Download - BABI STATMAT2_001.rtf
BAB
VI
DISTRIBUSI FUNGSI VARIABEL RANDOM Jika diketahui fungsi distribusi probabilitas variabel random, metode yang digunakan untuk memperoleh fungsi variabel random
1 2 3
Metode Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF) Metode Transformasi Metode Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
6.1 Distribusi Fungsi Variabel Random dengan Metode CDF Misal X variabel random dengan CDF . Jika kita ingin menentukan distribusi dari variabel random Y= U (x) Dengan X variabel random dan U fungsi dari variabel random X Ide metode CDF adalah =P Jika X variabel random kontinyu maka kita menggunakan integral untuk memperoleh distribusi y Sebagai ilustrasi Misal X variabel random kontinyu dengan fungsi distribusi probabilitas ,=
= =
Ini merupakan fungsi distribusi dari Y Maka fungsi distribusi probabilitas y adalah
Contoh
1
Misal X variabel random yang diambil dari populasi yang berdistribusi akan Tentukan distribusi probabilitas dari Jawab : Fungsi distribusi dari Y diberikan oleh
=P =P = = 1= 1- , 1 Fungsi distribusi probabilitas Y adalah
Latihan
1 2
Jika dan merupakan suatu sampel random berukuran 2 dari suatu berdistribusi N(0,1). Tentukan pdf dari Empat nilai , menyatakan nilai observasi dari suatu sampel random dengan ukuran n=4 dari distribusi uniform atas . Menggunakan empat nilai ini, tentukan suatu sampel random yang sesuai dari suatu distribusi yang mempunyai pdf Jika menyatakan suatu sampel random berukuran 2 dari distribusi dengan pdf Tentukan pdf bersama dari dan dimana dari Y . Tentukan distribusi dan pdf
3
4
Jika menyatakan suatu sampel random berukuran 2 dari distribusi dengan pdf Tentukan pdf bersama dari dan dimana . Tentukan distribusi dan pdf dari Y
5
Jika , menyatakan suatu sampel random berukuran 3 dari distribusi dengan pdf Tentukan pdf bersama dari dan dimana largest item dalam sampel . Tentukan distribusi dan pdf dari Y
6
Jika menyatakan suatu sampel random berukuran 2 dari distribusi dengan pdf Tentukan probabilitas bersyarat
6.2; Transformasi
Untuk memperoleh fungsi distribusi dari fungsi variabel random dengan metode transformasi baik satu-satu maupun tidak satu-satu. Misalkan Y=U(x) fungsi yang bernilai real dan merupakan transformasi satu-satu dari himpunan domain A ke himpunan range B, maka persamaan Y=U(x) mempunyai penyelesaian tunggal
6.2.1; Transformasi Satu-satuTeorema6.2.1: Kasus Deskrit Misal x variabel random deskrit dengan pdf dengan Y=U(x) merupakan transformasi satu-satu . Dkl persamaan Y=U(x) dapat diselesaikan dengan tunggal x=W(y) pdf dari y adalah dengan
Bukti:
y)= P (Y=y) = P(U(x) = y ) = Contoh
1
Jika x berdistribusi Geometri (p) Tentukan pdf dari Y=x-1 Jawab:
U(x)=x-1 X=W(y)=Y+1 ,y=0,1,2
2
Jika x berdistribusi Poisson dengan parameter Tentukan fungsi distribusi probabilitas dari Jawab: (x)=, x=0,1,2 +3 mengawankan
=y-3
3
Jika x berdistribusi Binomial (3,) Tentukan pdf dari Y= Jawab: ,x=0,1,2,3
mengawankan
ke satu-satu
mempunyai invers tunggal
, y=0,1,4,9
TEOREMA6.2.2: Kasus kontinyu Misal x variabel random kontinyu dengan fungsi distribusi probabilitas dengan invers transformasi x= W(y) . Jika derivatif kontinyu dan tidak bernilai nol pada B maka pdf dari Y adalah ,y Derivatif dari
Contoh 1 ,x>0 Tentukan pdf dari Y = Jawab: Y= Ln y = x Jacobian
=
= 2 =2
2 Jika x berdistribusi U(-1,1) Tentukan pdf dari Y=ax +b Jawab: X berdistribusi U(-1,1) , -1