Baustatik I / IIVORLESUNGSUNTERLAGEN
WIPPE
STATIKSystem: Gleichgewicht:
G1 G2 ∑Ma = 0G1•x - G2•(l-x) = 0x•(G1+G2) - G2•l = 0
a
x l-x ⇒⇒ x = G2/(G1+G2) •• l l
U n i v e r s i t y o f A p p l i e d S c i e n c e s
Stand WS 99/00
Inhaltsverzeichnis
Literatur
1. Einführung1.1 Statik als Teilgebiet der Physik1.2 Modellbildung, Lagerreaktionen, Schnittgrößen und Verformungen
2. Gleichgewichtszustände in der Statik2.1 Newtonsche Gesetze / Axiome2.2 Moment und Kräftepaare2.3 Kraftsysteme2.4 Äußere und innere Kraftgrößen
3. Zusammensetzung, Zerlegung und Gleichgewicht von Kräften3.1 Zentrales Kräftesystem (ebene Kräfteanordnung)
3.1.1 Kräfte mit gleicher Wirkungslinie3.1.2 Zwei rechtwinklig zueinander stehende Kräfte3.1.3 Zwei Kräfte mit beliebigen Richtungen3.1.4 Beliebige Anzahl von Kräften
3.2 Allgemeines Kräftesystem (ebene Kräfteanordnung)3.2.1 Reduktion mit Teilresultierenden3.2.2 Reduktion mit Seileck3.2.3 Analytische Reduktion
4. Reibung / Schiefe Ebene4.1 Haft- und Gleitreibung4.2 Schiefe Ebene
5. Statisch bestimmte Tragwerke5.1 Auflagerarten5.2 Auflagerkräfte5.3 Gleichgewichtsbedingungen5.4 Statisch bestimmte Systeme / Statisch unbestimmte Systeme5.5 Schnittkräfte5.6 Träger auf zwei Stützen
5.6.1 Auflagerausbildung, Auflagertiefe und Stützweite5.6.2 Träger mit vertikalen Einzellasten5.6.3 Träger mit Linienlasten5.6.4 Träger mit beliebig gerichteter Belastung5.6.5 Träger mit einer Belastung durch Drehmomente5.6.6 Träger mit beliebiger Lastkombination5.6.7 Träger mit Wanderlasten
5.7 Differentiale Zusammenhänge zwischen Schnittkräften und Belastung5.8 Einseitig eingespannte Träger5.9 Träger auf zwei Stützen mit Kragarm5.10 Gelenkträger5.11 Statisch bestimmte Rahmen
5.11.1 Einteilige Rahmen5.11.2 Dreigelenktragwerke
6. Fachwerke6.1 Allgemeines6.2 Ritter´sches Schnittverfahren
7. Gemischte Systeme7.1 Dreigelenkrahmen mit Zugband7.2 Gelenkträger mit Fachwerkstäben7.3 Statische Bestimmtheit
Literatur
Autoren Titel VerlagBochmann, F. Statik im Bauwesen, Band I: Einfache
statischeSystemeVerlag für Bauwesen,Berlin
Assmann, B. Technische Mechanik, Band I: Statik Verlag G. Oldenbourg,München
Krätzig, W.B., Wittek, U. Tragwerke, Teil 1: Theorie undBerechnungsmethoden statischbestimmter Stabtragwerke
Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg
Mann Tragwerkslehre inAnschauungsmodellen
B.G. Teubner-Verlag
Mann Vorlesung über Statik undFestigkeitslehre
B.G. Teubner-Verlag
Wagner/Erlhof Praktische Baustatik B.G. Teubner-Verlag
Gross/Hauger/Schnell Technische Mechanik, Band 1: Statik Springer-Verlag
Brommundt/Sachs Technische Mechanik, EineEinführung
Springer-Verlag
Schneider, K.-J/Schweda E. Baustatik-Statisch bestimmte Systeme Werner-Verlag GmbHDüsseldorf
Schneider, K.-J. Zahlenbeispiele - Statisch bestimmteSysteme
Werner-Verlag GmbHDüsseldorf
••••
1.1
1.Einführung
1.1 Statik als Teilgebiet der Physik
Physik : Lehre von Stoffen und Kräften der unbelebten Natur
Mechanik : Lehre von den Kräften und Bewegungen von materiellen Körpern
Teilgebiet der Mechanik: Aero- und Gasdynamik, Fluidmechanik, Mechanik festerKörper
Teilgebiete der Mechanik fester Körper: Kinematik, Dynamik, Statik
Arbeitsgebiet der Statik: Ermittlung des Kräfte- und Verformungszustandesruhender, d.h. im Gleichgewicht befindlicher Körper
Aufgaben der Statik: - Festlegung des baustatischen Modells sowie idealisierterLastgrößen
- Bestimmung der Lagerreaktionen und der Schnittgrößen alsinnere Kraftwirkungen
- Berechnung der Verformungen
Abgrenzung Statik - Dynamik:Statik - Lasteintragung erfolgt über einen längeren Zeitraum
- äußere und innere Kräfte sind stets im GleichgewichtDynamik - Lasteintragung erfolgt in einem relativ kurzen Zeitraum
- zwischen äußeren und inneren Kräften herrscht zunächst keinGleichgewicht, die Folge sind Schwingungen
Statik als Hilfsmittelzur hinreichend sicheren und wirtschaftlichen Dimensionierung vonIngenieurkonstruktionen
Physik
Mechanik
Aero- und Fluid- MechanikGasdynamik mechanik fester Körper
Kinematik Dynamik Statik
1.21.2 Modellbildung, Lagerreaktionen, Schnittgrößen und Verformungen
Modellbildung: Reduzierung eines Ereignisses auf seine wesentlichenEigenschaften
geometrische Idealisierungen: unwesentlich erscheinende Dimensionen werdeneliminiert, aus dreidimensionalen Tragelementenwerden:
- zweidimensionale Tragelemente/Flächentragwerke(Platten, Scheiben, Schalen)
- eindimensionale Tragelemente/Linienträger(Balken, Fachwerkstäbe, Bögen, Seile)
Schnittprinzip: Trennt man aus einem im Gleichgewicht befindlichen Tragwerk Teiledurch fiktive Schnitte heraus, so verbleibt jedes herausgetrennte Teilim Gleichgewicht. Zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichtes wirdin den Schnittflächen ein fiktives Kraftsystem (Schnittgrößen)eingeführt.
Verformung f Last F
Schnittgrößen
Last F
Schnittgrößen
Lagerreaktionen
2.1
2. Gleichgewichtszustände in der Statik
2.1 Newtonsche Gesetze / Axiome
Trägheitsaxiom: Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe (Gleich-gewichtszustand) oder der gleichförmigenBewegung, solange er nicht durch einwirkendeKräfte zur Änderung seines Zustandes gezwungenwird(1. Newtonsches Gesetz).
Beschreibung einer Kraft durch: Betrag, Angriffspunkt und Wirkungsrichtung
z Betrag
Wirkungslinie Angriffspunkt
x y
Äquivalenzaxiom: Kräfte dürfen in Richtung ihrer Wirkungslinieverschoben werden.(Zwei Kräfte gleichen Betrages, gleicher Richtungund gleicher Wirkungslinie, mit unterschiedlichemLastangriffspunkt üben auf einen starren Körper diegleiche Wirkung aus).
Reaktionsaxiom: Wird von einem Körper eine Kraft auf einen anderenKörper ausgeübt, so gilt dies auch umgekehrt(3. Newtonsches Gesetz).Kurzform: actio est reactio
Parallelogrammaxiom: Die Wirkung zweier Kräfte mit gleichem Angriffs-punkt ist ihrer vektoriellen Summe äquivalent.
F
2.2Grundgesetz der Mechanik: resultierende Kraft = Masse • Beschleunigung
(2. Newtonsches Gesetz)
F = m •• a
1 Newton [N]: ist diejenige Kraft, die einem Körper mit derMasse 1kg die Beschleunigung 1m/sec² erteilt.
[N = kg•m/sec²]
Gewichtskraft: G = m•g = 1kg•9,81m/sec² = 9,81N ≈ 10N
Fallbeschleunigung: jeder Körper wird infolge der Erdan-ziehung gleichmäßig mit g≈9,81m/sec²beschleunigt.
Vergleich:
Erde: Sonne: Mond: 1kg 1kg 1kg
G= 9,81N G=274,59N G=1,57N
Während die Masse überall auf der Erde und auf anderenPlaneten gleich ist, ändert sich die Gewichtskraft infolge derunterschiedlichen Fallbeschleunigungen.
2.32.2 Moment und Kräftepaare
Moment einer Kraft: Das statische Moment einer Kraft F ist auf eine zudieser Kraft bezogenen senkrechten Drehachsegleich dem Betrag der Kraft, multipliziert mit demAchsabstand a.
M = F •• a
Parallelverschiebung einer Kraft: Wird einer Kraft F um die Strecke a parallelverschoben, muß zur Herstellung derursprünglichen Wirkung im neuen Angriffspunktein Moment der Größe M=F•a hinzugefügtwerden.
Verschiebung/Verdrehung: Die Ursache einer Verschiebung ist eine Kraft. DieUrsache einer Verdrehung ist ein Kräftepaar, dasaus zwei gleich großen entgegengesetztgerichteten Kräften besteht, deren Wirkungslinienparallel verlaufen.
Momentensatz: Die resultierende Kraft, auf einen beliebigen Punktbezogen, erzeugt das gleiche Moment wie dieEinzelkräfte zusammen.
2.3 Kraftsysteme
Zentrales Kräftesystem: Es ist ein gemeinsamer Angriffspunkt derEinzelkräfte vorhanden und kann schrittweise zueiner resultierenden Kraft zusammengefasstwerden (Parallelogrammaxiom).Gleichgewicht ist vorhanden, wenn zu FR eineKraft gleicher Größe und Wirkungslinie, jedochmit umgekehrter Wirkungsrichtung -FR vorhandenist. (Trägheitsaxiom)
Allgemeines Kräftesystem: Die Wirkungslinien der Einzelkräfte schneidensich nicht in einem Punkt.Verschiebt man sämtliche Kräfte in einenwillkürlichen Punkt, so ergeben sich zweiKraftgrößensysteme: ein zentrales Kräftesystem
und ein System statischerMomente, das durch dieParallelverschiebung derKräfte entstanden ist.
2.42.4 Äußere und innere Kraftgrößen
Formen der Kräfte: - Volumenkraft [KN/m³]- Flächenkraft [KN/m²]- Linienkraft [KN/m]- Punktkraft [KN]
häufig vorkommende äußere Kräfte - ständige Lasten- Verkehrslast
innere Kräfte der Bauteile: Durch die Wirkung der äußeren Kräfteentstehen im Inneren des Tragwerkes Kräfte,die als Schnittgrößen berechnet werden.(vergl. Kap. 1.2 und Kap. 5.5)
Weiterleiten einer Nutzlast: Träger/Nutzlast Decke Wand Stützen Fundamente
Bauteil
Die Lasten für Bauten sind in Vorschriften festgelegt:
- Eigenlasten von Baustoffen und Bauteilen:Glas γ = 25 KN/m³Aluminium γ = 27 KN/m³Kupfer γ = 89 KN/m³Stahl γ = 78,5 KN/m³Nadelholz γ = 4-6 KN/m³Beton γ = 24 KN/m³Stahlbeton γ = 25 KN/m³Kalkstein γ = 26 KN/m³
GipskartonplattenEstricheBodenfliesenTeppichbödenFertigparkettSchaumglasBitumendachpappenBiberschwanzziegel
0,11 KN/m² je cm Dicke0,2 - 0,24 KN/m² je cm Dicke0,22 KN/m²0,03 KN/m²0,06 KN/m²0,01 KN/m² je cm Dicke0,03 KN/m² je Lage0,60 KN/m²
2.5- Verkehrslasten:
• Dächer waagrecht bis 1:20 geneigt bei zeitweiligem Aufenthalt von Personen 2 KN/m²
• DeckenWohnräumeBüroräumeGaragen+Parkhäuser, HörsäleGeschäfts- und WarenhäuserWerkstätten und Fabriken
1,5 - 2,0 KN/m² 2,0 KN/m² 3,5 KN/m² 5,0 KN/m² 10 - 30 KN/m²
• TreppenWohngebäudeöffentliche Gebäude
3,5 KN/m² 5,0 KN/m²
- Windlasten:• Resultierende Windlast
W = cf • q • Acf = aerodynamischer BeiwertA = Bezugsflächeq = Staudruck
• Staudruck:Höhe über Gelände m 0 - 8 >8 - 20 >20 -
100>100
q [KN/m²] 0,5 0,8 1,1 1,3
• aerodynamischer Beiwert: (von ebenen Flächen begrenzte Baukörper, abGeländeoberfläche allseitig geschlossen)
Höhe/Breite ≤ 5 ⇒ cfx = 1,3Höhe/Länge ≤ 5 ⇒ cfy = 1,3
A
cf • q • b • h 25m q = [kN/m²] • 20 1,1 1,3 • 1,1 • 10 • (25-20) = 71,50 kN
OG’s 0,8 1,3 • 0,8 • 10 • (20-8) = 124,80 kN 8 0,5 1,3 • 0,5 • 10 • 8 = 52,00 kN
KG
b=10m
2.6- Schneelasten:
Die Schneelast je m² Grundrissprojektionder Dachfläche beträgt:
s = ks • s0
s0 = Regelschneelastks = 1-(α-30°)/40°
Regelschneelast s0 in KN/m²Geländehöhe des Bauwerk- Schneelastzone (siehe Karte)standortes über NN in m I II III IV
≤ 200 0,75 0,75 0,75 1,00300 0,75 0,75 0,75 1,15400 0,75 0,75 1,00 1,55500 0,75 0,90 1,25 2,10600 0,85 1,15 1,60 2,60700 1,05 1,50 2,00 3,25800 1,25 1,85 2,55 3,90900 2,30 3,10 4,65
1000 3,80 5,50Bei Geländehöhen über 1000 m ist s0 für den Einzelfall durch die zuständige Baubehörde im Einver-nehmen mit dem Zentralamt des Deutschen Wetterdienstes in Offenbach festzulegen.
Karte der Schneelastzonen
Schneelastzone I
Schneelastzone II
Schneelastzone III
Schneelastzone IV
2.7
- Wasserdruck
Bauwerk
Grundwasser-Pegel
hW
γW•hW (γW = 10 kN/m³)
- Erddruck
h Gleitfläche
Eah t
Eph
eph eah
eph = γ • t • kph eah = γ • h • kah
3.1
3. Zusammensetzung, Zerlegung und Gleichgewicht von Kräften
3.1 Zentrales Kräftesystem (ebene Kräfteanordnung)
3.1.1 Kräfte mit gleicher Wirkungslinie
Die resultierende Kraft wird mit R = F1+ F2 +..... Fn = ∑∑Fi berechnet.
F1 F2 F3
R
3.1.2 Zwei rechtwinklig zueinander stehende KräfteDie analytische Zusammensetzung bzw. Zerlegung erfolgt mit:
FV
R = √√(FV² + FH²)sinαα=FV/R; cosαα=FH/R ; tanαα=FV/FH
FH
3.1.3 Zwei Kräfte mit beliebigen Richtungen
y Die Kräfte F1 und F2 werden zur Zusammensetzungdurch die Komponenten Fix und Fiy ersetzt. Ent-
F1y F1 sprechend Kap. 3.1.1 werden danach die Teilresul- F1x tierenden Rx und Ry berechnet.
F2x x
F2y F2
Rx
R Die Resultierende R wird entsprechend Kap. 3.1.2 Ry berechnet.(alternativ Anwendung des Cosinussatzes)
Unter Verwendung des Sinussatzes (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) kann eine Kraft in zwei beliebige Richtungen zerlegt werden.
α
3.23.1.4 Beliebige Anzahl von Kräften
Die Zerlegung einer Kraft in mehr als zwei ‘Teilkräfte’ ergibt keine eindeutigeLösung im ebenen zentralen Kräftesystem.Die analytische Zusammensetzung von beliebig vielen Kräften mit beliebigenRichtungen erfolgt entsprechend Kap. 3.1.3.
F3 Eine zu R entgegengerichtete, gleich F2 F4 große und auf derselben Wirkungslinie
R liegende Kraft F4 erzeugt Gleichgewicht. F1
F1 F3
F2
Kräfte im Knoten I III 2 P A I
3 1 Die Berechnung von statischen Systemen I 5 II erfolgt, indem für jeden Knoten 4 Gleichgewicht erzeugt wird. Die Pfeil-B Kraft im Stab richtung gibt an, wie die Kräfte auf den IV Knoten wirken
B IV S5 ← S4 S2 →
I S4 I
S3 II S1 S1 P Gleichgewichtszustand im Knoten II S3
S5 III Zug (zeigt vom Knoten weg)A S2 Druck (zeigt auf den Knoten)
P = Resultierende von S1 und S2
S2
S1 I Die Pfeilrichtung zeigt, wie die Stäbe S1 und S2
P beansprucht werden.
ZugDruck
3.33.2 Allgemeines Kräftesystem (ebene Kräfteanordnung)
3.2.1 Reduktion mit Teilresultierenden
Lageplan: Kräfteplan:S1 Die Kräfte schneiden sich (im
F1 Lageplan) nicht in einem Punkt F1 R1 F2 und werden schrittweise zu Teil-
S2 F2 R1 R resultierenden zusammengesetzt. F3 Hierzu werden die Kräfte bzw.
R F3 Resultierenden jeweils in denSchnittpunkt ihrer Wirkungslinieverschoben.
gegeben sind F1 ,F2 und F3 ⇓aus F1 und F2 ergibt sich R1 Größe, Richtung und Lage deraus R1 und F3 ergibt sich R Resultierenden.
3.2.2 Reduktion mit Seileck
Lageplan: Kräfteplan:Zur Ermittlung von Lage, Größe
F1 und Richtung der Resultierenden F2 1 wird ein Pol gewählt, von dem die
F1 F3 F2 R 2 Pol Strahlen 1 ÷ 4 zu den Eckpunkten2 3 3 des Krafteckes gelegt und in den
F3 4 Lageplan übertragen werden.1 4
R
Zusammensetzen parallel gerichteter Kräfte:
Lageplan: Kräfteplan:
F1 F2 F3
F1 1 A 2 3 B
1 4 R F2 2 Pol
3 F3 4
R
3.43.2.3 Analytische Reduktion
y
F1V
F1 α1 F2V
y1 F1H F2
α2
y2 F2H
F3
y3 R αR
xMR x3 x1 x2
Bei der Zusammensetzung beliebig vieler Kräfte in einer Ebene wird folgenderWeg beschritten:1.) Die Kräfte F werden in die H- und V- Anteile zerlegt.2.) Berechnung der resultierenden Kraft R und des Winkels αR, RV = ∑ FiV ; RH = ∑ FiH → R = √(RH²+RV²) ; tan αR = RV/RH
sowie des Momentes MR aus der Parallelverschiebung der Kraftkomponentenin den Koordinaten-Ursprung [vergl. Kap.2.2]. MR = ∑( FiH • yi + FiV • xi )
3.) Ersetzen von MR und R durch R mit dem Abstand r.
y y
R = r = MR/R , da M = F • a
x x r
MR R
4.1
4. Reibung / Schiefe Ebene
4.1 Haft- und Gleitreibung
Will man einen auf einer bestimmten Fläche stehenden Körper verschieben, so spürtman einen Widerstand. Diese bewegungshemmende Kraft nennt man Reibkraft.Solange sich die Berührungsflächen nicht gegeneinander bewegen, spricht man vonder Ruhe- oder Haftreibung. Im Falle der Bewegung spricht man von derGleitreibung.
Haftreibung: FH = µµ0 •• FN G angreifende Kräfte Gleichgewicht:
Gleitreibung: FG = µµ •• FN F F FN α R α G
FH bzw FG
haltende Kräfte FN FH bzw FG
4.2 Schiefe Ebene ( tanα = µ0 bzw tanα = µ)
Um einen Körper auf einer schiefen Ebene nach oben zu bewegen, muss eine Kraftvon: G
F F = G • (sinγ + µ • cosγ) aufgebracht werden.
FG γ FN
Um einen Körper auf einer schiefen Ebene gerade am Abgleiten zu hindern, muss eineKraft von:
F = G • (sinγ − µ0 • cosγ) aufgebracht werden.
Haft- und Gleitreibzahlen:
µ0 µtrocken gefettet trocken gefettet
Stahl auf Stahl 0,15 0,1 0,15 0,01Holz auf Holz 0,5 0,16 0,3 0,08Bremsbelag auf Stahl 0,5 0,4
Die Reibung ist unabhängig von: Größe der Gleitfläche und ‘Geschwindigkeit’Die Reibung ist abhängig von: Anpressdruck, Werkstoff und Oberflächenrauhigkeit
5.1
5. Statisch bestimmte Tragwerke
5.1 Auflagerarten
Verschiebungen in zwei Richtungen und Verdrehungen sind die Bewegungsmöglich-keiten eines Tragwerkes in der Ebene. Es sind somit drei Freiheitsgrade vorhanden, diein Abhängigkeit von der Auflagerart als gesperrt oder frei anzusehen sind.Es werden unterschieden: bewegliche, feste und eingespannte Auflager.
bewegliche Auflager: heben einen Freiheitsgrad auf
Bewegungs- Symbolmöglichkeiten
Stützkräfte V
feste Auflager: heben zwei Freiheitsgrade auf
Bewegungs- Symbolmöglichkeiten
Stützkräfte V
eingespannte Auflager: heben drei Freiheitsgrade auf
Symbol
Stützkräfte H M V
H
5.25.2 Auflagerkräfte
Unter der Einwirkung von Lasten auf ein Tragwerk müssen dessen Auflagerkräfte inGröße und Richtung so sein, dass das Bauteil im Ruhezustand verbleibt. DieBerechnung der Auflagerkräfte ist somit eine Gleichgewichtsaufgabe. Ein Tragwerk inder Ebene verfügt über drei Freiheitsgrade. Zur unverschieblichen Lagerung sinddamit drei Anbindungen erforderlich.Die Lasten eines Tragwerkes sind als Aktionskräfte vorgegeben. Demgegenübermüssen die Auflagerkräfte als Reaktionen berechnet werden. Beide sind äußere Kräfte,die im Gleichgewicht stehen müssen. Zur Ermittlung der Auflagerkräfte dienen diedrei Gleichgewichtsbedingungen (siehe Kap.5.3).
Lasten = AktionskräfteTragwerkAuflagerkräfte = Reaktionskräfte
5.3 Gleichgewichtsbedingungen
Kräfte können Drehungen und Verschiebungen bewirken. Soll ein Körper in Ruhebleiben, dürfen alle an ihm wirkenden Kräfte keine Resultierende ergeben. Außerdemdürfen keine Kräftepaare wirken, da diese Verdrehungen bewirken. Somit mußausgeschlossen werden, dass alle Kräfte für jeden beliebigen Bezugspunkt zusammenkein Moment ergeben.
∑∑H = 0 , ∑∑V = 0 , ∑∑M = 0
FH FV F FH ∑H = 0 ; FH - FH = 0
FV/2 FV/2 ∑V = 0 ; FV/2 - FV + FV/2 = 0 a a ∑Mb = 0 ; FV • a - FV/2 • 2a = 0
ÄußereKräfte
5.35.4 Statisch bestimmte Systeme / Statisch unbestimmte Systeme
Mit den drei Gleichgewichtsbedingungen lassen sich drei unbekannte Auflagerkräftebestimmen. Tragwerke, deren Auflagerkräfte unter Verwendung derGleichgewichtsbedingungen berechnet werden können, nennt man statisch bestimmtgelagert.
3s < a + g statisch unbestimmte Lagerung3s = a + g statisch bestimmte Lagerung3s > a + g unbrauchbares Tragsystem (beweglich)
mit s = Anzahl der verbundenen einteiligen Tragwerkea = Anzahl der unbekannten Lagerkräfteg = Anzahl der unbekannten Gelenkkräfte
Bei statisch unbestimmten Systemen beeinflusst das Formänderungsverhalten dieStützkräfte. Eine zusätzliche Anzahl von Gleichungen wird aus den Formänderungs-bedingungen gewonnen.Aus Längenänderungen z.B. infolge von Temperaturschwankungen, ausAuflagerverschiebungen oder aus Auflagerverdrehungen können bei statischunbestimmten Systemen Beanspruchungen entstehen.
Gelenk s = 2a = 4
AH g = 2 (siehe Kap. 5.10)
AV C B 3 • 2 = 4 + 2 ⇒ statisch bestimmte Lagerung
5.45.5 Schnittkräfte
Nachdem die äußeren Kräfte (einschließlich Auflagerkräfte) bekannt sind, könnenunter Verwendung der Gleichgewichtsbedingungen die inneren Kräfte berechnetwerden. Zur Ermittlung der inneren Kräfte trennt man den Körper durch einengedachten Schnitt und bestimmt diejenigen Kräfte, die mit den äußeren Kräften desjeweiligen Teils Gleichgewicht ergeben.
Die drei Schnittkräfte sind: N - Normalkraft (in Richtung der Trägerachse)Q - Querkraft (senkrecht zur Trägerachse)M - Biegemoment (bezogen auf den Schwerpunkt des Schnittes)
x1 x1 x2 x2 Lasten M M M M
N N N N positive Schnittkräfte Q Q Q Q
Lagerkräfte x1 x1 x2 x2
gestrichelte Faser
Vorzeichenregeln:Normalkraft = positiv bei Zugbeanspruchung
= negativ bei Druckbeanspruchung
Querkraft = positiv, wenn Q den linken Tragwerksteil nach unten undden rechten nach oben verschieben will
Moment = positiv, wenn an der Unterseite (gestrichelte Faser)Zugspannungen auftreten
Da sich die Schnittkräfte von Querschnitt zu Querschnitt ändern, wird der Verlaufzeichnerisch dargestellt. Die positiven Normal- und Querkräfte werden entsprechendder Momentenfläche gezeichnet. Die Momentenfläche wird auf der gezogenen Seiteaufgetragen.
5.55.6 Träger auf zwei Stützen
5.6.1 Auflagerausbildung, Auflagertiefe und Stützweite
Im Hochbau wird i.a. kein besonders ausgeprägtes festes bzw. bewegliches Lagerausgebildet. Der Träger wird z.B. nur auf das Mauerwerk aufgelegt.Mindestauflagertiefen und Annahmen des Auflagerpunktes können z.B. DIN 1045oder EC 2 (Beton-, Stahl- und Spannbeton) entnommen werden.
System:
ln
Idealisierung: P
leff = ln + ∑ Auflagerlängen
leff = ?
Annahme des Auflagerpunktes (EC 2)frei drehbares Endauflager eingespanntes Auflager durchlaufendes Bauteil
l
≥ t/3 bzw. < t/2
t ln
l
≤ t/2 bzw. ≤ h/2
h
t ln
l/2 l/2
t/2 t/2
ln1
t ln2
Mindestauflagertiefen t in cm (DIN 1045/1988)Bauteil Baustoff der Auflagerfläche t [cm]Platten Mauerwerk, Beton B 5 oder B 10
Stahl, Beton B 15 bis B 55Träger aus Stahl oder Stahlbeton, wenn seitliches Ausweichenkonstruktiv verhindert wird und die Stützweite der Platte ≤ 2,5 mbeträgt
75
3
BalkenPlattenbalken
1010
5.65.6.2 Träger mit vertikalen Einzellasten
A) System: Auflagerkräfte: P ∑Ma = 0; P•a - B•l = 0
b ⇒ B = P•a/lAV = P•b/l B = P•a/l ∑V = 0; AV - P + B = 0
a b AV = P - B = P - P•a/l = P - P•(l-b)/l l = P - P + P•b/l = P•b/l
∑H = 0; AH = 0
Q-Fläche: Schnittkräfte:QR = P•a/l Ql
0 N. a M
Ql = P•b/l P•b/l a
∑V = 0; Ql - P•b/l = 0 ⇒ Ql = P•b/l∑M = 0; M - P•b/l•a = 0 ⇒ M = P•a•b/l
M-Fläche: ∑H = 0; N = 0
An der Stelle der Einzellast (P) ändert dieQuerkraft ihr Vorzeichen, und das Biegemomenterreicht einen Extremwert.
max M = P•a•b/l
B) System:P P P P
c c c c c l
Q-Fläche:
P 2P Das Biegemoment ist im mittleren Längenab-schnitt konstant, und die Querkraft ist hier Null.
2P P
M-Fläche:
P•2•c
P•3•c
+
+
-
-
+
+
AH=0a
2P2P
5.75.6.3 Träger mit Linienlasten
A) System: q Die Gesamtbelastung q wird zur Ermittlung
der Lager- und Schnittkräfte jeweils durch eine resultierende Kraft im Schwerpunkt der
q•l/2 q•l/2 Belastung ersetzt. l
x
Q-Fläche:Lagerkräfte: Schnittkräfte:
q•l/2 q•l q•x Mx
q•l/2 0 q•l/2 Qx Nx
M-Fläche: l/2 l/2 x/2 x/2 l x
q•l2/8
B) System:Lagerkräfte: Schnittkräfte:
q R= q•l/2 R= qx • x/2 qx
q 0 Mx
q•l/6 q•l/3 l Qx Nx
2•l/3 l/3 q•l/6 2•x/3 x/3 x
l x
Q-Fläche:Qx = q•l/6 - q•x²/(2•l)
q•l/3q•l/6
0,577 • l
M-Fläche:Mx = q•l/6•x - q/l•x³/6
q•l2/15,59
∑V = 0 ⇒ Qx = q•l/2 - q•x∑M = 0 ⇒ Mx = q•l/2•x - q•x²/2∑H = 0 ⇒ Nx = 0
+
+-
+
-
+
5.8C) System:
q = 10 kN/m
30 kN 30 kN l/4 l/2 l/4
l = 8m
x
Idealisierung:
10 kN 40 kN 10 kNDie Gesamtbelastung wird durch mehrereresultierende Einzellasten in den Schwer-
2/3 • l/4 punkten der Belastungsflächen ersetzt.
l/2
Q-Fläche: 20 kN
30 kN30 kN
20 kN
M-Fläche:
53,33 kNm
73,33 kNm
-
+
+
5.95.6.4 Träger mit beliebig gerichteter Belastung
System:
3kN 2kN 1kN Die schrägen Kräfte werden in horizontale (2,12) (0,866) und vertikale Kräfte zerlegt.
(2,12) (0,5) 1,62 kN
2,65kN 2,34 kN1,5 2,5 2,0 1,0
N-Fläche:
2,12 kN 1,62 kN
Q-Fläche:
1,47kN 2,34kN2,65kN 0,53kN
M-Fläche:
2,36 kNm
3,98 kNm 5,3 kNm
+
-+
+
45° 60°
5.105.6.5 Träger mit einer Belastung durch Drehmomente
A) System: M = 50kNm
Das ‘Auflager’- Kräftepaar wirkt demAH = 0 Drehmoment entgegen.
AV =-5kN BV =5kN
6m 4m 10m
Q-Fläche:
5 kN
M-Fläche:
30 kNm 50 kNm
20 kNm
B) System: 25kN
AH =-25kN 2mgegenüber System’A’ entstehen die
AV=-5kN BV =5kN folgenden zusätzlichen Schnittkräfte:
6m 4m 10m
N-Fläche: Q-Fläche:
25kN 25 kN
M-Fläche: Verformung:
.50 kNm
-
-+
++
+
5.6.6 Träger mit beliebiger Lastkombination 5.11
System: 10kN q=5kN/m
Die Lager- und Schnittkräfte können aus den 30 kN 30 kN Einzelsystemen
5m 5m
10m
zusammengesetzt werden.
Q-Fläche: M-Fläche: 30 kN
30 kN
5.6.7 Träger mit Wanderlasten 87,5 kNm
System: Wanderlast P
Bei Wanderlasten ist der Lastangriffspunktzeitlich veränderlich.
A B x l-x
l x
Einflusslinie der Auflagerkraft A: Einflusslinie der Auflagerkraft B:
P P P•(l-x)/l (Last P steht an der Stelle x) P•x/l
(Last P steht am Auflager A) (Last P steht am Auflager B)
Einflusslinie der Querkraft für die Stelle x=c:- P•c/l
(-P)(P)
P•(l-c)/l Einflusslinie des Biegemomentes für die Stelle x=c:
B•(l-c)
(B = P•c/l)c l-c
+
-
+
5.125.7 Differentiale Zusammenhänge zwischen Schnittkräften und Belastung
Belastung, Querkraft und Biegemoment:
M’(x) = Q (x)Q’(x) = -q (x)
bzw.M’’(x) = -q (x)
1. Ableitung der Funktion derMomentenlinien = Funktion der
QuerkraftlinieDas max. Biegemoment ist an derStelle, an der die Querkraft Null ist.
(siehe Kap. 5.6.3/Bsp. A)Wechselt die Querkraft ihr Vorzeichensprunghaft, dann ändert sich auch dasVorzeichen des Neigungswinkels derMomentenlinie. Das Moment hat dorteinen Extremwert und dieMomentenlinie einen Knickpunkt.
(siehe Kap. 5.6.2/Bsp. A)
Biegelinie w und Biegemoment:
w’’(x) = -M(x)/(E••I)
Zusammenfassung der Beziehungen:
w (x) Gleichung der Biegeliniew’(x) = ρρ(x) Gleichung der Tangentenneigung
E••I w’’(x) = -M(x) Gleichung der MomentenlinieE••I w’’’(x) = -Q(x) Gleichung der QuerkraftlinieE••I w’’’’(x) = q(x) Gleichung der Belastungsfunktion
5.135.8 Einseitg eingespannter Träger
System:
q AV = q•lMA = q/2•l2
MA AV
l
Aufnahme des Momentes am Auflager:
q A’ = B’ = MA/aDas Kräftepaar (A’; B’) wird durch dasMoment (MA) erzeugt.
B’ A’+AV
a
Q-Fläche:
A’
AV
M-Fläche: q•l2/2
+-
-
5.145.9 Träger auf zwei Stützen mit Kragarm
System mit Belastung:
Verkehrslast ständige Last
a b
A B
1. ständige Last
Verformung
2. Verkehrslast / ungünstigste Laststellungen:
2.1 ⇒ min Mb, min Ma, min MF
2.2 ⇒ max A, min Ma
2.3 ⇒ max B, min Mb
2.4 ⇒ max MF
2.5 ⇒ min B, min Ma
2.6 ⇒ min A, min Mb
Berechnungsschritte:
1. Berechnung des Lastfalls -ständige Last-
2. Berechnung der Lastfälle -Verkehrslast-und Addition mit dem Lastfall -ständige Last- ergibt die ungünstigsten Auflager-bzw. Schnittkräfte.
5.15
System:
1,40 kN/m - Verkehrslast 1,12 kN/m - ständige Last
a b
A B 2,0m 6,0m 1,5m
1. Berechnung des Lastfalls -ständige Last-
M-Fläche: 2,86m
2,24 1,26
3,30 3,31Q-Fläche:
2,24 3,20 Querkraft wechselt dreimal dasVorzeichen.
3,52 1,68 ⇒ drei Momenten-Extremwerte
2. Berechnung des Lastfalls -Verkehrslast im Feld-
1,40 kN/m
M-Fläche:
6,30
3,0 ⇒ max MF ~ 3,3 + 6,3 = 9,6 kNmQ-Fläche:
4,20
4,20
+
- -
+ +- -
+
+
-
5.165.10 Gelenkträger
Ein Gelenk überträgt Normal- und Querkräfte, aber keine Biegemomente.⇒ zusätzliche Bedingung
MG = 0
Ein Durchlaufträger mit einem festem Auflager und mindestens einem beweglichenAuflager ist statisch bestimmt, wenn bei n Stützen n-2 Gelenke vorhanden sind.
Gelenkanordnung:
1. Innenfeld ⇒ höchstens 2 Gelenke und Nachbar-felder keine Gelenke
2.Endfeld ⇒ höchstens 1 Gelenk
3.
Das 1. System ist gegenüber dem 3. System zubevorzugen, da der Ausfall eines Trägers nicht denAusfall aller folgenden Träger bewirkt.
4. unbrauchbares System
beweglich
System: 1kN/m
AH=0 Auflagerkräfte: C=7,7kN B=2kN GH
AV=1,3kN 5m 2m 4m GH = 0 GV B GV = B = 2kN
GV
GV=Stützkraft für rechten TrägerteilAH GH GV=Belastung für linken
AV C TrägerteilQ-Fläche: 1,3 Zur Berechnung der Normal- und Querkräfte
3,7 2,0 werden links beginnend für den ganzen 1,3 4,0 2,0 Träger die horizontalen bzw. vertikalen
Kräfte unter Beachtung der Vorzeichen M-Fläche: addiert. Die Momente werden am einfachsten
berechnet, indem man die einzelnen Träger-6kNm teile mit den Gelenkkräften (als äußere
0,845kNm 2kNm Belastung) betrachtet.
++
-
++
-
-
5.175.11 statisch bestimmte Rahmen
5.11.1 Einteilige Rahmen
rechtwinkliger Rahmen
System:10kN/m
biegesteife Verbindung ⇒ Übertragung von:Querkräften,
2,0 25kN Riegel Normalkräften und2,0 Stiele BH Biegemomente
a b A BV
8m Auflagerkräfte:∑H = 0 → BH = 25kN∑Ma = 0 → BV = 46,25kN∑V = 0 → A = 33,75kN
Schnittkräfte:Die Berechnung erfolgt analog den bisherigen Systemen.
N-Fläche: 25kN
33,75kN 46,25kN
Q-Fläche:46,25kN
33,75kN 25kN
25kNM-Fläche:
Das Biegemoment ist positiv, wenn an der 50kNm 100kNm Innenseite (gestrichelte Faser) Zug-
spannungen entstehen. Die Momentenfläche6,95kNm wird an der gezogenen Seite gezeichnet.
-
- -
-
+- +
--+
--
5.18 schiefwinkliger Rahmen
System:
18kN 9kN 33kN 9kN
0,7566kN B=62,5kN
2,7533kN
AH=-116,8kN AV=45,2kN
0,90,9 2,1m 2,1m
Zur Berechnung der Schnittkräfte werden dieKräfte in Teilkräfte parallel und senkrecht zurStabachse zerlegt.
N-Fläche:z.B. Auflager B:
2,133m 9kN 11kN
NM Q
B = 62,5kN B⊥ = 61,5kN
26,1kN Bll = 11kN
Q-Fläche: 52,5kN34,5kN
23,5kN ∑K⊥ = 0; Q+61,5-9 = 0 → Q = -52,5 kN 89,5kN ∑Kll = 0; N-11 = 0 → N = 11,0 kN
∑M = 0; M+9•2,133-61,5•2,133
= 0 → M = 112 kNm
M-Fläche:
112kNm185kNm
147kNm
+
+
-
+
+
+
.
5.19gekrümmtes Tragwerk
Im Bereich der Krümmung ändern sich für jede Stelle die Schnittgrößen, da sichjeweils der Winkel α ändert.
System: Schnittgrößen:
N
Mα Q
F2
F1 αF2•sinα
F2•cosα
F2
F1 F1•sinα
F1•cosα
5.205.11.2 Dreigelenktragwerke
System: q
Die vier Auflagerkräfte werden ausden drei Gleichgewichtsbedigungen:
h ∑∑H = 0; ∑∑V = 0; ∑∑M = 0
AH AH=BH=q•l2/(8•h)BH und aus der Bedingung:
AV AV=BV= q•l/2 BV
∑∑MGelenk = 0
l/2 l/2berechnet.
N-Fläche: q•l2/(8•h)
q•l/2 q•l/2
Q-Fläche:
q•l/2
q•l/2
q•l2/(8•h) q•l2/(8•h)
M-Fläche:
q•l2/8 q•l2/8
-
- -
+-
+-
-
- -
-
6.1
6. Fachwerke
6.1 Allgemeines
Bezeichnungen:Obergurt ebenes Fachwerk
Im Knoten sind mindestens2 Stäbe miteinander verbunden
PfostenDiagonale oder Strebe
Knoten Untergurt
Vorraussetzungen:1. Die Stäbe sind gerade2. Die Stäbe sind zentrisch angeschlossen
(d.h. die Achsen der Stäbe schneiden sich im Knoten in einem Punkt)3. Die Stäbe sind in den Knoten gelenkig gelagert4. Die Lasten greifen in den Knoten an
aus 3. und 4. folgt:Die Stäbe erhalten nur Normalkräfte [(-)Druck oder (+)Zug]keine Querkräfte und keine Biegemomente.
5. Das System ist unverschieblich(d.h. die Stäbe dürfen in dem System ihre Lage nicht verändern)
← labil
äußerliche statische Bestimmtheit:statisch bestimmt, wenn drei unbekannte Auflagerkräfte mit den drei
Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können
innerliche statische Bestimmtheit:Jeder Knotenpunkt entspricht einem ebenen zentralen Kräftesystem, dessenKräfte miteinander im Gleichgewicht stehen (siehe Kap. 3.1). Gleichgewichtist vorhanden, wenn die Resultierende gleich Null ist oder wenn die horizontalenund vertikalen Kräfte gleich Null (∑H = 0 und ∑V = 0) sind.Somit lassen sich für jeden Knoten k zwei Gleichgewichtsbedingungenformulieren.
6.2Bei 3 unbekannten Lagerkräften eines statisch bestimmten Systems und der inAbhängigkeit von der Anzahl der Stäbe s unbekannten Stabkräfte ergibt sich fürdie innerliche statische Bestimmtheit:
s = 2k -3
innerlich statisch unbestimmtes Fachwerk:k = Knoten
s > 2k -3s = Stäbe
innerlich statisch überbestimmtes Fachwerk:
s < 2k -3
Beispiele:
2 3 4 2 3 1 7 4 6 5 1 6 5
2 3 4 2 3 1 7 8 9 4 6 5 1 6 5
2
1 3 2
5 5 4 6 7
1 4 3
k = 6s = 7
7 < 2•6-3stat. überbest. (labil)
k = 6s = 9
9 = 2•6-3statisch bestimmt
k = 5s = 7
7 = 2•5-3statisch bestimmt, aber
unbrauchbar, da verschieblichinfolge einer Last am
Knoten 4
Verschieblichkeit:
Die statische Bestimmtheit bzw. Unbestimmtheit reicht alleine noch nicht aus, umdie Unverschieblichkeit festzustellen.Brauchbare Fachwerke werden konstruiert, indem von einem Stabdreieckausgegangen wird und jedem neuen Knoten jeweils 2 Stäbe zugeordnet werden, dieaber nicht in einer Geraden liegen.
1 1 3 3 5 5 7 7
1 3 4 6 7 2 5
2 2 4 4 6 6 Stabdreieck
6.36.2 Ritter´sches Schnittverfahren
System: P1 I P2 II 1 O2 2 O3 3 O4 4 O5 5 Die Auflagerkräfte werden am O1 D1 V2 D2 D3 V4 O6 ganzen Fachwerk aus den drei 45° V1 V3 D4 V5 Gleichgewichtsbedingungen a U1 6 U2 7 U3 8 U4 9 U5 10 U6 b berechnet. A I II B
d 6•d
Zur Ermittlung der Stabkräfte werden durch das Fachwerk gedachte Schnitte gelegt.Die abgeschnittenen Teile müssen jeweils im Gleichgewicht sein. Deshalb müssen dieinneren Kräfte mitaufgetragen werden.Die Wirkungslinien entsprechen den Stabachsen. Die Kräfte werden zunächst alsZugkräfte (d.h. der Pfeil zeigt vom Knoten weg) dargestellt (siehe Kap. 3.1.4).
Schnitt I-I: P1
I O3 ∑V = 0; A - P1 + D2•sin 45° = 0 D2 ∑H = 0; U3 + ,O3 + D2•cos 45° = 0 ← zwei unbekannte
∑M7 = 0; O3•h + A•2d = 0 Stabkräfte U3
A 7 I Ritter´schesSchnittverfahren
Schnitt II-II: P1 P2
II O4 ∑M3 = 0; U3•h + P1•d - A•3d = 0
V3 D3
U3
A II
Durch günstige Wahl des Momenten-Bezugspunktes können Gleichungen mitnur einer Unbekannten aufgestellt werden. Zum ersten Mal hat K.W.Ritter imJahre 1863 dieses Verfahren angewendet.Die Berechnung von D2 erfolgt am einfachsten durch die Gleichgewichts-bedingung ∑V = 0.Indem Gleichgewicht am Knoten 2 gebildet wird, kann die vertikale Kraft imStab V2 berechnet werden.
Gleichgewicht am Knoten 2:
P1
O2 O3 Fazit: Die Stabkräfte können mit verschiedenen Anwendungsformen der Gleichgewichts-
V2 Rundschnitt bedingungen berechnet werden. ∑V = 0; P1 + V2 = 0
7.1
7. Gemischte Systeme
7.1 Dreigelenkrahmen mit Zugband
Gemischte Systeme bestehen aus biegesteifen Stäben und Fachwerkstäben. Eineinfaches Beispiel ist der Dreigelenkrahmen mit Zugband.
System: Schnittkräfte: q q
GH
Gelenk GV
Zugband AH AH Z
AV B AV
l/2 l/2 l/2
l
Auflagerkräfte:; Zugband: AV
∑Ma = 0; q • l • l/2 - B • l = 0;→ B = q • l/2
∑V = 0; AV + B = 0→ AV = q • l/2
∑H = 0; → AH = 0
∑Mg = 0; q • l/2 • l/4 - q • l/2 • l/2 + Z • h = 0→ Z = q • l² /(8•h)
Die Zugkraft entspricht den Auflagerkräften AH
und BH des Dreigelenkrahmens mit festenAuflagern auf beiden Seiten (vergl. Kap. 5.11.2).
Die M-, N- und Q-Flächen lassen sich auf die bekannte Weise ermitteln, indem dieFachwerkstäbe von den biegesteifen Stäben abgetrennt und die entsprechendenStabkräfte als äußere Belastung angesetzt werden.
M-, N- und Q-Flächen sieheKap. 5.11.2
q • l2/(8•h)0
q • l/2 q • l/2
7.27.2 Gelenkträger mit Fachwerkstäben
System:Auflagerkräfte:
O1 V1 O2 ∑Ma = 0; 10•6•6/2 - B•6 = 02m q=10kN/m → B = 30 kN
∑V = 0; AV + 30 - 60 = 0 AH → AV = 30 kN AV B ∑H = 0; → AH = 0
3m 3mStabkräfte:
O1H
Q-Fläche: R= 30 g
30 15kN 15kN ∑Mg = 0; -O1H•2 + 30•1,5 - 30•3 = 0
15kN 15kN →O1H = -22,5 kN
O1 .O1V
2
O1H →O1V = 2/3•22,5M-Fläche: AV = 15 kN
3→O1= O2= 27 kN
(Druckstäbe)
11,25 kNm ∑V = 0; V1 - 2• O1V = 0→ V1 = 30 kN (Zugstab)
N-Fläche: O1 O2
V1
22,5kN Schnittgrößen:
q=10kN/m
15 30 15 22,5 22,5
30 30
maxM = 15•1,5 - 10•1,5•1,5/2= 11,25 kNm
+-
+-
+ +
+
7.37.3 Statische Bestimmtheit
Wie bereits zuvor festgestellt wurde, können für jedes einteilige Tragwerkdrei Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden. Jede weitere Gleichgewichts-bedingung liefert keine neue statische Aussage, da diese bereits in den ersten dreiGleichgewichtsbedingungen enthalten ist.
Beispiel:
F 1) ∑ H = 0 ; - BH + AH = 0AH BH 2) ∑ V = 0 ; AV + BV - F = 0
a b 3) ∑ Ma = 0 ; l•BV - l/2•F = 0AV BV 4) ∑ Mb = 0 ; l•AV - l/2•F = 0
l/2 l/2 Es ist erkennbar, dass die Addition der Gleichungen3) und 4) à l•AV + l•BV - l•F = 0und die Division durch l à AV + BV - F = 0die zweite Gleichung ergibt.
Die 4 Auflagerkräfte dieses Systems sind somit nicht alleine durch das Aufstellen vonmax. 3 unabhängigen Gleichgewichtsbedingungen bestimmbar. Das System ist einfachstatisch unbestimmt.
Bei Tragwerken mit Gelenken, bei denen 2 Zwischenreaktionen vorhanden sind,kann, wie bereits im Kap 5.4 gezeigt wurde, der Grad der Unbestimmtheit einfachdurch Abzählen festgestellt werden.
Beispiel:
AH G1 G2
à 5 unbekannte Lagerkräfte s1 s2 s3
AV B C D
G1H G2H
à 4 unbekannte GelenkkräfteG1V G2V
G1H G2H
∑ 9 unbekannte KräfteDiesen 9 unbekannten Kräften stehen je einteiligem Tragwerksteil 3Gleichgewichtsbedingungen gegenüber. Da das Tragwerk aus 3 einteiligen
7.4Tragwerken besteht, können somit insgesamt 9 Gleichgewichtsbedingungen zurBerechnung der 9 unbekannten Kräfte aufgestellt werden. Da die Berechnung derunbekannten Kräfte alleine durch die Gleichgewichtsbetrachtungen möglich ist,handelt es sich um ein statisch bestimmtes System, bei dem gilt:
a + g = 3 • s
Verbindet das Gelenk mehr als 2 Stäbe, so kann man einen Stab als haltenden Stabund die anderen als belastende Stäbe ansehen. Die Anzahl der unbekanntenGelenkkräfte bei i Stäben, die in einem Gelenk zusammentreffen, ergibt sich damit zu:
g = 2 (i - 1)
Beispiel:
F1 F2 F1 G1H G2H F2
s1 s2
G1V G2V
s3
G3V = G1V + G2V
G3H = G1H + G2H
Mit den zuvor erläuterten Zusammenhängen lässt sich ebenfalls die statischeBestimmtheit von Fachwerken ermitteln.
Beispiel:
6 s12 4 s13 6z.B. s11
s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11
2 2
s1 4
s2 8
s3 4
s4
Anzahl der unbekannten Gelenkkräfte
Statisch bestimmt, wenn:a + g = 3 • s
3 + 36 = 3 • 13
7.5Da bei einem Fachwerk nur Normalkräfte in den Stäben wirken, lässt sich die statischeBestimmtheit einfacher berechnen, indem die Anzahl der unbekannten Auflager- (a)und Stabkräfte (s) der Anzahl der möglichen Gleichgewichtsbedingungengegenübergestellt wird (Je Knoten (k) zwei Gleichgewichtsbedingungen, ∑H = 0 und∑V = 0).
a + s = 2k
Bei gemischten Systemen, die sowohl gelenkig als auch biegesteif angeschlosseneStäbe enthalten, sind weitere Betrachtungen notwendig. Hierzu werden an dem untendargestellten System Schnitte so angebracht, dass nur noch gerade Einzelstäbe undKnoten vorhanden sind. (Siehe Seite 7.6)
Die Anzahl der unbekannten Kräfte ergibt sich zu:
4 S1 + 5 S2 + 6 S3 + a
mit: S1 = Anzahl der beidseitig gelenkig angeschlossenen StäbeS2 = Anzahl der Stäbe, die auf einer Seite gelenkig und auf der anderen Seite biegesteif angeschlossen sindS3 = Anzahl der beidseitig biegesteif angeschlossenen Stäbea = Anzahl der Lagerkräfte
Für das System oben ergeben sich damit: 4•2 + 5•3 + 6•5 + 8 = 61 unbekannte Kräfte.
Die Anzahl der möglichen Gleichgewichtsbedingungen beträgt:
3• (S1 + S2 + S3) + 2K1 + 3K2
mit: K1 = Anzahl der Gelenkknoten einschließlich der festen und verschieblichen StützgelenkeK2 = Anzahl der biegesteifen Knoten. Hierzu zählen alle Knoten, bei denen mindestens 2 Stäbe biegesteif verbunden sind.
Für das System oben ergeben sich damit: 3• (2 + 3 + 5) + 2•3 + 3•6 = 54 Gleichgewichtsbedingungen.Das System ist 61 - 54 = 7 fach statisch unbestimmt.
7.6
S3
K1
K2
eins
chlie
sslic
h de
r fe
sten
und
ver
schi
eblic
hen
Stüt
zgel
enke
S2
Anordnung derSchnitte, so dassnur noch geradeEinzelstäbe undKnotenvorhanden sind