Download - Bordered Hessian Matrix
Misalkan suatu fungsi f dengan 3 variable bebas yang memiliki first dan second order partial derivative maka bordered Hessian Matrix dari fungsi f dapat ditulis sebagai berikut :
3332313
2322212
1312111
3210
ffff
ffff
ffff
fff
H
Bordered Hessian Matrix dibentuk dari Hessian Matrix dengan penambahan [0 f1 f2 f3] (jika hanya terdiri dari 3 variable bebas) sebagai baris pertama dan kolom pertama
• Baris dan kolom pertama yang melingkungi Hessian Matrix untuk fungsi bersyarat adalah syarat dari fungsi tersebut yang harus di penuhi
Bordered Hessian Matrix : Positive/Negative DefiniteSama seperti Hessian Matrix, minor bordered
Hessian Matrix dapat mengklasifikasikan apakah suatu fungsi adalah positive/negative definite
Misalkan suatu fungsi terdir dari 3 variable bebas maka Bordered Hessian Matrix dan minornya adalah :
3332313
2322212
1312111
321
3
22212
12111
21
2
0
0
ffff
ffff
ffff
fff
HH
fff
fff
ff
H
Untuk fungsi f yang terdiri n variable bebas:1. Fungsi adalah positive definite jika
Dalam kasus ini, fungsi f adalah quasiconvex untuk bilangan ril positive berdimensi n 2. Fungsi adalah negative definite jika
Dalam kasus ini, fungsi f adalah quasiconcave untuk bilangan rill positive berdimensi n
0,.....,0,0 32
nHHH
ganjiln untuk 0atau
genapn untuk 0,....,0,0 32
HH
HHHH
n
n
Evaluasi untuk mendefinisikan positive/negative definite tergantung pada banyaknya variable bebas. Jika hanya ada 2 variable bebas maka Contoh:
Tunjukan apakah fungsi y = x1x22 adalah
fungsi quasiconcave atau quasiconvex pada bilangan positive berdimensi dua
HH 2
Optimalisasi BersyaratOptimalisasi bersyarat adalah mencari nilai
maksimum atau minimum suatu fungsi yang terkekang oleh fungsi lain yang harus dipenuhi
Kasus optimalisasi bersyarat banyak ditemukan dalam ekonomi
Misalnya konsumen hendak memaksimumkan utility tetapi terikat pada fungsi pendapatan atau suatu perusahaan hendak meminimumkan cost tetapi terikat pada fungsi produksinya
Lagrange Method
Lagrange Method adalah suatu metoda penyelesaian masalah optimalisasi bersyarat
Metoda ini membentuk fungsi baru yang disebut Lagrange function
Lagrange Function merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan dengan hasil kali antara pengganda Lagrange (λ) dan fungsi kendala
Secara matematis, fungsi lagrange dapat ditulis sebagai berikut :Max y = f(x1,x2)
s.t g= g(x1,x2)
maka fungsi lagrange-nya adalah:
λ = Multiplier (pengganda) lagrange yang merupakan suatu variable tak tertentu dan hanya bersifat membantu
)),((),(),,( 212121 xxggxxfxxL
Tahap-Tahap Penyelesaian Optimalisasi Bersyarat1. Syarat Perlu (necessary condition)
Mencari titik kritis yang diperoleh dari first order condition (FOC) fungsi lagrange yang sama dengan nol
2. Syarat cukup (sufficient condition)Menentukan apakah titik kritis maksimum atau minimum dengan menentukan apakah fungsi adalah positive/negative definite minor Bordered Hessian Matrix
Jika minor Bordered Hessian Matirx menunjukan bahwa fungsi adalah negative definite (quasiconcave) maka titik kritis adalah nilai maksimum (memenuhi kondisi maksimum)
Jika minor Bordered Hessian Matrix menunjukan bahwa fungsi adalah positive definite (quasiconvex) maka titik kritisnya adalah nilai minimum (memenuhi kondisi minimum)
Contoh:1. Tentukan apakah fungsi berikut ini adalah
memenuhi nilai maksimum atau minimum
2.
35 jika 2 32132123
22
21 xxxxxxxxxy
10042:
max
21
75.02
25.01
xxtosubject
xxy
3. Berapakah jumlah output yang diproduksi oleh suatu perusahaan apabila biaya minimum perusahaan ditunjukan oleh fungsi sebagai berikut :
dan perusahaan ingin memproduksi output sebesar 5q1+7q2=800. Tunjukan apakah biaya produksi perusahaan tersebut adalah minimum.
2221
21 653 qqqqTC