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RACIOCÍNIO LÓGICO EM EXERCÍCIOS
Professor: Brunno Lima
E-mail: [email protected]
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RACIOCÍNIO LÓGICO
• Estruturas Lógicas.• Diagramas Lógicos e Lógica de Argumentação.• Raciocínio sequencial; orientação espacial etemporal; formação de conceitos; discriminaçãode elementos.
MATEMÁTICA
• Arranjos, Combinações e Permutações
• Probabilidade
• Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
(Álgebra Linear)
MATEMÁTICA
• Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio
de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros,
conjuntos numéricos racionais e reais - operações,
propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas
formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos;
números e grandezas proporcionais; razão e proporção;
divisão proporcional; regra de três simples e composta;
porcentagem)
MATEMÁTICA
• Trigonometria
• Geometria Básica
• Conjuntos
• Álgebra
MATEMÁTICA FINANCEIRA
• Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros,
Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e
Sistemas de Amortização.
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Tabelas-verdade1ª) Negação (¬ ou ~)
VF
NÃO
REVISÃO DE CONTEÚDOS
NEGAÇÃO DE SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
Exemplos:a) Negar a sentença: a > 7
b) Negar a sentença: x ≤ – 8
c) Negar a sentença: y≠ 21
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Tabelas-verdade2ª) Conjunção ( ∧ )
V VV FF VF F
E, MAS
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Tabelas-verdade3ª) Disjunção Inclusiva (∨)
∨V VV FF VF F
OU
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Tabelas-verdade4ª) Disjunção Exclusiva ( ∨ )
∨V VV FF VF F
OU...OU...
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Tabelas-verdade5ª) Condicional ( → )
→V VV FF VF F
SE... ENTÃO...
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Tabelas-verdade6ª) Bicondicional ( ↔ )
V VV FF VF F
SE E SOMENTE SE
01) (ANALISTA EM PLANEJAMENTO, ORÇAMENTO EFINANÇAS PÚBLICAS-SEFAZ-SP/MARÇO DE 2009-ESAF)Assinale a opção verdadeira.a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
02) (GESTOR FAZENDÁRIO-MG/JUNHO DE 2005-ESAF)Considere a afirmação P:P: “A ou B”onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:A: “Carlos é dentista”B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Jucanão é arquiteto.b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não éarquiteto.c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca éarquiteto.d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não éarquiteto.e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não éarquiteto.
03) (ANALISTA DE FINANÇAS E CONTROLE-STN/2005-ESAF) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:
a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo,Ciro não é calvo.
d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo,Ciro é calvo.
e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro écalvo, Bino não é baixo.
04) (AUDITOR FISCAL DA RECEITA ESTADUAL-MG/JULHO DE 2005)O reino está sendo atormentado por um terríveldragão. O mago diz ao rei: “O dragão desapareceráamanhã se e somente se Aladim beijou a princesaontem”. O rei, tentando compreender melhor aspalavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógicoda corte:1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragãodesaparecer amanhã, posso concluir corretamente queAladim beijou a princesa ontem?
2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragãodesaparecer amanhã, posso concluir corretamente queAladim beijou a princesa ontem?3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim nãobeijou a princesa ontem, posso concluir corretamenteque o dragão desaparecerá amanhã?O lógico da corte, então, diz acertadamente que asrespostas logicamente corretas para as três perguntassão, respectivamente:a) Não, sim, não b) Não, não, simc) Sim, sim, sim d) Não, sim, sime) Sim, não, sim
Resolução:O mago diz ao rei:“O dragão desaparecerá amanhã se e somente seAladim beijou a princesa ontem”
1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragãodesaparecer amanhã, posso concluir corretamente queAladim beijou a princesa ontem?
Resolução:O mago diz ao rei:“O dragão desaparecerá amanhã se e somente seAladim beijou a princesa ontem”
2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragãodesaparecer amanhã, posso concluir corretamente queAladim beijou a princesa ontem?
Resolução:O mago diz ao rei:“O dragão desaparecerá amanhã se e somente seAladim beijou a princesa ontem”
3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim nãobeijou a princesa ontem, posso concluir corretamenteque o dragão desaparecerá amanhã?
REVISÃO DE CONTEÚDOS
ORDEM DE PRECEDÊNCIA DOS CONECTIVOS
05) (ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃOGOVERNAMENTAL-MPOG/AGOSTO DE 2009-ESAF)Entre as opções abaixo, a única com valor lógicoverdadeiro é:a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital daFrança.
b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é acapital da França.
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital daFrança ou Paris é a capital da França.
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital daFrança ou Paris é a capital da Inglaterra.
e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capitalda Inglaterra.
06) (TÉCNICO DE CONTROLE INTERNO-PREFEITURAMUNICIPAL DE NITERÓI/1999-ESAF)Dadas as proposições:I) ~ (1 + 1 = 2 ↔ 3 + 4 = 5) II) ~ (2 + 2 ≠ 4 ∧ 3 + 5 = 8) III) 43 ≠ 64 → ~ (3 + 3 =7 ↔ 1 + 1 = 2) IV) ~ (23 ≠ 8 ∨ 42 ≠ 43) V) 34 = 81 → (2 + 1 = 3 ∧ 5 x 0 = 0)A que tem valor lógico falso é a:a) IV b) V c) III d) II e) I
Resolução:I) ~ (1 + 1 = 2 ↔ 3 + 4 = 5)
II) ~ (2 + 2 ≠ 4 ∧ 3 + 5 = 8)
III) 43 ≠ 64 → ~ (3 + 3 =7 ↔ 1 + 1 = 2)
IV) ~ (23 ≠ 8 ∨ 42 ≠ 43)
V) 34 = 81 → (2 + 1 = 3 ∧ 5 x 0 = 0)
REVISÃO DE CONTEÚDOS
LEITURAS DA CONDICIONAL
REVISÃO DE CONTEÚDOS
LEITURAS DA BICONDICIONAL
07) (ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃOGOVERNAMENTAL-MPOG/AGOSTO DE 2009-ESAF)Considere que: “se o dia está bonito, então nãochove”. Desse modo:a) não chover é condição necessária para o dia estarbonito.b) não chover é condição suficiente para o dia estarbonito.c) chover é condição necessária para o dia estarbonito.d) o dia estar bonito é condição necessária e suficientepara chover.e) chover é condição necessária para o dia não estarbonito.
08) (ANALISTA JUDICIÁRIO-ESPECIALIDADE: TECNOLOGIADA INFORMAÇÃO-TRT 2ª REGIÃO/NOVEMBRO DE 2008-FCC)São dadas as seguintes proposições:p: Computadores são capazes de processar quaisquertipos de dados.q: É possível provar que∞ + 1 =∞ .Se p implica em q, então o fato dea) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é uma condiçãonecessária e suficiente para que os computadoressejam capazes de processar quaisquer tipos de dados.
b) computadores serem capazes de processarquaisquer tipos de dados não é condição necessária enem suficiente para que seja possível provarque∞ + 1 =∞.
c) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é uma condiçãosuficiente para que os computadores sejam capazes deprocessar quaisquer tipos de dados.
d) computadores serem capazes de processarquaisquer tipos de dados é condição necessária paraque seja possível provar que∞ + 1 =∞.
e) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é condiçãonecessária para que os computadores sejam capazesde processar quaisquer tipos de dados.
REVISÃO DE CONTEÚDOS
EQUIVALÊNCIAS
P → Q ⇔ ~P ∨ Q
Regra para se escrever um “se... então” como um“ou” ou vice-versa:1º) Negar a 1ª parte.2º) Trocar o conectivo “se... então” pelo conectivo“ou”; ou trocar o conectivo “ou” pelo “se... então...”.3º) Manter a 2ª parte.
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Exemplos:a) (ANALISTA JUDICIÁRIO-TRT 9ª REGIÃO/2004-FCC)Um economista deu a seguinte declaração em umaentrevista: "Se os juros bancários são altos, então ainflação é baixa'".Uma proposição logicamente equivalente à doeconomista é:
REVISÃO DE CONTEÚDOS
b) A proposição “O time do Sport será campeãobrasileiro de futebol em 2012 ou o professor JoãoAntonio ficará triste” é logicamente equivalente a:
REVISÃO DE CONTEÚDOS
EQUIVALÊNCIAS
P → Q ⇔ ~Q → ~P(contrapositiva)
Devemos negar as duas partes e depois“inverter” as posições das proposiçõesobtidas.
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Exemplos:a) (AGENTE PENITENCIÁRIO-BA/ABRIL DE 2010-FCC)
Uma afirmação equivalente à afirmação“Se bebo, então não dirijo” é:
REVISÃO DE CONTEÚDOS
b) Se 2 + 4 > 5, então 12 – 3 = 8.
REVISÃO DE CONTEÚDOS
EQUIVALÊNCIAS
P ↔ Q ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P)
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Exemplo:
Salvador é capital da Bahia se e somente se Maceiónão é capital de Pernambuco.
REVISÃO DE CONTEÚDOS
NEGAÇÕES
NEGAÇÃO DA NEGAÇÃO~ ~P ⇔ P
Exemplos:~(~(~(~(~P)))) ⇔
REVISÃO DE CONTEÚDOS
b) Dizer que não é verdade que é falso que não é ocaso que não sou brasileiro é logicamente equivalentea dizer que é verdade que
REVISÃO DE CONTEÚDOS
NEGAÇÃO DO “E”1ª regra: ~(P ∧ Q) ⇔ (~P) ∨ (~Q)Para negarmos uma proposição com conectivo “e”,podemos negar todas as partes e trocar o conectivo“e” pelo “ou”.
2ª regra: ~(P ∧ Q) ⇔ P → (~Q)Para negarmos uma proposição com conectivo “e”,podemos manter a primeira parte; trocar o “e” pelo“se... então” e, por fim, negar a 2ª parte.
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Exemplos:a) A negação da proposição: “2 não é um númeroprimo e 3 + 5 < 9” é logicamente equivalente a:
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Exemplo:
A negação da proposição “x < 3 e x ≥ 5” é:
REVISÃO DE CONTEÚDOS
NEGAÇÃO DO “OU”
~(P ∨ Q) ⇔ (~P) ∧ (~Q)
Regra:Para negarmos uma proposição com conectivo “ou”, devemos negar todas as partes e trocar o conectivo “ou” pelo “e”.
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Exemplos:
a) (TÉCNICO ADMINISTRATIVO-DETRAN-AC/2009-CESGRANRIO)A negação da proposição “Mário é brasileiro ou Marianão é boliviana” é
REVISÃO DE CONTEÚDOS
b) A negação da proposição “x < 3 ou x ≥ 5” é:
REVISÃO DE CONTEÚDOS
NEGAÇÃO DO “SE... ENTÃO...”
~(P → Q) ⇔ P ∧ (~Q)
Para negarmos uma proposição com conectivo“se...então...”, devemos:1º) manter a 1ª parte;2º) trocar o conectivo “se...então...” pelo “e”3º) negar a 2ª parte.
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Exemplos:
(CONTADOR-DETRAN-AC/SETEMBRO DE 2009-CESGRANRIO) Qual é a negação da proposição “SeLino se esforça, então consegue”?
Idempotência
P ∧ P ⇔ PP ∨ P ⇔ P
____________________________Distributividade
P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Comutatividade
P ∧ Q ⇔ Q ∧ PP ∨ Q ⇔ Q ∨ PP ∨ Q ⇔ Q ∨ P
P ↔ Q ⇔ Q ↔ P
REVISÃO DE CONTEÚDOS
REVISÃO DE CONTEÚDOS
Alguns casos particulares de:
TautologiaP ∨ (~P)P → PP ↔ P
P ∨ (~P)
ContradiçãoP ∧ (~P)
P ↔ (~P)P ∨ P
IndeterminaçãoP → (~P)
P ∧ PP ∨ P
09) (AGENTE DE FAZENDA-SMF-PREFEITURA MUNICIPALDO RIO DE JANEIRO/OUTUBRO DE 2010-ESAF)Qual das proposições abaixo tem a mesma tabelaverdade que a proposição: “Se |a| < 3, então b ≤ 4 ”,onde a e b são números reais?a) b ≤ 4 e | a| < 3 .b) b > 4 ou |a| < 3.c) b > 4 e |a| < 3 .d) b ≤ 4 ou |a| < 3 .e) b ≤ 4 ou |a| ≥ 3.
10) (FISCAL DE RENDAS-SMF-PREFEITURA MUNICIPALDO RIO DE JANEIRO/SETEMBRO DE 2010-ESAF)A proposição “um número inteiro é par se e somentese o seu quadrado for par” equivale logicamente àproposição:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadradoé par, e se um número inteiro não for par, então o seuquadrado não é par.b) se um número inteiro for ímpar, então o seuquadrado é ímpar.c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar,então o número é ímpar.d) se um número inteiro for par, então o seu quadradoé par, e se o quadrado de um número inteiro não forpar, então o número não é par.e) se um número inteiro for par, então o seu quadradoé par.
11) (AGENTE DE TRABALHOS DE ENGENHARIA-SMF-PREFEITURA MUNICIPAL DO RIO DE JANEIRO/SETEMBRODE 2010-ESAF) Sendo x um número real, a proposiçãox2 ≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ – 1 equivalelogicamente à:
a) Se x = 1 , então x2 = 1 .b) Se x > 1 , então x2 > 1 .c) Se – 1 < x < 1 , então x2 < 1 .d) Se – 1 < x < 1, então x2 < 1, e se x≥ 1 ou x≤ – 1, entãox2 ≥ 1.e) Se – 1 < x < 1, então x2 < 1, e se x2 ≥ 1, entãox≥ 1 ou x≤ – 1 .
13) (ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL-SRF/DEZEMBRODE 2009-ESAF) A afirmação: “João não chegou ou Mariaestá atrasada” equivale logicamente a:a) Se João não chegou, Maria está atrasada.b) João chegou e Maria não está atrasada.c) Se João chegou, Maria não está atrasada.d) Se João chegou, Maria está atrasada.e) João chegou ou Maria não está atrasada.
Resolução:“João não chegou ou Maria está atrasada”
14) (ASSISTENTE TÉCNICO ADMINISTRATIVO-MF/MAIO DE 2009-ESAF)
X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y > 7.Sendo assim:a) Se Y ≤ 7 , então X > 4 .b) Se Y > 7 , então X ≥ 4.c) Se X ≥ 4 , então Y < 7.d) Se Y < 7, então X ≥ 4.e) Se X < 4 , então Y ≥ 7.
15) (ASSISTENTE TÉCNICO ADMINISTRATIVO-MF/MAIO DE 2009-ESAF)A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Mariafica em casa” é:
a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa.b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não ficaem casa.c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa.d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não ficaem casa.e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.
16) (ANALISTA-ANEEL/ABRIL DE 2006-ESAF) A negaçãoda afirmação condicional “se Ana viajar, Paulo vaiviajar” é:
a) Ana não está viajando e Paulo vai viajar.b) se Ana não viajar, Paulo vai viajar.c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar.d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar.e) se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.
17) (ANALISTA DE PLANEJAMENTO E ORÇAMENTO-MPOG/FEVEREIRO DE 2010-ESAF) Sejam F e G duasproposições e ~F e ~G suas respectivas negações.Marque a opção que equivale logicamente àproposição composta: F se e somente G.a) F implica G e ~G implica F.b) F implica G e ~F implica ~G.c) Se F então G e se ~F então G.d) F implica G e ~G implica ~F.e) F se e somente se ~G. B
Resolução:
F se e somente G
18) (ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃOGOVERNAMENTAL-MPOG/FEVEREIRO DE 2001-ESAF)Dizer que “André é artista ou Bernardo não éengenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:a) André é artista se e somente se Bernardo não éengenheiro.b) Se André é artista, então Bernardo não éengenheiro.c) Se André não é artista, então Bernardo éengenheiro.d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
Resolução:
“André é artista ou Bernardo não é engenheiro”
19) (ANALISTA DE SISTEMAS JÚNIOR – ÁREA:SOFTWARE-TRANSPETRO/JULHO DE 2011-CESGRANRIO) Negar aafirmação “o leão não é feroz e a girafa não gorjeia”equivale a afirmar quea) se o leão não é feroz, então a girafa gorjeia.b) se a girafa não gorjeia, então o leão não é feroz.c) o leão é feroz, e a girafa gorjeia.d) o leão não é feroz ou a girafa gorjeia.e) o leão é feroz ou a girafa não gorjeia.
Resolução:
“o leão não é feroz e a girafa não gorjeia”
20) (TÉCNICO ADMINISTRATIVO–ANEEL/ABRIL DE 2006-ESAF)Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa nãoestudar.b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisaestudar.c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisanão estudar.d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisaestudar.e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisaestudar.
Resolução:
Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda.
21) (ANALISTA EM PLANEJAMENTO, ORÇAMENTO EFINANÇAS PÚBLICAS-SEFAZ-SP/MARÇO DE 2009-ESAF)A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é acapital da Inglaterra é:a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capitalda Inglaterra.b) Paris não é a capital da Inglaterra.c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capitalda Inglaterra.d) Milão não é a capital da Itália.e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital daInglaterra.
Resolução:
Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital daInglaterra é
22) (TÉCNICO DE FINANÇAS E CONTROLE-CGU/MARÇO DE 2008-ESAF)Um renomado economista afirma que “A inflação nãobaixa ou a taxa de juros aumenta”. Do ponto de vistalógico, a afirmação do renomado economista equivalea dizer que:a) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.b) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.c) se a inflação não baixa, então a taxa de jurosaumenta.d) se a inflação baixa, então a taxa de juros nãoaumenta.e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros nãoaumenta.
Resolução:
“A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”.
“Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema comJosé” é:a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi aocinema com José.b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinemasozinha.c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi aocinema com José.d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi aocinema.e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi aocinema com José.
Resolução:
“Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema comJosé”