Bahan Ajar Sistem Digital 1
BAHAN AJAR
SISTEM DIGITAL
JURUSAN TEKNOLOGI KIMIA INDUSTRI PENDIDIKAN TEKNOLOGI KIMIA INDUSTRI
MEDAN
Disusun oleh : Golfrid Gultom, ST Untuk kalangan sendiri
Bahan Ajar Sistem Digital 2
DASAR TEKNOLOGI DIGITAL
Deskripsi Singkat : Pada Bab ini dijelaskan dasar teknik digital, dimana pada bab ini mahasiswa
sebelumnya harus mengetahui dasar teori listrik yang meliputi: Hubungan seri (sumber
tunggal): menentukan tegangan (V), arus listrik (I), hambatan (R) dan daya (P); Hukum
Kirchoff (Tegangan); pembagi tegangan, hubungan paralel menentukan V,I,R,P; Hukum
Kirchoff (Arus); pembagi arus dan hubungan seri / paralel : menentukan V,I,R,P.
Selanjutnya pada bab ini akan dijelaskan mengenai Sistem Bilangan, terdiri dari
Bilangan Biner, Bilangan Oktal, Bilangan Desimal dan Bilangan Heksadesimal
dilanjutkan dengan penguasaan gerbang-gerbang logika dan aljabar Boolean. Setelah
selesai mempelajari bab V ini, mahasiswa semester III Jurusan Teknologi Mekanik
Industri diharapakan menguasai dasar-dasar teknik digital yang meliputi gerbang-
gerbang logika dan analisa penyederhanaan gerbang logika tersebut menggunakan
aljabar Boolean dan Peta Karnaugh dilanjutkan dengan dasar konversi analog dan digital
yang merupakan dasar pada pengenalan proses kontrol dan otomatisasi pada industri.
Untuk melatih kemampuan mahasiswa diberikan soal-soal latihan yang harus dikerjakan
agar dapat memantapkan ilmu. Disarankan pada mahasiswa untuk membaca lebih
banyak tentang instrumentasi dan pengendalian proses, ditambah dengan mencari
informasi tentang Programmable Logic Controller (PLC).
SISTEM BILANGAN Suatu rangkaian digital bekerja dalam sistem bilangan biner, yakni hanya dalam
dua keadaan. Keluaran dari rangkaian ada dalam keadaan tegangan rendah atau dalam
keadaan tegangan tinggi, selain dua keadaan tersebut tidak ada harga keadaan lain
yang diperbolehkan. Dua keadaan keluaran dari rangkaian digital dinyatakan dalam “0”
dan “1”. Harga 0 dan 1 menyatakan berturut-turut harga rendah dan harga tinggi, maka
sistem tersebut dinamakan sistem logika positif. Sebaliknya apabila 0 dan 1 menyatakan
tegangan tinggi dan rendah, maka sistem dinamakan sistem logika negatif.
Sistem Bilangan Biner dan Desimal Dalam sistem bilangan biner, setiap bilangan didasarkan pada basis 2. Setiap
digit biner disebut bit (binary digit); bit yang paling kanan disebut least significant bit
(LSB) dan bit yang paling kiri disebut Most Significant Bit (MSB). Tabel 5.1 berikut ini
menunjukkan daftar bilangan desimal dan daftar bilangan biner beserta ekivalensinya
Biner Desimal
22 21 20
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
Bahan Ajar Sistem Digital 3
Tabel 1. Ekivalensi Bilangan Desimal dan Biner
Untuk membedakan bilangan pada sistem bilangan bilangan yang berbeda
digunakan tanda subskrip. Sebagai contoh 710 adalah bilangan 7 pada sistem bilangan
desimal dan 100012 adalah sistem bilangan 10001 pada sistem bilangan biner. Pada
tabel 5.2. berikut ditunjukkan pengubahan bilangan biner ke bilangan desimal
Most Significant Bit (MSB) Least Significant Bit (LSB)
Bahan Ajar Sistem Digital 4
Kolom Biner Biner Desimal
16 8 4 2 1
1001 - 1 0 0 1 8+0+0+1 = 9
11001 1 1 0 0 1 16+8+0+0+1=25
10111 1 0 1 1 1 16+0+4+2+1= 23
Tabel 2. Pengubahan Bilangan Biner Ke Desimal
Basis atau radiks dari sistem bilangan menunjukkan jumlah angka digit total yang
digunakan dalam sistem bilangan tersebut. Dalam contoh pada tabel 5.2. angka biner
1001 ekivalen dengan angka 9 pada sistem bilangan desimal, yang diperoleh dari: 3 1001 = 1 x 2 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20
= 8 + 0 + 0 + 1 = 9
Konversi bilangan Desimal ke Biner dapat dilakukan dengan kombinasi intuisi
dan metode trial and error . Bilangan desimal yang diketahui dipisah-pisahkan ke dalam
sejumlah bilangan berbasis dua. Sebagai contoh bilangan desimal 2210 nilainya lebih
kecil dari 25 4 =32 dan lebih besar dari 2 = 16, maka bit 1 ditempatkan pada kolom 16,
sisanya adalah 22-16 = 6, dapat dimasukkan pada kolom 4 dan kolom 2, sehingga bit 1
diletakkan pada kolom tersebut, selanjutnya diperoleh konversi bilangan 2210 adalah
101102. Kenapa diletakkan 0 pada kolom 8? Karena sisa pengurangan 22 terhadap 16
adalah 6 (lebih kecil dari 8) sehingga kolom 8 diberi angka nol.
Cara lain adalah dengan pembagian secara progresif angka desimal dengan 2
sampai memperoleh sisa pembagian nol. Tulislah sisanya setelah setiap pembagian
dengan urutan terbalik, maka diperoleh angka biner. Proses ini dijelaskan di bawah ini
dimana angka 22 diubah menjadi angka binernya.
22 ÷ 2 = 11 ; sisa 0 (LSB)
11 ÷ 2 = 5 ; sisa 1
5 ÷ 2 = 2 ; sisa 1
2 ÷ 2 = 1 ; sisa 0
1 ÷ 2 = 0 ; sisa 1 (MSB)
Pembacaan hasil pembagian adalah dari bagian MSB ke ke bagian LSB, dari hasil
diperoleh bahwa 22 dikonversikan ke biner, maka diperoleh 1011010 2.
Pada tabel di bawah ini diberikan beberapa contoh pengkonversian bilangan
desimal ke biner:
Bahan Ajar Sistem Digital 5
Kolom Biner Bilangan Desimal
Bilangan Biner 5 4 3 2 1 02 2 2 2 22
15 0 0 1 1 1 1 001111
45 1 0 1 1 0 1 101101
52 1 1 0 1 0 0 110100
Tabel 3. Beberapa Contoh Pengkonversian Desimal Ke Biner
Latihan 1 1. Ubah bilangan biner berikut menjadi bilangan desimal :
a. 110 b. 10101 c. 1111001
2. Ubah bilangan desimal berikut menjadi bilangan biner :
a. 8 b. 52 c. 67
Jawaban : 1. (a) 6 (b) 21 (c)121 ; 2.(a) 1000 (b) 110100 (c) 1000011
Metode yang dipakai diatas tidak berlaku untuk bilangan yang mengandung
pecahan. Dalam bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan
titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai nilai
eksponen yang semakin besar dan digit-digit yang berada di sebelah kanan titik desimal
mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil. Sehingga: -2 = 1 x 10 0,0110-1 -2 -3 0,101 = 1 x 10 + 0 x 10 + 1x 1010
Cara yang sama dapat digunakan untuk menyajikan bilangan biner pecahan, contoh :
0,12 = 1 x 2-1
0,012 = 0 x 2-1 + 1 x 2-2 -2 = 2 = ¼
Contoh : Tentukan 0,1112 =…………..10
Jawab = 1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3
= ½ + ¼ + 1/8
= 0,5 + 0,25 + 0,125
= 0,87510
Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner dapat dilakukan dengan cara
mengalikan bagian pecahan dari bilangan desimal tersebut dengan 2, bagian bulat dari
hasil perkalian merupakan pecahan dalam bit biner. Proses perkalian diteruskan pada
sisa sebelumnya sampai hasil perkalian sama dengan 1 atau sampai pada tingkat
ketelitian yang diinginkan. Bit biner pertama yang diperoleh merupakan MSB dari
bilangan biner pecahan.
Contoh : = …………1. Tentukanlah 0,62510 2
Jawab
0,625 x 2 = 1,25 bagian bulat =1 (MSB) Sisa = 0,25
0,25 x 2 = 0,5 bagian bulat =0, sisa = 0,5
0,5 x 2 = 1 bagian bulat = 1 (LSB), tanpa sisa
Maka diperoleh:
= 0,101 0,62510 2
= ……….2. Tentukan 5,62510 2
Jawab
I. Pisahkan bilangan bulatnya, lalu konversikan ke biner
5 = 10110 2
II. Konversikan bilangan pecahan ke biner
= 0,101 0,62510 2
III. Gabungkan hasil pengkonversian bilangan bulat dengan pecahan, maka :
= 101,101 5,62510 2
Bahan Ajar Sistem Digital 6
Latihan 2 1. Ubah bilangan biner berikut menjadi bilangan desimal :
a. 0,01 b. 0,111 c. 101,101
2. Ubah bilangan desimal berikut menjadi bilangan biner :
a. 0,25 b. 0,21875 c. 0,46875
Jawaban : 1.(a) 0,25 (b) 0,875 (c) 5,625 ; 2.(a) 0,01 (b) 0,00111 (c) 0,1111
Sistem Bilangan Oktal dan Biner
Bahan Ajar Sistem Digital 7
Bilangan oktal adalah sistem bilangan yang berbasis 8. Teknik pembagian yang
berturutan dapat digunakan untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal.
Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi dengan 8 dan sisa
pembagiannya harus selalu dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 581910
ke oktal, langkah-langkah yang dilakukan adalah :
5819 ÷ 8 = 727, sisa 3 (LSB)
727 ÷ 8 = 90 , sisa 7
90 ÷ 8 = 11, sisa 2
11 ÷ 8 = 1, sisa 3
1 ÷ 8 = 0, sisa 1, MSB
Sehingga, 5819 10 = 132738
Setiap digit pada bilangan oktal dapat disajikan dengan 3 digit bilangan biner,
seperti pada tabel 5.4 berikut:
Oktal Biner
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
Tabel 4. Konversi Oktal Ke Biner
Untuk mengubah bilangan oktal ke bilangan biner, setiap digit oktal diubah
secara terpisah. Sebagai contoh, 75368 sama dengan bilangan biner 111 101 011 110.
Sebaliknya, pengubahan dari bilangan biner ke bilangan oktal dilakukan dengan
mengelompokkan setiap tiga digit biner dimulai dari digit paling kanan. Kemudian setiap
kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan oktal. Sebagai contoh, bilangan
111100110012 akan dikelompokkan sehingga 11 110 011 001, sehingga:
112 = 38 MSB
1102 = 68
0112 = 38
001
Bahan Ajar Sistem Digital 8
2 = 18 LSB
Jadi, bilangan biner 11110011001 apabila diubah menjadi bilangan oktal akan
memperoleh 36318.
Latihan 3 1. Ubah bilangan Oktal berikut ini menjadi bilangan biner:
a. 32 b. 57 c. 213
2. Ubah bilangan biner berikut menjadi bilangan oktal: a. 010 b. 110011 c. 101110110
Jawaban : 1. (a)11010 (b)101111 (c) 10001011; 2.(a)2 (b)63 (c)566
Sistem Bilangan Biner dan Heksadesimal Bilangan heksadesimal atau bilangan basis enam belas mempunyai 16 simbol
yang berbeda. Ditunjukkan pada tabel 5.5.
Heksadesimal Desimal Biner
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
A 10 1010
B 11 1011
C 12 1100
D 13 1101
E 14 1110
F 15 1111
Tabel 5. Tabel Konversi Sistem Bilangan Heksadesimal
Setiap digit pada bilangan heksadesimal dapat disajikan dengan empat buah bit
seperti ditunjukkan pada tabel 5.5. Untuk mengubah bilangan heksadesimal menjadi
bilangan biner, setiap digit dari bilangan heksadesimal diubah secara terpisah ke dalam
empat bit bilangan biner. Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 2A5C, dapat
dikonversikan ke dalam bilangan biner dengan cara:
2 = 0010, MSB 16
A = 1010 16
5 = 0101 16
C = 1100, LSB 16
Sehingga bilangan heksadesimal 2A5C akan diubah menjadi bilangan biner 0010 1010
0101 1100.
Bilangan biner apabila dikonversikan menjadi bilangan heksadesimal, maka
langkah yang dilakukan adalah mengelompokkan setiap empat digit dari bilangan biner
dimulai dari digit paling kanan. Sebagai contoh bilangan biner 0100111101011100, dapat
dikelompokkan menjadi 0100 1111 0101 1100, sehingga:
Bahan Ajar Sistem Digital 9
01002 = 4 , MSB 16
11112 = F16
01012 = 516
11002 = C16, LSB
Dengan demikian, bilangan 01001111010111002 = 4F5C16
Latihan 4 1. Ubah bilangan biner berikut menjadi bilangan heksadesimal :
a. 110110100 b. 1000010001111 c. 1110111
2. Ubah bilangan heksadesimal berikut menjadi bilangan biner :
a. 2A b. EF2 c. C19
Jawaban:1.(a) 1B4 (b) 108F (c) 77 ; 2.(a) 101010 (b) 111011110010 (c) 110000011001
GERBANG LOGIKA
Gerbang logika adalah piranti dua keadaan yaitu mempunyai keluaran dua
keadaan; keluaran dengan nol (0) volt yang menyatakan logika nol atau rendah dan
keluaran dengan tegangan tetap yang menyatakan logika 1 (atau tinggi). Gerbang logika
dapat mempunyai beberapa masukan yang masing-masing mempunyai salah satu dari
dua keadaan logika, yaitu 0 dan 1. Gerbang logika dapat digunakan untuk melakukan
fungsi-fungsi khusus, misalnya: OR, AND, NOT, NOR, NAND atau EXOR.
Gerbang-gerbang logika dengan dua masukan digambarkan pada gambar 5.1
berikut ini:
Gerbang Logika NOT Gerbang Logika OR Gerbang Logika AND
Gerbang Logika EXOR Gerbang Logika NOR Gerbang Logika NAND
Gambar 1. Gambar Gerbang-Gerbang Logika Dua Masukan Gerbang Logika AND Gerbang AND digunakan untuk menghasilkan logika 1 jika semua masukannya
mempunyai logika 1, apabila tidak maka akan dihasilkan logika nol (0). Daftar yang berisi
kombinasi semua kemungkinan keadaan masukan dan keluaran yang dihasilkan disebut
sebagai tabel kebenaran dari gerbang yang bersangkutan. Tabel 5.6 berikut ini
menunjukkan tabel kebenaran dari gerbang AND dua masukan.
Masukan Keluaran
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Tabel 6. Tabel Kebenaran Gerbang AND Dua Masukan
Bahan Ajar Sistem Digital 10
Bahan Ajar Sistem Digital 11
Gerbang logika AND dapat dianalogikan sebagai hubungan seri dua saklar pada
rangkaian listrik, dimana tegangan dapat mengalir (logika 1) pada rangkaian apabila
kedua saklar ditutup (logika 1) dan tegangan tidak dapat mengalir (logika 0) apabila
salah satu atau kedua saklar terbuak (logika 0)
Gerbang Logika OR Gerbang logika OR mempunyai dua masukan atau lebih tetapi mempunyai satu
keluaran. Keluaran dari gerbang logika OR mempunyai keadaan satu (1) apabila satu
atau lebih masukannya berada dalam keadaan satu (1). Jika diinginkan keadaan
keluaran nol (0), maka semua masukan harus dalam keadaan nol (0). Gerbang logika
OR dapat dianalogikan sebagai hubungan seri antara dua saklar pada rangkaian listrik,
dimana tegangan dapat mengalir (logika 1) apabila salah satu atau dua saklar ditutup,
dan tegangan tidak akan mengalir (logika 0) apabila kedua saklar terbuka (keduanya
memberikan logika 0). Tabel kebenaran dari gerbang logika OR diberikan pada tabel
berikut ini :
Masukan Keluaran
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Tabel 6. Tabel Kebenaran Gerbang OR Dua Masukan
Gerbang Logika NOT (Inverter) Gerbang logika NOT atau Inverter mempunyai satu masukan dan satu keluaran.
Keluaran dari rangkaian tersebut mempunyai harga logika 1 jika dan hanya jika masukan
tidak berada dalam logika 1 atau keluaran akan tinggi apabila masukannya rendah dan
keluarannya akan rendah apabila masukannya tinggi.
Tabel kebenaran gerbang logika NOT (Inverter) ditunjukkan pada tabel 5.7
berikut ini:
Masukan Keluaran
0 1
1 0
Tabel 7. Tabel Kebenaran Gerbang Logika NOT
Bahan Ajar Sistem Digital 12
Gerbang Logika NAND Gerbang logika NAND merupakan gabungan antara gerbang logika AND dan
gerbang Logika NOT (ingkaran dari gerbang logika AND). Gerbang logika NAND akan
mempunyai keluaran 0 apabila semua masukan pada logika 1. Sebaliknya, apabila
terdapat sebuah logika 0 pada sembarang masukan pada gerbang logika NAND, maka
keluarannya akan bernilai 1. Tabel kebenaran gerbang logika NAND dua masuk
ditunjukkan pada tabel 5.8 berikut ini
Masukan Keluaran
A B F
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Tabel 5.8. Tabel Kebenaran Gerbang Logika NAND
Gerbang Logika NOR Gerbang logika NOR merupakan gabungan antara gerbang logika OR dan
gerbang Logika NOT (ingkaran dari gerbang logika AND). Gerbang logika NOR akan
mempunyai keluaran 1 apabila semua masukan pada logika 0. Sebaliknya, apabila
terdapat sebuah logika 1 pada sembarang masukan pada gerbang logika NOR, maka
keluarannya akan bernilai 0. Tabel kebenaran gerbang logika NOR dua masuk
ditunjukkan pada tabel 5.9 berikut ini
Masukan Keluaran
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Tabel 9. Tabel Kebenaran Gerbang Logika NOR
Gerbang Logika EXOR
Gerbang EXOR (berasal dari kata Exclusive OR) akan memberikan keluaran
logika 1, apabila masukan-masukannya mempunyai keadaan 1 jika masukannya
mempunyai keadaaan berbeda. Tabel kebenarannya ditunjukkan pada tabel 5.10 berikut
ini:
Masukan Keluaran
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Tabel 10. Tabel Kebenaran Gerbang Logika EXOR
ALJABAR BOOLEAN DAN PETA KARNAUGH Keluaran dari satu atau kombinasi beberapa buah gerbang dapat dinyatakan
dalam dalam suatu ungkapan logika yang disebut ungkapan Boolean. Teknik ini
memanfaatkan aljabar Booelan dengan notasi-notasi khusus dan aturan-aturan yang
berlaku untuk elemen-elemen logika termasuk gerbang logika.
Hukum- Hukum dan Teorema Aljabar Booelan Aljabar Boolean mempunyai notasi-notasi sebagai berikut :
a. Fungsi AND dinyatakan dengan sebuah titik (dot), sehingga sebuah gerbang
AND yang mempunyai dua masukan misalkan A dan B dan mempunyai keluaran
F, secara aljabar Boolean keadaan ini dapat dinotasikan dengan : F = A.B
dengan A dan B adalah masukan dari gerbang AND. Untuk gerbang AND tiga
masukan (A, B dan C), maka keluarannya dapat dituliskan dengan persamaan
Boolean F = A.B.C
b. Fungsi OR dinyatakan dengan sebuah simbol tambah (+), sehingga gerbang
OR dua masukan dengan masukan A dan B dengan keluaran F, dapat dituliskan
dengan persamaan Boolean F = A+B. Untuk gerbang OR tiga masukan (A, B
dan C), maka keluarannya dapat dituliskan dengan persamaan Boolean
F = A +B+C
c. Fungsi NOT dinyatakan dengan tanda garis atas (overline) pada masukkannya.
Sehingga gerbang NOT dengan masukan A mempunyai keluaran yang dapat
dituliskan sebagai F = A (dibaca not A atau inverter A)
Bahan Ajar Sistem Digital 13
d. Fungsi NAND yang merupakan kombinasi antara gerbang logika NOT dan AND,
sehingga persamaan Boolean dari gerbang logika NAND, akan dapat dituliskan
dengan persamaan F = A.B
e. Fungsi NOR yang merupakan kombinasi antara gerbang logika NOT dan OR,
sehingga persamaan Boolean dari gerbang logika NOR, akan dapat dituliskan
dengan persamaan F = A+B
Contoh : Perhatikan gambar 5.2 berikut ini :
a. Tentukanlah persamaan Booleannya!
b. Buatlah tabel kebenaran yang menunjukkan semua keadaan pada semua
masukan sehingga dapat dibuktikan gerbang kombinasinya dapat digantikan
dengan sebuah gerbang!
c. Buktikanlah bahwa A+B = A . B
Jawab :
a. Persamaan Boolean pada C= A, dan persamaan Boolean pada D= B,
sehingga persamaan Boolean pada F = A . B
b. Tabel kebenaran dari persamaan Boolean tersebut adalah :
A B C D F
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 0 0 0
Dari tabel kebenaran tersebut dapat dilihat bahwa keluaran pada F sama
dengan keluaran dari gerbang logika NOR. Sehingga gerbang kombinasi
tersebut dapat digantikan dengan sebuah gerbang NOR
c. Persamaan Boolean dari fungsi NOR adalah A+B. Tetapi persamaan yang
dihasilkan dari point (a) adalah A .B. Sehingga A + B = A . B
A
B
C
D
F
Bahan Ajar Sistem Digital 14
Beberapa teorema Boolean yang lain adalah :
1 + A = A
0 + A = A
A + A = A
A. A = A
A + A = 1
A. A = 0
A. B = B . A
A + B = B + A
A. (B.C) = (A . B). C
A+(B+C) = (A +B)+ C
(A+B).(A+C) = A. ( B+C)
A + A.B = A
A +A. B = A + B
A. (A + B) = A. B
Bahan Ajar Sistem Digital 15
Latihan 5
Teorema De Morgan Teorema 1 : Komplemen dari jumlah dua peubah atau lebih sama dengan
hasil- hasil komplemen dari peubah-peubah
Teorema 2 : Komplemen dari hasil kali dua peubah atau lebih sama dengan
jumlah dari komplemen-komplemen peubah-peubah
Untuk dua peubah A dan B, teorema-teorema tersebut ditulis dalam persamaan Boolean
sebagai berikut :
A + B = A . B
A . B = A + B
Peta Karnaugh
Dengan aturan aljabar Boolean buktikanlah persamaan berikut :
a. (A+B).(A+C) = A + BC
b. A + A.B = A+B
c. A.(A + B) = A.B
Aljabar Boolean dapat menyederhanakan gerbang logika, tetapi cara ini
memakai operasi matematis yang cukup panjang dengan menggunakan aturan Aljabar
Boolean. Terdapat cara lain untuk menyederhanakan gerbang-gerbang logika yaitu
dengan cara menggunakan peta Karnaugh (K-Map) atau diagram berdasarkan teknik
pengenalan pola.
Peta Karnaugh berisi semua kemungkinan kombinasi dari sistem logika.
Kombinasi ini dirangkai dalam sebuah tabel. Tabel atau peta tersebut berisi kombinasi
antara variabel-variabel atau peubah-peubah yang menjadi masukan pada sistem logika.
Peta Karnaugh yang paling sederhana terdiri atas 2 variabel, dimisalkan variabel A dan
variabel B. Perhatikanlah tabel 5.11 berikut ini :
A
0 1
0 B 1
Tabel 11. Peta Karnaugh 2 Variabel
Kolom menyajikan masukan A, dengan kolom disebelah kiri memberikan
masukan 0 dari variabel A. Kolom disebelah kanan memberikan masukan 1 dari variabel
A. Selanjutnya perhatikan baris pertama dab baris kedua. Pada baris pertama
memberikan nilai 0 pada masukan B dan baris kedua memberikan nilai 1 pada masukan
B. Dari empat kotak sel yang tersusun akan menyajikan semua kemungkinan masukan,
yaitu : 22 = 4 buah masukan yang mungkin terjadi.
Logika 1 atau masukan 1 dituliskan pada bagian masukan apabila dari
persamaan Boolean yang diberikan menuliskan variabel atau masukan tersebut, dan
logika 0 dituliskan apabila variabel atau masukan tidak terdapat pada persamaan
Boolean atau pada persamaan Booleannya masukan atau variabel tersebut di inverter.
Contoh Tuliskanlah dan sederhanakanlah persaman Boolean tersebut di bawah ini ke dalam
peta Karnaugh !
F = A.B + A.B
Jawab :
Sesuai dengan persamaan tersebut, maka logika 1 ditempatkan pada pada sel
A=1 dan B = 0. Hal ini diulang untuk bagian kedua dari persamaan tersebut (A.B), maka
logika 1 ditempatkan pada sel A=1 da B=1. Sisa sel yang lain dapat diisi oleh logika 0.
Seperti ditunjukkan pada peta Karnaugh berikut :
Bahan Ajar Sistem Digital 16
A 0 1
A.B 0 0 1 B A.B 1 0 1
Selanjutnya angka 1 yang berdekatan kemudian dikelompokkan dan pada hasil
pengelompokan tersebut diperhatikan variabel apa yang tidak berubah.
A 0 1 Dari hasil pengelompokan diperhatikan bahwa
variabel A tidak berubah, karena pada kolom tersebut, variabel A tetap pada logika 1, sementara variabel B pada baris 1 berlogika 0 dan pada baris 2 berlogika 1. Sehingga persamaan Boolean tersebut dapat direduksi menjadi F =A
Bahan Ajar Sistem Digital 17
0 0 1 B 1 0 1
Persamaan Boolean untuk dua variabel dapat ditunjukkan pada peta Karnaugh
seperti ditunjukkan pada tabel 5.12 berikut :
A
0
1
0
A B
A B
B
1 A B A B
Tabel 5.12. Tabel Relevansi Aljabar Boolean Terhadap Peta Karnaugh
Untuk peta Karnaugh tiga masukan dimisalkan A, B dan C akan terdapat 23 = 8
buah kombinasi yang harus dituliskan pada peta Karnaugh seperti pada tabel 5.13
berikut ini :
A = 0 A = 0 A = 1 A = 1
B = 0 B = 1 B = 1 B = 0
C = 0 A B C A B C A B C A B C
C = 1 A B C A B C A B C A B C
Contoh
Dimisalkan suatu persamaan Boolean sebagai berikut :
F = A B C + A B C
Dengan menggunakan peta Karnaugh sederhanakanlah persamaan tersebut
Bahan Ajar Sistem Digital 18
Jawab :
A = 0 A = 0 A = 1 A = 1
B = 0 B = 1 B = 1 B = 0
C = 0 0 1
0
0
C = 1 0 1
0
0
A B
Sama seperti peta Karnaugh dua variabel, peta karnaugh tiga variabel menggabungkan
dua logika 1 yang berdekatan. Selanjutnya memperhatikan variabel mana yang tidak
berubah. Dan dapat dilihat hasil penyederhanaan persamaan Boolean tersebuat adalah
F = A B
Apabila kita bandingkan dengan penyelesaian secara aljabar Boolean dapat
diperoleh :
F = A B C + A B C
F = A B (C + C)
F = A B
Latihan 6 1. Dengan aturan aljabar Boolean dan peta Karnaugh sederhanakanlah persamaan
berikut:
a. F = A B + A B + A B
b. F = Y (X+Z) + Z (X +Y) + XZ
Jawaban : 1.(a) A+B (b) Z+XY ; 2. AC +BC
KONVERSI ANALOG DAN DIGITAL
2. Suatu tangki mempunyai kapasitas volume 100 m3. Tangki tersebut di supply oleh 3
buah pompa. Pompa A mengalirkan fluida dengan debit 40 m3/ jam, pompa B
mengalirkan fluida dengan debit 50 m3/jam dan pompa C mengalirkan fluida dengan
debit 70 m3/jam. Rencanakanlah suatu rangkaian kontrol (dengan pengaturan 1 jam),
sehingga apabila terjadi kelebihan kapasitas pada tangki, maka rangkaian kontrol
tersebut akan membunyikan bel secara otomatis !
Piranti-piranti dan sistem-sistem logika hanya mengenal isyarat digital. Tetapi
kebanyakan isyarat atau sinyal yang dihubungkan dengan transduser mempunyai bentuk
analog. Sebelum diumpankan ke sistem digital, sinyal-sinyal ini harus diubah ke dalam
sinyal digital oleh pengubah analog ke digital (analog to digital converter = ADC). Dan
keluaran dari sistem digital dapat diubah menjadi bentuk analog oleh pengubah digital ke
analog (digital to analog converter = DAC).
5.4.1. Konversi Analog ke Digital Konversi analog ke digital mengambil masukan analog, kemudian mencuplik
sinyal tersebut lalu mengubahnya amplitudo dari setiap pencuplikan menjadi sandi
digital. Seperti ditunjukkan pada blok diagram berikut :
Masukan analog
Sampling Konversi Sinyal Digital
Gambar 5.3. Blok Diagram Analog ke Digital
5.4.2 Pencuplikan Untuk mendapatkan hasil yang memuaskan sinyal analog harus disampling atau
dicuplik dengan laju paling sedikit dua kali frekuensi tertinggi dari masukan analog asli
seperti ditunjukkan pada gambar 5.4 berikut ini:
Pulsa Sampling
Gambar.5.4. Pencuplikan dan Penyusunan Kembali Sinyal Asli
Laju pencuplikan ini disebut dengan laju Nyquist. Pada saat cuplikan-cuplikan tersebut
digabungkan kembali dengan cara menggabungkan ujung-ujung dari setiap sinyal yang
dicuplik, gelombang yang terbentuk harus berisi informasi yang sama dengan bentuk
gelombang semula.
Bahan Ajar Sistem Digital 19
Jika laju pencuplikan rendah apabila dibandingkan dengan frekuensi sinyal
analog, maka akan terjadi proses aliasing. Apabila sebuah sinyal analog dengan
frekuensi 10 KHz, kemudian dicuplik dengan laju sinyal 9 KHz, maka akan
Bahan Ajar Sistem Digital 20
mengakibatkan sinyal hasil pencuplikan terlalu renggang (infrequent) maka hanya
disajikan sebuah nilai dari sinyal tetapi pada titik yang sedikit yang sedikit berbeda pada
setiap putarannya, sehingga menghasilkan gelombang sinus yang mempunyai frekuensi
sama dengan selisih dua frekuensi, 10 KHz – 9 KHz = 1 KHz
Proses Konversi Langkah selanjutnya pada ADC adalah proses konversi. Sejumlah aras,
misalnya 0.25, 0.5, 0.75, 1.0 dst disusun dengan sandi binernya. Langkah ini disebut
kuantisasi (quantizing). Cacah aras kuantum ditentukan oleh cacah bit pada keluaran
pengubah. Sebagai contoh, untuk ADC 3 bit, keluaran biner dapat bernilai 000 samapi
111, yaitu sejumlah 8 aras. Dimisalkan digunakan skala quantum sebesar 250 mV. Pada
tabel 5.13 ditunjukkan tegangan cuplikan dan sandi binernya, dan memberikan tegangan
maksimum sebesar 1.75 Volt.
Kode Biner Aras Tegangan Cuplikan (Volt)
MSB LSB
0 0.00 0 0 0
1 0.25 0 0 1
2 0.50 0 1 0
3 0.75 0 1 1
4 1.00 1 0 0
5 1.25 1 0 1
6 1.50 1 1 0
7 1.75 1 1 1
Tabel 13. Pencuplikan Sinyal Analog Menjadi Bit – Bit Digital
Kesalahan kuantisasi tidak dapat dihilangkan, tetapi dapat dikurangi dengan
meningkatkan resolusi pengubah dengan cara menaikkan cacah bit yang digunakan
sehingga mengurangi aras kuantum dan kesalahan kuantisasi.
Konversi Digital Ke Analog
Konversi digital ke analog (digital to analog converter = DAC) menerima
masukan sinyal digital paralel dan mengkonversinya ke nilai tegangan atau arus listrik
yang disajikan masukan biner. Apabila ini diulang untuk masukan digital yang berurutan
akan terbentuk gelombang analog. Sebagai contoh, untuk masukan biner 3 bit akan
dihasilkan 8 aras dengan 000 menunjukkan keluaran o dan 111 menunjukkan tegangan
keluaran maksimum yang ditentukan berdasarkan tegangan referensi (Vref). Masukan lain
dihasilkan kembali sebanding dengan V , misalnya 001 sebanding 1/8 Vref ref , 011
sebanding dengan 3/8 V , dan 101 sebanding dengan 5/8 Vref ref. Setiap bit dari masukan
biner (b
Bahan Ajar Sistem Digital 21
2, b1, b0) dihasilkan ulang berdasarkan faktor pembebanan, berdasarkan
persamaan umum sebagai berikut :
Aras keluaran = V (bref 2/2 + b1/4 + b0/8)
Agar dapat diterapkan pada suatu sistem, misalnya sistem pengaturan, dimana
sistem ini mempunyai sinyal asli analog, sinyal analog tersebut harus dikonversikan ke
dalam sistem digital oleh suatu alat yaitu Analog to Digital Converter. Hasil keluaran dari
alat Analog to Digital Converter ditampilkan kembali ke dalam bentuk analog dengan
menggunakan Digital to Analog Converter.
KONVERSI ANALOG DAN DIGITAL 1. Elemen-Elemen Dasar Sistem Pemrosesan Sinyal Digital
Sinyal adalah fungsi dari himpunan variabel bebas pada umumnya waktu
dijadikan sebagai variabel tunggal.
Mis : Tegangan sebagai fungsi waktu
Gaya sebagai fungsi waktu
Aliran sebagai fungsi waktu
Sebagian besar sinyal-sinyal dalam sains dan teknologi merupakan sinyal
analog. Sinyal analog dapat diproses secara langsung oleh sistem analog.
Prosesor Sinyal
Analog Sinyal Masukan Analog
Sinyal Keluaran Analog
Pada pemrosesan sinyal digital, disediakan suatu metode alternatif untuk
pemrosesan sinyal asli (analog).
Bahan Ajar Sistem Digital 22
Untuk melakukan pemrosesan secara digital diperlukan dua perangkat yang
dinamakan pengkonversi analog menjadi digital (ADC), dimana keluaran dari
ADC adalah sinyal digital yang cocok dengan masukan terhadap prosesor sinyal
digital. Prosesor sinyal digital dapat merupakan sebuah komputer digital yang
dapat diprogram atau sebuah mikroprosesor yang diprogram untuk melakukan
operasi-operasi yang diinginkan pada sinyal masukan.
Selanjutnya untuk pemakaian dengan keluaran digital dari prosesor sinyal digital
akan disampaikan kepada pemakai dalam bentuk analog. Perangkat untuk hal tersebut
dinamakan dengan pengkonversi digital menjadi analog (DAC).
2. Keuntungan Pemrosesan Sinyal Digital dibandingkan Sinyal Analog.
Terdapat beberapa alasan mengapa pemrosesan sinyal digital lebih banyak
dipakai :
a. Suatu sinyal digital dapat dengan mudah dikonfigurasi ulang dengan
menggunakan program-program untuk sinyal digital. Pada sinyal
analog konfigurasi ulang sistem akan menuntut disain ulang
perangkat keras yang diikuti dengan pengujian dan pembuktian
untuk melihat apakah sistem beroperasi dengan baik.
b. Sistem digital menyediakan kontrol yang lebih baik pada keakuratan.
Sinyal Masukan Konverter Analog ke
Digital
Proses Sinyal Digital
Konverter l Digital ke Analog
Sinyal Keluaran A l
Sinyal Keluaran Di it lSinyal Masukan
Di it l
c. Sinyal digital mudah dimemori tanpa mengalami penurunan atau
kehilangan keaslian sinyalnya.
Sebagian besar sinyal-sinyal untuk maksud praktis, seperti suara, sinyal biologis, sinyal
mekanis dan berbagai sinyal komunikasi seperti sinyal audio dan video merupakan sinyal
analog. Untuk memproses sinyal analog dengan alat digital, yang pertama sekali
dilakukan adalah mengubah sinyal analog tersebut menjadi sinyal digital dengan cara
mengkonversi sinyal analog tersebut menjadi sederetan bilangan biner yang mempunyai
presisi tertentu dengan menggunakan alat ADC.
Secara konsepsi, proses analog menjadi digital mempunyai tiga langkah proses
yaitu :
1. Pencuplikan (sampling) Pencuplikan adalah konversi suatu sinyal yang diperoleh dengan pengambilan
cuplikan sinyal asli menjadi sinyal-sinyal digital
2. Kuantisasi Setelah sinyal analog dicuplik, hasil pencuplikan dikuantisasi dimana nilai setiap
cuplikan dinyatakan dalam bilangan
3. Pengkodean Dalam proses pengkodean setiap nilai hasil kuantisasi dinyatakan dalam
bilangan biner.
(Pencuplikan Kuantisasi Pengkode
011001110
Sinyal Analog
Sinyal Digital
Analog To Digital Converter
Pada teknologi proses, pengkonversian sinyal analog ke digital sangat banyak
dilakukan baik dalam laboratorium maupun dalam pengendalian proses. Terutama dalam
Bahan Ajar Sistem Digital 23
teknologi dewasa ini, dimana pabrik sudah memakai teknologi DCS (Distributed Control
System). Pada DCS, semua perangkat yang akan dijalankan atau dikontrol dapat
dioperasikan melalui suatu komputer pada pusat pengendali.
PLC
MESIN
PLC
MESIN
PLC
MESIN
……..
LAN / WAN
Komputer Host
Bahan Ajar Sistem Digital 24