Faculté des sciences et de génie
Département de génie électrique et de
génie informatique
Jean-Yves Chouinard
Baccalauréat en génie électrique et en génie informatique
Systèmes de communications GEL-3006
Représentation et analyse des signaux
Notes de cours, édition automne 2014
GEL-3006 Systèmes de communications Jean-Yves Chouinard, Département de génie électrique et de génie informatique
Représentation et analyse des signaux
• Fonctions : fonctions réelles, complexes, paires et
impaires, fonctions mathématiques fréquentes
• Classification des signaux et des systèmes
• Séries et transformées de Fourier
• Énergie et puissance
• Dualité temps-fréquence et théorème de Parseval
• Corrélation et densité spectrale de puissance
• Transformée de Hilbert et pré-enveloppe
• Représentation complexe en bande de base
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Fonctions réelles et complexes
Une fonction du temps ( ) est réelle si elle est définie
sur l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire si .
g t
g t
0Par exemple, la fonction ( ) sin( ), où est
réel, est elle-même une fonction réelle.
g t A t A
Une fonction du temps ( ) est complexe si elle prend
des valeurs complexes, i.e. si .
g t
g t
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Exemple (fonction exponentielle complexe)
0
0 0
( )
r elleé
réel
imaginaire
( )
le
(
Représentation cartésienne, avec parties réelle et
Soit une expone
Partie
imag
réel
inaire :
ntielle complexe : ( )
( ) ( ) ( )
:l ( ) ( )e
j t
j t j
g t Ae
g t g t jg t
g t g t Ae A e
0 0
)
0
( ) ( )
2
r elle i
imaginaire 0
( )
é
Partie imaginaire
Modu
Représentation pola
cos( )
: ( ) ( ) sin( )
( ) ( )ire avec un module et une phase
le ( )
:
: )
(
t
j t j t
j g t
g t g t g
A t
g t g t Ae A e A t
g t g t e
2 2 2 2
0 0
imaginaire 00
r elle 0
r
2
maginaire
é
éel
cos ( ) sin ( )
( ) sin( )Phase : ( ) arctan arctan
( ) cos( )
L'exponentielle complexe ( ) peut donc s'exprime par :
(
(
)
)
A t A t
g t A tg t t
g t A t
g t
g
A
t
t
g
0
le imaginaire 0 0
( )( )
( ) ( ) cos( ) sin( )
ou encore : ( ) ( )j tj g t
t jg t A t jA t
g t Ag t e e
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Fonctions paires et impaires
Une fonction ( ) est une fonction paire si, pour toutes
les valeurs de : ( ) ( ) .
Une fonction ( ) est une fonction impaire si,
pour tout : ( ) ( ) .
g t
t g t g t
g t
t g t g t
paire impaire
Une fonction ( ) peut être représentée par la somme
d'une fonction paire et d'une fonction impaire :
( ) ( ) ( )
g t
g t g t g t
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-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
t
f(t
)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
t
f(t
)
Exemple (fonctions paires et impaires)
: ( )Exemp cle de os(fonction paire 2 H2 ), avec zc cg t A f t f
Exemple de fonction impair : ( ) sine 2 H(2 ), avec zc cg t A f t f
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Fonctions mathématiques utiles
1 pour 0,
sgn 0 pour 0,
1 pour 0.
t
t t
t
Fonction signe :
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Fonctions mathématiques utiles
0 pour 0,
1pour 0,
2
1 pour 0.
t
u t t
t
Fonction échelon :
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Fonctions mathématiques utiles
1 11 pour - ,
2 2
1 1pour ,
2 2
10 pour .
2
t
t t
t
Fonction rectangulaire:
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Fonctions mathématiques utiles
1 pour -1 1,
0 pour 1.
t tt
t
Fonction triangulaire :
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Fonctions mathématiques utiles
tg t e u tFonction exponentielle :
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Fonctions mathématiques utiles
tg t e
Fonction exponentielle double :
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Fonctions mathématiques utiles
sin
sinct
g t tt
Fonction sinc (sinus cardinal) :
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Fonctions mathématiques utiles
0 0
Fonction de Dirac : à
Dérivée de la fonction échelon :
Extraction :
Échelonnage :
0, pour 0,( )
, 0.
( )
( ) ( ) (0
)
( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( )
| |
tt
t
du t
dt
t g t dt g
t t g t dt g t
tt g t d
t
t f
g
t
Convolution :
1 (0)
| |
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dt g
g t t g t d g t
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Signaux discrets et signaux continus
Signal continu ( ) : fonction (réelle ou complexe)
continue dans temps ( ).
Signal discret : fonction (e.g. réelle, complexe)
définie à des instants discrets seulement ( ).
Si la fonction est a
k
g t
t
g
k
ussi discrète alors la fonction
est numérique.
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Signaux discrets et signaux continus
2
Exemples de signaux continus :
( ) sin 2 (signal réel)
( ) (signal complexe)
Exemples de signaux discrets (signaux BASK et QPSK) :
21 cos 2 , 0
( )
0, ail
c
c
j f t
ci
f t A f t
g t Ae
Ei f t t T
s t T
, 1, 2 (signal BASK)
leurs
2cos 2 2 1 , 0
( ) , 1,2,3,4 (signal QPSK)4
0, ailleurs
c
i
i
Ef t i t T
s t iT
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Signaux périodiques et apériodiques
Signal périodique ( ) : ,
Constante : période du signal.
f t f t f t T t
T
2
Exemples de fonctions périodiques :
( ) sin 2 et ( )
1avec une période .
cj f t
c
c
f t A f t g t Ae
Tf
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Fonctions orthogonales
2 2
1 1
1 2
* *
Fonctions orthogonales dans l'intervalle de temps , :
0 ou 0 t t
t t
t t
f t g t dt f t g t dt
2 2
1 1
1 2
* *
Les fonctions orthogonales sont orthonormales si,
dans l'intervalle de temps , :
1 et 1 t t
t t
t t
f t f t dt g t g t dt
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Fonctions orthogonales (exemple)
01
23
45 0
12
34
5
0
1
2
3
4
5
z
r = (3,5,5)
x y
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Signaux déterministes et signaux aléatoires
Signal déterministe : connaissance exacte de sa
valeur en tout temps
Exemple : fonction exponentielle décroissante
Signal aléatoire : incertitude quant à la valeur de
la fonction dans le temps (e.g. bruit, voix, etc.)
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Série de Fourier trigonométrique
Expansion en série de Fourier trigonométrique d’une fonction
périodique fT(t), de période T =1/f0 = 2/0:
0
0
0
0
0
0
0 0 0
1
0
0
0
cos sin
1Coefficients :
2cos
2sin
T n n
n
t T
Tt
t T
n Tt
t T
n Tt
f t a a n t b n t
a f t dtT
a f t n t dtT
b f t n t dtT
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Série de Fourier exponentielle complexe
Expansion en série de Fourier exponentielle complexe d’une
fonction périodique fT(t) :
0
00
0
1Coefficients :
jn t
T n
n
t Tjn t
n Tt
f t c e
c f t e dtT
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Transformées de Fourier
Séries de Fourier trigonométriques ou exponentielles
complexes :
• représentation en fréquence de fonctions temporelles
périodiques
• souvent les signaux ne sont pas périodiques
Transformée de Fourier :
• représentation de fonctions apériodiques dans le
domaine des fréquences
• basée sur la définition de série de Fourier exponentielle
complexe
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Transformées de Fourier
Transformée de Fourier d'une fonction temporelle g(t) :
Transformée de Fourier inverse d'une fonction G :
Les transformées de Fourier directe et inverse forment une
paire de fonctions réversibles:
( ) ( ) j tG g t g t e dt
-1 1( )
2
j tg t G G e d
-1
-1 -1
( ) et
( ) ( )
G g t G
g t G g t
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Transformées de Fourier
En télécommunications, on s'intéresse à la représentation des
signaux et systèmes en fonction des fréquences physiques
(en Hertz plutôt qu'en radians par seconde). La transformée de
Fourier s'exprime alors par la paire de relations suivantes:
pour la transformée de Fourier directe et par:
pour la transformée de Fourier inverse.
2( ) ( ) j ftG f g t g t e dt
-1 2( ) j ftg t G f G f e df
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Propriétés de la transformée de Fourier
Réversibilité:
-1 -1( ) ( )g t G f g t
Si ( ) , alors:G f g t
Dualité temps-fréquence: Si une fonction temporelle G(t) a
la même allure que le spectre G(f), mais pour la variable de
temps t, alors:
( )
( )
g t G f
G t g f
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Propriétés de la transformée de Fourier
Linéarité: Soit y(t) une combinaison linéaire des fonctions
g(t) et h(t):
( ) ( ) ( )y t g t h t
alors:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
avec ( ) et ( ).
Y f y t g t h t
Y f g t h t
Y f G f H f
G f g t H f h t
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Propriétés de la transformée de Fourier
Rééchelonnage temporel: pour constant:
1( )
fg t G
Décalage temporel: décalage de t0 dans le temps de g(t):
02
0( )j ft
g t t G f e
Décalage fréquentiel: décalage en fréquences de f0 de G(f):
02
0( )j f t
G f f g t e
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Propriétés de la transformée de Fourier
Dérivation temporelle:
( ) 2d
g t j f G fdt
Intégration temporelle:
01
( )2 2
t Gg d G f f
j f
Conjugués:
*Si ( ), alors ( ).g t G f g t G f
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Propriétés de la transformée de Fourier Multiplication temporelle:
( ) ( ) *g t h t G f H f G H f d
Convolution temporelle:
( )* ( )g t h t g h t d G f H f
Aire sous la fonction temporelle:
0g t dt G
Aire sous la fonction fréquentielle:
0G f df g
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Propriétés de symmétrie de la transformée de Fourier
fonction temporelle g(t) spectre G(f)
réelle et paire réelle et paire
réelle et impaire imaginaire et impaire
imaginaire et paire imaginaire et paire
imaginaire et impaire réelle et impaire
complexe et paire complexe et paire
complexe et impaire complexe et impaire
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Transformées de Fourier usuelles
1
22
2
( ) ( )
sinc
1sinc 2
2 2
1, avec 0
2
2, avec 0
2
sinc
1
1
at
a t
g t G f G f g t
tT fT
T
fWt
W W
e u t aa j f
ae a
a f
t f
t
f
0
1
2
0
2
8 8
0
0 0
( ) ( )
1cos 2
2
1sin 2
2
1sgn
1sgn
1 1
2 2
1
c
j ft
j f t
c
c c c
c c c
i n
g t G f G f g t
t t e
e f f
f t f f f f
f t f f f fj
tj f
j ft
u t fj f
nt iT f
T T
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Exemple (transformée de Fourier d’une fonction exponentielle)
Soit g(t) une fonction exponentielle positive. Déterminer G(f)
, pour 0( )
0, ailleurs.
t
Ae tg t
-2 0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
t
g t
A
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Exemple (transformée de Fourier d’une fonction exponentielle)
2
1 22
0 0
1 2
0
, pour 0( )
0, ailleurs.
( ) ( ) ( )
( )
Sachant que , on obtient:
0 1( )
1 12 2
t
j ft
t j f tj ft
axax
j f t
Ae tg t
G f g t g t e dt
G f Ae e dt A e dt
ee dx
a
AAeG f
j f j f
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Exemple (transformée de Fourier d’une fonction exponentielle)
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
( )1 2
1 2( )
1 2 1 2
1 2( )
1 4
2( )
1 4 1 4
AG f
j f
j fAG f
j f j f
A j fG f
f
A fAG f j
f f
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Exemple (transformée de Fourier d’une fonction exponentielle)
Représentation du spectre complexe G(f) en coordonnées cartésiennes:
2 2 2
2
2 2 2
( )1 4
2( )
1 4
AG f
f
fAG f
f
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1
-0.5
0
0.5
1
( )G f
( )G f
f
f
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Exemple (transformée de Fourier d’une fonction exponentielle)
2 2
22 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2 2 2 4
2 22 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
2( )
1 4 1 4
1 44( )
1 4 1 4
1 4( )
1 4 1 4
G f G f G f
A fAG f
f f
A fA f AG f
f f
A f AG f
f f
Module du spectre complexe G(f) (représentation polaire):
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Exemple (transformée de Fourier d’une fonction exponentielle)
2
2 2 2
2 2 2
2
2
( ) 1 4( ) arctan arctan
( )
1 4
2( ) arctan arctan 2
( ) arctan 2
fA
G f fG f
AG f
f
fAG f f
A
G f f
Phase du spectre complexe G(f) (représentation polaire):
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-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1
0
1
Exemple (transformée de Fourier d’une fonction exponentielle)
Représentation du spectre complexe G(f) en coordonnées polaires:
2 2 2( )
1 4
( ) arctan 2
AG f
f
G f f
( )G f
( )G f
f
f
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Valeur en c.c. et valeur efficace d’un signal
Définition (valeur en courant continu (DC) d'un signal):
La valeur en courant continu XDC d’un signal x(t) est :
2
2
1lim [mêmes unités]
T
DC TTX x t x t dt
T
Définition (valeur efficace d'un signal):
La valeur efficace XRMS d’un signal x(t) est donnée par :
22 2
2
1lim [unités RMS]
T
RMS TTX x t x t dt
T
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Par exemple, la puissance moyenne d’un signal de tension v(t)
dans une charge résistive R est :
Puissance d’un signal
Définition (puissance instantanée d'un signal):
La puissance instantanée d’un signal de tension v(t) avec un
courant i(t) est :
Définition (puissance moyenne d'un signal):
La puissance moyenne est obtenue de sa moyenne temporelle :
P p t v t i t
[watts]p t v t i t
2 22 2 ou encore RMS
RMS
v t VP P R i t RI
R R
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Puissance d’un signal
Définition (puissance moyenne normalisée d'un signal):
La puissance moyenne normalisée P d’un signal x(t) est
donnée par son énergie divisée par sa durée:
2 *
2
1lim ( ) ( ) [watts]
T
TTP x t x t dt
T
ou si le signal x(t) est de durée finie:
2
1
*
2 1
1( ) ( )
t
tP x t x t dt
t t
Remarque: Il s'agit ici d'une puissance normalisée pour une impédance de 1 ohm.
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Énergie d’un signal
Définition (énergie normalisée d'un signal):
Soit x(t) une fonction représentant une tension (i.e. voltage).
Alors l'énergie normalisée E de cette fonction (ou signal) est
donnée par:
2*( ) ( ) ( ) [joules]E x t x t dt x t dt
Si x(t) est une fonction limitée dans le temps alors:
2 2
1 1
2*( ) ( ) ( )t t
t tE x t x t dt x t dt
Remarque: Il s'agit ici d'une énergie normalisée pour une impédance de 1 ohm.
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Mesures en décibels Définition (gain de puissance en décibels d'un circuit):
Soit un signal x(t) de puissance moyenne Pentrée appliqué à
l’entrée d’un circuit et y(t) le signal à sa sortie de puissance
Psortie. Le gain de puissance en décibels de ce circuit est
donnée par:
dB 1010log [dB]sortie
entrée
P
P
Si le circuit est résistif alors le gain peut s’exprimer par :
dB 10 10
dB 10 10
20log 10log [dB]
20log 10log [dB]
sortie RMS entrée
entrée RMS sortie
sortie RMS sortie
entrée RMS entrée
V R
V R
I R
I R
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Mesures en décibels Définition (rapport signal-à-bruit en décibels):
Le rapport signal-à-bruit en décibels d’un signal s(t) de
puissance moyenne Psignal et de bruit n(t) de puissance Pbruit
est :
dB 10 10dB dB
2
dB 10 10 2
10log 10log
( )10log 10log [dB]
( )
signal
bruit
SNR S N SNR S N
s tPSNR
P n t
On peut aussi le définir à partir des valeurs efficaces :
10dB20log [dB]
signal RMS
bruit RMS
VS N
V
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Mesures en décibels Définition (puissance en décibels):
La puissance d’un signal s(t) est souvent exprimée en fonction
d’un signal de référence de puissance de 1 milliWatt (mW):
dBm 10 3
dBm 10
(en Watts)10log [dBm]
10
30 10log (en Watts)
signal
signal
PP
P P
Il existe aussi d’autres mesures de puissance (e.g., dBrn en
téléphonie) et de tension (e.g., dBmV en télévision) en
décibels :
dBmV 10 320log [dBmV]
10
0 dBmV 48.75 dBm (dans une charge de 75 )
signal RMSVV
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Exemple 1 (Énergie et puissance d’un signal exponentiel)
Soit x(t) une fonction exponentielle positive:
Son énergie est donnée par:
( ) ( )tx t Ae u t
*
2 2
0
2 2 22 0
0
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 12 2 2
2
t t t
t
E x t x t dt x t x t dt
E Ae u t Ae u t dt A e dt
A A AE e e e
AE
Sur une période de temps infinie, le
signal x(t) a une énergie finie.
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Exemple 1 (Énergie et puissance d’un signal exponentiel)
La puissance moyenne de x(t) est:
2 *
2
2
1 1lim ( ) ( ) lim
1lim
2
0
T
TT T
T
P x t x t dt ET T
AP
T
P
Le signal x(t) est donc un signal d'énergie finie E et de
puissance moyenne nulle.
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Exemple 2 (Énergie et puissance d’un signal sinusoidal)
Considérons un signal sinusoïdal x(t) de fréquence fc et
d'amplitude A. Son énergie est donnée par:
2
22 2
2 2 2
( ) ( ) sin 2 sin 2
1Or sin 1 cos 2
2
sin 2 1 cos 42
sin 4cos 4
2 2 2 4
c c
c c
c
c
c
E x t x t dt A f t A f t dt
AE A f t dt f t dt
f tA A AE dt f t dt t
f
E
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Exemple 2 (Énergie et puissance d’un signal sinusoidal)
La puissance P du signal sinusoïdal x(t) est:
2 2 2 2
2 2
22 22 2 2
22 2
2
2
1 1lim ( ) ( ) lim sin 2
sin 4lim cos 4 lim
2 2 4
sin 4 sin 42 2
lim2 22 4
lim
T T
cT TT T
T
T T Tc
TcT TT Tc T
c c
Tc
P x t x t dt A f t dtT T
f tA AP dt f t dt t
T T f
T Tf fA T TPT f
P
2 2 2
tend vers 0 lorsque
sin 4 et donc:22 4 2
cT
c
T
A A ATf Pf T
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Théorème de Parseval
L’énergie d’un signal x(t) peut s’exprimer en fonction de son
spectre X(f) par la relation suivante:
* *
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
ou encore par:
( ) ( ) [joules]
E x t x t dt X f X f df
E x t dt X f df
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Exemple 3 (Énergie d’un signal exponentiel)
On peut calculer son énergie à l'aide de théorème de Parseval:
Soit ( ) ( ).tx t Ae u t
*
22
( ) ( ) avec
( ) ( ) ( )
1( ) ( )
2
Le module de ( ) est égal à:
( )2
t
t
E X f X f df
X f x t Ae u t
X f A e u t Aj f
X f
AX f
f
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Exemple 3 (Énergie d’un signal exponentiel)
L’énergie E est:
2*
2
2
2222
2 2 2
22
2
( ) ( ) ( )
1
22
1 1or arctan
1 2arctan arctan arctan
2 2
2 2 2
E X f X f df X f df
AE df A df
ff
bzdz
a b z ab a
f AE A
AE
2
et l'énergie est: 2
AE
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Fonction d’autocorrélation et densité spectrale de puissance
Fonction d’autocorrélation d’une fonction x(t) :
*2
2
1lim
T
TxT
R x t x t dtT
0 0
22
nj t
j nf t T
n n
n n
x t c e c e
Pour une fonction x(t) périodique :
0
0
0
2 2*2
0 2
1T
j nf
Tx n
n
R x t x t dt c eT
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Fonction d’autocorrélation et densité spectrale de puissance
Densité spectrale de puissance de x(t) :
2j f
x x xP f R R e d
Si x(t) est une fonction périodique :
02 2
2
0
j nf
x x n
n
x n
n
P f R c e
P f c f nf
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Transformée de Hilbert
La transformée de Hilbert d’une fonction x(t) est définie par :
1 1
*h
xx t x t x t d
t t
Hilbert
hx t x t
La transformée de Hilbert inverse est donnée par :
Dualité de la transformée de Hilbert :
1 1 h
h
xx t x t d
t
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Transformée de Hilbert
Dans le domaine fréquentiel, la transformée de Hilbert se
décrit par le produit du spectre X(f) et la transformée de
Fourier de la transformée de Hilbert:
1 1*
sgn
h h
h
h
X f x t x t
X f x t x tt t
X f X f j f
sgnhX f j f X f
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Applications de la transformée de Hilbert
Parmi les applications de la transformée de Hilbert, il y a:
• la génération de signaux nécessitant une sélectivité de
phase telle que la modulation d’amplitude à bande latérale
unique (BLU) (ou SSB).
• la représentation complexe en bande de base des signaux.
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Propriétés de la transformée de Hilbert
Soit x(t) une fonction réelle du temps:
• La transformée de Hilbert a le même spectre d’amplitude
que le signal original:
• La transformée de Hilbert de xh(t) est égale à -x(t).
• Une fonction x(t) et sa transformée de Hilbert sont
orthogonales.
0hx x d
x t x t
hX f X f
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Exemple: transformée de Hilbert
Soit cos 2 . Sa transformée de Fourier est :
. 2
La transformée de Hilbert de est :
sgn sgn2
2 2
En appliquan
c
c c
h c c
h c c c c
g t A f t
AG f f f f f
G f
AG f j f G f j f f f f f
A AG f j f f f f f f f f
j
t la transformée de Hilbert inverse, on obtient :
sin 2h cg t A f t
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Pré-enveloppe d’un signal
Pré-enveloppe (positive) d'un signal réel :
h
x t
x t x t jx t
La pré-enveloppe est donc une fonction complexe du signal
et de sa transformée de Hilbert. Son spectre est donné par :
sgn
ou encore :
0, pour 0,
0 , pour 0 et
2 , pour 0.
hX f x t x t jx t
X f X f f X f
f
X f X f
X f f
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Pré-enveloppe d’un signal
De même, la pré-enveloppe négative est définie par :
Pré-enveloppe négative du signal réel :
Son spectre est :
sgn
2 , pour 0,
0 , pour 0 et
0, pour 0.
h
x t
x t x t jx t
X f X f f X f
X f f
X f X f
f
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Représentation complexe en bande de base
0X
X f2W 2W
f
cfcf 0
X f 2W
fcfcf
2 0X
0
2W
fcfcf
X f
2 0X
0
Représentation d’un signal x(t) en bande
passante par un signal complexe en bande de
base. L’enveloppe complexe peut être
obtenue de sa pré-enveloppe positive, x+(t),
par une translation en fréquence.
pré-enveloppe positive
signal comple
Signal réel en bande passante en
fonction de la pré-enveloppe :
et en fonction de sa représentation
complexe en bande de base :
h
x t
x t x t x t jx t
x t x t
2
décalage fréquentielxe
en bande de base
cj f te
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Représentation complexe en bande de base
2 2
2 2 2 2
2
Représentation complexe en bande de base, , du signal réel en bande passante :
c c
c c c c
c
j f t j f t
I Q
j f t j f t j f t j f t
I Q I Q
j f t
I
x t x t
x t x t e x t jx t e
x t x t e jx t e x t e jx t e
x t x t e
22
cos 2 cos 22
cj
j f t
Q
I c Q c
e x t e
x t x t f t x t f t
2 2
cos 2 sin 2 (coordonnées cartésiennes)
ou encore
cos 2 (coordonnées polaires)
avec et arctan
I c Q c
c
Q
I Q
I
x t x t f t x t f t
x t x t f t t
x tx t x t x t t x t
x t
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Représentation complexe en bande de base
Ix t
Qx t
2 2
I Qx t x t x t
arctan
Q
I
x tt x t
x t
x t
x t
21cj f te
22cj f t
ce f t
2 cj f te
2 cj f te
2 cf t
Ix t Qx t
x t 2 cj f tx t e
2 cj f tx t e
2 cf t