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Cálculo Diferencial e IntegralLimite
• Limites de funções (introdução intuitiva)• Limites laterais• Funções contínuas (introdução intuitiva)• Limites infinito e limites no infinito• Propriedades de limites e técnicas para calcular limites• Limites de funções trigonométricas
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRNCentro de Ciências e Exatas da Terra – CCET
Departamento de Estatística – DESTPrograma de Educação Tutorial - PET
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Limites de funções (introdução intuitiva)
• O estudo de limite visa estabelecer o comportamento de uma função quando o seu argumento se aproxima de um determinado valor.
Exemplo 1:
• Observando o gráfico notamos que para valores de x próximos de 2, maiores ou menores que 2, o valor da função se aproxima de 4, no entanto
2
4
x
y
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• Também podemos observar essa aproximação atribuindo valores para x próximos de 2.
• Atribuindo a x valores próximos de 2, porém menores que 2, temos:
• Se atribuirmos a x valores próximos de 2, porém maiores que 2, temos:
• Observa-se em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 2, f(x) aproxima-se cada vez mais de 4, isto é, quanto mais próximo de 2 estiver x, tanto mais próximo de 4 estará f(x).
x 1,9 1,99 1,999
f(x) 3,61 3,96 3,996
x 2,1 2,11 2,111f(x) 4,41 4,04 4,004
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Exemplo 2:Seja a função:
Calcule .
• Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a , interessa o comportamento da função quando x se aproxima de e não o que ocorre com a função quando x=, temos que .
2
4
x
y
2
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Limites laterais• Quando nos tratamos de limites laterais, estamos interessados em saber o
comportamento da função quando o seu argumento se aproxima de um determinado valor numa dada direção.
• Se x se aproxima de através de valores maiores que ou pela sua direita, escrevemos:
• Se x se aproxima de através de valores menores que ou pela sua esquerda, escrevemos:
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Exemplo 3:
Seja a função:
A partir desta função obtemoso gráfico a direita:
1
-1
x
y
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• Observando o gráfico podemos perceber que quando x se aproxima de 0 para valores maiores que 0, a função assume o valor 1, mas quando x se aproxima de 0 para valores menores que 0 a função assume o valor -1, então dizemos que e .
Teorema
• Seja um intervalo aberto contendo e seja uma função definida para . Temos se, e somente se, existirem e e forem ambos iguais a .
• No exemplo 3 vimos que , então não existe e nos exemplos 1 e 2 vimos que existe, logo .
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Funções contínuas (introdução intuitiva)
• Dizemos que uma função é contínua se o gráfico puder ser desenhado em todos os pontos pertencentes ao domínio sem levantar o lápis.
Exemplo 4:
x
yPercebe-se que ao desenhar o gráfico ao lado teríamos que levantar o lápis quando x=0 para prosseguir o desenho, com isso a função ao lado não é contínua no seu domínio.
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Exemplo 5:
• OBS: Em contextos avançados, este critério que estamos utilizando para identificar se uma função é ou não contínua é errado, mas para o momento tal análise é suficiente.
x
y
Veja que na função ao lado, em nenhum momento levantaríamos o lápis para desenha-la em todo o seu domínio, com isso não é difícil notar que a função é contínua.
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Definição de função contínua utilizando limites:
• Uma função é contínua num ponto se são satisfeitas as três condições seguintes:
i. é definida num intervalo aberto contendo .ii. existe
• Se não é contínua em , dizemos que é descontínua em , ou que tem uma descontinuidade em .
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• Nos exercícios 1 a 3, é dada uma função . Calcule os limites indicados se existirem; se os limites não existirem, especifique a razão.
a) b) c)
2. b) b) c)
c) b) c)
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Limites infinito e limites no infinito• Considere a função , vamos observar o que acontece com o valor da
função quando e quando .
• A tabela acima sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , quando isto ocorre escrevemos . A tabela sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , quando isto ocorre escrevemos .
x 1 10 100 1000
f(x) 1 0,1 0,01 0,001
x 1 0,1 0,01 0,001
f(x) 1 10 100 1000
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• O gráfico abaixo sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , isto é, e sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , isto é, .
y
x
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• Considere a mesma função , vamos observar o que acontece com o valor da função quando e quando .
• A tabela acima sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , quando isto ocorre escrevemos . A tabela sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , quando isto ocorre escrevemos .
x -1 -10 -100 -1000
f(x) -1 -0,1 -0,01 -0,001
x -1 -0,1 -0,01 -0,001
f(x) -1 -10 -100 -1000
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• O gráfico abaixo sugere que o valor da função fica cada vez mais próximo de 0 quando , isto é, e sugere também que o valor da função fica cada vez mais próximo de quando , isto é, .
yx
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Limites do tipo e no infinito
• Seja , então:
• Seja , então:
1𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛é 𝑝𝑎𝑟𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛é í𝑚𝑝𝑎𝑟
1𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛 é𝑝𝑎𝑟
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Propriedades de limites e técnicas para calcular limites
• Sejam e duas funções de x, e que existam e tais que= e = (quando )Valem as propriedades:
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Técnicas para calcular limites
• Se é uma função definida por uma única equação que está definida no ponto , então .
Exemplos:
• Se é uma função racional, indefinida no ponto tal que implicaria em uma indeterminação do tipo , sendo uma constante, então os limites laterais tendem para ou .
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Exemplos:
• Se é uma função racional, indefinida no ponto tal que implicaria em uma indeterminação do tipo , para calcular devemos mexer algebricamente na função de modo que elimine a indeterminação para depois substituir por .
Exemplos:
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• Seja a função polinomial . Então:
• De forma análoga para , temos:
Exemplos:
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Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites.Produtos notáveis:
Fatorações:
1. )
Conjugado de radicais:2.
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Exercícios
Calcule os limites abaixo:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
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p) q) r)
s) t) u)
w) x) y)
z)
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Limites de funções trigonométricasLimite fundamental trigonométrico• O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja
indeterminação é do tipo envolvendo a função trigonométrica . Este limite é muito importante, pois com ele resolveremos outros problemas.
Exemplos
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Exercícios
a) b) c)
d) e) f)