19/02/2016 Matematika 2 1
Barisan
Barisan Tak Hingga
Kekonvergenan barisan tak hingga
Sifat – sifat barisan
Barisan Monoton
Matematika 2 2
Barisan Tak Hingga
Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan
−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.
Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam
bentuk a1,a2,…,an. a1 menyatakan suku ke–1, a2 menyatakan suku
ke–2 dan an menyatakan suku ke–n.
Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana
daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga
adalah
1nna
19/02/2016 Matematika 2 3
Barisan Tak Hingga
Contoh − contoh barisan
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus
Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba
–coba.
...,8,6,4,2
1n
n2
...,6
4,
5
3,
4
2,
3
1
1nn2
n
19/02/2016 Matematika 2 4
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila
atau
{ untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga
untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan
L akan kurang epsilon}
Lalimnn
La,Nn0N0n
na
19/02/2016 Matematika 2 5
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Contoh 1
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena
maka divergen
1n
2
1n
n
1n
nlim
2
n
1n
2
1n
n
19/02/2016 Matematika 2 6
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Contoh 2
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk
menyelesaikannya digunakan teorema berikut :
Misal ,bila maka
untuk x R.
1n
n
2
e
n
n
2
n e
nlim
nfan Lxflim
x
Lnflimn
19/02/2016 Matematika 2 7
Kekonvergenan barisan
tak hingga Jawaban (lanjutan)
Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka
Berdasarkan teorema maka .
Karena nilai limitnya menuju 0, maka
Konvergen menuju 0.
xx e
x2lim
x
2
e
xxf
x
2
x e
xlim
0e
nlim
n
2
n
1n
n
2
e
n
0e
2lim
xx
19/02/2016 Matematika 2 8
Kekonvergenan barisan
tak hingga Contoh 3
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda
akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap
tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan
maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n nilai
, akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.
1n
ncosn
1
ncoslimn
0n
1limn
ncos.n
1
19/02/2016 Matematika 2 9
Sifat – sifat barisan
Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu
konstanta, maka
1.
2.
3.
4.
5.
kklimn
nnnnalimkaklim
nnnnnnnblimalimbalim
nnnnnnnblimalimbalim
0blim,blim
alim
b
alim
nn
nn
nn
n
n
n
19/02/2016 Matematika 2 10
Barisan Monoton
Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan
menjadi 4 macam :
1. Monoton naik bila
2. Monoton turun bila
3. Monoton tidak turun bila
4. Monoton tidak naik bila
1nnaa
1nnaa
1nnaa
1nnaa
19/02/2016 Matematika 2 11
Deret Tak Hingga
Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a1+a2+…+an .
Notasi deret tak hingga adalah .
Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan
barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana :
Dan
1nn
a
1n na
nn
Slim
11aS
3213aaaS
n321na...aaaS
212aaS
....,S...,,S,SS k211nn
19/02/2016 Matematika 2 12
Deret Tak Hingga
Contoh
Selidiki apakah deret konvergen ?
Jawaban
Karena , maka adalah deret
konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu
deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.
1k
1
k
1
1k
1n
n
1n
11S
n
11n
nlimSlimnnn
1k
1
k
1
1k
19/02/2016 Matematika 2 13
Deret Suku Positif
Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-
sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang
sering digunakan :
1. Deret geometri
2. Deret harmonis
3. Deret-p
Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral
19/02/2016 Matematika 2 14
Deret Suku Positif
Deret geometri
Bentuk umum :
Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :
Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga
. untuk r 1. Kekonvergenan dari deret geometri
bergantung pada nilai r.
.......1321
1
nk
k
rarararaara
1n32
nra...rararaaS
n1n32
nrara...rararaSr
r1
r1aS
n
n
19/02/2016 Matematika 2 15
Deret Suku Positif
Deret geometri(lanjutan)
Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret
geometri :
–Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , sehingga deret
divergen
–Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke
–Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen
nalim
n
0lim
n
nr
r
a
1
n
nrlim
19/02/2016 Matematika 2 16
Deret Suku Positif
Deret harmonis
Bentuk umum :
Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari
Sn nya, yaitu
1n n
1
n
1....
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11Sn
.....16
1....9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
19/02/2016 Matematika 2 17
Deret Suku Positif
Deret harmonis (lanjutan)
Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen.
2
1....
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
....16
1....
16
1
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
11Sn2
2
n1lim
n
2
n1
19/02/2016 Matematika 2 18
Kedivergenan
Deret Tak Hingga
Bila deret konvergen, maka .
kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah
Bila ,maka deret akan divergen.
Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol,
maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu
dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.
1nna 0alimn
n
0alimnn
1nna
19/02/2016 Matematika 2 19
Kedivergenan
Deret Tak Hingga
Contoh
Periksa apakah konvergen ?
Jawaban
Jadi divergen
n12
1limn
1n 1n2
n
1n2
nlimalimn
nn
1n 1n2
n
02
1
19/02/2016 Matematika 2 20
Uji Deret Positif
1. Uji integral
2. Uji Banding
3. Uji Banding limit
4. Uji Rasio
5. Uji Akar
19/02/2016 Matematika 2 21
Uji Deret Positif
Uji integral
Misal merupakan deret suku positif dan monoton turun,
dimana , maka integral tak wajar dari f(x)
adalah .
Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak
ada, maka deret divergen.
Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret
konvergen.
1nna
Bnnfan
dxxflimdxxfb
1b1
19/02/2016 Matematika 2 22
Deret Suku Positif
Contoh 1: Uji Integral Deret–p
Bentuk umum :
Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga
merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan
bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa
deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu
Misal maka .
Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1
sampai .
1npn
1
pnn
1nfa
px
1xf
19/02/2016 Matematika 2 23
Deret Suku Positif
Deret–p (lanjutan)
Integral tak wajar dari f(x) adalah
Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar
tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen.
Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga
akan divergen.
dxx
1lim
b
1pb
dxx
1
1p
b
1
p1
b p1
xlim
p1
1
p1
blim
p1
b
19/02/2016 Matematika 2 24
Deret Suku Positif
Deret–p (lanjutan)
Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :
– Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen
– Bila 0 p<1, maka ,sehingga deret
divergen
– Bila p>1, maka ,
sehingga deret konvergen.
1pb b1p
1
1p
1lim
p1
1
p1
blim
p1
b
p1
1
p1
blim
p1
b
1p
1
19/02/2016 Matematika 2 25
Uji Deret Positif
Contoh 2
Tentukan kekonvergenan deret
Jawaban
Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji
integral yaitu :
Misal , maka
Perhitungan integral tak wajar :
dxxlnx
1lim
b
2b
2nnlnn
1
nlnn
1nfan
xlnx
1)x(f
dxxlnx
1
2
b2
bxlnlnlim
19/02/2016 Matematika 2 26
Uji Deret Positif
Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral
tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga
divergen.
2nnlnn
1
19/02/2016 Matematika 2 27
Uji Deret Positif
Uji Banding
Bila untuk n N, berlaku bn an maka
a. Bila konvergen, maka juga konvergen
b. Bila divergen, maka juga divergen
Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan
suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret
pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.
Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret
pembandingnya adalah yang bersifat divergen.
1nnb
1nna
1nna
1nnb
19/02/2016 Matematika 2 28
Uji Deret Positif
Contoh 1
Uji kekonvergenan
Jawaban
Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih
yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.
Dapat dipilh sebagai deret pembanding.
Karena dan merupakan deret
p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen
1n 2n
1
1n n3
1
1n n3
1
n3
1
2n
1
19/02/2016 Matematika 2 29
Uji Deret Positif
Contoh 2
Uji kekonvergenan
Jawaban
Dengan uji banding, digunakan deret pembanding ,
dimana . Karena merupakan deret
konvergen, maka juga konvergen.
1n2 5n
3
1n2n
3
22 n
3
5n
3
1n2n
3
1n2 5n
3
19/02/2016 Matematika 2 30
Uji Deret Positif
Contoh 3
Uji kekonvergenan
Jawaban
Karena untuk , maka deret pembanding yang
digunakan adalah .Karena dan
merupakan deret konvergen, maka juga konvergen
12
1
n n
ntg
2, 1
ntgn
1n22
n
2
2
2
1
nn
ntg
1n22
n
12
1
n n
ntg
19/02/2016 Matematika 2 31
Uji Deret Positif
Uji Banding Limit
Misal dan , merupakan deret suku positif dan
, berlaku
– Bila 0 < L < , maka kedua deret bersama-sama konvergen
atau bersama-sama divergen
– Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka .
juga konvergen
– Bila L = dan adalah deret divergen maka .
juga divergen
1nna
1nnb
n
n
n b
alimL
1nnb
1nna
1nnb
1nna
19/02/2016 Matematika 2 32
Uji Deret Positif
Contoh 1
Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Deret pembanding yang digunakan adalah dan
diketahui sebagai deret divergen ( sebagai ).
Karena . dan deret pembandingnya
divergen, maka . juga divergen.
1n23
2
3nn5
n
1n1n
3
2
n5
1
n5
n
1nnb
13nn5
n5limL
23
3
n
1n23
2
3nn5
n
19/02/2016 Matematika 2 33
Uji Deret Positif
Contoh 2
Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Deret pembanding yang digunakan adalah dan
diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).
Karena . dan deret
pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama
divergen .
1i2 5n
1
1n1n
2 n
1
n
1
11n
nlim
5n
nlimL
2
2
n2
2
n
19/02/2016 Matematika 2 34
Uji Deret Positif
Uji Rasio
Misal merupakan deret suku positif dan
maka berlaku
– Bila <1, maka deret konvergen
– Bila >1, maka deret divergen
– Bila =1, maka uji gagal
1nna
n
1n
n a
alim
19/02/2016 Matematika 2 35
Uji Deret Positif
Contoh
Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Dengan uji rasio diperoleh
Karena = 0 < 1 , maka konvergen.
1
2
!i n
n
0n)1n(
)1n(lim
n
!n
!)1n(
)1n(lim
2
2
n2
2
n
n
1i
2
!n
n
19/02/2016 Matematika 2 36
Uji Deret Positif
Uji Akar
Misal merupakan deret suku positif dan ,
maka berlaku
– Bila r < 1, maka deret konvergen
– Bila r > 1, maka deret divergen
– Bila r = 1, maka uji gagal
1nna n
nn
alimr
1nna
1nna
19/02/2016 Matematika 2 37
Uji Deret Positif
Contoh
Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Dengan uji akar diperoleh
Karena , maka konvergen.
1
2
in
n
e
e
2
e
2limr n
n
n
n
n
1in
n
e
21
e
2r
19/02/2016 Matematika 2 38
Uji Deret Positif
Panduan Pemilihan uji deret
Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka
dapat dipilih uji banding atau uji banding limit
Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan
atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n
Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –
sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral
19/02/2016 Matematika 2 39
Deret Ganti Tanda
Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk
menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret
yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk
. dengan an> 0 untuk semua n dilakukan uji
tersendiri.
Notasi deret ganti tanda adalah . atau .
Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila
a. (monoton tak naik)
b.
1
1)1(i
n
n a
1
)1(i
n
na
n1n aa0
0alimnn
...aaaa 4321
19/02/2016 Matematika 2 40
Deret Ganti Tanda
Contoh
Tentukan kekonvergenan deret
Jawaban
merupakan deret ganti tanda
dengan rumus suku ke–nnya adalah .
Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :
a. .
b. Nilai
1n
1n
1nn
3n1
1n
1n
1nn
3n1
n1n aa0
1nn
3nan
0alimnn
19/02/2016 Matematika 2 41
Deret Ganti Tanda
a.
Karena jadi {an} adalah monoton tak naik.
b.
Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.
1nn
3n
2n1n
4n0
16n5n
n4n
3n2n
4nn
a
a2
2
n
1n
1a
a
n
1n
0
1nn
3nlimalimn
nn
13n
1nn
2n1n
4n
a
a
n
1n
19/02/2016 Matematika 2 42
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Deret dikatakan konvergen
mutlak, bila deret mutlak konvergen
(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).
Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila
divergen, maka . juga divergen.
Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi
divergen.
321
1nn aaaa
|| 321
1
aaaan
n
1nna
1nna
1nna
1nna
19/02/2016 Matematika 2 43
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 1
Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji
banding, dimana deret pembandingnya adalah maka
diperoleh bahwa untuk semua nilai n.
Karena merupakan deret konvergen, maka
juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.
1n3n
ncos
1n3n
ncos
1n3n
1
33 n
1
n
ncos
1n3n
1
1n3n
ncos
1n3n
ncos
19/02/2016 Matematika 2 44
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 2
Tentukan apakah konvergen mutlak atau
bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah .
Dengan uji rasio diperoleh .
Karena =0<1, maka konvergen.
Sehingga konvergen mutlak.
1n
nn
!n
21
1n
n
!n
2
n
1n
n 2
!n
!1n
2lim
1n
n
!n
2
1n
nn
!n
21
01n
2limn
19/02/2016 Matematika 2 45
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 3
Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen.
Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda
a. (monoton tak naik)
Diperoleh bahwa benar
b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.
Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret
mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .
1n
n
n
11
1n n
1
n1n aa0
n
1
1n
10
0n
1limalimn
nn
19/02/2016 Matematika 2 46
Uji rasio untuk
kekonvergenan mutlak
Misal deret dengan suku tak nol dan ,
tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :
• Bila r<1, maka konvergen mutlak
• Bila r>1, maka divergen
• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)
Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .
1nna
n
1n
n a
alimr
1nna
1nna
19/02/2016 Matematika 2 47
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 1
Tentukan apakah konvergen mutlak atau
divergen?
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
Karena , maka konvergen mutlak.
en
1nlim
3
3
n
1n
n
3n
e
n1
3
n
1n
3
n n
e
e
1nlimr
1n
n
3n
e
n11
e
1r
e
1
19/02/2016 Matematika 2 48
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 2
Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
Karena r > 1, maka divergen .
2
1nlimn
1n
n
n
2
!n1
!n
2
2
!1nlimr
n
1nn
1n
n
n
2
!n1
19/02/2016 Matematika 2 49
Deret Pangkat
Bentuk umum :
Contoh deret pangkat
1.
2.
3.
......2
210
0
n
n
n
n
n xaxaxaaxa
......2
210
0
n
n
n
n
n bxabxabxaabxa
......1 2
0
n
n
n xxxx
...!6!4!2
1!2
1642
0
2
xxx
n
x
n
nn
...
5
1
4
1
2
1
2
12
0
xx
n
x
n
n
19/02/2016 Matematika 2 50
Deret Pangkat
Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel,
yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan
nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak,
yaitu pada saat r < 1.
Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret
maupun disebut interval kekonvergenan.
Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki
ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing –
masing deret.
n
0nnxa
n
0nn bxa
19/02/2016 Matematika 2 51
Deret Pangkat
Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :
Selang konvergensi untuk deret
• Deret konvergen hanya di x = 0
• Deret konvergen mutlak di x R
• Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau
ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
Selang konvergensi untuk deret
• Deret konvergen hanya di x = b
• Deret konvergen mutlak di x R
• Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)
atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
n
0nnxa
n
0nn bxa
19/02/2016 Matematika 2 52
Deret Pangkat
Contoh 1
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Deret akan konvergen untuk semua nilai x
Atau x R
01n
xlimn
0n
n
!n
x
n
1n
n x
!n
!1n
xlimr
19/02/2016 Matematika 2 53
Deret Pangkat
Contoh 2
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0
1nxlimn
0n
nx!n
n
1n
n x
!1n
!n
xlimr
19/02/2016 Matematika 2 54
Deret Pangkat
Contoh 3
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah –3 < x < 3.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara
terpisah.
2n
1n
3
xlimn
0nn
nn
1n3
x1
n
n
1n
1n
n x
1n3
2n3
xlimr
11.
3
x
19/02/2016 Matematika 2 55
Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai
berikut :
• Saat x = -3 deretnya menjadi Deret ini
diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .
• Saat x = 3 deretnya menjadi dengan
uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.
Jadi interval kekonvergenan deret adalah
0n 1n
1
0n
n
1n
11
0nn
nn
1n3
x1
3x3
19/02/2016 Matematika 2 56
Deret Pangkat
Contoh 4
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah 4 < x < 6.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara
terpisah.
1n2n
n5xlim
2
2
n
1n2
n
n
5x
n
2
2
1n
n 5x
n
1n
5xlimr
11.5x
19/02/2016 Matematika 2 57
Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai
berikut :
• Saat x = 4 deretnya menjadi karena
. konvergen maka deret ganti tandanya juga
konvergen. .
• Saat x = 6 deretnya menjadi yang merupakan
deret-p yang diketahui konvergen.
Jadi interval kekonvergenan deret adalah
1n2
n
n
11
0n2n
1
1n2n
1
1n2
n
n
5x
6x4
19/02/2016 Matematika 2 58
Operasi-operasi
deret pangkat
1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,
pembagian, dan substitusi
2. Turunan deret :
3. Integral deret :
1
1
0 n
n
n
n
n
nx xnaxaD
Cx1n
adxxadxxa 1n
0n
nn
0n 0nn
n
n
19/02/2016 Matematika 2 59
Deret Pangkat
Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan
an = 1 .
Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri,
maka diperoleh
Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi
yang memuat x.
1n
nx
...xxx1x1
1 32
1x
...uuu1u1
1 32
1u
19/02/2016 Matematika 2 60
Deret Pangkat
Contoh 1
Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
Dengan menggunakan deret geometri
x1
1
x1
1
x1
1
x1
1
x1
1
...xxx1 32
1xx
1x
19/02/2016 Matematika 2 61
Deret Pangkat
Contoh 2
Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
Dengan menggunakan jawaban sebelumnya
x1
x
...xxxx...xxx1xx1
x
x1
x 43232
19/02/2016 Matematika 2 62
Deret Pangkat
Contoh 3
Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
Jadi
x1
x1ln
x1lnx1lnx1
x1ln
...x
3
1x2
1xdx...xxx1dx
x1
1x1ln 3232
...x
3
1x2
1xdx...xxx1dx
x1
1x1ln 3232
...x5
2x3
2x2x1lnx1ln
x1
x1ln 53
19/02/2016 Matematika 2 63
Deret Pangkat
Contoh 4
Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
adalah turunan dari sehingga
2x1
1
2x1
1
x1
1
...x4x3x21
dx
...xxx1d
dx
x1
1d
x1
1 3232
2
19/02/2016 Matematika 2 64
Deret Taylor dan Maclaurin
Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat
digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,
dimana nilai-nilai a0,a1,a2,… diperoleh dari penurunan f(x) di
x = b sampai turunan ke-n, yaitu
332
210 bxabxabxaaxf
!n
bfa
!2
bfa
bfa
bfa
n
n
''
2
'1
0
19/02/2016 Matematika 2 65
Deret Taylor dan Maclaurin
Atau f(x) bisa dituliskan sebagai
Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial
taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial
taylor, dinamakan deret taylor.
Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin,
yaitu
n
n
3'''
2''
'
bx!n
bf
bx!3
bfbx
!2
bfbxbfbfxf
n
n3
'''2
''' x
!n
0fx!3
0fx!2
0fx0f0fxf
19/02/2016 Matematika 2 66
Deret Taylor dan Maclaurin
Contoh 1
Perderetkan ke dalam deret maclaurin
Jawaban
Sehingga
10fexf x
10fexf 'x'
10fexf ''x''
10fexf '''x'''
10fexf nxn
x,!n
x
!3
x
!2
xx1e
0n
n32x
xexf
19/02/2016 Matematika 2 67
Deret Taylor dan Maclaurin
Contoh 2
Perderetkan ke dalam deret Maclaurin / Taylor
Jawaban
Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa
Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh
perderetannya adalah
1x2exf
x,!n
x
!3
x
!2
xx1e
0n
n32x
!3
1x2
!2
1x21x21e
321x2
19/02/2016 Matematika 2 68
Deret Taylor dan Maclaurin
Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam
deret Maclaurin
x,!1n2
x1
!7
x
!5
x
!3
xxxsin
0n
1n2n
753
x,!n2
x1
!6
x
!4
x
!2
x1xcos
0n
n2n
642
1x1,1n
x1
4
x
3
x
2
xxx1ln
0n
1nn
432
1x1,1n2
x1
7
x
5
x
3
xxxtan
0n
1n2n
7531
1x,xxxxx1x1
1
0n
n432
19/02/2016 Matematika 2 69
Deret Taylor dan Maclaurin
Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau
maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat
seperti pada bagian sebelumnya, misal :
7
x
5
x
3
xx
753
xCos
xtan1
dx
xSind
!6
x
!4
x
!2
x1
642
dxx1
12
dx
!7
x
!5
x
!3
xxd
753
dxxxx1 642
19/02/2016 Matematika 2 70
Soal Latihan
A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen
1. 2.
3. 4.
5. 6.
1n
2 1n2
n
1n
2
nsin
1n2
n
1n2n
1nln
1n
nn
22
1
1n
n ncose
1n
2
!n
n
19/02/2016 Matematika 2 71
Soal Latihan
A (Lanjutan)
7. 8.
9. 10.
11. 12.
1n
n2
nn2
6e
e2e
1n
n
n
4
1n
n
n
2
e
1n
2n
n
1n
n
n
11
1nnn
19/02/2016 Matematika 2 72
Soal Latihan
A (Lanjutan)
13. 14.
B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?
1. 2.
3. 4.
1n2
1n
1n
11
1n
n2
n
e
100
1n n
nln
1n3 n5n3
n
1n 1nn
1
1n3 6n
1n3
19/02/2016 Matematika 2 73
Soal Latihan
B. (lanjutan)
5. 6.
7. 8.
9. 10.
1n
n
!n
60
1n
n
!n
n25
1nn2e
nln
1nn e
1
1n3n
ncos
1n
n2
!2n2
2!n
19/02/2016 Matematika 2 74
Soal Latihan
B. (lanjutan)
11. 12.
13. 14.
15. 16.
1n
2
!n
nsin5
1n18
5n2
1
1n5 2n
n
1nn4!n!4
!4n
1n3
1
n
ntan
1n
1n
2n3
1n1
19/02/2016 Matematika 2 75
Soal Latihan
B. (lanjutan)
17. 18.
19. 20.
21. 22.
1n
nne1
n
3
1n
1n
e
n1
1n5
2
n
5ncos
1n
n
3
1n
1n2 nn3
1
1n3 2 nn6
1
19/02/2016 Matematika 2 76
Soal Latihan
B. (lanjutan)
23. 24.
C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan
konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen
1. 3.
2. 4.
1n
n
1n2
2n3
1n 5n
1
1n
1n
n3
11
1n5
n
n
4
n
1n
1n
1n3
2n1
1n2 1n
ncosn
19/02/2016 Matematika 2 77
Soal Latihan
D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut
1. 4.
2. 5.
3. 6.
0n
nn
!n
x1
1n
n1n
n
1x1
0nn
n
2
3x
0n
1nn
1n
x2
2n
n
nln
x
n
0nn
x2
!n
19/02/2016 Matematika 2 78
Soal Latihan
D. (Lanjutan)
7. 8.
9. 10.
E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat
1. 2.
4
x
3
x
2
xx
432
!6
x
!4
x
!2
x1
642
!3
3x
!2
3x3x1
32
6
3x8
5
3x4
4
3x2
3
132
xlnxf x3exf
19/02/2016 Matematika 2 79
Soal Latihan
E. (Lanjutan)
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
xexxf
2x41
1xf
2xsinxf
x31exf
x1
1xf
x1lnxxf
x31
xxf
2
x3lnxxf