minimum lokal dan maksimum lokal
dan kemudian menguji nilai dari fungsi tersebut.
Teorema 2.7 (Hillier, 2001:664)
Jika fungsi diketahui konveks maupun konkaf, maka titik kritis pasti
merupakan minimum global maupun maksimum global.
Bukti:
Perhatikan masalah optimisasi berikut
Min
dengan kendala xєS
30
Jika S adalah himpunan konveks, adalah fungsi konveks dan
adalah titik minimum lokal untuk masalah optimasi maka adalah titik
minimum global dari pada himpunan S.
Misalkan bukan titik minimum global atau titik minimum lokal,
maka terdapat yєS yang memenuhi . Sebut saja
yang merupakan kombinasi konveks dari dan y, untuk .
Hal ini mengakibatkan , untuk .
Karena adalah fungsi konveks maka berlaku
untuk setiap . Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa adalah
minimum lokal. Dengan demikian haruslah merupakan titik minimum
global.
H. Program Nonlinear
Untuk permasalahan-permasalahan optimasi tertentu, fungsi kendala
dan fungsi tujuan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Menurut
Mokhtar S.Bazaraa (1979:1) program nonlinear merupakan salah satu teknik
dari riset operasi untuk menyelesaikan permasalahan optimasi dengan fungsi
tujuan berbentuk nonlinear dan fungsi kendala dapat berbentuk nonlinear
atau linear. Pada umumnya permasalahan program nonlinear untuk
31
menentukan nilai yang merupakan variabel-variabel
keputusan dengan fungsi tujuan:
Maksimum / minimum (2.19)
Fungsi kendala: (2.20)
untuk i = 1, 2, ..., m dengan merupakan konstanta tak negatif. Menurut
Hillier (2001:664) terdapat 3 bentuk permasalahan program nonlinear, yaitu:
1. Program Nonlinear Tanpa Kendala
Program nonlinear tanpa kendala merupakan optimasi yang tidak
memiliki kendala dengan fungsi tujuan berbentuk nonlinear. Bentuk
model program nonlinear tanpa kendala untuk menentukan nilai
dengan
Fungsi tujuan: maksimum / minimum (2.21)
Untuk menyelesaikan permasalahan program nonlinear tanpa kendala
terdapat dua syarat keoptimalan, yaitu:
a. Syarat Perlu Keoptimalan
Syarat perlu keoptimalan digunakan untuk mencari titik-titik
optimal *x pada pendekatan analitis. Syarat perlu keoptimalan
mengatakan bahwa :
Bila *x adalah titik optimal dari )(xf maka :
0*xf (2.22)
Dengan )(xf merupakan vektor gradien. *x yang memenuhi
persamaan di atas merupakan titik optimal.
32
b. Syarat Cukup Keoptimalan
Syarat cukup keoptimalan digunakan untuk menentukan apakah
titik optimal yang didapatkan dari syarat perlu keoptimalan
merupakan titik minimum atau titik maksimum.
Syarat cukup keoptimalan yaitu :
Bila 0*xf dan *xH definit positif maka *x titik minimum
..............(2.23)
Bila 0*xf dan *xH definit negatif maka *x titik maksimum
..............(2.24)
Contoh 2.2
Suatu fungsi :
686423)( 2121
2
2
2
1 xxxxxxxf :
Pada contoh 2.1 telah didapatkan titik optimal3
1*x dan
didapatkan matrik Hessiannya adalah :
44
46)( *xH adalah definit positif
33
Jadi, 3
1*x adalah titik minimum dengan
3624612183*xf
2. Program Nonlinear Dengan Kendala Linear
Program nonlinear dengan kendala linear merupakan optimasi
dengan kendala berbentuk fungsi linear dan fungsi tujuan berupa fungsi
nonlinear. Untuk menentukan nilai dengan bentuk
umum adalah:
Maksimum / minimum : (2.25)
dengan kendala : (2.26)
untuk m=1,2,..., n.
3. Program Nonlinear Berkendala
Menurut Taha (2007:699) program nonlinear berkendala merupakan
masalah optimasi dengan fungsi tujuan nonlinear dan fungsi kendala
nonlinear. Program nonlinear berkendala dibedakan menjadi dua yaitu:
a. Untuk bentuk umum program nonlinear dengan
kendala kesamaan (equality) adalah
Fungsi tujuan : Maksimum / minimum : (2.27)
Fungsi kendala : (2.28)
dimana menunjukkan jumlah kendala dan menunjukkan jumlah
variabel dengan .
b. Bentuk umum program nonlinear dengan kendala pertidaksamaan
adalah
34
Maksimum / minimum : (2.29)
dengan kendala : 0 untuk i = 1, 2, ..., n (2.30)
I. Matriks Definit Positif dan Definit Negatif
Ada dua pendekatan/cara untuk menentukan apakah suatu matriks
persegi merupakan matriks definit positif atau matriks definit negatif atau
tidak definit. Pendekatan pertama lebih bersifat teoritis, seperti dijelaskan
berikut ini.
Definisi 2.11 (Howard Anton, 1995:320)
A matriks persegii (nxn), maka secara teoritis berlaku :
a. A disebut Definit Positif nRx
b. A disebut Definit Negatif nRx
c. A disebut Semi Definit Positif nRx
d. A disebut Semi Definit Negatif nRx
Pembuktian yang harus berlaku untuk semua x bilangan real tidak
mudah, maka para ahli matematika telah membuktikan cara/pendekatan yang
kedua.
35
Didefinisikan suatu matriks persegi A
Didefinisikan minor – minor utama dari matriks A adalah sebagai berikut :
111 aA
2221
1211
2aa
aaA
333231
232221
131211
3
aaa
aaa
aaa
A
Sehingga cara/pendekatan kedua untuk menentukan kedefinitan suatu matriks
adalah sebagai berikut :
a. A disebut Definit Positif det , i= 1, 2, ..., n (2.31)
b. A disebut Definit Negatif det , i= 1, 2, ..., n (2.32)
c. A disebut Semi Definit Positif det 0, i= 1, 2, ..., n (2.33)
d. A disebut Semi Definit Negatif det , i= 1, ..., n (2.34)
36
Contoh 2.3
Diketahui matriks 44
46H dan dan adalah minor-minor matriks
H. Determinan minor – minor matriks H adalah
det 661H > 0
det 8162444
462H > 0. Jadi, matriks H adalah Definit Positif
J. Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier)
Menurut Purcell dan Varberg (1987:303) fungsi lagrange digunakan
untuk menyelesaikan permasalahan optimasi (penentuan harga ekstrim),
dimana terdapat batasan-batasan (constrains) tertentu.
1. Satu Pengali Lagrange
Prinsip dari metode ini adalah mencari harga ekstrim (optimasi)
suatu fungsi objektif dengan batasan-batasan tertentu yang harus
dipenuhi, yaitu .
Cara: dibentuk Fungsi Lagrange
Dengan syarat ekstrim:
, dan
Parameter λ inilah yang disebut pengali Lagrange.
37
2. Lebih dari satu pengali Lagrange
Jika pengali Lagrange melibatkan lebih dari satu kendala, maka
penggunaan parameter yang dipilih dapat ditambahkan menjadi λ, μ atau
parameter yang lain.
Misalnya untuk memperoleh nilai ekstrim dengan
kendala dan maka fungsi Lagrangenya adalah:
Cara penyelesaiannya adalah
, , dan
Metode ini dapat diperluas untuk n variabel
dengan k kendala
, ,...,
Sebagai Fungsi Lagrangenya adalah:
Dengan cara penyelesaiannya adalah:
,
Dengan adalah pengali Lagrange.
K. Persyaratan Karush Kuhn Tucker (KKT)
Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimasi
yang dapat digunakan untuk mencari titik optimum dari permasalahan
38
berkendala baik itu permasalahan linear ataupun nonlinear. Menurut Mokhtar
S Bazaraa (1979:123) untuk fungsi konveks, syarat perlu dan syarat cukup
untuk mencari titik optimum dapat menggunakan syarat Karush Kuhn Tucker.
Tetapi untuk fungsi nonkonveks, syarat Karush Kuhn Tucker merupakan
syarat perlu saja, akan tetapi belum cukup untuk mencapai nilai optimal. Jadi
untuk fungsi konveks, syarat Karush Kuhn Tucker menjadi syarat perlu dan
syarat cukup untuk mencapai nilai minimum \ maksimum global.
Adapun teorema-teorema dan definisi yang berkaitan dengan syarat Karush
Kuhn Tucker antara lain yaitu:
1) Definisi 2.12 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:124)
d adalah descent direction untuk apabila ada d yang memenuhi
dan ada dan λє(0, sedemikian sehingga
.
2) Definisi 2.13 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:127)
Jika S bukan himpunan kosong di En, dan єcl S. Cone of feasible
direction dari S untuk , dinotasikan dengan D, diberikan oleh
untuk setiap dan
Vektor bukan nol yang lainnya disebut feasible direction.
3) Teorema 2.8 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:128)
meminimumkan dengan kendala .
Diketahui dan S himpunan tak kosong di dan
terdiferensial di titik . Jika adalah solusi optimal lokal, maka
39
, dimana dan D adalah cone feasible
direction S untuk
Bukti:
Dengan cara kontradiksi, andai , ada d , berarti d
dan d .
Berdasarkan pada Definisi 2.12, maka ada , sehingga
untuk λє(0, (a)
Dan juga berdasarkan pada Definisi 2.13, maka ada sehingga
untuk λє(0, . (b)
Dari persamaan (a) dan (b) jelas ada dan
. Hal ini bertentangan dengan asumsi awal bahwa adalah solusi
optimum lokal. Jadi
4) Teorema 2.9 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:129)
Diketahui:
untuk , dan himpunan terbuka yang tidak
kosong di . Mempertimbangkan permasalahan meminimumkan
dengan kendala untuk , dan . adalah titik
yang mungkin, dan diketahui . Dengan dan untuk
terdiferensial di dan untuk adalah kontinu di .
Jika adalah solusi optimum lokal, maka ,
dimana
untuk
40
Bukti:
Dengan dan dimana adalah himpunan terbuka,
berdasarakan pada Definisi 2.13 maka ada sehingga
untuk λє(0, (a)
Karena dan adalah kontinu di untuk ada
sehingga
karena dan untuk
λє(0, dan (b)
Karena , <0 untuk dan dengan Definisi 2.2, ada
sehingga
untuk λє(0, dan (c)
Dari persamaan (a), (b), dan (c) diperoleh bahwa adalah
solusi yang mungkin dari permasalahan P untuk λє(0, , dimana =
minimum ( ). Jelas bahwa untuk sembarang
berimplikasi dengan , sehingga Berdasarkan pada Teorema
2.8, karena adalah solusi lokal untuk permasalahan P, dan .
Karena diketahui sehingga . Karena jelas bahwa
.
5) Teorema 2.10 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:140)
Diketahui X himpunan tak kosong di , , untuk
, dan untuk . Masalah P
dinyatakan dalam bentuk
Minimum :
41
Dengan kendala : , dengan
, dengan
solusi optimum lokal dari masalah P, . Diketahui
untuk kontinu di , dan , untuk terdiferensial di , dan
untuk terdiferensial kontinu di . Jika untuk
adalah bebas linear, maka
,
dimana
untuk
untuk
Bukti:
Dengan cara kontradiksi, andai , ada
sedemikian sehingga , untuk dan
dimana adalah sebuah matriks yang berukuran
yang mana kolom th tersebut adalah . Untuk ,
didefinisikan dengan mengikuti persamaan diferensial dan
syarat batas:
(a)
(b)
Dimana adalah matriks yang dibangun untuk beberapa vektor di
ruang null dari . Untuk yang cukup kecil persamaan (a)
adalah terdifinisi dengan baik dan dapat dipecahkan karena
42
mempunyai rank yang sempurna dan adalah terdiferensial secara
kontinu di , sehingga adalah kontinu di . Karena kontinu
maka integralnya juga kontinu seperti pada persamaan (b) sehingga
dan .
Untuk dan cukup kecil, adalah kemungkinan dan
dan dari persamaan (a), diperoleh:
(b)
Untuk yang lain. Pada khususnya, adalah ruang null di ,
sehingga untuk diperoleh . Oleh sebab itu dari
persamaan (b) dan diketahui bahwa , diperoleh:
(c)
Untuk yang lain. Hal ini berimplikasi dengan untuk
dan cukup kecil. Untuk , , dan adalah kontinu di
, dan untuk yang cukup kecil. adalah terbuka,
untuk yang cukup kecil. Karena sudah
terpenuhi, maka hanya perlu membuktikan bahwa . Dengan
teorema nilai rata-rata, diperoleh:
(d)
Untuk . Akan tetapi dengan rangkaian barisan yang terdiferensial
dan berdasarkan persamaan (b), diperoleh:
43
Dengan petunjuk, adal di ruang null dari dan dari
persamaan di atas, diperoleh . Subtitusikan ke persamaan
(d), dan mengikuti . Karena benar untuk yang lain, hal ini
mengikuti adalah solusi yang mungkin dari permasalahan P untuk
yang cukup kecil. Sehingga persamaan (c) diperoleh:
Dan karena untuk dan cukup kecil. Hal ini
bertentangan dengan adalah solusi optimum lokal. Jadi
6) Teorema 2.11 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:142)
(The Fritz John Conditions) Diketahui himpunan tak kosong di ,
, untuk , dan untuk
. Masalah P dinyatakan dalam bentuk
Minimum :
Dengan kendala : , dengan
, dengan
solusi yang mungkin dari masalah P, . Diketahui
pula untuk kontinu di , dan , untuk terdiferensial di ,
dan untuk terdiferensial kontinu di .
Jika solusi lokal permasalahan P, maka ada untuk dan
untuk i=1, ..., l sehingga
44
untuk
Dengan adalah vektor yang komponennya ada untuk dan
. Selanjutnya, jika untuk yang terdiferensial di ,
maka Fritz John Condition dengan bentuk dan
dapat ditulis menjadi:
untuk
untuk
Bukti:
Ketika untuk adalah bergantung linear, maka ada
yang tidak nol, sedemikian sehingga .
Dimana untuk sama dengan nol, kondisi pada bagian pertama
trivial.
Ketika untuk adalah bebas linear. Jika adalah
sebuah matriks dimana baris matriksnya berupa dan
untuk . Dan adalah sebuah matriks dimana baris matriksnya berupa
untuk .Sehingga dari Teorema 2.10, solusi lokal dari
berimplikasi dengan
,
45
sehingga menjadi tidak konsisten karena tidak didefinisikan secara
jelas seperti pada Teorema 2.10.
Diberikan dua himpunan sebagai berikut:
Dimana dan adalah himpunan konveks tak kosong sehingga
, berdasarkan pada Teorema 2.3 maka ada vektor tak nol
dan sehingga
untuk dєEn dan ( .
Diketahui untuk . dimana dan maka dapat
dipilih angka negatif besar. Dan juga ( . Sehingga
diperoleh . Jika , hal ini
mengikuti , dan .
Ada vektor tak nol dengan sehingga
. Hal ini menunjukkan oleh dan , dan =μ. Bukti
selesai.
7) Teorema 2.12 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:146)
(Teorema Syarat Perlu Kuhn Tucker) Menurut Mokhtar S Bazaraa
(1979:146) jika x bukan himpunan kosong di dan ,
untuk i=1, ..., m dan dengan bentuk umum
minimum : (2.35)
46
dengan kendala : , dengan i=1,2,..., m (2.36)
, dengan i=1,2,..., l (2.37)
Dimana adalah variabel keputusan, adalah fungsi
tujuan dan , adalah fungsi kendala. Misalkan fungsi , ,
adalah fungsi kontinu dan terdiferensial. Diasumsikan
merupakan solusi yang mungkin, dimana dan
saling bebas linear. Maka terdapat skalar ,
sedemikian sehingga
(2.38)
untuk i= 1, ..., m (2.39)
Dengan kendala
untuk i=1,..., m (2.40)
untuk j=1, ..., p (2.41)
Dengan kata lain syarat perlu Kuhn Tucker yaitu nilai turunan pertama
dari fungsi objektif maupun fungsi kendala akan sama dengan nol.
Dari persamaan di atas dapat didefinisikan persamaan Lagrange sebagai
berikut:
(2.42)
Bukti:
Dengan Teorema 2.3 terdapat skalar , sedemikian sehingga
47
Perhatikan bahwa , karena jika maka akan terjadi
kontradiksi dengan asumsi bebas linear dan . Hasil pertama
lalu diikuti dengan nilai dan . Bentuknya sama dengan
kondisi perlu dengan nilai . Sehingga kondisi Kuhn Tucker dapat
dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut
8) Teorema 2.13 (Mokhtar S Bazaraa,1979:147)
(Teorema Syarat Cukup Kuhn Tucker) Menurut Mokhtar S Bazaraa
(1979:146) jika x bukan himpunan kosong di dan ,
untuk i=1, ..., m dengan permasalahan bentuk umum P
adalah
minimum : (2.43)
dengan kendala : , dengan i=1,2,..., m (2.44)
, dengan i=1,2,..., l (2.45)
Dimana adalah variabel keputusan, adalah fungsi
tujuan dan , adalah fungsi kendala.
Misalkan fungsi pseudoconvex, adalah quasiconvex
terdiferensial. Diasumsikan merupakan solusi yang mungkin dan
merupakan solusi optimum global, dimana ada yang merupakan skalar
nonnegative sedemikian sehingga
(2.46)
48
Dengan kata lain, jika , adalah konveks dan karena keduanya
pseudoconvex dan quasiconvex, maka kondisi Kuhn Tucker menjadi
cukup.
Bukti:
Misal x adalah solusi yang mungkin dari permasalahan P. Untuk ,
karena dan . Dengan quasiconvexity
dari untuk dan mengikuti
Untuk setiap . Hal ini berimplikasi bahwa bukan penambahan
dengan mengganti dari sepanjang arah , sehingga
, untuk (a)
Dengan cara yang sama, karena adalah quasiconvex untuk dimana
dan adalah quasiconcave untuk dimana , sehingga
, untuk (b)
, untuk (c)
Dengan mengalikan persamaan (a), (b) dan (c), dan nilai , ,
dan penambahan, diperoleh
Dengan mengalikan persamaan (2.40) dengan dan tanpa ,
berimplikasi dengan
49
Dengan pseudoconvexity dari untuk , sehingga , dan
terbukti.
Definisi 2.14 Hillier (2001:680)
Diasumsikan merupakan fungsi tujuan dan
merupakan fungsi kendala yang dapat diturunkan maka
merupakan nilai optimal untuk permasalahan program
nonlinear hanya jika terdapat sejumlah m bilangan sehingga
semua syarat kondisi KKT (Karush Kuhn Tucker) terpenuhi:
(i) pada untuk j=1, 2, ..., n (2.47)
(ii) pada untuk j=1, 2, ..., n (2.48)
(iii) untuk i= 1, 2, .., m (2.49)
(iv) untuk i=1, 2, ..., m (2.50)
(v) untuk j=1, 2, ..., m (2.51)
(vi) untuk j=1, 2, ..., m (2.52)
Dari kondisi (ii) dan (iv) memerlukan hasil kali dua kuantitas sama
dengan nol. Oleh karena itu, setiap kondisi ini menyatakan bahwa
setidaknya salah satu dari kuantitas harus sama dengan nol. Hal ini
berakibat kondisi (iv) dapat dikombinasi dengan kondisi (iii), sehingga
dapat dinyatakan dalam bentuk lain sebagai berikut:
atau (2.53)
jika =0 untuk i=1, 2, ..., m (2.54)
Demikian pula kondisi (ii) dapat digabung dengan kondisi (i) menjadi:
50
atau (2.55)
jika untuk j= 1, 2, ..., m (2.56)
Contoh 2.4:
Maksimum
dengan kendala , ,
Kondisi KKT untuk contoh di atas yaitu:
1. Untuk j=1,
Untuk j=2,
2. Untuk j=1,
Untuk j=2,
3.
4.
5. ,
6.
Langkah penyelesaian kondisi KKT untuk contoh di atas:
1. , dari kondisi 1 (j=2)
, dari kondisi 5.
2.
3. , dari kondisi 2 (j=1)
4. , berimpilkasi dari kondisi 4
5. Dari (3) dan (4) diperoleh nilai
51
6. , berimplikasi dari kondisi 2 (j=2)
7. Tidak ada kondisi yang dilanggar oleh
Sehingga diperoleh solusi atau x*=(0,3).
L. Metode Kuadratik
Menurut Mokhtar S Bazaraa (1979:447) metode kuadratik merupakan
bentuk khusus dari program nonlinear yang memiliki fungsi tujuan berbentuk
kuadratik dan kendala linear.
Bentuk umum dari model kuadratik yaitu:
Minimum (2.57)
dengan kendala (2.58)
Dimana:
: vektor kolom dari fungsi tujuan
: matriks kendala
: matriks kolom dari variabel keputusan
: vektor kolom dari kendala bagian kanan
: matriks Hessian
: transposisi matriks
52
Notasi dari perkalian vektor Lagrange dengan kendala dan
oleh dan . Notasi dari variabel slack yaitu , sehingga kondisi KKT dapat
dinyatakan sebagai:
(2.59)
(2.60)
(2.61)
diperoleh:
(2.62)
M. Permasalahan Komplementaritas Linear (The Linear Complementary
Problem)
Kondisi KKT dan model kuadratik dapat dinyatakan dalam
permasalahan komplementaritas, dengan algoritma ini dapat digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan nonlinear dengan metode kuadratik.
Definisi 2.15 (Mokhtar S Bazaraa,1979:438)
Jika M adalah sebuah matrik berukuran pxp, dan q merupakan vektor p.
Permasalahan komplementaritas linear untuk menentukan vektor w dan z
yaitu:
(2.63)
53
, untuk j= 1, 2, ..., p (2.64)
untuk j= 1, 2, ..., p (2.65)
Dimana:
( ) : variabel komplemen
q : vektor kolom
M : matriks pxp yang diketahui.
Algoritma yang efisien telah dikembangkan untuk memecahkan
permasalahan komplemen linear dengan asumsi pada matriks M. Algoritma
yang digunakan yaitu pemutaran (pivoting) dari satu solusi BF (Basic
Feasible) ke solusi selanjutnya, seperti pada metode simpleks dalam program
linear. Jika q bilangan nonnegative dengan dan , maka
penyelesaian dari (1), (2), (3) yaitu:
(2.66)
, , untuk j= 1, 2, ..., p (2.67)
untuk j= 1, 2, ..., p (2.68)
N. Langkah-langkah Penyelesaian Metode Kuadratik
Model kuadratik pada persamaan (2.57) dapat diselesaikan dengan metode
Kuadratik. Adapun langkah-langkah penyelesainnya sebagai berikut:
54
a. Menentukan turunan dari fungsi tujuan.
b. Menentukan matriks Hessian seperti pada persamaan (2.17).
c. Menentukan Persyaratan Karush Kuhn Tucker (KKT)
Berdasarkan pada Definisi 2.14 diperoleh persyaratan Karush Kuhn
Tucker sebagai berikut:
(i) pada untuk j=1, 2, ..., n
(ii) pada untuk j=1, 2, ..., n
(iii) untuk i= 1, 2, .., m
(iv) untuk i=1, 2, ..., m
(v) untuk j=1, 2, ..., n
(vi) untuk j=1, 2, ..., m
d. Menyatakan permasalahan dalam bentuk umum model kuadratik seperti
pada persamaan (2.57), dimana komponen-komponen pembentukan
model kuadratik seperti pada persamaan (2.60).
sehingga
55
sehingga
Model umum Kuadratik yaitu meminimumkan
Dengan kendala
e. Mengubah kondisi Karush Kuhn Tucker yang berbentuk pertidaksamaan
menjadi persamaan dengan menambah slack variabel.
Untuk mengubah pertidaksamaan pada persyaratan Karush Kuhn
Tucker kondisi (i) dan (iii) menjadi persamaan yaitu dengan
memindahkan konstanta ke sisi sebelah kanan dan menambahkan slack
variabel nonnegative yang dilambangkan dengan .
(i)
(iii)
56
f. Menentukan kendala komplementaritas.
Kendala komplementaritas diperoleh dengan mensubstitusikan hasil
perhitungan point e pada kondisi Karush Kuhn Tucker yang berbentuk
persamaan yaitu kondisi (ii) dan kondisi (iii).
(ii)
(iii) .
Setiap pasang , ..., dan merupakan variabel
komplementer karena hanya satu dari dua variabel tersebut yang dapat
bernilai nol. Kendala komplementer tersebut digabung menjadi satu
kendala yaitu:
g. Membentuk permasalahan komplementaritas dengan menambah variabel
artificial.
Permasalahan komplementaritas adalah meminimumkan nilai
variabel artificial pada Karush kuhn Tucker. Variabel artificial
ditambahkan pada persyaratan Karush Kuhn Tucker kondisi (i) yang
telah diubah menjadi persamaan yang terdapat pada point e. Variabel
semu yang ditambahkan yaitu .
57
Model kuadratik pada persamaan (2.57) telah ditransformasi menjadi
model linear, sehingga fungsi tujuan yang akan diselesaikan dengan
metode simpleks yaitu:
meminimumkan dimana
dengan semua kendalanya yaitu:
, , , ,
h. Menyatakan persamaan komplementer dalam bentuk matriks.
58
Meminimumkan
Dengan kendala:
i. Menyelesaikan model linear dengan metode simpleks.
Secara komputasi perhitungan dapat diselesaikan dengan bantuan QSB.
O. Program Linear
1. Pengertian Program Linear
Program linear merupakan salah satu model yang dapat digunakan
untuk memodelkan permasalahan optimasi. Untuk mendapatkan hasil yang
optimal, persyaratan yang harus dipenuhi adalah dengan menyelesaikan
59
persoalan secara matematis. Menurut Zulian Yamit (1991:1), syarat-syarat
yang harus dipenuhi agar suatu persoalan dapat dipecahkan dengan
program linear secara lengkap sebagai berikut:
a. Fungsi tujuan harus didefinisikan secara jelas dan dinyatakan sebagai
fungsi obyektif yang linear.
b. Fungsi tujuan dan fungsi kendala dinyatakan dalam hubungan linear.
c. Variabel keputusan harus positif.
d. Sumber-sumber dan aktifitas mempunyai sifat dapat dibagi, artinya
solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat).
e. Sumber-sumber dan aktifitas mempunyai jumlah yang terbatas.
f. Aktifitas harus proporsional terhadap sumber-sumber, artinya adanya
proposionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala.
g. Model programming deterministik , artinya sumber dan aktifitas
diketahui secara pasti.
2. Model Program Linear
Menurut Zulian Yamit (1991:2), untuk menyelesaikan
permasalahan optimasi dengan program linear, hal pertama yang dilakukan
adalah mengidentifikasi masalah kemudian membuat model matematis
dari masalah tersebut. Langkah-langkah yang dilakukan untuk
merumuskan model program linear adalah
a. Tentukan variabel keputusan yang akan dicari, dan beri notasi dalam
bentuk matematis.
60
b. Tentukan batasan dari variabel keputusan, dan nyatakan dalam
bentuk persamaan linear atau ketidaksamaan linear.
c. Tentukan tujuan yang akan dicapai dari variabel keputusan.
Menurut B. Susanta (1994: 6), model program linear secara umum adalah
Mencari dengan tujuan:
Memaksimumkan/meminimumkan:
(2.69)
dengan kendala :
. . .
. . .
. . .
, ,
Keterangan:
: fungsi tujuan
: variabel keputusan
: koefisien teknis (koefisien dalam kendala utama)
: suku tetap
: koefisien biaya (koefisien dalam fungsi tujuan)
: kendala tak negatif
61
Perumusan di atas dapat ditulis sebagai berikut:
mencari , j=1,2,...,n
mak/min (2.70)
dengan kendala , i=1,2,...,m
Fungsi tujuan pada rumusan program linear di atas yaitu
merupakan tujuan yang akan dicapai atau
dioptimalkan. Selanjutnya, persamaan atau pertidaksamaan yang
merepresentasikan keterbatasan atau kendala yang membatasi pencapaian
fungsi tujuan dinamakan fungsi kendala. Untuk m kendala pertama disebut
kendala utama. Syarat bahwa nilai variabel keputusan harus lebih dari atau
sama dengan nol ( ) dinamakan kendala-kendala tidak negatif.
Rumusan program linear di atas menunjukkan bahwa setiap kendala dapat
berbentuk kendala pertidaksamaan atau persamaan.
Menurut B. Susanta (1994: 81-82), terdapat tiga jenis bentuk
masalah program linear sebagai berikut:
a) Masalah program linear berbentuk kanonik yaitu masalah program
linear yang semua kendala utamanya berbentuk persamaan.
Mencari , j = 1, 2, ..., n dengan tujuan:
memaksimumkan (atau meminimumkan) (2.71)
dan memenuhi susunan kendala berikut: = , i=1,2,...,m
, x=1,2,...,n.
62
b) Masalah program linear berpola maksimum yaitu masalah program
linear yang memaksimumkan fungsi tujuan dengan model sebagai
berikut:
Mencari , j = 1, 2, ..., n
yang memaksimumkan (2.72)
dengan kendala ( ≥, ≤, =) , i=1,2,...,m
x=1,2,...,n.
Jika relasi setiap kendala utama pada masalah program linear berpola
maksimum adalah kurang dari atau sama dengan (≤), maka disebut
model berpola maksimum baku.
c) Masalah program linear berpola minimum yaitu masalah program
linear yang meminimumkan fungsi tujuan dengan model sebagai
berikut:
Mencari , j = 1, 2, ..., n
yang meminimumkan (2.73)
dengan kendala: ( ≥, ≤, =) , i=1,2,...,m
, x=1,2,...,n.
Jika relasi setiap kendala utama pada masalah program linear berpola
minimum adalah lebih dari atau sama dengan (≥), maka disebut model
masalah berpola minimum baku.
63
Contoh 2.5
Sebuah perusahaan sedang mencari alternatif kombinasi produksi dari
produk yang dihasilkan, agar memperoleh keuntungan yang maksimum. Pada
saat ini perusahaan memproduksi 3 jenis produk yang diberi merek AB, AC
dan AD. Ketiga produk tersebut dibuat dengan menggunakan sumber daya
berupa: bahan baku, mesin, tenaga kerja. Bagian penelitian dan
pengembangan hasil produksi memberikan informasi bahwa untuk membuat
ketiga jenis produk setiap unitnya memerlukan sumber daya seperti terlihat
dalam tabel berikut ini:
Tabel 2. Sumber daya produksi
Sumber Daya AB AC AD
Bahan Baku 2 Kg 3 Kg 4 Kg
Tenaga Kerja 5 Jam 2 Jam 4 Jam
Mesin 3 Jam 4 Jam 2 Jam
Setiap bulannya perusahaan mampu menyediakan paling banyak 200 Kg
bahan baku, 250 jam tenaga kerja dan 150 jam kerja mesin. Ketiga produk
tersebut memberikan sumbangan keuntungan masing-masing sebesar
Rp.50,00 untuk produk AB, Rp.30,00 untuk produk AC dan Rp.40,00 untuk
produk AD. Berapa banyak produk untuk tiap jenis agar diperoleh
keuntungan yang maksimum?
64
a. Menentukan variabel keputusan
Aktivitas yang diketahui adalah produksi bulanan dari ketiga jenis
produk.
Misalkan: x adalah banyak produksi bulanan dari jenis AB
y adalah banyak produksi bulanan dari jenis AC
z adalah banyak produksi bulanan dari jenis AD
b. Menentukan batasan/kendala
Untuk setiap unit produk jenis AB memerlukan 2 Kg bahan baku,
sehingga untuk x unit produk AB memerlukan bahan baku. Model
AC memerlukan dan model AD memerlukan . Dengan demikian
kebutuhan bahan baku secara total ketiga jenis produk tersebut adalah
yang tidak boleh melebihi 200 Kg. Demikian pula halnya
untuk sumber daya jam tenaga kerja dan jam kerja mesin. Apabila ketiga
batasan tersebut dibuat dalam satu set fungsi linear, akan berbentuk
sebaagai berikut:
bahan baku
tenaga kerja
jam mesin
c. Menentukan tujuan yang akan dicapai
Koefisien fungsi tujuan dibentuk dari sumbangan keuntungan setiap jenis
produk, yang akan dimaksimumkan. Apabila keuntungan maksimum
diberi notasi Z maka fungsi tujuan akan berbentuk sebagai berikut:
Maksimum
65
Dari ketiga langkah tersebut, diperoleh model linearnya adalah
Maksimum
Dengan batasan / kendala
1)
2)
3)
untuk harga .
3. Operasi Elementer
Operasi elementer dibutuhkan untuk mengetahui langkah-langkah
penyelesaian pada metode simpleks.
Definisi 2.16 (Howard Anton, 1995: 5)
Operasi elementer adalah operasi yang dilakukan pada suatu matriks.
Langkah-langkah operasi elementer yaitu:
1) Mengalikan sebuah baris atau kolom dengan sebuah konstanta yang
tidak sama dengan nol.
2) Mempertukarkan dua baris atau kolom.
3) Mengalikan suatu baris atau kolom dengan sebuah konstanta yang
tidak nol, kemudian ditambahkan pada baris atau kolom yang lain.
Contoh 2.6
Diberikan contoh penerapan operasi elementer pada sebuah matriks.
Misal terdapat matriks A sebagai berikut:
A =
66
4. Metode Simpleks
Menurut B.Susanta (1994:68) masalah program linear dengan dua
perubah atau dengan tiga perubah yang disusutkan masih dapat
diselesaikan dengan metode grafik. Untuk masalah program linear yang
memuat tiga perubah atau lebih dan tidak dapat disusutkan menjadi
masalah dengan dua perubah dapat diselesaikan dengan metode simpleks.
Menurut B. Susanta (1994: 86-87) setiap iterasi pada metode simpleks
menggunakan alat bantu berupa tabel simpleks sebagai berikut:
67
Tabel 3. Tabel Simpleks
...
...
...
...
...
...
...
Keterangan:
: perubah-perubah lengkap
: koefisien teknis (koefisien dalam kendala utama)
: suku tetap (tak negatif)
: koefisien biaya (koefisien dalam fungsi tujuan)
: perubah yang menjadi basis dalam tablo yang ditinjau
: koefisien ongkos milik perubah basis
: (hasil kali dari dengan kolom )
: (hasil kali dari dengan )
: selisih zj dengan cj
: hanya untuk aik > 0
68
Berikut diberikan langkah-langkah penyelesaian model program
linear menggunakan metode simpleks menurut B. Susanta(1994: 87-
108):
1) Langkah Awal: Membuat Tabel Awal Simpleks
Langkah awal metode simpleks adalah mengubah bentuk
model masalah program linear yang ada ke bentuk kanonik,
kemudian memasukkan masalah tersebut pada tabel awal simpleks
yang disusun seperti Tabel Simpleks pada Tabel 3. Variabel slack
dan artificial menjadi variabel basis karena variabel-variabel ini
berada dalam matriks identitas dengan koefisien . Apabila ada
penambahan variabel slack, surplus, dan artificial pada suatu model
maka dibuat fungsi tujuan baru, yaitu fungsi tujuan yang memuat
variabel-variabel tersebut. Koefisien biaya variabel slack dan surplus
adalah nol, variabel artificial adalah –M untuk kasus
memaksimumkan dan +M untuk kasus meminimumkan fungsi
tujuan. M mewakili suatu bilangan yang sangat besar.
2) Langkah Kedua: Menguji Keoptimuman Penyelesaian
Langkah kedua ini bertujuan untuk memeriksa penyelesaian
yang diperoleh tabel simpleks pada suatu iterasi. Suatu penyelesaian
layak basis masalah program linear kasus memaksimumkan fungsi
tujuan dikatakan telah optimum apabila , sedangkan
untuk kasus meminimumkan penyelesaian layak basis telah optimum
jika , untuk setiap j, dengan j = 1, 2, ..., n. Apabila
69
penyelesaian yang diperoleh tabel pada suatu iterasi telah optimum,
maka langkah metode simpleks berhenti. Namun, apabila
penyelesaian yang diperoleh belum optimum, tabel simpleks perlu
diperbaiki untuk memperoleh penyelesaian yang lebih baik yaitu
penyelesaian yang lebih mengoptimumkan fungsi tujuan.
Memperbaiki tabel simpleks ini merupakan langkah ketiga dari
metode simpleks.
3) Langkah Ketiga: Memperbaiki tabel
Tahap ini bertujuan untuk membuat tabel simpleks baru yang
menghasilkan penyelesaian yang lebih baik dari tabel sebelumnya.
Hal tersebut dilakukan dengan cara memilih satu variabel non-basis
untuk dijadikan variabel basis baru pada tabel simpleks baru yang
akan dibuat dan pemilihan satu variabel basis yang keluar dari
basiskarena akan digantikan oleh variabel basis baru yang terpilih.
Setelah diperoleh tabel baru dilanjutkan menguji keoptimuman
penyelesaian. Apabila penyelesaiannya telah optimal maka iterasi
dihentikan, tetapi apabila penyelesaiannya belum optimal maka
dilanjutkan langkah ketiga yaitu tahap memperbaiki tabel. Variabel
non-basis yang menjadi variabel basis untuk kasus memaksimumkan
fungsi tujuan adalah variabel non-basis pada kolom ke-k yang
memiliki nilai paling kecil (j = 1, 2, ..., n). Pada kasus
meminimukan, variabel non-basis dari kolom ke-k yang memiliki
nilai paling besar (j = 1, 2, ..., n). Apabila ada beberapa
70
kolom yang memiliki nilai yang sama, maka dapat dipilih
salah satu diantaranya secara acak. Selanjutnya kolom yang terpilih
tersebut dinamakan kolom kunci.
Variabel basis yang harus keluar baik pada kasus
memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan adalah sama
yaitu variabel yang diperoleh dari baris yang terkecil. Nilai
diperoleh dari perhitungan berikut: dengan . Baris
yang terpilih dinamakan sebagai baris kunci. Unsur yang menjadi
perpotongan kolom dan baris kunci dinamakan unsur kunci, yang
digunakan untuk memperbaiki tabel. Nilai unsur kunci ini harus
dibuat sama dengan 1 dan nilai-nilai lainnya pada kolom yang sama
harus nol dengan melakukan beberapa kali operasi baris elementer.
5. Langkah-langkah pada QSB
QSB digunakan untuk membantu perhitungan permasalahan
portofolio optimal. Dimana fungsi dari QSB sama dengan metode
simpleks. Hanya saja perhitungan dengan QSB menggunakan program,
sedangkan untuk metode Simpleks secara manual. Langkah-langkah pada
QSB secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran III.
a. Buka Program QSB .
b. Pilih Linear Programming .
c. Pilih enter new problem untuk menginput permasalahan baru .
d. Pemberian nama permasalahan.
71
e. Menginput hal-hal yang akan ditinjau seperti: fungsi tujuan,
banyaknya kendala, banyaknya variabel, dll.
f. Menginput variabel.
g. Menginput data permasalahan seperti fungsi tujuan dan fungsi
kendala.
h. Menentukan Solusi Permasalahan. Ada beberapa pilihan seperti
solusi per langkah, ataupun solusi akhirnya.
i. Solusi akhir dari permasalahan.
Berikut diberikan contoh penyelesaian persamaan nonlinear dengan metode
kuadratik.
Contoh 2.8 :
Diketahui fungsi tujuan:
Meminimumkan
Dengan kendala
Penyelesaian:
a. Menentukan turunan parsial dari fungsi tujuan.
72
b. Menentukan matriks Hessian seperti pada persamaan (2.17).
Det H
Jadi matriks H adalah definit positif
Nilai dari dan
Jadi fungsi merupakan fungsi konkaf.
c. Menentukan persyaratan Karush Kuhn Tucker
1. Untuk j=1,
Untuk j=2,
2. Untuk j=1,
Untuk j=2,
4.
5.
6. ,
7.
d. Menyatakan permasalahan dalam bentuk model kuadratik seperti pada
persamaan (2.57).
73
Dari soal diatas diperoleh
Sehingga model umumnya yaitu meminimumkan
Dengan kendala
e. Mengubah kondisi Karush Kuhn Tucker yang berbentuk pertidaksamaan
menjadi persamaan dengan menambah slack variabel.
Untuk mengubah pertidaksamaan pada kondisi KKT 1. untuk ,
dan kondisi 3 menjadi persamaan yaitu dengan memindahkan konstanta
ke sisi sebelah kanan dan menambahkan slack variabel nonnegative yang
dilambangkan dengan .
1. Untuk j=1,
74
Untuk j=2,
3.
f. Menentukan kendala komplementaritas.
Perhatikan kondisi 2 untuk j=1 dan dari point (e) untuk j=1, sehingga
Nilai yang memenuhi yaitu atau
Dengan cara yang sama, kondisi 1untuk j=2 dan dari point (e) untuk j=2,
sehingga
Nilai yang memenuhi yaitu atau
Dengan cara yang sama untuk kondisi 4 dapat dinyatakan sebagai berikut:
Nilai yang memenuhi yaitu atau
Setiap pasang , , dua variabel tersebut merupakan
variabel komplementer karena hanya satu dari dua variabel tersebut yang dapat
bernilai nol. Bentuk baru kondisi 2 untuk (j=1), kondisi 2 untuk (j=2) dan 4
dapat digabung menjadi satu kendala yaitu:
Persamaan ini disebut kendala komplementaritas.
75
Dengan mengalikan -1 pada kondisi 1 untuk (j=1) dan untuk (j=2) untuk
mendapatkan ruas kanan nonnegative, sehingga kondisi secara keseluruhan
yaitu:
, , , , ,
g. Membentuk permasalahan komplementaritas dengan menambah variabel
artificial.
Permasalahan komplementaritas adalah meminimumkan nilai variabel artificial
pada Karush Kuhn Tucker. Masalah program linear yang diselesaikan dengan
metode simpleks adalah
Meminimumkan
, , , , , , ,
h. Menyatakan permasalahan komplementaritas dalam bentuk matriks.
76
i. Menyelesaikan dengan metode simpleks
Tabel berikut menunjukkan hasil dari penerapan metode simpleks untuk
menyelesaikan masalah di atas.
Langkah awal:
0 0 0 0 0 0 1 1
B R
1 4 -4 1 -1 0 0 1 0 15 -
1 -4 8 2 0 -1 0 0 1 30
0 1 2 0 0 0 1 0 0 30 15
0 4 3 -1 -1 0 1 1 45
0 3 -1 -1 0 0 0
Iterasi pertama
OBE: ,
0 0 0 0 0 0 1 1
B R
1 2 0 1 -1 -1 0 1 1 30 15
0
1
0
0 0 -
4
77
0 2 0
0
1 0
2 0 2 -1 -1 0 1 1 30
0 2 -1 -1 0 0 0
Iterasi kedua
OBE: , ,
0 0 0 0 0 0 1 1
B R
1 0 0
-1
-1 1
0 0 1
0
0
75
0 1 0
0
0
-
0 0
-1
-1 1
0 0 -1
-1 0
Iterasi ketiga
OBE: , ,
0 0 0 0 0 0 1 1
b R
2
3
78
0 0 0 1
0 0 1
0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -1 -1
Hasil optimal yang diperoleh adalah , , dan . Sehingga
diperoleh nilai fungsi minimumnya adalah