Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 60
2013
BAB V. PENGGUNAAN TURUNAN (Pertemuan ke 9 & 10)
PENDAHULUAN
Diskripsi singkat
Pada bab ini yang dibahas adalah tentang nilai maksimum dan minimum, kemonotonan
dan kecekungan kurva, serta maksimum dan minimum lokal.
Manfaat
Manfaat turunan yang diprioritaskan disini adalah untuk menentukan nilai maksimum dan
minimum.
Relevansi
Menentukan nilai maksimum dan minimum dalam bidang teknik banyak dijumpai, bahkan
bidang ekonomipun digunakan. Disamping itu kegunaan bab ini dalam mata kuliah yang lain juga
diperlukan, misalnya dalam mata kuliah perpindahan kalor, ketika menentukan jari-jari kritis
suatu isolasi.
Learning Outcomes
Mahasiswa dapat menentukan harga maksimum dan minimum, masalah-masalah praktis,
terutama yang berkaitan dengan bidang teknik.
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 61
2013
PENYAJIAN
5.1. Maksimum dan Minimum
Definisi
Andaikan S domain (daerah asal) f, memuat c,
dikatakan bahwa:
i. adalah nilai maksimum f pada S jika
untuk semua x di S,
ii. adalah nilai minimum f pada S jika
untuk semua x di S,
iii. adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah
nilai maksimum atau nilai minimum.
Teorema A (Eksistensi Maks-Min)
Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai
minimum.
Teorema B (Titik Kritis)
Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika adalah nilai ekstrim,
maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu:
1. Titik ujung dari f,
2. Titik stasioner dari f ( ),
3. Titik singular dari f ( tidak ada)
Y=f(x)
y
x O S
maks
k
maks maks
min min
min
Titik-titik ujung Titik-titik stasioner Titik-titik singular
Titik-titik kritis
Gambar 5-1
Gambar 5-2
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 62
2013
Prosedur sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi
kontiniu f pada selang tertutup I, sebagai berikut:
Langkah 1, carilah titik-titik kritis dari f pada I,
Langkah 2, hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum,
sedangkan yang terkecil adalah nilai minimum.
Contoh:
1. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari: , pada .
Penyelesaian: , maka dan .
Maka titik-titik kritis:
nilai maks dan nilai min
2. Fungsi kontinu dimana-mana.
Carilah nilai maksimum dan minimum pada
.
Penyelesaian: tidak pernah 0,
tetapi tidak ada, sehingga 0 adalah titik
kritis (sama seperrti titik-titik ujung ( )
Masalah-masalah praktis
Yang dimaksud masalah-masalah praktis adalah masalah yang mungkin timbul dalam
kehidupan sehari-hari. Masalah-masalah demikian jarang mempunyai titik-titik singular, tetapi
faktanya, nilai maksimum dan minimum biasanya terjadi pada titik-titik stasioner. Namun
demikian titik-titik ujung harus diperiksa.
y
x -1 1 2 3 -1
-2
-3
-4
-1 O 1 2
1
2
y
y
x
F=x2/3
Gambar 5-3
Gambar 5-4
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 63
2013
3. Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar sen dollar per mil saat
dikemudikan dengan kecepatan v mil per jam. Pengemudinya dibayar $ 14 per jam. Pada
kecepatan berapakah biaya pengiriman ke suatu kota yang jauhnya k mil akan paling murah ?
Dengan asumsi bahwa aturan kecepatan yang diperbolehkan adalah .
Penyelesaian: Misalkan C adalah biaya total dalam sen $ untuk menjalankan truk sejauh k
mil. Maka:
C = biaya pengemudi + biaya operasi
Maka: ,
sehingga: ,
4. Kotak persegi panjang dibuat dari selembar kertas karton, dengan ukuran panjang 24 inci dan
lebar 9 inci, dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojoknya dan melipat ke
atas sisi-sisinya, seperti pada gambar, di bawah ini. Cari ukuran kotak yang volumenya
maksimum ? Berapa volumenya ?
Volume yang terjadi adalah V:
atau
atau
x
x
9
24
24-2x 9-2x
Gambar 5-5
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 64
2013
Turunan pertama dari V:
Maka (memenuhi) dan (tak memenuhi). Jadi ukuran kotak yang menghasilkan
volume maksimum adalah 20x5x2 inci3. Volumenya = 200 inci3.
5.2. Kemonotonan dan kecekungan
Teorema A (teorema kemonotonan)
Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam I.
1. Jika f’(x)>0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.
2. Jika f’(x)<0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I.
Sedangkan f monoton murni pada I, jika ia naik pada I atau turun pada I.
Teorema B (teorema kecekungan)
Andaikan f terdiferensial dua kali,, pada selang terbuka (a,b).
1. Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b)
2. Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b)
y
x
y=f(x)
c
c
turun naik
f’(x)<0 f’(x)>0
Gambar 5-6
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 65
2013
Titik balik
Andaikan f kontinu di c. kita sebut (c, f(c)) adalah suatu titik balik dari grafik f, jika f cekung
ke atas pada satu sisi, dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. Grafik dalam gambar 5-8
menunjukkan sejumlah kemungkinan.
Yang merupakan calon titik-titik balik adalah: titik dimana f”(x) = 0; atau f”(x) tidak ada.
f” > 0: cekung ke atas f” < 0: cekung ke bawah cekung ke atas
cekung ke bawah
Gambar 5-7
cekung ke atas
cekung ke bawah
cekung ke atas
cekung ke bawah
cekung ke bawah
cekung ke atas
titik-titik balik
titik-titik balik
Gambar 5-8
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 66
2013
5.3. Maksimum dan minimum lokal
Nilai maksimum suatu fungsi f pada
himpunan S adalah nilai f terbesar yang
dicapai pada keseluruhan himpunan S.
Kadang-kadang diacu sebagai nilai
maksimum global, atau nilai maksimum
absolut dari f. jadi untuk fungsi f dengan
daerah asal S = [a, b] yang grafiknya diskets
dalam gambar di bawah ini, f(a) adalah nilai
maksimum global, sedangkan f(c) adalah nilai
maksumum lokal.
Teorema A (Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal)
Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c.
1. Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c)
adalah nilai maksimum lokal
2. Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c)
adalah nilai minimum lokal
3. Jika f’(x) berttanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal
a b c
Maks global
Maks lokal
Gambar 5-9
Min lokal
Maks lokal
Min lokal
Maks lokal
Min global
Maks lokal
Maks global
Gambar 5-10
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 66
2013
Contoh 1. Dimana g(x) = x/(1+x2) grafiknya naik/turun, cekung ke atas/bawah, ekstrim local dan
sketkan grafikknya.
Penyelesaian.
Penyebut selalu positif,, maka yang (- ,-1); (-1, 1) dan (1, ). Dengan menguji turunan
pertama tersebut, diperoleh g’(x) < 0 pada selang (- ,-1) & (1, ), dan g’(x) > 0 pada selang (-1,
1).
g’ (+) (0) (-) (0) (+)
-1 1
Untuk menentukan batas-batas kecekungan, maka ditentukan lebih lanjut turunan
keduanya sebagai berikut.
y
x a b c
Slope (+)
Slope (0)
Slope (-)
a c b
y
x
Slope (-)
Slope (+)
Slope (0)
a b c x
Slope (+)
Slope (0)
Slope (+)
y
Maksimum lokal Minimum lokal
Tanpa nilai ekstrim lokal
Gambar 5-11
Gambar 5-12
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 67
2013
g” (-) (0) (+) (0) (-) (0) (+)
0
Penyebut selalu positif, maka yang perlu diselesaikan adalah pembilangnya. Titik-titik
pemisah adalah - , 0, dan . Tiga titik pemisah ini menentukan empat selang.
Dengan menguji turunan kedua pada empat selang tersebut, maka disimppulkan bahwa
g(x) cekung ke atas pada (- , 0) dan ( , ), sedangkan cekung ke bawah pada selang (- , - )
dan (0, ).
Untuk membuat sketsa grafik g, digunakan semua informasi yang telah diperoleh, dan g
adalah merupakan fungsi ganjil,, grafiknya simetri terhadap titik asal.
Kadang uji turunan kedua gagal, karena f”(x) mungkin nol pada titik stasioner.
Contoh untuk kedua fungsi berikut: f(x) = x3 & f(x) = x4.
Untuk f(x) = x3, f’(x) = 0 & f”(x) = 0 pada titik stasioner, dan tak mempunyai nilai maksimum.
Untuk f(x) = x4, f’(x) = 0 & f”(x) = 0 pada titik stasioner, tapi mempunyai nilai minimum.
Gambar 5-13
-3 -2 -1 0 1 2 3
1/2
-1/2
y
x
Gambar 5-14
turun turun
Cekung ke bawah
Cekung Ke atas
Cekung Ke atas
Cekung ke bawah
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 68
2013
Di sini uji turunan kedua tak mampu menarik kesimpulan tentang maksimum atau
minimum, maka diperlukan informasi tambahan. Informasi tambahan itu adalah, apabila turunan
ketiga tidak sama dengan nol, maka titik tersebut adalah titik belok.
Tugas pertemuan ke 10, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.
Soal no 1 s.d. 5, kenali titik-titik kritis dan carilah nilai maksimum dan minimum.
1. ,
2. ,
Latihan untuk pertemuan ke 10, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.
1. Sebuah benda dilempar langsung ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 48
kaki/detik kira-kira berada pada ketinggian kaki pada akhir t detik. (a)
Berapa ketinggian maksimum yang dicapai ? (b) Seberapa cepat ia bergerak, dan ke arah
mana pada akhir 1 detik ? (c) Berapa lama waktu yang diperlukan untuk kembali ke posisi
semula ?
Petunjuk.
Kunci (a) tinggi puncak = 36 ft, (b) kecepatan setelah 1 detik adalah 16 ft/det, dan
(c) waktu yang diperlukan benda untuk kembali ke posisi semula adalah 3 detik.
Gambar 5-15
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 69
2013
Soal-Soal Terapan Maksimum & Minimum
Soal no 1 s.d. 5, kenali titik-titik kritis dan carilah nilai maksimum dan minimum.
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. Sebuah benda dilempar langsung ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 48
kaki/detik kira-kira berada pada ketinggian kaki pada akhir t detik. (a) Berapa
ketinggian maksimum yang dicapai ? (b) Seberapa cepat ia bergerak, dan ke arah mana pada
akhir 1 detik ? (c) Berapa lama waktu yang diperlukan untuk kembali ke posisi semula ?
7. Sebuah roda berpusat di titik asal dan berjari-jari 10 cm, berputar berlawanan arah putaran
jarum jam pada laju 4 putaran/detik. Sebuah titik P pada pelek berada di (10,0) pada t = 0. (a)
Berapa koordinat titik P pada saat t? (b) Pada laju berapa titik P naik (atau turun) pada saat t
= 1detik ?
8. Sebuah benda dilempar langsung ke atas pada ketinggian kaki
setelah t detik. (a) Berapa kecepatan awalnya ? (b) Kapan ia mencapai ketinggian maksimum
? (c) Berapa ketinggian makimumnya? (d) Kapan ia membentur tanah ? (e) Dengan laju
berapa ia membentur tanah ?
9. Perhatikan alat roda piston dalam gambar 1. Roda mempunyai jari-jari 1 kaki dan berputar
berlawanan arah jarum jam pada 2 radian/detik. Batang penghubung panjangnya 5 kaki. Titik
P berada di (1,0) pada saat t = 0. (a) cari koordinat titik P saat t? (b) Cari ordinat Q pada saat t
(absis selalu nol)? (c) cari kecepatan Q pada saat t ? Anda akan memerlukan kenyataan
bahwa
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 70
2013
10. Sebuah surat selebaran memuat 50 cm2 bahan cetak. Jalur bebas cetak di atas dan di bawah
selebar 4 cm, sedangkan di samping kiri dan kanan selebar 2 cm. Berapa ukuran surat
selebaran tersebut yang memerlukan kertas sesedikit mungkin?
11. Sebuah balok kayu persegi-panjang harus dipotong dari sebuah gelondongan dengan
penampang yang berbentuk lingkaran. Jika kekuatan balok sebanding dengan hasil kali lebar
dan kuadrat tebalnya, tentukan ukuran penampang balok yang memberikan paling kuat?
12. Anton berada di perahu dayung 2 mil dari titik terdekat B, pada sebuah pantai yang lurus,
melihat asap mengepul dari rumahnya di pantai, yang berjaraK 6 mil dari B. Ia
membayangkan dapat mendayung dengan laju 6 mil/jam dan lari 10 mil/jam. Bagaimana ia
harus bertindak agar mencapai rumah secepatnya?
13. Cari ukuran tabung lingkaran tegak yang volumenya sebesar mungkin yang dapat
ditempatkan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak?
14. Seorang petani berusaha memagari dua kandang persegi-panjang berdampingan yang
identik, masing-masing seluas 900 ft2, seperti diperlihatkan dalam gambar. Berapa x dan y
agar pagar kawat yang diperlukan sesedikit mungkin?
15. Sebuah bak air dengan alas berbentuk bujur sangkar harus dibangun untuk menampung air
12.000 ft3. Jika logam untuk tutup atas memerlukan biaya dua kali biaya untuk sisi dan alas
beton tiap ft2, berapa ukuran bak yang paling hemat?
16. Diperlukan sebuah kotak terbuka dengan kapasitas 36.000 in3. Jika panjang kotak harus dua
kali lebarnya, berapa ukuran kotak agar bahan yang dan diperlukan sesedikit mungkin?
P
Q
t = 0
x
x
y
Gambar 5-16
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 71
2013
17. Jika kekuatan balok persegi-panjang sebanding dengan hasil kali lebar dan kuadrat tebalnya,
cari ukuran balok yang terkuat yang dapat dipotong dari sebuah gelondong yang
penampangnya berbentuk elips ?
18. Penerangan pada sebuah titik berbanding terbalik terhadap jarak titik tersebut dari sumber
cahaya dan berbanding lurus terhadap intensitas sumber cahaya. Jika dua sumber cahaya
berjarak s ft dan masing-masing mempunyai intensitas I1 dan I2, pada titik mana di antara
mereka akan minimum ?
19. Sebuah pembangkit tenaga listrik terletak di tepi sebuah sungai lurus yang lebarnya w kaki.
Sebuah pabrik terletak di seberang sungai, L kaki ke arah hilir dari titik A yang berseberangan
langsung dengan pabrik . Jalur mana yang paling hemat untuk pemasangan sebuah kabel
yang menghubungkan pembangkit dengan pabrik jika biaya pemasangan kabel di bawah air a
rupiah tiap kaki dan b rupiah di darat (a>b) ?
20. Sebuah observatorium harus berbentuk tabung lingkaran tegak yang diatapi sebuah kubah
setengah bola. Jika biaya kubah atap tiap kaki persegi lebih mahal dua kali dari pada biaya
dinding silinder, berapa perbandingan ukuran yang paling hemat untuk volume yang
diketahui ?
21. Sebuah beban yang dihubungkan ke sebuah pegas bergerak sepanjang sumbu x, sehingga
koordinat x nya saat t adalah . Berapa jarak terjauh beban dari titik
asal ?
22. Saya memiliki perak murni yang cukup untuk melapisi suatu luas permukaan satu meter
persegi. Saya merencanakan melapisi sebuah bola dan sebuah kubus. Dengan dimensi yang
bagaimanakah agar volume total benda yang terlapisi itu maksimum ? Atau minimum ?
(dapat dimungkinkan seluruh perak yang ada hanya dapat melapisi salah satu bangun
geometri).
23. Suatu kaleng minyak berbentuk silinder tertutup, mempunyai volume 250π cm3. Tentukan
ukuran kaleng agar luas kulit ditambah luas alas dan tutup minimum ?
24. Jumlah biaya untuk membuat x radio, adalah . Berapa radio harus
dibuat, agar harga tiap radio minimum.
25. Suatu kawat panjangnya 8 m, dipotong menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk membuat
lingkaran, sedangkan bagian kedua untuk membuat bujur sangkar. Berapa panjang masing-
masing bagian, agar jumlah luas lingkaran dan luas bujur sangkar minimum.
Matematika Teknik 1, Bab 5
s. johanes, dtm sv ugm 72
2013
PENUTUP
Tes formatif dan kunci tes formatif
1. Sebuah bak air dengan alas berbentuk bujur sangkar harus dibangun untuk menampung air
12.000 ft3. Jika logam untuk tutup atas memerlukan biaya dua kali biaya untuk sisi dan alas
beton tiap ft2, berapa ukuran bak yang paling hemat?
Kunci: sisi alas buur sangkar (alas bak) = 20 ft dan tingginya adalah 30 ft.
Petunjuk penilaian dan umpan balik
Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100.
Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya
sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan
nilai .
Tindak lanjut
Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan
selanjutnya diuji lagi.