1
8장, 입자계와 물체
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 1
질량중심 & 무게중심
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 2
• Fg 와 지지력이 동일 수직선상에 있으면• 알짜 힘=0 (중력=지지력), • 알짜 회전력(토크)=0® 평형상태
• Fg 와 지지력이 동일 수직선상에 있지 않을 때(중력벡터와 두 힘 사이의 모멘트 팔이 이루는각도 q 가 0이 아니다.)• 알짜 힘=0 • 알짜 회전력(토크)≠0® 알짜 토크가 있으므로 물체가 회전한다.
• 뉴턴역학에서는 물체의 크기와 형태는 고려하지 않고 물체의 모든 질량이한 점(질량중심)에 집중되어 있는 입자로 생각한다. 중력을 계산할 경우,무게중심으로 불러도 된다.
2
질량중심 구하기
• 두 물체계를 살펴보자.• 평형조건 =>
• 두 질량 m1 과 m2 의 질량중심은 다음과 같다.
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 3
1 1 2 2m r m r= -r r
• 실험적 방법(1) 물체를 임의의 한 점으로 매달고 아래방향 수직선을 그린다. (2) 물체를 다른 점으로 매달고 새로생긴 아래방향 수직선을 그린다. (3) 두 수직선이만나는 점이 바로 무게중심이다.
m1gm2g
r1 r2
Mg
N
21
2211
mmrmrmR
++
=rrr
여러 개의 물체 질량중심
• n개 물체의 질량중심을 다음과 같이 정의한다.
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 4
1 1 2 2 1
11 2
1
... 1...
n
i i nn n i
i inin
ii
rmr m r m r mR rm
m m m Mm
=
=
=
+ + += = =
+ +
åå
å
rr r rr r
M = mii=1
n
å
X =1M
ximii=1
n
å ; Y =1M
yimii=1
n
å ; Z =1M
zimii=1
n
å
x
ym1
m2
m3
m4
r1r2
r3
r4R질량물체의번째imi :
위치물체의번째iri :r위치질량중심의:R
r
3
토막쌓기• 동일한 토막을 그림처럼
쓰러트리지 않고 책상 밖으로 얼마나 멀리 쌓을 수있을까?
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 5
x1x2x3x4x5x6x7
12 l
x123x1234x12345x123456x1234567
x12
lxx 21
21 +=
x12 =x1m1 + x2m2
m1 + m2
= 12 (x1 + x2 ) ( )( ) lxxlx 4
1222
122
1 +=++=
112 3 2x x l= + 1
2 3 4x x lÞ = +
• 토막 2 위의 토막 1은 최대 l/2 만큼 삐져 나올 수 있다.
• 토막 1과 2가 합쳐진 무게 중심은
• 토막 1과 2의 무게 중심은 토막 3위에서 최대 l/2 만큼 삐져 나올 수 있다
토막쌓기
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 6
12 3 2 1 2 1 1 1123 12 3 3 3 33 3 3 2 3 3
(2 ) ( )2
x m x mx x x x l x x lm m
+= = + = + + = +
+
1123 4 2x x l= + lxx 6
143 +=Þ
• 토막 1,2,3의 합쳐진 무게 중심은
• 토막 1,2,3의 무게 중심은 토막 4위에서 최대 l/2 만큼 삐져 나올 수 있다
• nth 토막의 위치는 다음과 같다.
• n+1 개 토막까지 모두 더하면 다음과 같다.
• 따라서 맨 위의 토막을 책상 밖으로 멀리 쌓을 수 있다.
1 2 2n nlx x
n- = +-
1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 12 4 2 6 4 2 2
1
1...n
ni
x x l x l l x l l l x li+
=
æ ö= + = + + = + + + = = + ç ÷è øå
4
연습문제 8.44: 질량중심 (1)• 한 변이 L = 3.40 cm 인 질량 0.205 kg 의 균일한 정사
각형 금속판에서 한 변이 L/4 인 정사각형을 떼어낸 왼쪽 아래 모서리가 그림처럼 (x,y) = (0,0)에 놓여 있다. 남아 있는 금속판의 질량중심은 원점에서 얼마나 떨어져 있는가?
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 7
m = mass of platemmissing = m /16 = mass of missing areaxplate = L / 2xmissing = L / 8
X =mxplate - mmisingxmissing
xplate - xmissing
=m L / 2( )- m /16( ) L / 8( )
m - m /16
X =L / 2( )- L /128( )
15 /16
X =L / 2( )- L /128( )
15 /16
X =3.40 cm / 2( )- 3.40 cm /128( )
15 /16X = 1.785 cmY = X = 1.785 cm
R = X 2 +Y 2 = 2X 2
R = 2 1.785 cm( )2 = 2.52 cm
모서리를떼어내기전에판의질량
떼어낸모서리의질량
구면좌표계와 원통좌표계• 구면좌표계의 위치좌표 (r, q, f )는
직각좌표계 (x,y,z)로 변환 가능.
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 8
x = r cosf sinqy = r sinf sinqz = r cosq
r = x2 + y2 + z2
q = cos-1 z
x2 + y2 + z2
æ
èçç
ö
ø÷÷
f = tan-1 yx
æèç
öø÷
• 원통좌표계의 위치좌표 (r, f, z )는직각좌표계 (x,y,z)로 변환 가능.
x = r̂ cosfy = r̂ sinfz = z
r̂ = x2 + y2
f = tan-1 yx
æèç
öø÷
z = z
5
밀도분포와 무게중심• 물체를 여러 개의 동일한 정육면체(질량 dmi)로 나눈다. 각 정육면체의 중심
은 빨간 점으로 표시한 개별 질량중심이고, 빨간색 화살표는 정육면체의 위치벡터이다.
• 밀도의 정의 :
• 밀도가 균일하면 :
• 각 정육면체의 위치가 다르므로 무게중심은
• 정육면체의 크기를 0으로 접근하면 적분형태로 표현
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 9
( ) ii
dmrdV
r =r
r =MV
(for constant r)
1 ( )V
R r r dVM
r= òr r r
1 1
1 1 ( )n n
i i i ii i
R rdm r r dVM M
r= =
= =å år r r r
• 만약 밀도가 일정하면 무게중심은1 (for constant )
V V
R rdV rdVM Vr r= =ò ò
r r rX =
1V
x dV; Vò Y =
1V
ydV; Vò Z =
1V
z dVVò
부피적분
• 직각좌표계의 부피요소 dV 는 간단히 세 좌표의 곱이다.
• 직각좌표계에서 3차원 부피적분은 다음과 같다.
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 10
max max max
min min min
( ) ( )z y x
V z y x
f r dV f r dx dy dzæ öæ öç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø
ò ò ò òr r
dV = dxdydz
dV = r̂ dr̂ dfdz
max max max
min min min
( ) ( )z r
V z r
f r dV f r r dr d dzf
f
f^
^
^ ^
æ öæ öç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø
ò ò ò òr r
• 원통좌표계의 부피요소 dV 는 (r, f, z )의 함수.
• 원통좌표계에서 부피적분은 다음과 같다.
직각좌표계직각좌표계
원통좌표계원통좌표계
6
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 11
dV = r2dr sinqdqdf
max max max
min min min
2( ) ( )sinr
V r
f r dV f r d d r drf q
f q
q q fæ öæ öç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø
ò ò ò òr r
구면좌표계구면좌표계
• 원통좌표계의 부피요소 dV 는 (r, q, f )의 함수.
• 원통좌표계에서 부피적분은 다음과 같다.
부피적분
보기문제 8.5: 반구의 질량중심• 직교좌표로 반구의 부피적분을 수행해 보자.
– 반지름 R0 인 반구의 질량은 일정하다.– 분명히 무게중심이 z축 위에 있다.
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 12
• 무게중심의 z 좌표는
• 반구의 부피는
• 원통좌표의 부피요소
Z =1V
zdVVò
V =2p3
R03
z R0
220 zR -
z dVVò = zr df
0
2p
òæ
èçö
ø÷dr
0
R02 -z2
òæ
èçç
ö
ø÷÷
dz0
R0
ò
= z r df0
2p
òæ
èçö
ø÷dr
0
R02 -z2
òæ
èçç
ö
ø÷÷
dz0
R0
ò
= 2p z r dr0
R02 -z2
òæ
èçç
ö
ø÷÷
dz0
R0
ò = p z(R02 - z2 )dz
0
R0
ò =p4
R04 Z =
1V
zdVVò =
32pR0
3
pR04
4=
38
R0
dV = r̂ dr̂ dfdz
7
풀이문제 8.5: 구멍 뚫린 원판의 질량중심 (1)• 밀도 r 가 일정한 원판에 직사각형 구멍이 뚫려 있다. 질량중심은 어디일까?
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 13
h=11.0 cmR=11.5 cmd=8.0 cmw=7.0 cm
구멍의오른편이 중심축에있다.
• X 좌표를 다음과 같이 표기한다.
• 아이디어: 구멍을 음의 밀도로 다룬다.
X =xdVdr - xhVhr
Vdr -Vhr=
xdVd - xhVh
Vd -Vh
X =(0 cm)(4570 cm3) - (-3.5 cm)(616 cm3)
(4570 cm3) - (616 cm3)= 0.545 cm
질량중심의 운동 & 운동량• 물체의 일반적인 운동은 복잡하게 보인다.• 그러나 질량중심의 운동을 살펴보면 간단하다.
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 14
일반적인 운동=> 질량중심의 운동
+ 질량중심에 대한 회전운동
• 질량중심을 무게중심과 같이 사용한다. – 중력이 없으면 무게중심도 없다.– (관성에 대한)질량중심은 항상 존재한다.
• 질량중심의 좌표
• 시간에 대해 미분하면 속도를 얻는다.
• 따라서 질량중심의 운동량은 다음과 같다.
1
1 n
i ii
R rmM =
= år r
1 1 1 1
1 1 1 1n n n n
i i i i i i ii i i i
d d dV R rm m r m v pdt dt M M dt M M= = = =
æ öº = = = =ç ÷è ø
å å å år r r r r r
1
n
ii
P MV p=
= =år r r
8
질량중심의 운동방정식• 운동량에 대한 시간미분으로 힘을 얻는다.
• 입자가 계 내부의 다른 입자에 작용하는 힘의 합은 반드시 0이므로
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 15
1 1 1( )
n n n
i i ii i i
d d d dP MV p p Fdt dt dt dt= = =
æ ö= = = =ç ÷è øå å å
r r rr r
netd P Fdt
=r r
• 2체충돌에서 운동량 보존 ( F = 0 ):
• 질량중심의 운동량 을 고려하면 운동량 보존법칙을다음과 같이 간단히 표기할 수 있다.
– 질량중심의 운동량은 충돌에서 불변이다.– 모든 충돌에서 성립한다.
,1 ,2 ,1 ,2f f i ip p p p+ = +r r r r
0d Pdt
=r
1 2P p p= +r r r
2체충돌• 두 물체의 상대운동량을 생각해 보자.
• 탄성충돌에서는 가 보존된다.• 완전비탄성충돌에서는 두 입자계의
질량중심의 속도가 같다.
11 22 ( )p p p= -
r r r
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 16
1 ,1 2 ,2
1 2
i if
m v m vv
m m+
=+
r rr
11 2
12 2
p P p
p P p
= +
= -
rr r
rr r
pr
• 대포에서 포탄을 발사하면 대포는 되튀게 된다.뉴턴의 제3법칙(작용-반작용)의 결과이며 동시에 운동량 보존의 결과이다.
예) 소방호스로 많은 양의 물을 뿌리면 소방호스가 되튀게 된다.
1 20i f f fP P p p= = Þ = -rr r r r
9
풀이문제 8.2: 대포의 되튐 (1)• 질량 13.7kg의 포탄을 질량 249.0kg의 대포로부터 2.30km 떨어진
표적을 향해 발사한다. 2.30km는 대포의 최대 사정거리이다. 대포와 표적은 같은 높이에 있고, 대포는 수평면에 정지해 있다.
문제: 대포의 되튐속도는 무엇인가?
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 17
답: 운동량 보존법칙에서 다음을 얻는다.(첨자 1은 대포, 2는 포탄)
• 대포는 수평으로 되튀게 된다. 따라서 수평성분은 다음과 같다.
• 발사각이 45°이므로 최대 도달거리는 다음과 같다.
21 2 1 1 2 2 1 2
1
0 mP p p m v m v v vm
= + = + = Þ = -r r r r r r r
21, 2,
1x x
mv vm
= -
R = v02 / g Þ v0 = gR
풀이문제 8.2: 대포의 되튐 (2)• 초기속도의 x 성분:
• 위 식을 운동량 보존식에 넣어서 다음을 얻는다.
• 수치계산:
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 18
2, 0 0cos 45 / 2 / 2xv v v gR= ° = =
2 21, 2,
1 1 2x xm m gRv vm m
= - = -
22
1,1
13.7 kg (9.81 m/s )(2.30 km) 5.84 m/s2 249 kg 2x
m gRvm
= - = - = -
10
보기문제 8.2: 소방호스문제:
그림처럼 소방호스로 분당 360.L의 물을분사속도 v=39.0m/s로 뿌릴 때 호스를 잡고있는 소방관에 작용하는 힘의 크기를 구해라.
답:– 우선 분당 분사되는 물의 총질량부터 구해 보자.– 물의 질량밀도=> r = 1000 kg/L– 분당 분출되는 DV = 360.L 의 질량은 다음과 같다.
– 물의 운동량은 Dp = vDm이고, 시간당 운동량, 즉 힘은 다음과 같다.
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 19
Dm = DVr = (360 liter)(1.0 kg/liter) = 360 kg
F =
vDmDt
=(39.0 m/s)(360 kg)
60 s= 234 N
로켓의 운동 (1)• 운동하는 물체의 질량이 변하는 경우이다.
– 우주왕복선이 연료를 분출하며 발사된다.
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 20
• 뒤쪽으로 포탄을 발사하는 로켓모형을 생각해보자.
• 각 포탄의 질량은 Dm 이고, 로켓의 초기질량은 m0 이다. • 포탄은 로켓에 상대속도 vc 로 발사되므로 각 포탄의 운동량은 vcDm 이다.
• 첫 번째 포탄을 발사한 직후 로켓의 질량은 (m0- Dm)로 감소한다.• 로켓이 받는 되튐운동량은 포탄 운동량의 반대로 다음과 같다.
• 로켓의 속도 변화는 다음과 같다.
• 따라서 로켓의 총속도는 다음과 같다.
pr = -vcDm
Dv1 = -vcDm
m0 - Dm
1 1 10v v v= + D = D
11
로켓의 운동 (2)• 두 번째 포탄을 발사한다.
• 로켓의 질량은 (m0 - Dm)에서 (m0 - 2 Dm)로 감소하고, 다음의 되튐속력을추가로 얻게 된다
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 21
Dv2 = -vcDm
m0 - 2Dm• nth 째 포탄을 발사하면 로켓의 속도변화는 다음과 같다.
• 따라서 nth 째 포탄을 발사한 후 로켓의 속도는 다음과 같다.
• 위 식은 회귀관계식이다. 회귀식은 수치계산으로도 정확하게 풀이할 수있다.
Dvn = -vcDm
m0 - nDm
vn = vn-1 + Dvn
로켓의 운동(3)• 포탄의 질량이 로켓 전체의 질량보다 매우 작다고 가정하자.
여기서 vc 는 포탄의 속도이다. • 여기서 포탄의 질량이 작은 극한을 취하면 다음을 얻는다.
• 위 미분방정식의 해는 다음과 같다.
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 22
Dv = - vcDmm
ÞDvDm
= -vc
m
dvdm
= -vc
m
00( ) lnc
mv m v vm
æ ö= + ç ÷è ø
• 로켓이 연료를 태우면서 속도 vc 로 뜨거운 가스를 연속적으로 분출하고,• 초기조건 (질량 mi 와 속도 vi)과 최종조건 (질량 mf a 속도 vf)에 따른
로켓의 속도변화는 다음 식으로 주어진다.
ln if i c
f
mv v vmæ ö
= + ç ÷ç ÷è ø
12
보기문제 8.3: 화성 탐사로켓
• 질량 5,000kg, 추진연료 205,000kg을 싣고 있는 로켓이 추진체를 5km/s의속도로 분사할 수 있다고 하자. 정지한 로켓이 도달할 수 있는 최대속도는얼마인가?
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 23
ln if i c
f
mv v vmæ ö
= + ç ÷ç ÷è ø
vi = 0
v f = 5 km/s × ln205,000 kg
5000 kgæèç
öø÷
v f = 8 km/s = 18,000 mph
로켓의 추진력• 고립계 에 대한 뉴턴의 제2법칙을 적용해 보자.
• 질량 m에 대한 속도의 변화율 =>
• dm 에 대한 속도의 변화율 =>
• 뉴턴의 제2법칙에서 다음을 얻는다.
April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 24
0netd P Fdt
= =rr r
m dm+
/dv dtr
/cv dtr
cdv dmm ma vdt dt
= = -r
r r
• 다음을 로켓의 추진력이라고 부른다.
추진력이 31.3 MN 인 우주왕복선의 초기가속도를 구해보면 다음과 같다.
rvcdmdt
F = ma = thrust
a = thrustm
=3.13 ×107 N2.0 ×106 kg
= 16 m/s2 = 1.6 g