BAB II
METODE INTEGRASI
Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Metode-
metode yang digunakan tersebut semata-mata bertujuan untuk memudahkan
dalam menentukan antiturunan fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah
integran dari bentuk integral yang diberikan. Selanjutnya dalam bab ini disajikan
6 metode yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode
mempunyati sifat-sifat tertentu. Metode dalam integrasi tersebut adalah:
Substitusi,
1) Integral Fungsi Trigonometri,
2) Teknik Subtitusi Fungsi Trigonometri,
3) Integral Parsial
4) Integral Fungsi Rasional, dan
5) Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri
1. Metode Substitusi
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Teknik ini pada umumnya
digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus
integral tak tentu, yaitu;
a. asalkan n -1 atau
b. asalkan n -1
Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan jika
integrannya berbentuk funsi berpangkat yaitu atau bentuk lain
yang tidak sejenis dengan tanda integrasinya, misalnya ,
atau yang lainnya.
Jika integrannya maka yang disubstitusi adalah
dan jika integrannya maka yang disubstitusi adalah
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-28
Setelah substitusi dilakukan selanjutnya masing-masing bagian
didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan rumus umuma. Untuk lebih
jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut:
Tentukan integral fungsi-fungsi berikut:
1.
Jawab
Substitusikan
Substitusi bentuk terakhir ke , diperoleh
Dengan rumus dasar di dapat
Akhirnya diperoleh
2.
Jawab
Substitusi
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-29
Sehingga
Akhirnya diperoleh
3.
Jawab
Substitusi
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-30
Akhirnya diperoleh
4.
Jawab
Substitusikan
Sehingga
Akhirnya diperoleh
5.
Jawab
Substitusikan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-31
Sehingga
Akhirnya diperoleh
6.
Jawab
Substitusi Misal
Sehingga
Akhirnya diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-32
7.
Jawab
Substitusi
Sehingga
Akhirnya diperoleh
8.
Jawab
Substitusikan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-33
Sehingga
Akhirnya diperoleh
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-34
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
B. Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih
mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang
menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan
antiturunannya. Bentuk dasar integral fungsi trigonometri tersebut adalah:
1)
2)
3)
4)
5)
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-35
6)
Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas,
selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-
masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di
bahas adalah:
a. Bentuk dengan m bilangan ganjil atau genap positip
Kasus 1: m adalah bilangan ganjil
Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m
digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan
identitas dan diferensial atau
. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara
integran dengan tanda integrasinya, sehingga pengintegralan mudah diselesaikan.
Contoh:
1.
Jawab
Sehingga
2.
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-36
Sehingga
3.
Jawab:
Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka gunakan
substitusi terlebih dahulu. Substitusikan dan atau
Sehingga
Akhirnya diperoleh
Kasus 2 m adalah bilangan ganjil
Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan
menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
Kasus 1: m adalah bilangan ganjil
sehingga atau
Contoh:
Tentukan pengintegralan berikut ini.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-37
1.
Jawab
Akhirnya diperoleh
2.
Jawab
Akhirnya diperoleh
3.
Jawab
Substitusikan Misal diperoleh atau , sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-38
Akhirnya diperoleh
Soal-soal
Tentukan pengintegralan berikut ini.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-39
8)
9)
10)
b. Bentuk
Terdapat dua kasus pada pengintegralan .
Kasus 1 : m atau n ganjil
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, pilih salah satu m atau n. Jika
dipilih m, ubah m menjadi (m-1)+1 demikian pula jika yang dipilih n, ubah n
menjadi (n-1)+1. Pemilihan tidak boleh sekaligus. Selanjutnya gunakan kesamaan
identitas dan sifat diferensial dan
dan akhirnya pengintegralan dapat dilakukan dengan cara
sebelumnya.
Contoh
1.
Jawab
Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi
(3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-40
Akhirnya diperoleh
2.
Jawab
Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi
(3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh
Akhirnya diperoleh
3.
Jawab
Karena kedua pangkatnya 3 (ganjil), pilihu salah satu dan diubah menjadi
(3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas diperoleh
Atau
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-41
Kasus 2 : m dan n genap sekaligus.
Jika m dan n genap sekaligus, digunakan kesamaan setengah sudut
dan . Selanjutnya substitusikan kesaman
pada integran dan akhirnya diperoleh hasil pengintegralannya.
1.
Jawab
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
Akhirnya diperoleh
2.
Jawab
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya
gunakan kesamaan setengah sudut sin = dan .
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-42
Akhirnya diperoleh
c.
Bentuk integral fungsi trigonometri dibedakan dalam
dua kasus.
Kasus 1: n bilangan ganjil
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-43
Jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan atau
dan gunakan sifat diferensial atau
Contoh
Tentukan integral berikut ini
1.
Jawab
Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan
kesamaan identitas dan
Sehingga diperoleh
2.
Jawab
Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan
kesamaan identitas dan
Sehingga diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-44
Kasus 2: n bilangan genap
Jika n bilangan genap, maka digunakan kesamaan identitas dan
. Selanjutnya dengan menggunakan sifat diferensial
atau
Perhatikan contoh berikut:
1.
Jawab
=
=
=
=
=
d. , dan
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n
sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan atau
Contoh
1.
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan
identitas 1+tan , sehingga diperoleh
=
=
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-45
=
=
2.
Jawab
=
=
=
=
Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan
substitusi kesamaan identitas 1 + tan atau 1 + cot = csc .
Contoh:
1. =
=
=
=
=
2. =
=
=
= + C
e. ,
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus
kesamaan hasil kali, yaitu:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-46
sin mx cos nx =
sin mx sin nx =
cos mx cos nx =
Contoh
1. 3x cos 4x dx = dx
= + sin (-x) dx
= - x + C
2. dx = dx
=
= 5x + x + c
3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y] dy
= dy
=
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-47
2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri
Metode substitusi fungsi trigonometri
digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-
bentuk:
a. , a Real
b. = , a Real
c. , a Real
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
=
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-48
=
= atau yang dapat diubah menjadi bentuk
kuadrat sempurna.
Bentuk integral yang integrannya memuat atau bentuk lain yang dapat
diubah menjadi sejenisnya. Selesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t atau
sin t = dengan - .
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena x = a sin t maka =
=
= a cos t
dx = a cos t dt.
Selanjutnya bentuk dan substitusikan ke dalam
integral semula.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
dx
Jawab
Misal x = 2 sin t sin t =
dx = 2 cos t dt
=
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-49
Sehingga
=
= 4 = 4 = 2 + 2 dt
=
= +c
Atau 4 = 4 ( + )
= 2 sint cost + 2t + C
= 2 + 2 arc sin + C
=
2.
Jawab
=
Misal (x-2) = 2 sin t, sin t =
dx = 2 cos t dt
, sehingga
=
=
= t + C
= arc sin + C
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-50
3.
Jawab
=
Misal (x-3) = 5 sin t,
dx = 5 cos t dt
= 5 cos t, sehingga
=
=
= t + C
= arc sin + C
Soal-soal
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
dx
Jawab
Substitusi x =
dx =
= , sehingga
dx =
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-51
= 9
= 9
=
=
=
=
=
=
= + C
=
Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk atau bentuk lain yang
dapat diubah sejenisnya, selesaiannya menggunakan
substitusi x = a tan t atau dan dx = a sec , dengan -
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-52
Karena x = a tan t maka =
=
= a sec t
Selanjutnya bentuk dan dx = a sec .substitusikan ke dalam
integral semula.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.
Jawab
Misal x = 3 tan t
dx = 3 sec t2 dt
3 sec t, sehingga
=
=
= ln
= ln + C
= ln
2.
Jawab
=
=
Misal (x+2) = tan t
x = (tan t) - 2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-53
dx = sec t dan
= sec t, sehingga
=
= - dt
= 2 sec t – 5 ln
= 2
Soal-soal
Kerjakan soal berikut sebagai latihan
Bentuk integral yang integrannya memuat atau sejenisnya, selesaiannya
menggunakan substitusi x = a sec t dan dx = a sec t tan t dt,
- .
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-54
Karena x = a tan t maka =
=
= a
Selanjutnya bentuk = a dan dx = a substitusikan ke
dalam integral semula.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
Misal x = 3 sec t
dx = 3 sec t tan t dt
= 3 tan t, sehingga
=
= 3
= 3
= 3 tan t – 3 t + C
= 3
2.
Jawab
=
Misal (x-1) = 3 sec t,
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-55
dx = 3 sec t tgn t dt
= 3 tgn t, sehingga
=
=
= ln
= ln
Soal-soal
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
2.4 Integral Parsial (Integral Bagian)
Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral yang
integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dan u = f(x), v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv
diperoleh
dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-56
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan
dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi
udv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih
sulit dibandingkan dengan tersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
1.
Jawab
Bentuk diubah menjadi
Misal dan = x sehingga
dan
Akibatnya
Dengan rumus integral parsial
, diperoleh
Akhirnya diperoleh
2. dx
Bentuk diubah menjadi
Misal dan sehingga
dan
Sehingga dx =
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-57
Berdasarkan rumus integral parsial
, diperoleh
dx =
= -
= -
= -
= -
3. e dx
Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx
dv = , v = = , sehingga:
e dx = sin x d(
=
=
Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode parsial
Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx
dv = , v = = , sehingga:
e dx = cos x d(
=
=
=
Akhirnya diperoleh
e dx =
=
e dx =
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-58
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.
dx
e dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-59
2.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) =
, dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) 0.
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan
f(x) = a + a x + a x + a x + … + a x , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional
adalah fungsi berbentuk yang pembilang dan penyebutnya polinom.
Contoh
f(x) = …………….fungsi rasional sejati
f(x) = …………….fungsi rasional tidak sejati)
f(x) = .............fungsi rasional tidak sejati)
Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang
lebih kecil dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional
tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat
penyebut.
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati,
maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian
panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
f(x) =
= x +
F(x) = , g(x) 0.
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-60
Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = sampai tidak dapat
difaktorkan lagi.
Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:
fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.
fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)
= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)
fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax +bx + c)
fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax px + qx + c)
fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax dan seterusnya.
Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga
integran dapat ditentukan antiturunannya,
Misal :
(Penyebut kombinasi liner berbeda)
(kombinasi lenear berulang)
(kombinasi kuadrat berbeda)
(kombinasi linear dan kuadrat)
Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan
hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A , A ,
…A dan B , B , …B .
Berdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada integran, maka hasil integralnya
dapat ditentukan dengan menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh
masing-masing konstanta.
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh : (Faktor linear berbeda)
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-61
1. Tentukan
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:
dx =
=
=
=
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
dx =
= -
= ln
= ln
2. integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
=
=
=
3.
Jawab
=
=
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-62
=
=
Diperoleh A + B + C = 0
A + 3B – 2C = 1
-6A = 1
Atau A = - , B = , C =
Sehingga =
=
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut:
Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)
1. ,
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-63
Jawab
Karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:
=
=
=
=
= dx
Sehingga diperoleh
A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
= dx
=
= ln
2.
Jawab
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi
fungsi rasional sejati. Sehingga:
=
=
Selanjuntnya
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-64
=
=
=
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
dx
= 5 ln
3.
Jawab
Integran fungsi rasional sejati, sehingga:
=
=
=
=
Diperoleh
A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga
=
=
= ½ ln
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-65
4. dx
Jawab
Integran bukan fungsi rasional sejati, untuk menentukan faktor dari pembilang
integran dibuat menjadi fungsi rasional sejati)
dx =
= +
= +
Selanjutnya dicari =
=
=
=
Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4,
atau A = -1, B = , C =
Hasil akhir pengintegralan
-
Soal-soal
Tentukan
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-66
Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda
dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya
penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau
kuadrat dengan kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial
, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B,
dan C.
Contoh
1.
Karena integran fungsi rasional sejati maka
=
=
=
Diperoleh
A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
=
=
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-67
=
2.
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
=
=
=
=
Diperoleh
A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:
=
=
= arctg x +
3.
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat
(x , sehingga:
=
=
=
Maka diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-68
A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau
A = 2, B = -1, C = 0, D = -1
=
=
=
=
Jadi =
4.
Jawab
=
=
=
=
Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1
=
=
= ln + ½ arc tan
5.
Jawab:
=
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-69
=
= ½ x2 - 5
= x2 – 5.
= ½ x2 -
= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C
= ½ x2 – ln + C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri
Fungsi F(x) = dan g(x) mememuat fungsi
trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak
dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) =
cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial.
Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE SUBSTITUSI.
Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.
F(x) =
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-70
F(x) =
F(x) =
F(x) =
F(x) =
Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:
dx
dx
Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi
x = 2 arc tan z sehingga dx = .
Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.
Karena x = 2 arc tan z maka:
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri
1 + tan = sec
1 + z
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-71
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain
sin
, sehingga didapat
sin
=
Dengan rumus jumlah cosinus didapat:
cos 2x = cos sin x
=
Dengan rumus jumlah sinus didapat:
sin 2x = 2 sin x cos x
sin x = 2 sin cos
= 2
=
Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat
diselesaikan dengan menggunakan substitusi
x = 2 arc tan z, sin x = , cos x =
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Tentukan selesaian dari
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-72
1.
Jawab
=
=
=
=
= + C
=
2.
Jawab =
=
=
=
=
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-73
=
=
3. =
Jawab
=
=
=
=
=
=
=
=
Soal-soal
Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!
2.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-74
= ln
dx = -ln
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-75