Berechnen von Momenten und Querkräften (Voraussetzung: Auflagerkraftberechnung)
Das statische SystemENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften (Voraussetzung: Auflagerkraftberechnung)
Die Belastung
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ENDE
a
b
a/2 a/2
c
Berechnen von Momenten und Querkräften
F
FST
Gegeben ist ein statisches System mit den Auflagerkräften: FAH, FAV und FB
FAH
FAV FB
Das System wird mit einer Kraft F von oben und einer Streckenlast von FST belastet.
Folgende Kräfte sind bekannt:
F = 20kN
FST = 2kN/m
=20kN
=2kN/m
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
a
b
a/2 a/2
c
F
FST
FAH
FAV FB
FGF
A B
Unter der Annahme, daß die Summe der Momente um einen Drehpunkt null ergibt, kann man folgende Formel aufstellen:
FST · a ist die gesamte
Streckenlast, FG
Sie greift in der Mitte an.
MA = 0FG · a/2 + F · b - FB · a= 0
Jetzt kann man über die Summe der vertikalen Lasten die Auflagerkraft FAV berechnen:
V = 0
FG + F - FB - FAV = 0
FAH = 0, da keine weiteren Horizontalkräfte vorhanden sind.
ENDE
F
FST
FAV FB
A B
=2kN/m
=20kN
a
b
a/2 a/2
c
Berechnen von Momenten und QuerkräftenF = 20kN
FST = 2kN/m
Die Brücke ist 7,00m lang.
Die Kraft F greift im Abstand von 2,00m zu FB an.
Zuerst wird FG berechnet:
FST · a = FG
2kN/m · 7,00m = 14kN
7,00
3,50 3,50
5,00 2,00
FGF =20kN14kN=
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
FG · a/2 + F · b - FB · a = 0
14kN · 3,50m + 20kN · 5,00m - FB · 7,00m = 0
FB = 21,89kN
FB + FAV - FG- F = 0
21,89kN + FAV - 14kN - 20kN = 0
FAV = 12,11kN
=12,11kN =21,89kN
MA = 0
V = 0
a
b
a/2 a/2
c
7,00
3,50 3,50
5,00 2,00
FAV FB
A B
FGF =20kN14kN=
FAV FB
FGF =20kN
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
Um die Querkräfte berechnen zu können, muß man als erstes das System auf die größte Belastung hin untersuchen.
Dies geschieht in diesem Fall im Punkt C, wo die Kraft F = 20kN angreift.
5,00 2,00
7,00
FAV FB
F=20kN
FST=2kN/m²
=12,11kN =21,89kN
F=20kN
CC
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
Das System wird jetzt vor und hinter dem Punkt C geschnitten.
Man kann das System von FAV nach C oder von C nach FB betrachten. Hier wird das System von C nach FB untersucht.
Rechts und links von Punkt C werden die Querkräfte und das Moment berechnet.
5,00 2,00
7,007,00
5,00
C
FST=2kN/m²
FAV FB
F=20kN
=12,71kN =21,89kN
FST = 2kN/m
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
Zuerst wird die Schnittstelle links von C betrachtet.
FST + F - FB - Ql = 0
4kN + 20kN - 21,89kN - Ql = 0
Ql = 2,11kN
5,00 2,01
7,007,00
5,00
FAV FB
F=20kN
FST=2kN/m²
= 6,63kN
C
=21,89kN
Ql
M
FB
FST = 2kN/mFST = 2kN/m
F=20kN
M = 0
v = 0
=2,11kN
FST · 1,00m - FB · 2,00m - MC = 0
4kN · 1,00m - 21,89kN · 2,00m + MC = 0
MC = 39,78kNm
39,78kN=
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
Jetzt wird die Schnittstelle rechts von C betrachtet.
5,00 1,99
7,007,00
5,00
FAV FB
F=60N
FST=2kN/m²
= 6,63kN
C
FST = 2kN/m
FB
FST = 2kN/m
v = 0
FST - FB = 0
4kN - 21,89kN - Qr = 0
Qr = -17,89kN
=21,89kNDas Moment muß hier nicht berechnet werden, da das Ergebnis mit dem von der Vorseite übereinstimmt.
-17,89kN=
F=60N
Qr
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
FAV FB
F=20kN
FST=2kN/m²
=12,11kN =21,89kN
Mit Hilfe der Bilanzregel kann man nun ein Querkraftdiagramm erstellen.
Hier gilt die Regel:“Alles gute kommt von unten.“
Das heißt, alle Kräfte, die von unten angreifen, werden im Kräftekonto addiert und alle Kräfte, die von oben angreifen, werden subtrahiert.
C
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
FAV FB
F=20kN
FST=2kN/m²
=12,11kN =21,89kN
12,11kN
2,11kN
-10kN
Im Auflagerpunkt A greift die Kraft FAV = 12,11kN an. Sie werden also positiv „verbucht“.
Von Punkt A bis Punkt C wird das System mit einer Streckenlast belastet, die 10kN beträgt.
Diese 10kN subtrahiert man jetzt von den 12,11kN, weil die Last von oben angreift und sich negativ auf das System auswirkt.
Das Ergebnis ist 2,11kN, siehe Ql.
Ql = 2,11kN
Qr = -17,89kN
0kN
+12
,11
CA B
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
FAV FB
F=20kN
FST=2kN/m²
=12,71kN =21,89kN
12,11kN
2,11kN
-17,89kN
-21,89kN-4kN
Ql = 2,11kN
Qr = -17,89kN
Da im Punkt C die Kraft F = 20kN von oben angreift, muß sie von Ql = 2,11kN subtrahiert werden.
Als Ergebnis erhält man -17,89kN, siehe Qr.
-20k
N
Das System wird wieder von einer Streckenlast, 4kN.
Man subtrahiert die 4kN von dem vorherigen Ergebnis, -17,89kN, und erhält -21,89kN.
Nun addiert man die Auflagerkraft FB = 21,89kN zu diesem Ergebnis, -21,89kN, hinzu und erhäft wieder 0kN.
0kN 0kN
CA B
+21
,89k
N
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
FAV FB
F=20kN
FST=2kN/m²
=12,71kN =21,89kN
12,11kN
2,11kN
-17,89kN
-21,89kN
Ql = 2,11kN
Qr = -17,89kN
0kN
Es kommt dieses Querkraftdiagramm zustande.
CA B
0kN
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
FAV FB
F=20kN
FST=2kN/m²
=12,71kN =21,89kN
CA B Im Punkt C ist das Moment M = 39,78kNm,
am größten, weil in diesem Punkt ein Vorzeichenwechsel bei den Querkräften stattfindet.
In den Punkten A und B ist das Moment M = 0kNm
0kNm0kNm
39,78kNm
Es ergibt sich folgendes Diagramm, wenn man noch an anderen Stellen des Systems noch die Momente berechnet.
M = 39,78kNm
ENDE
Berechnen von Momenten und Querkräften
12,11kN
2,11kN
-17,89kN
-21,89kN
0kN
0kNm0kNm
39,78kNm
FAV FB
F=20kN
FST=2kN/m²
=12,11kN =21,89kN
CA B Die Ergebnisse noch einmal
zusammengefaßt.
FAV = 12,11kN
FB = 21,89kN
Ql = 2,11kN
Qr = -17,89kN
M = 39,78kNm
ENDE