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Biologische Physik 1 (Physik für Biologen)EINFÜHRUNG – Was ist Physik, wozu Physik, Messgrößen und Messfehler
MECHANIK – Bewegungen, Kraft, Masse, Arbeit, Energie, Impuls, Drehbewegung, Reibungskräfte
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Zwischen Belebtem und Unbelebtem„Immer wieder haben sich Physik und Biologie in der Vergangenheit getroffen, aber auch wieder voneinander entfernt.
Gerade in den letzten Jahrzehnten sind sie sich zunehmend näher gekommen, so dass eine enge und fruchtbare Zusammenarbeit entstanden ist“.
„Die Physik ist die Wissenschaft der unbelebten Materie. Doch führen physikalische Entdeckungen immer wieder zu Entwicklungsschüben in der Biologie und Medizin, den Wissenschaften vom Leben“.
(aus „Welt der Physik“, DPG)
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LotuseffektMikro- und Nanostrukturierte hydrophobe Oberflächen sind selbstreinigend !
Die Ursache des Effekts liegt in der besonderen Oberflächenstruktur der Pflanzen.
Durch die Oberflächenstruktur der Pflanzen werden gegenüber Wasser riesige Kontaktwinkel erreicht (Superhydrophobie) -nur etwa 2 bis 3 % der Tropfenoberfläche haben Kontakt mit der Oberfläche der Pflanze, so dass das Wasser leicht abperlen kann. Aufliegende Schmutzpartikel werden dadurch mitgerissen und weggespült.
Wassertropfen haben wie alle Flüssigkeiten die Tendenz zur Minimierung ihrer Oberfläche → Oberflächenspannung.
Heute werden mittels Nanotechnologiesuperhydrophobe Beschichtungen etwa für Hochhäuser verwendet.
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Aus Protein erzeugt – elastischer „Biostahl“- Spinnennetz
Fadenstärke – ca. 1 – 3 Mikrometer
Besitzen größere Festigkeit uns sind elastischer als vergleichbare Objekte aus Edelstahl
Druckfestigkeit von Eichenholz – ca. 50N / mm2
Zugfestigkeit von Spinnenseide – ca. 150N / mm2
Hier wirken Kräfte !
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Horizontaler Wurf
Als Schleuderfrüchte werden Früchte bezeichnet, die durch Schleudereinrichtungen ihre Samen in einem weiten Umkreis um dieMutterpflanze verbreiten. Die Samen werden von der reifen Fruchtfortgeschleudert. Der Sumpf-Storchschnabel liegt bei einer Wurfweite von rund 2,50 m. Gegen das Ende der Messlatte liegen Lupine (7,00 m), Stachelbärenklau (9,50 m), Zaubernuss (15,00 m).
-10-9
-8-7
-6-5
-4-3
-2-1
00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Wurfweite (m)
Höh
e (m
)
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Die ersten Mikro- und Nanomotoren wurden von der Natur „gebaut“ - FlagellumRotationsgeschwindigkeiten –einige Hundert bis Tausend Umdrehungen / Minute
„Reise“-Geschwindigkeiten –etwa 20 Mikrometer / Sekunde
Flagellum Rotor: Access Research Network (Art Battson)
Weibel, D.B. et al. (2005): Microoxen: microorganisms to move microscaleloads. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102: 11963–11967
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Physik und ihre AufgabePhysik ist die Wissenschaft von den Naturdingen (gr. - φυσικα), also eine Naturwissenschaft.
Physik beschäftigt sich mit der Beobachtung der unbelebten Natur, obwohl viele Erkenntnisse und Gesetzmäßigkeiten auch in der belebten Natur Anwendungen finden.
Physik führt Konzepte wie etwa Länge, Masse, Zeit oder Temperatur ein und definiert diese über bestimmte Messvorschriften. Diese so genannten Grund- oder Basisgrößen sind von unseren Erfahrungen inspiriert.
Physik ist eine Erfahrungswissenschaft. Sie bezieht ihre Erkenntnisse aus Beobachtungen und einer Interaktion: Experiment – Modell – Simulation – Theorie.
Physik ist eine quantitative Wissenschaft – die Merkmale der beobachteten Vorgänge werden Größen genannt.
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Gründer der klassischen Physik
Galileo Galilei (1564- 1642)
Professor für Mathematik, Physiker
Fall-, Wurf- und Pandelgesetze, Zeitmessung
Astronomische Beobachtungen
Folgerung über die Bewegung der Erde
Isaac Newton (1642-1727)
Professor für Mathematik und Physik, Cambridge
Mechanik (Axiome)
Gravitationsgesetze
Optik
Infinitesimalrechnung
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PhysikPhysik Beobachtung / Erforschung der Natur
Beobachtung / Erforschung der Natur
Sprache der Physik: Mathematische Formulierungen
• Newtonsche (klassische) Mechanik
↔ Differential / IntegralrechnungLineare Algebra
Differential / IntegralrechnungLineare Algebra
↔• EinsteinscheRelativitätstheorie DifferentialgeometrieDifferentialgeometrie
↔ FunktionalanalysisFunktionalanalysis• Quantenmechanik
GruppentheorieTopologie
GruppentheorieTopologie↔• Quantenfeldtheorie
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Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage
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Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage
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Täuschung – Messung ⇔ Objektive AussageKonzentriere Dich auf das Kreuz in der Mitte. Was passiert mit den rosa Punkten ?
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Täuschung - Messung ⇔ Objektive Aussage
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Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage
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MondgrößeDer Mond (Sonne) scheint knapp über dem Horizont wesentlich größer zu sein als im Zenit.
Wesentlich für die korrekte Größen-wahrnehmung eines Gegenstandes ist die ebenso korrekte Information über dessen tatsächliche Entfernung zum Beobachter
Da zwischen Mond am Horizont und Betrachter viel mehr Gegenstände (Bäume, Häuser, etc.) liegen („Tiefeninformation“) als zwischen Mond oben am Himmel und Betrachter, wird die Entfernung fälschlicherweise als größer eingeschätzt, bei größerer Entfernung und gleich großer Abbildung auf der Netzhaut müsste der Gegenstand aber größer sein, und somit wird der Mond oder auch die Sonne am Horizont auch größer wahrgenommen (Größentäuschung).
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Masse → 2 kg; Länge → 7 mMessgrößen
Physikalische Größe → Zahl und (Maß)-Einheit
natürlich: Wellenlänge von Spektrallinien, ... gegeben durch Naturgesetze
Einheit
willkürlich: Armlänge, Äquatorlänge,... gegeben durch Normale
Maßsystem → Menge von Grundgrößen mit Einheiten
Reduzible Größen (Zurückführbar auf Basisgrößen)Grundgrößen
Basisgrößen (Definition willkürlich / natürlich)
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GRUNDGRÖSSEN (7 + 2)
RadiantDer Radiant (rad) - ebener Winkel zwischen zwei Radien eines Kreises, die aus dem Kreisumfang einen Bogen der Länge des Radius ausschneiden.SteradiantDer Steradiant (sr) - räumlicher Winkel, dessen Scheitelpunkt im Mittelpunkt einer Kugel liegt und der aus der Kugeloberfläche eine Fläche gleich der eines Quadrats von der Seitenlänge des Kugelradius ausschneidet.
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Grundgrößen
Si-EinheitGröße Zeiche
n Name Definition
Zeit s Sekunde
1 s ist die Zeit für 9192631770 Perioden einer bestimmten Schwingung des Isotops von Cs-133
Länge m Meter1 m ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in der Zeit von 1/299792458 s zurücklegt
Masse kg Kilo-gramm
Ur-Kilogramm, aufbewahrt imBureau International des Poids et Mesures in Paris Sèvres
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Grundgrößen
Si-EinheitGröße Zeiche
n Name Definition
Strom-stärke A Ampere
Die Stromstärke in zwei parallelen Leitern im Abstand von 1m beträgt 1 A, wenn die Ströme, bezogen auf die Länge 1m, die Kraft 2 .10-7 N aufeinander ausüben
Licht-stärke cd Candela
Lichtstärke, die mono-chrom. Strahlung mit der Frequenz 540 · 1012 Hz mit einer Leistung von 1/683 Watt pro Steradiantaussendet.
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Grundgrößen
Si-EinheitGröße Zeiche
n Name Definition
Tem-peratur K Kelvin
Zwischen dem Nullpunkt der thermodynamischen Temperaturskala (absoluter Nullpunkt) und dem Tripelpunkt des Wassers liegen 273,15 K
Stoff-menge mol Mol
1 mol eines Stoffes enthält so viele Teilchen, wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoff C-12 enthalten sind.
NA = 6,022x1023
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Die 11. Generalkonferenz für Maß und Gewicht hat zwei ergänzende SI-Einheiten festgelegt:
Bogenmaß: φ [ rad] = s / r1 rad = 1 Radiant
Gradmaß: 1 Grad = 1° = (2π /360) rad1 Minute = 1' = 1° /601 Sekunde = 1'' = 1' /60
φ
r
rs∝ r
Kreisumfang = 2π r ⇒ Vollkreis hat 2π rad bzw. 360°Kugelfläche
r
A∝ r2Ω
Raumwinkel: Ω [Sterad] = A/r2
1 sr = 1 Steradiant
Kugelfläche = 4π r2 ⇒ Vollkugel hat 4π sr
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Abgeleitete Größen⇓
mathematische Kombination von Grundgrößen
Dimension: Maßeinheit der abgeleiteten Größe
Beispiel: Geschwindigkeit v = d ( Länge ) / d ( Zeit ) = dx / dt
Dimension: [ ] [ ][ ] sm
sm
ZeitDistanzv 1−===
⇒ Konsistenztests von Gleichungen:
Haben alle Summanden die gleiche Dimension ?
Haben beide Seiten der Gleichung die gleiche Dimension ?
⇒ Konsistenztests von Gleichungen:
Haben alle Summanden die gleiche Dimension ?
Haben beide Seiten der Gleichung die gleiche Dimension ?
Weitere Beispiele:
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Aus Einheiten können Vielfache der Einheiten durch Multiplikation mit Faktoren gewonnen werden.
0.01 m = 10 cm = 10 mm = 10000 µm
0.000000001 m = 1 nm, oder 1 pm = 1.10-12m
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Messgenauigkeit und Messfehler (Genaueres wird vor dem Praktikum angeboten)
Eine Messung beruht auf einem quantitativen Vergleich der Messgröße mit einem Standard (Normal).
Dadurch erhält man einen Informationsgewinn über den Istwert eines Messobjekts.
Jede Messung ist mit einem Fehler behaftet.Beispiel: In einer Flüssigkeit mit suspendierten Teilchen soll die Anzahl pro cm3 bestimmt werden. Dies kann z.B. durch Betrachtung eines kleinen Volumens (Mikroskop) und Auszählung bestimmt werden. Inhalt desVolumens ist 0.0025mm3, oder 2.5 x10-6 cm-3. Die Flüssigkeit enthalte im Mittel 1000000 cm-3.
Im Messvolumen gibt es im Mittel 1000000 x 2.5 x10-6 = 2.5 Teilchen.
Messung A: 2 Teilchen, daraus folgt: 2 Teilchen / Messvolumen = 800000 cm-3
Messung B: 3 Teilchen, daraus folgt: 3 Teilchen /Messvolumen = 1200000 cm-3
Geringe Anzahl von Teilchen → große statistische Schwankung:
AnzahlAnzahlErgebnis ±⇒
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Messgenauigkeit und MessfehlerA: (800000 ± 560000) cm-3, oder 800000 cm-3 ± 70%
B: (1200000 ± 680000) cm-3, oder 1200000 cm-3 ± 57%
Bemerkung: 1. Schlechte Messgenauigkeit, weil zu wenige Teilchen; 2. Ergebnisse annehmbar, weil sich die Fehlerbereiche überschneiden.
Messung = Messwert x ± Fehler σMessung = Messwert x ± Fehler σ
• Übliche Wahl: Fehler = Standardabweichung σ
• : Vertrauensbereich[ ]xx σx,σx +−
Beispiel:Gaußfehler: 68,3% der Messungen innerhalb ±σ31,7% liegen außerhalb!!!
• Fehlertypen: statistisch / systematisch
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Statistische ( bzw. zufällige ) Fehler:
→ Auflösung der Apparatur / Skala
→ Statistische Fluktuation ( z.B. Zerfallsrate )
→ Rauschen ...
Messungen: x1 , x2 , ... , xn jeweils mit Fehler ±σ
Mittelwert: ⇒∑=
=n
1kkx
n1x
nσσ x =
Statistische Fehler sind durch Wiederholung der Messung beliebig reduzierbar
Statistische Fehler sind durch Wiederholung der Messung beliebig reduzierbar
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Beispiele für systematische Fehler:
→ Falscher Nullpunkt der Apparatur
→ Fehlkalibration der Skala
→ Unsicherheiten in Korrektur von Störeffekten
Systematische Fehler sind i.a. nicht durch Wiederholung der Messung reduzierbar
Systematische Fehler sind i.a. nicht durch Wiederholung der Messung reduzierbar
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Skalare Größen (Skalare)• Sie sind durch Zahlenwert und Einheit vollständig definiert. Skalaresind z. B. Zeit (t = 0.8 s), Masse (m = 55 kg), Temperatur (T = 303 K).
• Zahlenwerte sind reelle Zahlen, Temperaturangaben in Kelvin sind Immer positiv
Vektorielle Größen (Vektoren – physikalische Größen mit Richtungssinn)• Sie sind durch Zahlenwert, Einheit und Richtung vollständig definiert. Vektoren sind z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft
• Variablen, die für Vektoren stehen, werden häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet
rr
222 zyxr ++=r ist der Betrag (Länge) eines Vektors
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BezugssystemeGalilei formulierte die umstrittenen Frage, ob sich eine Kugel an Bord eines fahrenden Schiffes in Bewegung oder in Ruhe befinde. Seine Analyse lautete, dass die Beantwortung der Frage von der Position des jeweiligen Beobachters abhängt: ein Beobachter, der sich ebenfalls an Bord des Schiffes befindet, sieht die Kugel in Ruhe, während ein Beobachter am Ufer die Kugel sich zusammen mit dem Schiff bewegen sieht. Die Eigenschaft, in Bewegung zu sein, ist demnach keine, die der Kugel alleine zukommt, sondern hängt von der Wahl des Bezugssystems ab.
Für die Betrachtungen im Rahmen dieser Vorlesung werden wir meistens Erde als Bezugsystem benutzten und annehmen, dass die Erde ruht. Dies ist zwar nicht richtig, für die meisten Überlegungen hier ist es jedoch eine akzeptable Annahme.
3 D Kartesisches Koordinatensystem
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Geschwindigkeit
A.Gleichförmige geradlinige BewegungDiese Bewegung ist gegeben wenn in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden.
t = 0 s
t = 1 s
t = 2 s
X
Y
Z
)2( srr
)0( srr
1sr
∆
2sr∆)1( srr
ts
tttrtrv
∆∆
=−−
=rrr
r
12
12 )()(
[ ] [ ]1−⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= sm
smvr
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Weg-Zeit-Diagramm
tsv
∆∆
=r
r
Graphische Darstellung der Bewegung im Weg – Zeit – Diagramm
Umrechnung zwischen den gebräuchlichen Geschwindigkeitseinheitenm/s und km/h :
1 km/h = 1000m : 3600s = (1 : 3,6) m/s = 0,277 m/s
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Graphische Darstellung der Bewegung im Weg – Zeit – Diagramm
s [m]
t [s]
1
2
3
Fall 2: Gleichförmige Bewegung
Fall 1 und 3: Ungleichförmige Bewegung
A B
C
∆s
∆t
Mittlere Geschwindigkeit:
ABBC
tsvM =
∆∆
=r
r
α
Wir erkennen, dass wir die Geschw. bei ungleichförmiger Bewegung um so genauer angeben können je kleiner Zeiten und Wege gewählt werden. Mit
00 →∆→∆ tundsP
Erhalten wir im Punkt PMomentangeschwindigkeit:
dtsdvr
r=
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Vergleich der mittleren Geschwindigkeiten (Näherung)Objekt GeschwindigkeitSchnecke 0,0008 m/s ≈ 0,003 km/hMaulwurf (Graben) 0,002 m/s ≈ 0,008 km/hMaulwurf (Laufen)1,1 m/s ≈ 4 km/hFußgänger 1,5 m/s = 5,4 km/hBiene 6,5 m/s ≈ 23 km/hBrieftaube 20 m/s = 72 km/hSchwalben 60 m/s ≈ 220 km/hErde (Umlaufbahn) 29.800 m/s ≈ 107.000 km/hLicht (Vakuum) 299.792.458 m/s ≈ 1.080.000.000 km/h
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BeschleunigungÄndert sich die Geschwindigkeit, so wirkt eine Beschleunigung (bzw. Abbremsung). Wenn z.B. ein Skispringer startet ist seine Anfangsgeschw. v1=0 m/s. Am Schanzentisch ist seine Geschwindigkeit v2=28 m/s. Wie groß war seine Beschleunigung ?
tv
tttvtva
∆∆
=−−
=rrr
r
22
12 )()(
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅=
−
2
1
sm
ssma
dtvd
dtva t
rrr
=∆
= →∆ 0lim
Momentanbeschleunigung
Geschw.-Zeit:Diagramm t
v
t1 t2 t3
a>0a<0
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Freier Fall Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Hier wird ein frei fallender Körper immer schneller. Warum ?
Experimente: Fallschnüre, div. Objekte im Vakuum
gatav rrrr=⋅= ;
g =
002
0 00
00
2
2
21)( stvatdtvatvdts
vatadtvadtdv
dtsd
dtdva
dtdsv
t t
t
++=+==
+==⇒=
===
∫ ∫
∫
g
Fundamentalgleichungen der Kinematik
Freier Fall: 2
2tgsgtv ==
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Fallschnüre zur Bestimmung des Fallgesetzes
h1h1
h2h2
h4 h3h3
Kugelnin
gleichemAbstand1:2:3:4
Kugelnjeweils
imAbstand
12:22:32:42
Ergebnis:Ergebnis:Die KugelnSchlagen in
gleichen Zeit-intervallen auf !
2
212
h t
h gt
⇒ ∝
⇒ =
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Zusammensetzung von BewegungenFührt ein Körper mehrere Bewegungen aus, so ergibt sich die Gesamtbewegung durch die Addition der Einzelbewegungen und der Gesamtweg durch die vektorielle Addition der einzelnen Wege, die Gesamtgeschwindigkeit durch die Addition der einzelnen Geschwindigkeiten.
A
B
C = A + B
vB
vF
vB
vFResultierende Geschwindigkeit
http://www.univie.ac.at/future.media/moe/index.htmlhttp://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/index.htm
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Addition und Zerlegung der KräfteTreten mehrere Kräfte auf so muss die Summe der Kräfte durch dievektorielle Addition gebildet werden. Ist die Summe aller in einem Punkt angreifenden Kräfte gleich Null, so herrscht ein Gleichgewicht.
Beispiel:
A
B C
RCPPBA
CBArrrrrr
rrr
=+=+
=++ ?
P
R
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Horizontaler Wurfhorizontal:
tvx 0=0vxt =⇒
vertikal:
2
2tgy = 2
0
2
2 vxg
=
y=1.5m, v0=3m/s: x=1.6m
22 1081.9sm
smg ≈=
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Senkrechter Wurf
20 2
1 gttvs −=
00 =−= gtvdtdsmaximale Höhe:
gvt 0
max =
gvs2
20
max =
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Schräger Wurfαcos0vvx =αsin0vvy =
tvx ⋅= αcos02
0 21sin gttvy −⋅= α
αα 22
2
cos2tan
ovxgxy −⋅=
Wurfhöhe: gvyH 2
sin220 α
=
Wurfweite: gvxW
α2sin20=
α
gvv
gv
vtvx
gvvtvy
yxW
yH
ααα
α
sin2cos2cos2
sin
000max
00max
⋅=⋅=⋅=
⋅=⋅=
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KRAFT und MASSEKonzept einer Kraft:
Kraft ist eine Fähigkeit, etwas zu bewirken. Als physikalischer Begriff bezeichnet Kraft die Fähigkeit die Bewegung eines Körpers zu ändern (Richtungsänderung, Beschleunigung, Abbremsung) oder auch einen Körper zu verformen.
Es gibt viele Arten von Kräften z.B: elastische Kraft, Reibungskraft, Federkraft, elektrische Kraft, Schwerkraft (Gravitation), .....
Auf G. Galilei Erkenntnissen basieren formulierte I. Newton 1668 in „PrincipiaMathematica“ das Trägheitsprinzip (1. Axiom):
Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist.
Eine Änderung dieses Zustandes ist nur durch eine Kraft (Reibung, Gravitation, ..) möglich.
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Einige Beispiele und Überlegungen:
Eishockeypuck erreicht Geschwindigkeiten von über 45 m/s. Reibungsfreie Eisfläche würde eine nie endende Fortbewegung mit sich bringen.
Ein Körper der keiner Wechselwirkung wie Reibung (oder Gravitation) unterliegt, ist etwa im Weltraum vorstellbar - einmal in Bewegung, setzt ein Körper diese geradlinig, mit konstanter Geschwindigkeit fort.
Eine Kraft könnte in solchen Fall die Objekt-geschwindigkeit beeinflussen, z.B. beschleunigen.
Es zeigt sich aber, dass auch wenn externe Einflüsse (z.B. Reibung) fehlten, eine Initiierung der Bewegung eines Körpers von einer internen Eigenschaft des Körpers, von seiner Trägheit, abhängt. Bei großer Trägheit ist diese Initiierung der Bewegung schwieriger, so aber auch die Abbremsung.
Sichtlich ist Trägheit eines Körpers proportional zur Masse.
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Kraft FKraft ist also die Ursache einer Beschleunigung, sie ist auch proportional zu der Beschleunigung. Wieder auf G. Galilei Experimenten aufbauend formulierte I. Newton sein 2. Axiom – das Aktionsprinzip:
Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
[ ] )(11
;;
2 NewtonNsmkgF
gmFamFaF G
=⋅=
⋅=⋅=∝r
rrrrrr
Es gibt eine große Zahl von div. Kräften, sie lassen sich aber in 2 Gruppen einteilen: Kontaktkräfte mit Reichweite von etwa 10-10m (Reibungs-, Stoßkräfte,..) und Fernwirkung (Gravitations-, elektrische und magn. Kräfte)
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Die Beobachtung, dass Kräfte immer bei Wechselwirkungen auftreten, bedeutet auch dass zu jeder Kraft eine Gegenkraft existieren muss. Die hat Sir Isaac Newton folgendermaßen formuliert:
Das ReaktionsprinzipKräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).
ABBA FF →→ −=rr
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Beobachtung von G. Galilei:Eisen- und Holzkugel mit dem gleichen Durchmesser geworfen von Turm in Pisa erreichen den Boden gleichzeitig. Warum ?
Schwerkraft• Bekannteste Kraft auf unserem Planeten
• Frei fallender Körper führt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus mit der konstanten Beschleunigung g=9.81 m/s2.
• Die Beschleunigung ist durch die Schwerkraft hervorgerufen.
• Die Schwerkraft steht normal auf die Erdoberfläche
• Eine Masse von 1 kg wird von der Erde mit der Kraft von 9.81 N angezogen.
• Diese Kraft wird auch Gewicht genannt.
gmFGrr
⋅=
50 m
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Newton‘sche Erklärung:Schwerere Gegenstände haben auch größere Trägheit. Die Eisenkugel wird von der Erde mit etwa 10-facher Kraft im Vergleich zu der Holzkugel angezogen, aber ihre Trägheit ist auch 10 mal so groß.Also Trägheit und Gewicht sind beide proportional zu Masse. Wodurch unterscheiden sich dann diese beiden Eigenschaften der Masse ?
Die Trägheit ist eine inhärente Eigenschaft der Masse, das Gewicht ist von der Gravitationskraft (Schwerkraft) abhängig. Ein Mensch mit 100 kg (Erde) würde auf dem Mond nur etwa 17 kg wiegen.
17 kg !!100 kg ??
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GRAVITATIONSGESETZ
Das newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass sich die Gravitationskraft F, mit der sich zwei Massen m und M anziehen, proportional zu den Massen beider Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r der Massenschwerpunkte verhält:
Die Gravitationskonstante, meist durch das Formelzeichen G dargestellt, ist eine von Isaac Newton eingeführte Universalkonstante, die beibekanntem Abstand zweier, massiver Objekte deren gegenseitigeMassenanziehungskraft bestimmt.
Danach ist die Gravitationskraft eine Wechselwirkung - nach dem dritten newtonschen Axiom wirkt die Kraft sowohl auf die erste als auch auf die zweite Masse, aber jeweils in der entgegengesetzter Richtung.
2rMmGF ⋅
⋅=
2
3111067.6
skgmG
⋅⋅≈ −
↓↑⇒ Fr
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Gravitationskonstante G - Streuung der Messwerte
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Die Gravitationskonstante G führt über das Gravitationsgesetz zurMasse M und zur mittleren Dichte ρ des jeweiligen Körpers (z. B. derErde), sofern der mittlere Radius und die Oberflächenbeschleunigungg bekannt sind:
RE
E
E
RGg
VMmg
RMmG
⋅⋅=
==
πρ
ρ
43
;2
33105.5
mkg
E ⋅≈ρ
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Kräftezerlegung auf der schiefen Ebene
FDFG
FT
fz
ff
Eine schiefe Ebene ist eine ebeneFläche, die gegen die Horizontalegeneigt ist. Sie wird z.B. verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern.Die Gewichtskraft FG einer Masse, die sich auf einer Schiefen Ebene befindet, wird in zwei Komponenten zerlegt, die FTparallel zur Oberfläche der schiefen Ebene und die FD normal zur Oberfläche. Da die Normalkraft bereits von der schiefen Ebene selbst getragen wird, muss, um die Masse im Gleichgewicht zu halten, lediglich die treibende Kraft FTausgeglichen werden.
αα
cossin
⋅=⋅=
GD
GT
FFFF
α
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ARBEIT, ENERGIE UND LEISTUNG
Begriff „Arbeit“ ist im allgemeinen für körperliche oder Geistige Aktivität benutzt. Wir sehen uns zunächst den einfachsten Fall der mechanischen Arbeit.
Mechanische Arbeit W wird verrichtet wenn ein Körper entgegengesetzt zu einer wirkenden Kraft bewegt wird.
Also in diesem Fall gilt:
).(...
cos
hundFzwWinkel
hFhFWrr
rrrr
α
α⋅⋅=⋅=ARBEIT = KRAFT * WEG
[ ] [ ] [ ] [ ]JmNmsmkgW 112 =⋅=⋅⋅⋅= −
Welche Fähigkeit hat nun ein auf die Höhe h gehobener Körper ?
gmFG ⋅=
gmFG ⋅=
FFG =
h
m
m
[ ] JouleJ 11 ⇒
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hgmhFE Gpot ⋅⋅=⋅=
Der Körper hat nun das Potenzial Arbeit zu verrichten, er besitzt eine potenzielle Energie:
Da in Ruhe keine Arbeit geleistet werden kann, kann der Körper beim Runterfallen von der Höhe h die aufgewendete Arbeit abgeben. Jetzt wird aber die potenzielle Energie in Bewegungsenergie, kinetische Energie, umgewandelt:
tgvweiltggmW
tgshundhgmhFW G
⋅=⋅⋅⋅=
⋅==⋅⋅=⋅=
2
2
)(21
2
2
21 vmEkin ⋅=
Die kinetische Energie wird beim Auftreffen wieder Umgewandelt in andere Energieformen, z.B. Wärme, Deformation. Die Einheit [J] bleibt gleich.
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Die Arbeit kann in einem Kraft – Weg Diagrammdargestellt werden. Sie ergibt die Fläche eines Rechtecks mit den Seiten: mg und h.
Zur Überwindung der Höhe h kann auch eine schiefe Ebene verwendet werden. Die Hubarbeit ist nun entlang eines längeren Weges s=h / cosϕzu leisten. Weg [m]
F [N]
W = F • h
Arbeit = Skalarprodukt des Kraftvektors mit dem Vektor der Verschiebung
α
ϕ
s
h
FG
FF
S=F •cos ϕ
sFsFW rr⋅=⋅⋅= ϕcos
Fr
sr
Beispiel:Heben einer Masse von 10 kg um 3 m erfordert eine Arbeit von 10 kg⋅10 m/s2 ⋅3 m = 300 J.
Verschieben einer Masse von 10 kg um 3 m auf der schiefen Ebene mit einer Neigung von 30° erfordert eine Arbeit von mg⋅s⋅cos60° = 150 J.
Höhengewinn = 3m⋅ cos60° = 1.5 m
∫∫ ⋅==⋅=hh
hFdsFdsFW00
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Beispiel:
Arbeit zur Beschleunigung eines Wales von 100 t von Ruhe auf 8 m / s:
kJJsmkgmvW 320032000002
81000002
2222
==⋅
==−
Täglich vom Menschen aufgenommene Energie (Nahrung) ~ 10000 kJ. Bei einem Wirkungsgrad von 32% (d.h. 32% der Nahrungsenergie stehen für diese Arbeit zur Verfügung) könnte der Wal einmal pro Tag auf 8 m / s beschleunigt werden.
Bei Körperlicher Tätigkeit merkt man, dass bei gleicher Arbeit die Ermüdung umso schneller eintritt, je kürzer die Zeit in der die Arbeit verrichtet wurde. Man hat unterschiedliche Leistungen vollbracht.
Dies hilft uns die Leistung zu definieren:Zeit
ArbeiteverrichtetLeistung =
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
sJP
tWP 1;
MJJsWkWh 6,3106,3360010001 6 =⋅=⋅=
Aus dieser Definition kann der bekannte Begriff der Kilowattstunde (kWh) ermittelt werden. Leistung mal Zeit = Energie.
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ERHALTUNGSSÄTZEUnter einer Erhaltungsgröße versteht man eine Größe, die für die an einer Wechselwirkung beteiligten Teilchen vor und nach der Reaktion gleich ist (also erhalten bleibt). Eine der bekanntesten Erhaltungsgrößen der Physik ist die Energie. Zu jeder Erhaltungsgröße gehört ein Erhaltungssatz, in dem formuliert wird, welche Größe unter welchen Bedingungen erhalten bleibt.
Beispiel:
Fadenpendel – periodische Umwandlung von potenzieller in kinetische Energie und umgekehrt, bei gleichzeitiger Erhaltung der Gesamtenergie
kinges EE =
potges EE =h
1 3
2 ..
2
:32
:2
:1
EndzusttAnfangszus
potges
kinges
potges
WW
mghWW
mvWW
mghWW
=
==
==
==
v
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Für viele physikalische Größen gelten Erhaltungssätze. Ein Erhaltungssatz für eine Größe X bezieht sich stets auf ein System, welches für diese Größe nach außen abgeschlossen ist. Für eine andere Größe kann das System offen sein.
x
y
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IMPULS (Physik)
Bewegt sich ein Körper der Masse m mit einer Geschwindigkeit v, so kann dies durch eine Größe, den Impuls, beschrieben werden. Jeder bewegte Körper trägt einen Impuls, den er bei Stößen oder durch Kraftwirkungen ganz oder teilweise auf andere Körper übertragen kann.
Der Impuls ist definiert als Produkt der Masse m eines Körpers und dessen Geschwindigkeit. Impuls und Geschwindigkeit sind Vektoren:
In der Umgangssprache bedeutet der Impuls einen Antrieb etwas zu tun, in Angriff zu nehmen oder zu unternehmen.
IMPULS
tavamFdtsdmvmp ⋅=⋅=⋅=⋅=
rrrr
rr
tmFtav
1
111 == t
mFtav
2
222 ==
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[ ]
0:
1
2121
21
2211
1
=+−=−=
⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= −
ppoderppFFgiltes
tFvmundtFvmsmkgpvmp
rrrr
rr
rr
rrr
Impuls, Kraft und Geschwindigkeit sind Vektoren und weisen in die gleiche Richtung.Impulserhaltungssatz:
Für jedes abgeschlossene System bleibt der Gesamtimpuls konstant
?
?*
2
*1
=
=
v
v
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Zweidimensionaler Stoß gleicher Massen
2''
12''
1
2''
12
2'2'
12
1
'2
'11
2
2'2
1
2'1
1
21'
2'
11
21
0
:)()()(2)()(
)(
)(222
paufsenkrechtppp
mußgeltenbundadamitbppppp
quadrierenppp
am
pm
pmpEEE
mmm
rrrr
rr
rrr
⇒=⋅
⋅++=
→+=
+==+=
==
θ
θ …Streuwinkel
ϕ
Warum ist (θ +ϕ )=90° ?
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Wenn sich ein Körper (Massenpunkt) mit der Masse m translatorischmit der Geschwindigkeit v bewegt, so beschreibt man den Impuls als:
vmp rr⋅= Einheit: 1N · s oder 1kg · m · s-1
Durch eine Umformulierung des II. Newton´schen Axioms erhalten wir:
tp
tvm
tvmamF
dd
d)(d
dd rrr
rr=
⋅=⋅=⋅=
Die Kraft F, die auf die Masse m wirkt, ist gleich der Impulsänderungpro Zeiteinheit.
Die Größe: wird als Kraftstoß bezeichnet.pddtF rr=⋅
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Energieumsatz im menschlichen KörperUm den Energieumsatz für ein ganzes Lebewesen zu analysieren, also die Energie, die z. B. ein Mensch oder ein Tier benötigt, müssen einzelnen Individuen einer Population bezüglich ihres Energiebedarfs je nach Alter, Geschlecht, Gesundheitszustand, körperlicher Leistung oder umgebendem Klima bewertet werden.
Biologische Organismen sind keine geschlossenen Systeme. Es findet ständiger Stoff und Energieaustausch mit der Umgebung statt. Es stellt sich dabei ein sog. Fließgleichgewicht ein. Dieses Gleichgewicht ist nur bei ausreichender Energiezufuhr von Außen, je nach abgegebener Arbeit, oder Leistung möglich.
Im Mittel nimmt der Mensch 9630 kJ /Tag = 2300 kcal /Tag auf. Das entspricht einer Leistung von 110 W. Die Energie wird als potenzielle Energie auf der molekularen Ebene zur Verfügung gestellt.
Bei der Umsetzung der Energie können bis etwa 30% als mechanische Arbeit freigesetzt werden.
Nahrung Energie kJ / g Kohlehydrate 19
Fett 42Alkohol 34
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Fr
Fr
−
DREHBEWEGUNG
Fr
Fr
−Keine Drehung Drehung gegen Uhrzeigersinn
Fr
rr Das DrehmomentDrehung wird stärker mit zunehmender Kraft F.
Drehung wird stärker wenn der Hebelarm rvergrößert wird.
Wir definieren: Drehmoment M = Hebelarm r • Kraft F
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1Fr
rr
2Fr
Fr
α
α
Die wirkende Kraft F kann in 2 Komponenten zerlegt werden. Nur die F1 Komponente erzeugt ein Drehmoment M !!
αsin1 ⋅⋅=⋅= FrFrMHebelarm r und Kraft F sind offenbar Vektoren. Auch das Drehmoment M ist ein Vektor. M hängt nicht nur vom Betrag , sondern auch von der Richtung der Kraft F ab. So müssen r und F als Vektorprodukt ausgedrückt werden !!!
[ ] )!(1 JoulenichtNmMFrM =×=rrr
VEKTORPRODUKT:* Das Ergebnis ist ein Vektor, mit Richtung senkrecht zu den beiden Ausgangsvektoren * Der Betrag des Ergebnis-Vektors entspricht der von den Ausgangsvektoren aufgespannten Fläche
* Betrag: „Produkt der Beträge beider Vektoren und dem Sinus des Winkels zwischen den Vektoren“
Fr
rr
Mr
α
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Hebelgesetz2211 FrFr ⋅=⋅
Obiges gilt nur, wenn die Kräfte im Winkel von 90° angreifen. Ist der Winkel verschieden von 90°, so müssen die Kräfte in die einzelnen Komponenten zerlegt werden, und nur die Komponente, die rechtwinklig vom jeweiligen Arm wegzeigt, geht in die Rechnung ein.
Ein Hebel ist einer der wichtigsten Kraftwandler. Er dient, wie alle mechanischen Maschinen dazu, Arbeit zu erleichtern, nicht zu sparen. Denn die zu leistende Arbeit bleibt nach der Formel: Arbeit = Kraft . Weg
Das heißt, eingesparte Kraft geht auf Kosten des Weges, die zu leistendeArbeit wird keineswegs weniger.
22 Fr ⋅11 Fr ⋅ =
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Beispiel:Mit welcher Kraft muss der Muskel ziehen um eine Masse von 2 kg halten zu können ? L1=3 cm und L2=30 cm.
Ann.1.: Muskelkraft normal auf d. Unterarm.
Ann.2.:Muskelkraft unter 60° auf d. Unterarm
Die Masse m erzeugt ein Drehmoment:
Nmskg 20102 2 =⋅ −
Nm
NmF
NmmNM
23160sin03.0
663.020
1 =°⋅
=
=⋅=
Nm
NmF
NmmNM
20003.0
663.020
1 ==
=⋅=1
2
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ωUnter der Winkelgeschwindigkeit versteht man die zeitliche Änderung des Drehwinkels bei einer Rotation:
Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell etwas rotiert. Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig von der Entfernung von der Drehachse.
Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist rad/s bzw. 1/s.
dtdtfür
tϕωϕω =→∆
∆∆
= 0
ϕTvr
ϕ
b=∆s=r. ∆ϕ
b vT
ωϕ⋅=
∆∆
⋅=∆∆
= rt
rtsvT
Drehung um eine Achse – Winkelgeschwindigkeit
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KreisbewegungBei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt für Zeitintervalle ∆t: t∆⋅=∆ ωϕ
T sei die Zeitdauer für einen vollen Umlauf des Massenpunktes P auf einer Kreisbahn, d.h. Vektor r durchläuft einen Winkel 360o (bzw. 2π im Bogenmaß), dann gilt: T
t∆=
∆πϕ
2
[ ]12 −= sTπωDamit ergibt sich für die Winkelgeschwindigeit:
Winkelgeschwindigkeit ω auch als Kreisfrequenz bezeichnet: νπω ⋅= 2
Ändert sich ω in der Zeiteinheit ∆t (ungleichförmige Rotationsbewegung) Winkelbeschleunigung α = ∆ω /∆t [rad.s-2]
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Beispiel:
Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit bei gleichförmiger Rotation von 3000 Upm ?
110060
23000 −=⋅
= ss
ππω
Eine Schiebe mit dem Durchmesser von 23 cm rotiert mit 7000 Upm. Wie groß ist die Tangentialgeschwindigkeit am Rande ?
11
1
3,84733115.0
73360
27000
−−
−
=⋅=
⋅=
=⋅
=
mssmvrv
ss
ω
πω v =?
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Beispiel: Gleichförmige Rotationsbewegung
Winkelgeschwindigkeit der Erde um ihre Achse. Periode T = 24 h
Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde ?
Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Äquator ?
Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Nordpol ?
Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit in Wien ?
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Beschleunigung bei Drehbewegungen
v1
v0vx
Bewegung auf einer Kreisbahn, auch mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ist eine beschleunigte Bewegung. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist zwar konstant, aber ihre Richtung ändert sich. Jede Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors ist mit einer Beschleunigung verbunden.
∆ϕ
v0
v1∆v∆ϕ
P
Richtung der Bahngeschwindigkeit v ist in jedem Punkt P tangential zum Kreis.
tr
tr
tsv
tt ∆∆
⋅=∆∆⋅
=∆∆
=→∆→∆→∆
ϕϕ000t
limlimlim ω⋅=⇒ rvVerantwortlich für die Änderung der Geschwindigkeitsrichtung ist die Beschleunigung aZ = const. Sie wirkt senkrecht zur Bahngeschwindigkeit Zentripetalbeschleunigung, deren Betrag lautet:
22
Z ωω ⋅==⋅= rrvva
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r
F
ω = 2πf
z
Beispiel: Zentrifuge
2ω⋅⋅=⋅= rmamF ZZ
Für die Beschreibung als Auftrieb wird Schwerkraft durch Zentrifugalkraft ersetzt.
Beschleunigung g
Dichteschichtung oder Sedimentation
ρ
9,81 m/s2
rω2Beispiel: 100 Umdrehungen pro smit 0,1 m Radius
(2π⋅100)2 ⋅ 0,1 m/s2 = 40.000m/s2
ρ
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TRÄGHEITSMOMENTZwei Zylinder haben die gleiche Masse, trotzdem beschleunigt der Hohlzylinderlangsamer als der Vollzylinder. Warum ?
Bei einem rotierenden Körper hat jeder Teil eine bestimmte Momentan-geschwindigkeit. Jede bewegte Masse hat eine kin. Energie, daher besitzt ein rotierender Körper die Rotationsenergie. Um diese Energie bestimmen zu können, denken wir den Körper in Massen-elemente dmi zerlegt. Im Abstand ri von der Rotationsachse hat jedes dmi eine Geschwindigkeit:
Rotationachse
dd ω⋅= ii rv
Seine kinetische Energie beträgt:
22
222 ω⋅⋅∆=
⋅∆=∆ iiii
krmvmE
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Die gesamte Energie der Rotation ergibt sich durch die Summation(Integration) aller Beiträge:
222
22
222 IrmrmE ii
ii
iir
⋅=⋅⋅=
⋅⋅∆= ∑∑ ωωω
Trägheitsmoment
Beispiele für div. Trägheitsmomente:
2
32 mRIHK =
2mRIHZ =
2
21 mRIVZ =
2
52 mRIVK =
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Drehimpuls
Definition des Drehimpulses:
ωrr
⋅= IJDer Drehimpuls ist in einem abgeschlossenem System konstant (Drehimpulserhaltung)
kleinωr
großωr
großIkleinI
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002
0 00
00
21)( stvatdtvatvdts
vatadtvadtdv
t t
t
++=+==
+==⇒=
∫ ∫
∫
Körper 1 (für max. Höhe gilt: v1=0)
v0
v0
h ?
1
2g
vHhgvt
gtvvundgttvs
2
21
20
max0
max
012
01
==⇒=
−=−=
Beispiel: Von der Erdoberfläche wird ein Körper 1 vertikal mit der Geschwindigkeit v0 geworfen. Simultan wird in der Höhe H ein Körper 2 mit der selben Anfangsgeschwindigkeit v0hinunter geworfen. Höhe H=hMAXist die maximale Wurfhöhe. In welcher Zeit und Höhe treffen sich die Körper ?
Für Körper 2 gilt: gtvvundgttvs +=+= 022
02 21
tvgttvgttvHss 02
02
021 221
21
=++−⇒=+Treffpunkt:
Zugleich gilt:g
vttvg
vss Treff 42
20
0
20
21 =⇒==+
gv
gvg
gvvgttvs
327
421
421 2
02
000
201 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅=−=
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Gegenüberstellung zwischen
Translationsbewegung und Rotation
Weg s Winkel ϕ
Geschwindigkeit v=ds/dt Winkelgeschw. ω=dϕ/dtBeschleunigung a=dv/dt Winkelbeschl. α=dω/dtKinetische Energie
EKIN=mv2/2 Rotationsenergie ER=Iω2/2
Masse m Trägheitsmoment IKraft F=m.a Drehmoment M=I.αImpuls p=m.v Drehimpuls J=I.ω
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ReibungskräfteBis jetzt haben wir stets Reibungskräfte vernachlässigt. Bei der Betrachtung der Kräfte spielt aber die Reibung eine wichtige Rolle.
Verschiebt man Körper gegeneinander, so werden, unabhängig vom vorliegenden Aggregatzustand, Reibungskräfte wirksam.Äußere und innere Reibungäußere: Reibung zwischen den Außenflächen fester Körperinnere: Fluidreibung, d.h. Reibung zwischen Fluidteilchen
(Zähigkeit / Viskosität)Zwischen den Berührungsflächenzweier Körper treten Reibungskräfte auf. Sie sind der Bewegungsrichtung stets entgegengesetzt.
vFR
FFN
-FN
Mikrostruktur der Oberflächen
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Haftreibung
reale, rauhe OberflächeFr
GN FFrr
= NrR FF ⋅= µ
Experimenteller Test von FR = µR·FN
RFF >
NFr
RFF >
NFr
NF2r
NF2F >
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Messung von µR
Gleitreibung
reale, rauhe Oberflächevr
GN FFrr
=
GFr
αR
m
gmr
RFr
NFr
αR
αR = Winkel beim Losrutschen
αR = Winkel beim Losrutschen
RG FFrr
<
NG FF ⋅= µ
N
R
FF
=αtan
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Vergleich der Reibungskräfte
v = 0
FR
F
FN = FG
FG
F
FN = FG
v
Haftreibungskraft (FR)
FR = µr • FN
Haftreibungszahl
Gleitreibungskraft (FR)
FG = µ • FN
Gleitreibungszahl
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Reibungskoeffizienten einiger StoffpaareMaterial Haftreibungszahl Gleitreibungszahl
trocken geschmiert trocken geschmiert
Gummi- Beton 0.65 0.3 0.25 0.1
Stahl- Stahl 0.18 0.10 0.05 0.009
Stahl- Holz 0.5 0.1 0.3 0.02
Knochen- Knochen 0.3 0.003*
*geschmiert durch die Synovialflüssigkeit