Download - C11-Aproximarea functiilor_4.pdf
-
Cursul 11
Aproximarea funciilor
-
APROXIMARE UNIFORM Definire polinom minimax.
Norma aproximrii uniforme se definete ca:
Cel mai bun polinom de aprxoximare uniform de ordin n (aproximant uniform sau polinom minimax) al
unei funcii fC([a,b]) este acel polinom pn(x)n
care se ndeprteaz cel mai puin, n sensul normei de
funcia dat, adic
xfmaxf
b,ax
xpxfmaxminpfminpf
nb,axp
np
nnnnn
-
APROXIMARE UNIFORM.
Teorema de caracterizare Polinomul pn(x)este
aproximant uniform de ordin , dac e(x)=f(x)-pn(x) atinge de n+2 ori valoarea extrem +E sau
-E, cu alternane de semn ntre dou extreme
consecutive.
Exist deci n+2 puncte x0, x1,...,xn,xn+1
astfel
Teorem Cel mai bun polinom de aproximare
uniform este unic.
1n:0k,E1xpxfxe kknkk
xpxfmaxE
nb,ax
-
APROXIMARE UNIFORM.
Teorem-Dac funciile 1,x,x2,...,xn,f sunt
liniar independente i genereaz un spaiu vectorial V i dac orice element din V are n+2
zerouri n [a,b] atunci
10. f-pn posed exact n+2 extreme alternante
20. a i b i fac parte dintre punctele extreme;
30. ntre punctele extreme nu exist alte extreme;
40. f-pn este strict monoton ntre dou puncte
extreme alternante consecutive.
Proprieti ale polinoamelor Cebev 10. Tn(x)=cos(n.arccos x)
x=cos , [0,] Tn(cos)=cosn
-
APROXIMARE UNIFORM.
x[-1,1] i Tn[-1,1] adic:
Tn:[-1,1][-1,1]
20. Polinomul Tn(x) este un polinom de gradul n n
x avnd coeficientul puterii dominante 2n-1:
Tn(x)=2n-1xn+...
30. Relaia de recuren:
Tp+1(x)=2xTp(x)-Tp-1(x), T0(x)=1, T1(x)=x
Rezult din identitatea trigonometric:
cos(n+1)+cos(n-1)=2cos.cosn
40. Zerourile polinomului Cebev:
cos nk=0 k=(2k+1)/2n
xk=cos k=cos[(2k+1)/2n]
-
APROXIMARE UNIFORM.
50. Punctele de extrem ale polinomului Cebev
Tn(xp)=1 , p=0:n
Pe mulimea C([-1,1]) a funciilor continue pe intervalul [-1,1], putem defini produsul scalar
unde joac rolul de pondere, i pe
aceast baz se introduce conceptul de ortogonalitate, n sensul c f i g sunt ortogonale
dac =0
60.Ortogonalitatea polinoamelor Cebev
n
pcosx
p
1
12
1
120
dx
x1
xfxfdx
x1
xgxflimg,f
2x1
1xw
-
APROXIMARE UNIFORM.
se deduc din identitatea trigonometric cosp.cosq=(cos(p+q) +cos(p-q))/2
70.Dezvoltare n serie de polinoame Cebev
.0qp
,0qp2
,qp0
dx
x1
)x(T)x(T1
12
qp
)x(Ta)x(fp
0p
p
,1p,dx
x1
)x(T)x(f
2a
,dx
x1
)x(f
1a
1
12
p
p
1
12
0
-
APROXIMARE UNIFORM
i se obine din dezvoltarea n serie Fourier a
funciei:
Polinomul Cebev monic de gradul n (avnd
coeficientul puterii maxime 1) se obine din
polinomul Cebev corespunztor prin mprire cu 2n-1
pcosa)(cosf0p
p
.1p,dpcos)(cosf
2a
,d)(cosf
1a
0
p
0
0
-
APROXIMARE UNIFORM
Relaia de recuren pentru polinoame Cebev
monice
Polinoamele Cebev monice au aceleai zerouri i aceleai puncte n care prezint extreme ca i polinoamele Cebev corespunztoare.
Valorile extremelor sunt ns diferite i anume
1n
n~
n2
xTxT
0)x(T4
1)x(Tx)x(T
~
1p
~
p
~
1p
.n:0psin
pcosxcu
2
)1()x(T
p1n
p
p
~
n
-
APROXIMARE UNIFORM
Teorem Dintre polinoamele monice de ordin n
definite pe [-1,1], polinomul monic Cebev
Tn~(x) are norma aproximrii uniforme minim i
Teorema precedent ne permite s gsim abscisele x0,x1,...,xn din [-1,1] care minimizeaz
eroarea interpolrii Lagrange
Restul interpolrii este minimizat n sensul aproximrii uniforme pentru R~n+1=T
~n+1, adic
~
nnn1,1x
~
n1,1x
1nPxPmaxxTmax
2
1
)!1n(
)(f)x(R)x(P
)!1n(
)(f)xx()xx()x(P)x(f
)1n(
~
1nn
)1n(
n0n
-
APROXIMARE UNIFORM
pentru punctele
i n acest caz avem majorarea
Intervalul de interpolare poate fi extins la [a,b]
cu schimbarea de variabil:
Determinarea polinomului minimax al unei funcii
Pentru funcia fC([a,b]) se face mai inti o
schimbare liniar de variabil pentru a se trece n
domeniul [-1,1].
2n2
1k2cosx
k
)x(fmax)!1n(2
1)x(P)x(fmax
)1n(
]1,1[xnn
]1,1[x
2
abx
2
abt
-
APROXIMARE UNIFORM
n cazul particular n care funcia f este un
polinom de grad n+1:
cel mai bun polinom de aproximare uniform de ordin n este
Intr-adevr diferena
satisface teorema de caracterizare, prezentnd
alternane , n punctele
ab
abt
ab
2tx
0
n
n
1n
1naxaxaxf
)x(T2
a)x(f)x(p
1nn
1n*
n
xT2
axpxf
1nn
1n*
n
1n:0k,1n
kcosx
k
-
APROXIMARE UNIFORM
n cazul general, n care f este o funcie continu
oarecare, o aproximare a polinomului minimax se
determin pornind de la dezvoltarea n serie de
polinoame Cebev a funciei obinndu-se
Dac dezvoltarea n serie a lui este rapid
convergent, putem considera
atunci, dac se ia pentru polinomul minimax
dezvoltarea trunchiat
n
0p 2np
pp1n1npp
*
n)x(Tc)x(Tc)x(Tc)x(p)x(fxe
2np
pp0)x(Tc
n
0p
p
p
n
0p
pp
*
nxa)x(Tc)x(p
-
APROXIMARE UNIFORM
se constat c diferena prezint proprietatea de
oscilaie din teorema de caracterizare.
Aproximaii bune ale polinomului minimax se obin
folosind algoritmii lui Rms.
n algoritmul 1 Rms, n locul rezolvrii sistemului
cu necunoscutele i E, obinut din
1n:0k),x(fE)1(xak
kn
0k
k
ii
n:0i,ai
.xa)x(p
,1n:0kE)1()x(p)x(f
n
0k
k
iik
*
n
k
k
*
nk
-
APROXIMARE UNIFORM
se construiesc polinoamele de interpolare Lagrange Rn+1(x) i Sn+1(x) ale funciilor f(x) i (-1)
k.
cu care se face aproximarea
Valoarea se determina impunnd coeficientul puterii
s fie 0 an+1=rn+1-Esn+1=0 de unde i
1n:0k,xfxRkk1n
kk1n
1xS
xESxRxp1n1n
*
n
1n
1n
s
rE
n:0i,ss
rra
i
1n
1n
ii
-
APROXIMARE UNIFORM
Algoritmul 2 Rms pornete de la polinomul astfel determinat i stabilete valoarea extrem a funciei f(x); fie
xM abscisa pentru care se atinge acest extrem. function [a, x, y] = Remes1(n, f, nrapel)
% Intrri:
% n = gradul polinomului minimax
% f = funcia aproximat de polinomul minimax
% nrapel = indicator al primului apel n care
% se iniializeaza tabelele x i y
% apelurile urmtoare se fac din Remes2
% modific o singur component din x i y
% Ieiri:
% a = tabel coefic. polinom minimax
% x= abscise puncte de oscilaie
% y = ordonate puncte de oscilaie
-
APROXIMARE UNIFORM
if nrapel == 0
x=0:pi/(n+2):pi;
x=cos(x);
y=f(x);
z=ones(n+2,1);
for k=1:2:n+2
z(k)=-1;
end
%calcul coef.r pol Lagrange n (x, y);
r=CoefLagr(x,z);
%calcul coef s pol Lagrange n (x, z);
s=CoefLagr(x,z);
E=r(n+1) / s(n+1)
a(0:n)=r(0:n) - E*s(0:n);
end
-
APROXIMARE UNIFORM
Dac xM este unul din punctele iniiale, determinarea polinomului minimax s-a ncheiat, n caz contrar se ncadreaz ntre dou puncte consecutive xp
-
APROXIMARE UNIFORM
nrapel 0
[a,x,y]=Remes1(n, f, nrapel)
repet
%cauta xm a. |f(xm)-pn(xm)| maxim
%dac xm difer de abscisele x atunci
ncadreaz x(p) < xm < x(p+1)
if (y(p)-pn(x(p)))* (f(xm)-pn(xm)) > 0
x(p) = xm;
y(p) = ym;
else
x(p+1) = xm;
y(p+1) = ym;
end
rapel = nrapel + 1;
[a,x,y]=Remes1(n, f, nrapel);
pin cnd xm este una din abscisele x;
-
APROXIMARE UNIFORM
Economizare Cebev
Polinoamele Cebev se pot folosi pentru a
reduce gradul polinomului de aproximare, cu o
pierdere minim de precizie.
Funciile se aproximeaz prin polinoame Taylor:
cu restul aproximrii
cu
Polinoamele Taylor produc o aproximare bun n vecintatea lui x0 , dar precizia lor scade rapid pe
msur ce x se indeprteaz de x0.
)x(f!n
)xx()x(f
!2
)xx()x(f
!1
)xx()x(f)x(P
0
)n(
n
0
0
2
0
0
0
0n
1n
0
)1n(
n)xx(
)!1n(
)(f)x(P)x(f
00xxx
-
APROXIMARE UNIFORM
Intruct polinoamele Cebev prezint un minim al
normei aproximrii uniforme; ele pot fi folosite
pentru reducerea gradului polinomului Taylor fr a
depi tolerana impus erorii.
n polinomul Taylor Pn se nlocuiete puterea cea
mai mare xn cu o combinaie de polinoame Cebev
i se neglijeaz termenul coninnd pe Tn(x) ,
comind prin aceasta o eroare care se majoreaz
prin:
De exemplu pentru funcia f(x)=ex, pentru care se
admite o toleran a erorii Emax=0.005, polinomul
Taylor de grad 4 pentru o dezvoltare n vecintatea
lui 0 este:
nnna)x(Ta
-
APROXIMARE UNIFORM
Majorarea erorii pentru x[-1,1] este:
Pentru a reduce gradul polinomului de aproximare, nlocuim puterea cea mai mare x4 cu
o combinaie de polinoame Cebev:
24
x
6
x
2
xx1)x(P
432
4
05.0023.0120
e
!5
x)(f)x(P)x(f
5)5(
4
)x(T8
1)x(T
2
1)x(T
24
1
6
x
2
xx1)x(P
420
32
4
)x(T192
1)1x2(
48
1
64
1
6
x
2
xx1
4
2
32
)x(T192
1
6
xx
24
13x
192
1914
3
2
-
APROXIMARE UNIFORM
Prin neglijarea termenului T4(x) se comite o
eroare majorat de:
nu depete tolerana admis.
005.0192
1)x(T
192
14
05.0E028.0005.0023.0)x(T192
1)x(R
max44