Download - Bismo yuswan-matematika teknik-kimia
MATEMATIKA MATEMATIKA TEKNIK KIMIATEKNIK KIMIA
Dr. Ir. Setijo Bismo, D.E.A.
Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.
SILABUS
Pendahuluan Formulasi problem fisikokimia Teknik penyelesaian model persamaan
diferensial biasa (PDB) Teknik penyelesaian model persamaan
diferensial parsial (PDP)
REFERENSI
Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers, Rice, 1995
Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Applications, Constantinides, 1999.
Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2nd Edition, Hoffman, 2001
Applied Numerical Methods Using Matlab, Yang, 2005
Numerical Analysis Using MATLAB and Spreadsheets.2ed Ed, Karris, 2004
EVALUASI
UTS = 20 % UAS = 30 % Tugas = 30 % Proyek = 20 %
PENDAHULUANPENDAHULUAN
Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.Departemen Teknik Kimia
Fakultas Teknk
Universitas Indonesia
DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI)
“Sebuah objek M (benda, sistem fisika atau kimia, atau proses) adalah model apabila terdapat analogi antara objek M dan objek lain O sehingga kesimpulan mengenai O dapat dibuat”.
DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI)
Model M Representasi objek O; Taksiran objek O yang diisolasi dari seluruh
realitas, Menggambarkan kenyataan atau bagian dari
kenyataan. Dapat disederhanakan menjadi bagian dari
kenyataan jika perlu kesimpulan tertentu saja.
DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI)
Keterbatasan analogi model M dan objek O Keterbatasan kesesuaian fungsi, Keterbatasan lesesuaian struktur dan perilaku, Keterbatasan akurasi.
Model M dan objek O boleh berbeda skala. Hasil model bagus apabila variabel dan
fenomena pentingnya direpresentasikan secara benar dalam konteks atau investagi tertentu.
DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI)
Analogi antara model M dan objek O dapat dibuat dalam bentuk persamaan matematis.
Model matematis menggambarkan seperangkat persamaan aljabar dan/atau diferensial dan/atau integral yang digunakan untuk menjelaskan perilaku objek O.
TUGAS CHEMICAL ENGINEER
Mengoperasikan dan mengoptimalkan proses yang ada;
Merancang pabrik baru dan memodifikasi pabrik yang ada.
APLIKASI MODEL MATEMATIS DI INDUSTRI KIMIA
Percobaan Simulasi Analisis sensitivitas Kendali dan operasi Optimisasi Eksplorasi
KETERBATASAN MODEL MATEMATIS
1. Jenis, jumlah serta keakuratan data;
2. Perkakas matematis;
3. Interpretasi hasil model.
INTERPRETASI HASIL MODEL
PENYUSUNAN DAN PENYUSUNAN DAN KLASIFIKASI MODELKLASIFIKASI MODEL
Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.Departemen Teknik Kimia
Fakultas Teknk
Universitas Indonesia
PENYUSUNAN MODEL MATEMATIKA
Penyusunan model matematika adalah pengesetan seperangkat persamaan matematika.
Persamaan matematika adalah hubungan antara variabel proses.
TAHAP-TAHAP PEMODELAN
1. Formulasi persoalan, pengumpulan objektif dan kriteria keputusan;
2. Pengamatan terhadap proses dan klasifikasinya untuk membagi proses menjadi beberapa subsistem (elemen proses);
3. Penentuan hubungan antara subsistem;
4. Analisis variabel dan hubungan antar variabel pada setiap elemen proses;
TAHAP-TAHAP PEMODELAN
5. Pembentukan persamaan matematika dengan menggunakan variabel dan parameter; Pengumpulan data;
6. Pengamatan representasi proses oleh model; perbandingan hasil simulasi dengan data proses nyata;
7. Instalasi model; interpretasi dan pemeriksaan hasil.
TAHAP-TAHAP PEMODELAN
8. Analisis sensitivitas model untuk mengidentifikasi parameter yang berpengaruh kuat dan lemah terhadap respons model;
9. Penyederhanaan model.
10. Tahap 4 – 9 diulang, sampai interpretasi hasil model sesuai dengan kriteria objektif dan solusi yang diharapkan.
KEGUNAAN MODEL
Untuk memformulasikan fenomena fisika dan fisikokimia, yaitu perpindahan panas, perpindahan massa dan perpindahan momentum, serta reaksi kimia di dalam sistem homogen dan heterogen.
Untuk mendesain operasi perpindahan massa, menghitung penukar panas, merekayasa reaksi kimia, dan mengendalikan proses.
KLASIFIKASI MODEL MATEMATIKA
MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA
Digunakan untuk memformulasi fenomena perpindahan.
Proses dibagi menjadi sejumlah elemen proses yang dijelaskan dengan hukum kekekalan massa, momentum, dan energi.
MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA
Model deterministik atau elemen model: Nilai atau seperangkat nilai setiap variabel atau parameter
model pada kondisi tertentu telah ditentukan. Model statistik atau elemen model statistik
Variabel dan parameter model merupakan besaran statistik, berupa probabilitas atau momen dari fungsi densitas probabilitas.
Misalnya Jika fungsi densitas probabilitas P(Y ) berlaku untuk
variabel statistik Y, maka P(Y) dY adalah probabilitas variabel tersebut yang berada dalam rentang dY di sekitar Y.
MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA
Klasifikasi berdasarkan jenis persamaan
Tingkat kesulitan metode penyelesaian berkurang dari kanan ke kiri.
MODEL PDF Model berbasis persamaan transport dalam bentuk fungsional
P(1, . . . , n). Probabilitas menemukan variabel terikat (1, . . . , n) dalam
rentang d1, . . . , dn di sekitar fungsi 1(x, t), . . ., n(x, t) adalah P(1, . . . , n)d1, . . . , dn.
Memberi informasi statistik proses statistik. Memberi fungsi distribusi variabel proses. Contoh:
mekanika statistik, teori kinetik gas, campuran makro dalam distribusi waktu tinggal, distribusi ukuran kristal, distribusi aktivitas pada pelet katalis, dan distribusi umur dan ukuran biakan mikrobiologi.
MODEL EMPIRISMODEL EMPIRIS Korelasi respons proses terhadap perubahan satu
atau beberapa variabel proses. Contoh:
Fitting polinomial pada data eksperimen, respons proses pada pengendalian proses dalam bentuk fungsi transfer pada domain waktu atau frekuensi.
Merupakan model statistik karena data diperoleh secara eksperimen dan berisi kesalahan statistik.
Memiliki makna terbatas dalam menjelaskan proses atau elemen proses; Misal: prediksi berada di luar rentang percobaan.
MODEL BERDASARKAN MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIAPRINSIP FISIKOKIMIA
Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.Departemen Teknik Kimia
Fakultas Teknik
Universitas Indonesia
ILUSTRASI PROSES PEMODELANILUSTRASI PROSES PEMODELAN
Proses pendinginan fluida yang mengalir di dalam pipa berpenampang lingkaran. Dimulai dengan model yang paling sederhana. Menambah tingkat kesulitan untuk meningkatkan
keakuratan.
MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT
Buat sketsa sistem. Plug flow:
Profil kecepatan fluida berbentuk plug (merata pada posisi radial).
Elemen fluida bercampur sempurna ke arah radial sehingga temperatur fluida merata pada bidang normal terhadap bidang aliran (arah radial).
MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT
Jika tube tidak panjang atau perbedaan temperatur tidak besar, maka sifat fisik fluida tidak banyak berubah.
Asumsi:1. Keadaan tunak;2. Sifat fisik fluida (, Cp, k dll) konstan;3. Temperatur dinding konstan dan merata (tidak berubah ke arah z
atau r) dengan nilai Tw;4. Temperatur inlet konstan dan merata (tidak berubah ke arah r)
dengan nilai T0, dimana T0 > Tw;5. Profil kecepatan berbentuk plug atau datar sehingga merata ke
arah z atau r;6. Fluida bercampur sempurna (turbulen Re > 2100) sehingga
temperatur merata ke arah radial;7. Konduksi termal sepanjang sumbu relatif kecil dibandingkan
konveksi.
MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT
Buat sketsa elemen volume diferensial sistem (fluida alir) atau “volume kontrol."
MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT
Kembangkan hukum kekekalan energi umum
Keadaan tunak akumulasi nol. Tidak ada sumber kimia, nuklir atau listrik tidak ada
pembangkit panas. Panas hanya berpindah melalui perimeter elemen akibat
perbedaan temperatur antara fluida dan dinding. Laju pengambilan panas menggunakan hukum
pendinginan Newton (+)
Kembangkan hukum kekekalan energi umum
Luas kontak = keliling x panjang. Koefisien perpindahan panas, h konstan. Bar di atas T menyatakan nilai rata-rata antara
T(z) dan T (z + z)
MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT
MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT
Kembangkan hukum kekekalan energi umum Sepanjang sumbu, panas masuk dan keluar
hanya melalui konveksi (aliran) sehingga
Dua suku pertama: laju alir massa x entalpi lokal (temp. rujukan untuk entalpi = 0).
MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT
Disusun kembali dan dibagi z, diperoleh
Dengan
menjadi
MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT
Pengelompokan parameter menjadi satu suku (parameter lumping)
menjadi
.
dimana
.
MODEL 1 – MODEL 1 – ALIRAN SUMBATALIRAN SUMBAT
Persamaan diferensial biasa orde pertama.
MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK Jika aliran lebih lambat (Re < 2100), kecepatan berbentuk
parabola.
v0 = kecepatan rata-rata vz = kecepatan lokal (variatif). Asumsi 5, 6, dan 7 dimodifikasi:
5. Profil kecepatan arah z berbentuk parabola dan tergantung pada posisi r.
6. Fluida tidak tercampur sempurna ke arah radial sehingga konduksi panas radial diperhitungkan.
7. Karena konveksi lebih kecil, konduksi panas aksial dipertimbangkan.
MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK Volume kontrol berbentuk cincin dengan tebal r dan panjang
z; Panas melewati dua permukaan, area anular yang normal
terhadap aliran fluida, dan area sepanjang keliling cincin; Fluks panas (laju per satuan luas normal) menggunakan
konduksi molekular.
MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK
Laju bersih pembentukan (pelepasan) panas oleh konduksi = fluks x luas area normal terhadap arah fluks.
Hukum kekekalan panas elemen volume
MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK Dua koordinat posisi proses diferensiasi parsial,
misalnya
disusun kembali dan dibagi dengan 2zr ..
MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK
Dengan limit, diperoleh
Turunan terhadap z menunjukkan nilai r konstan, sehingga r dapat ditempatkan di luar suku; dengan membagi dengan r dan menata kembali, diperoleh
Substitusi hukum Fourier dan uz
ke
diperoleh
MODEL 2 – MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIKKECEPATAN PARABOLIK
Persamaan diferensial parsial orde dua
Contoh: adsorpsi menggunakan unggun padat granular. Adsorpsi lebih cepat dibandingkan difusi internal, sehingga pada
dan dekat partikel terjadi kesetimbangan lokal.
q = komposisi rata-rata fasa padat (mol solut teradsorpsi per satuan volume partikel), C* = komposisi solut (mol solut per satuan volume fluida), yang setimbang.
Asumsi: Pengontrol laju: laju perpindahan antara fasa mengalir dan fasa
diam (padat).
GABUNGAN LAJU DAN GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGANKESETIMBANGAN
GABUNGAN LAJU DAN GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGANKESETIMBANGAN
Konsep aliran sumbat profil kecepatan fluida datar.
Adsorbat di dalam fluida encer efek panas diabaikan (isotermal).
Partikel sangat kecil efek difusi aksial diabaikan transportasi fasa fluida disebabkan aliran konveksi.
Transportasi antarfasa mengikuti hukum laju yang berangkat dari keadaan kesetimbangan termodinamika.
Luas antarfasa total tidak diketahui koefisien perpindahan volumetrik (kca); a = luas antarfasa total per satuan volume kolom paking.
Persamaan laju inkremental...
GABUNGAN LAJU DAN GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGANKESETIMBANGAN
Neraca solut di kedua fasa
Vo: kecepatan superfisial fluida (terjadi jika tube kosong);: fraksi volume kosong di antara partikel (volume kosong interstitial) (1 - ): fraksi volume fasa padat;Laju akumulasi: fasa fluida (C) dan fasa padat (q).
Pembagian dengan Az dan limit menghasilkan
GABUNGAN LAJU DAN GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGANKESETIMBANGAN
Neraca solut di fasa diam saja Tidak ada reaksi kimia; Laju akumulasi sama dengan laju perpindahan ke padatan
Dibagi dengan A z
Jika kesetimbangann dicapai C C*.
GABUNGAN LAJU DAN GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGANKESETIMBANGAN
Substitusi
menghasilkan
Kondisi batas..
.
GABUNGAN LAJU DAN GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGANKESETIMBANGAN
PROSEDUR PEMODELANPROSEDUR PEMODELAN
1. Gambar sketsa sistem dan definisikan besaran kimia, fisika dan geometri.
2. Pilih variabel terikat (respons).3. Pilih variabel bebas (misal z, t).4. Buat daftar parameter (konstanta fisik, ukuran dan bentuk); buat
pula daftar parameter tak konstan (misal viskositas yang berubah terhadap temperatur).
5. Gambar sketsa perilaku variabel terikat, seperti profil temperatur yang diharapkan.
6. Buat “volume kontrol" untuk elemen diferensial atau berhingga sistem (misal CSTR); buat sketsa elemen dan indikasikan semua lintasan masuk dan keluarnya.
PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA -DIFERENSIAL BIASA -
PROBLEM NILAI AWALPROBLEM NILAI AWAL
Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.
PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB)DIFERENSIAL BIASA (PDB)
Persamaan diferensial untuk fungsi yang hanya tergantung pada satu variabel Ruang (x, y, z, r) Waktu (t).
Solusi PDB: Kondisi awal (problem nilai awal); Kondisi batas (problem nilai batas).
PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB)DIFERENSIAL BIASA (PDB)
Problem nilai awal: jika semua kondisi berada pada satu titik dan
dapat diintegrasi mulai dari titik tersebut. Problem nilai batas dua titik:
jika pada satu titik terdapat satu atau lebih kondisi dan pada titik lain terdapat satu atau lebih kondisi yang lain.
Contoh problem PDB: kontrol parameter, kinetika di dalam reaktor
batch, reaktor alir sumbat.
KLASIFIKASI PDBKLASIFIKASI PDB
Dasar klasifikasi: Orde, Kelinearan, Kondisi batas.
KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN ORDEORDE
Orde persamaan diferensial = orde tertinggi dari derivat (turunan). Orde pertama:
Orde kedua:
Orde ketiga:
kxydx
dy
kxdx
dyy
dx
yd
2
2
kxdx
dyb
dx
yda
dx
yd
2
2
2
3
3
KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN KELINEARANKELINEARAN
Linear: tidak mengandung perkalian variabel terikat, derivatnya atau keduanya.
Tak linear: mengandung perkalian variabel terikat atau derivatnya atau keduanya. Linear:
Tak Linear:
kxydx
dy
kxdx
dyy
dx
yd
2
2
kxdx
dyb
dx
yda
dx
yd
2
2
2
3
3
KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN KONDISI BATASKONDISI BATAS
Problem nilai awal: Semua nilai variabel terikat dan/atau turunanya
diketahui pada nilai awal variable bebas. Problem nilai batas:
Variabel terikat dan/atau turunannya diketahui pada lebih dari satu variabel bebas.
PDB orde ke-n:
R(x) = 0 homogen. R(x) 0 tak homogen. Koefisien {bi | i = 1, 2, …, n}
koefisien variabel jika fungsi dari x; koefisien konstan jika skalar.
KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN KONDISI BATASKONDISI BATAS
xRyxbdx
dyxb
dx
ydxb
dx
ydxb nnn
n
n
n
11
1
10 ...
Untuk mendapatkan solusi sebuah PDB orde ke-n atau sejumlah n PDB orde pertama, diperlukan spesifikasi n nilai variabel terikat (turunannya) pada nilai-nilai tertentu variabel bebasnya.
KLASIFIKASI BERDASARKAN KLASIFIKASI BERDASARKAN KONDISI BATASKONDISI BATAS
SOLUSI PDB - SOLUSI PDB - PROBLEM NILAI PROBLEM NILAI
AWALAWAL
Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.
Hanya satu PDB (linear atau tidak linear)
Pemisahan variabel:
KUADRATURKUADRATUR
00 yy
yfdt
dy
y
y
t
dtyf
dy
dtyf
dy
0 0
● Jika dapat diselesaikan secara analitik solusi eksak.
KUADRATURKUADRATUR
Misal: problem kinetika untuk reaksi orde dua
Pemisahan variabel dan integrasi:
Kondisi batas menghasilkan:
0
2
0 cc
kcdt
dc
Dktc
kdtc
dc
1
2
0
11
ckt
c
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT
Jika nilai y pada tn diketahui, maka perhitungan vektor y pada waktu berikutnya tn +1 hanya memerlukan nilai vektor y yang diketahui tersebut serta turunannya dy/dt = f(y) pada waktu tn (dan waktu sebelumnya).
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT
Integrasi numeris PDB dapat dilakukan jika sistem terdiri dari n PDB orde pertama simultan dalam bentuk:
xyyyfdx
dy
xyyyfdx
dy
xyyyfdx
dy
nnn
n
n
,,...,,
.
.
.
,,...,,
,,...,,
21
2122
2111
Bentuk kanonis
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT
Apabila kondisi awal diberikan pada titik x0:
Solusinya:
xyyyfdx
dy
xyyyfdx
dy
xyyyfdx
dy
nnn
n
n
,,...,,
.
.
.
,,...,,
,,...,,
21
2122
2111
0,0
0,202
0,101
.
.
.
nn yxy
yxy
yxy
xFy
xFy
xFy
nn
.
.
.22
11
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT
Dalam bentuk matriks
xyyyfdx
dy
xyyyfdx
dy
xyyyfdx
dy
nnn
n
n
,,...,,
.
.
.
,,...,,
,,...,,
21
2122
2111
0,0
0,202
0,101
.
.
.
nn yxy
yxy
yxy
xFy
xFy
xFy
nn
.
.
.22
11
yfy
,xdx
d 00 yy x xFy
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT
Persamaan diferensial orde tinggi
dapat diubah menjadi seperangkat persamaan orde satu.
Caranya?
xdx
zd
dx
zd
dx
dzzG
dx
zdn
n
n
n
,,...,,,1
1
2
2
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT
xdx
zd
dx
zd
dx
dzzG
dx
zdn
n
n
n
,,...,,,1
1
2
2
dx
dy
dx
zd
ydx
dy
dx
zd
ydx
dy
dx
zd
ydx
dy
dx
dz
yz
nn
n
nn
n
n
1
1
1
32
2
2
21
1
.
.
.
Transformasi
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT
dx
dy
dx
zd
ydx
dy
dx
zd
ydx
dy
dx
zd
ydx
dy
dx
dz
yz
nn
n
nn
n
n
1
1
1
32
2
2
21
1
.
.
.
xdx
zd
dx
zd
dx
dzzG
dx
zdn
n
n
n
,,...,,,1
1
2
2
xyyyyGdx
dy
ydx
dy
ydx
dy
nn ,,...,,,
.
.
.
321
32
21
substitusi
n persamaan orde pertama bentuk kanonis
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT
xyyyyGdx
dy
ydx
dy
ydx
dy
nn ,,...,,,
.
.
.
321
32
21
Jika sisi kanan PDB bukan fungsi variabel bebas, maka disebut persamaan otonom. yfy
dx
d
Jika f(y) linear terhadap y, maka dapat ditulis: y’ = Ay
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT
Ubah persamaan berikut ke bentuk kanonisnya!
tezdt
dz
dt
zd
dt
zd
dt
zd
zdt
dz
dt
zd
dt
zd
dt
zd
3625
03625
2
2
3
3
4
4
2
2
3
3
4
4
05
02
22
23
3
3
3
2
2
3
32
zdx
dzz
dx
zdz
dx
zd
zdx
dz
dx
zdz
dx
zd
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT
Metode Euler Metode Adam-Bashford Runge-Kutta
METODE EULERMETODE EULER
Bentuk kanonis:
Diferensial:
Nilai rata-rata f pada h adalah f(y(tn)).
yy
,tfdt
d
METODE EULER - CONTOHMETODE EULER - CONTOH
Contoh: Dekomposisi nitrogen dioksida di dalam reaktor alir sumbat
dengan laju reaksi
Konstanta laju reaksi pada 383°C = 5030 ml/mol/detik. Asumsi:
Difusi aksial sangat kecil sehingga diabaikan, Profil kecepatan berbentuk plug.
Hitung profil konsentrasi keadaan tunak pada temperatur konstan!
METODE EULER - JAWABMETODE EULER - JAWAB
Neraca massa
u = kecepatan, S = luas penampang lintang reaktor.
METODE EULER - JAWABMETODE EULER - JAWAB
Bagi dengan z dan susutkan elemen menjadi nol (limit)
Kondisi awal:
Solusi analitik:
METODE EULER - JAWABMETODE EULER - JAWAB
Kalikan sisi kiri dengan S/S
Jadikan persamaan tak-berdimensi
METODE EULER - JAWABMETODE EULER - JAWAB
Metode Euler:
Jika h = 0,2
METODE EULER - JAWABMETODE EULER - JAWAB
METODE EULER - LATIHANMETODE EULER - LATIHAN
Selesaikan PDB di bawah dengan menggunakan metode Euler!
10
y
ytdt
dy
METODE EULER - JAWABANMETODE EULER - JAWABAN
tn yn f(yn) t f(yn)
METODE ADAM-BASHFORDMETODE ADAM-BASHFORD
Orde kedua:
Orde keempat:
METODE ADAM-BASHFORF - METODE ADAM-BASHFORF - LATIHANLATIHAN
Selesaikan PDB di bawah dengan menggunakan metode Adam-Bashford orde-keempat!
10
y
ytdt
dy
METODE EKSPLISITMETODE EKSPLISIT Metode eksplisit orde tinggi perlu solusi (sisi kanan) yang
dievaluasi pada waktu-waktu sebelumnya. Evaluasi mudah dilakukan kecuali pada permulaan evaluasi
gunakan metode Euler dengan ukuran tahap yang sangat kecil selama beberapa tahap untuk mendapatkan nilai-nilai permulaan.
Keuntungan metode Adam – Bashford orde keempat: Hanya menggunakan satu evaluasi fungsi per tahap, Akurasi orde tinggi.
Kelemahan metode Adam – Bashford orde keempat: Perlu metode lain untuk memulai.
METODE RUNGE-KUTTAMETODE RUNGE-KUTTA
Skema titik tengah: titik tengah digunakan untuk menghitung titik tak
diketahui pada tn + 1;
Argument yn + (h/2)fn = slope pada tn + (h/2), titik tengah antara tn dan tn + 1.
METODE RUNGE-KUTTAMETODE RUNGE-KUTTA
Skema korektor predictor-trapezoid Euler.
METODE RUNGE-KUTTA-GILLMETODE RUNGE-KUTTA-GILL
Orde ke-empat; Paling banyak digunakan karena
memerlukan sedikit memori komputer; Ditulis dalam bentuk vektor untuk sistem
PDB;
METODE RUNGE-KUTTA-GILLMETODE RUNGE-KUTTA-GILL
METODE RUNGE-KUTTA-METODE RUNGE-KUTTA-FELDBERGFELDBERG
Orde ke-enam
Nilai yn+1 – zn+1 merupakan taksiran error untuk yn+1
LATIHAN METODE LATIHAN METODE RUNGE-KUTTARUNGE-KUTTA
Selesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta-Gill!
Gunakan h = 0,01!
10 , .8 2 yxydx
dy