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Cálculo Diferencial e Integral A
Derivada de uma função:
Definição
Me. Gilcimar Bermond Ruezzene
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• O conceito foi introduzido em meados dos séculos XVII e
XVIII em estudos de problemas de Física.
• Destacam-se Isaac Newton, Leibniz e Lagrange.
• Mais tarde essas idéias foram introduzidas em outras
áreas.
Derivadas
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3
Derivadas
• Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois pontos de seu domínio
• Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens
x0
Δx
Δy
x1
f(x0)
f(x1)
●
●
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Derivadas
• Chamamos de taxa média de variação de f, para x variando de x0 até x1, ao quociente
01
01 )()(
xx
xfxf
x
f
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5
Exemplo1
• Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de abscissa x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é:
• Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir de x0 =1), a variação de f será 4 vezes maior, pois Δf=8, enquanto Δx=2.
42
13
13
)1()3( 22
ff
x
f
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Exemplo
• Suponhamos que um objeto seja abandonado a 2.000 m de altura e que a função f(t)=2.000-10t2
altura do objeto em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado. Temos:
• f(0)=2.000 e f(5)=1.750 Δf1=-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m.
• Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos seguintes o objeto caiu 750m.
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7
Exemplo 3
• Para uma mesma variação de t (5 segundos), a variação de altura é diferente.
• A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto a cada intervalo de tempo considerado.
• 1º intervalo: Velocidade média:
• 2º intervalo: Velocidade média:
smf
/505
250
51
smf
/1505
750
52
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Taxa instantânea
• Muitas vezes estamos interessados na taxa instantânea de variação de determinado fenômeno. Por exemplo: velocidade de um objeto num determinado instante (velocidade instantânea).
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A derivada representa a função que expressa a variação de uma função
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Podemos calcular a média de variação entre os dois pontos. Mas, isso é apenas uma estimativa...Mas...
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Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.
Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x para x + Δx :
m=
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Derivada: Definição
ou
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Taxas de variação: Derivada em um Ponto
A expressão
h
xfhxf )()( 00
É chamada de quociente de diferença de f em x0 com incremento h.
Se o quociente de diferença tem um limite quando h tende a zero, esse limite é chamado de derivada de f em x0.
Se interpretamos o quociente de diferença como um coeficiente angular da secante, a derivada nos dá o coeficiente angular da tangente e da curva no ponto onde x = x0.
Se interpretamos o quociente de diferença como uma taxa média de variação, a derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a x no ponto x = x0.
A derivada é uma das mais importantes ferramentas matemáticas usadas em cálculo.
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Todas estas afirmações referem-se à mesma coisa
1. O coeficiente angular de y = f (x) em x = x0.
2. O coeficiente angular da tangente à curva y = f (x) em x = x0.
3. A taxa de mudança de f (x) em relação a x em x = x0.
4. A derivada de f em x = x0.
5.
h
xfhxfm
h
)()(lim 00
0
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Uma reta tangente à função, no ponto em que ela toca na curva, ela é a
derivada da referida função.
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Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada
1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h).
2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença
h
xfhxf )()(
3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando oLimite:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)´(
0
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Reta Tangente
Nas figuras abaixo vemos o gráfico de uma função f em uma vizinhança de um ponto P, de uma para outra figura aumentamos o "zoom" para melhor observar o gráfico próximo do ponto P .
Observe que bem próximo do ponto P o gráfico se parece com a parte de uma certa linha reta ; e esta linha é o que chamamos reta tangente .
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Reta tangente ao gráfico
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Exemplo 1 – Aplicando a Definição
a) Encontre a derivada de exy 0x
1)xxf )( e hxhxf )(
2)
xhx
xhxh
xhxh
xhx
h
xfhxf
1
)(
)(
)()(
3)
xxhxxf
h 2
11lim)´(
0
b) Determine a reta tangente que passa pelo ponto (9,3).
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Exemplos:
1)Utilizando a definição, determine a derivada da função em um ponto dado.
Em seguida, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico naquele
ponto :
a) y= x, (3,2);
b) f(x) = x2, (2,4); determine f’(-2); f’(3).
c) f(x) = x3 ,(2,8); determine f’(5); f’(1).
d) y = x2+4x+4, (-1,1); f’(-1); f’(2).
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Exercícios
Thomas, George B. Cálculo. V1, Ed.12ª.São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
•Página: 120 exercícios de 11 à 20 exceto 16 e 18.• Página: 126 exercícios de 1 à 16, apenas os ímpares.