BINOMNI POUČAK

ZNATI

-  Faktorijela 0! 1 2 ... ,n n n N= ⋅ ⋅ ⋅ ∈  

-  Binomni koeficijenti ( ) ( ) 0

!, , ,

! !

nnn k N k n

k  k n k = ∈ ≤

− 

-  Svojstva binomnih koeficijenata

-  Pascalov trokut

-  Binomni teorem: ( ) ( )0

, , ,n

n n k k 

k 

na b a b a b R n N

k −

=

+ = ∈ ∈∑  

ZADACI ZA VJEŽBU:

1.  Pojednostavnite izraz do kraja:

a) 5! 6!

7! 4!

⋅=

⋅ 

b) 10! 8!

10! 9!

−=

− 

c) ( )

( )

2 !

1 !

n

n

+=

− 

2.  Odredite prirodan broj n tako da vrijede

 jednakosti:

a) ( )

( )

( )

2 ! 1 !

3 ! 1 !

n n

n n

+=

− − 

b)  ( ) ( )4 2n n

=  

c)  ( ) ( )2 2 13 5

1n n

n n−

=−

 

3.  Dokažite identitete:

a)  ( ) ( ) ( ) 36 6

1 2 3n n n

n+ + =  

b)  ( ) ( ) ( ) ( )3

1 7 12 6 11 2 3n n n

n+ + + = +  

c)  ( ) ( ) ( )11 1

n n nk k k 

++ =

+ + 

d)  ( ) ( ) ( ) ( )22 , 2

2 1n n n n

k nk k k k  

++ + = ≤ ≤

− −

 

(Napomena: u d) koristite rezultat od c.)

4.  Odredite racionalne članove u razvoju

binoma: ( )10

5 2− .

5.  Odredite koeficijent uz5

 x  u razvoju

binoma: ( )15

2 x  + .

6.  Odredite 6. član u razvoju binoma:

a)

9

2

2

y  xy 

 x 

−

 

b)

11

3

3

13

3

 x 

 x 

−

.

7.  Koji član po redu ne sadrži7

a u razvoju

binoma:

12

233 2

4 3a a

+

.

 

 

8.  Odredite srednji član razvoja binoma:

a) 

16a

 x  x 

−

 

b) 

6

3 2a a

a

+

.

9.  Odredite onaj član koji ne sadrži x u razvoju

binoma:

153

 x  x 

−

.

10. Odredite slobodan član u razvoju binoma:17

34

23

1a

a

+

.

11. Zbroj koeficijenata prvog, drugog i trećeg

člana u razvoju binoma2 1

n

 x  x 

+

jednak je

46. Odredite onaj član raspisa binoma koji

ne sadrži x.

12. Zbroj svih binomnih koeficijenata u razvoju

binoma4

1n

 x  x 

+

iznosi 1024. Odredite

onaj član koji ne sadrži x.

13. Ako je u razvoju binoma3 3

5 5

n

 x x x 

y x y 

−

 

razlika trećeg i prvog binomnog koeficijenta

za 34 veća od drugog, odredit član koji

sadrži3 5

 x  .

14. U razvoju binoma3

5 3

3

2

n

 x x 

 x  x 

+

odredite

n ako je koeficijent uz treći član za 51 veći

od koeficijenta drugog člana.