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BIOMECÂNICABIOMECÂNICATrigonometria e álgebra vetorialTrigonometria e álgebra vetorial
Carlos Bolli MotaCarlos Bolli [email protected]@gmail.com
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
Laboratório de Biomecânica
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SUMÁRIOSUMÁRIO
TRIGONOMETRIA
VETORES
ÁLGEBRA VETORIALÁLGEBRA VETORIAL
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
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TrigonometriaTrigonometria
As relações trigonométricas fundamentam-se nas relações existentes entre os lados e os ângulos de triângulos. Muitas funções derivam do triângulo retângulo – um triângulo que possui um ângulo reto.
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Considere o triângulo abaixo:
Os dois lados que formam o ângulo reto (A e B) são os catetos e o lado C, oposto ao ângulo reto, é a hipotenusa.
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Uma das relações trigonométricas mais usadas é o Teorema de Pitágoras. Este teorema é uma expressão da relação existente entre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo. Seu enunciado é:
“O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos
catetos.”
C2 = A2 + B2
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Funções trigonométricas Funções trigonométricas diretasdiretas
As funções trigonométricas diretas – seno, cosseno e tangente – fundamentam-se nas relações entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.
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O seno (abrevia-se sen) de um ângulo é definido como a relação entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa. Para o triângulo da figura tem-se:
C
A
hipotenusa
oposto catetosen
C
B
hipotenusa
oposto catetosen
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O cosseno (abrevia-se cos) de um ângulo é definido como a relação entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa. Para o triângulo da figura tem-se:
C
B
hipotenusa
adjacente catetocos
C
A
hipotenusa
adjacente catetocos
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A tangente (abrevia-se tan) de um ângulo é definido como a relação entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele. Para o triângulo da figura tem-se:
B
A
adjacente cateto
oposto catetotan
A
B
adjacente cateto
oposto catetotan
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Álgebra vetorialÁlgebra vetorial
Grandezas escalares
Grandezas vetoriaisGrandezas vetoriais
VetoresVetores
Decomposição de vetoresDecomposição de vetores
Adição de vetoresAdição de vetores
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Grandezas escalares
São grandezas que ficam perfeitamente definidas por um número, que exprime sua medida, seguido da unidade empregada.
Exemplos: massa, comprimento, tempo
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Grandezas vetoriais
São grandezas que para serem perfeitamente definidas é necessário que sejam indicados, além do seu valor numérico e da unidade empregada, a direção e o sentido em que elas atuam. Para isto são usados os vetores.
Exemplos: força, velocidade, aceleração
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Vetores
Vetores são segmentos de reta orientados usados para representar grandezas vetoriais. Um vetor possui intensidade ou módulo, direção e sentido.
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Intensidade ou módulo: É o número que indica quantas vezes a grandeza vetorial considerada contém determinada unidade. Graficamente é o comprimento do vetor.
Direção: É o ângulo que o vetor forma com um eixo de referência.
Sentido: É a orientação do vetor sobre sua direção. Para cada direção existem dois sentidos, indicados por um sinal (positivo ou negativo). Graficamente, o sentido é dado pela extremidade da seta que representa o vetror.
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Decomposição de vetores
Decompor um vetor significa encontrar dois ou mais vetores (componentes) que juntos tenham o mesmo efeito do vetor original. O caso de maior interesse é a decomposição de um vetor em dois componentes ortogonais.
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Decomposição de vetores
senθvv
θcosvv
y
x
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Composição de vetores - mesma direção
cba vvvv
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Composição de vetores - ortogonais
a
b2b
2a v
vtan vvv
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Composição de vetores - não ortogonais
cosvv2vvv ba2
b2
a
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ExercíciosExercícios
Calcular o módulo da força resultante (R) sobre o tendão de Aquiles, sabendo que as forças das porções lateral (L) e medial (M) do gastrocnêmio são iguais a 30 kgf e a 25 kgf respectivamente. O ângulo entre elas é igual a 50 graus.
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Sendo a força muscular (H) igual a 80 kgf e o ângulo de inserção do músculo () igual a 40º, calcular o valor das componentes T e S, perpendiculares entre si.
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Determinar a intensidade e a direção da resultante do Determinar a intensidade e a direção da resultante do sistema de forças sendo Fsistema de forças sendo F11 = 10 N, F = 10 N, F22 = 20 N, = 20 N,
FF33 = 80 N, F = 80 N, F44 = 80 N, = 80 N, 11 = 45º, = 45º, 22 = 60º, = 60º, 33 = 30º e = 30º e
44 = 45º. = 45º.