Download - Calculo I - Derivadas
Sumario
1 Limites de Funcoes 3
2 Derivadas 12.1 Coeficiente angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Definicao de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 A Derivada como funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Derivada de Funcoes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Derivadas de Funcoes Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Novas derivadas a partir de antigas . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.4 Derivadas de Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . 162.3.5 Regras da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.6 EXERCICIOS PROPOSTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.7 Derivada da Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.8 Derivacao Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.9 Derivadas de Funcoes Logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.10 EXERCICIOS PROPOSTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.11 Derivadas de Funcoes Trigonometricas Inversas . . . . . . . . 282.3.12 LISTA ESPECIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A Funcoes Transcendentes 33A.1 Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.2 Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
B Demonstracoes dos Teoremas 39
1
2 SUMARIO
Capıtulo 1
Limites de Funcoes
3
Capıtulo 2
Derivadas
Esse capıtulo dara ao estudante uma ferramenta muito poderosa: a derivada.Com ela se estuda com ricos detalhes o comportamento de uma funcao; podemosencontrar os intervalos onde a funcao e cresente ou decrescente, intervalos onde suavelocidade de crescimento aumenta ou diminui, pontos de maximo e de mınimo, im-portantıssimos quando se quer otimizar resultados de um problema pratico e muitasoutras informacoes podem ser extraidas da funcao estudada com essa ferramenta.
Para falarmos de derivada, e necessario conhecer o conceito de inclinacao de umareta.
2.1 Coeficiente angular
Definicao 2.1. Sejam (x0, y0) e (x1, y1) dois pontos distintos quaisquer sobre umareta que nao esta na posicao vertical (x0 6= x1). A inclinacao desta reta e dada peladivisao da variacao ∆y = y1 − y0 em y , pela variacao ∆x = x1 − x0 em x.
A inclinacao e dada pelo quociente:∆y∆x = y1−y0
x1−x0
Dizemos que uma reta que esta na posicao vertical possui inclinacao infinita.
1
2 CAPITULO 2. DERIVADAS
Quando a reta esta na posicao horizontal a sua inclinacao e zero.
Definicao 2.2. A funcao f : R → R definida por f(x) = ax + b com a, b ∈ R ea 6= 0 e chamada de Afim.
Exemplo 2.1. Observe os graficos das funcoes f(x) = 2x + 1 e g(x) = −2x + 1 ecalcule a inclinacao de cada reta.
Exemplo 2.2. Observe os graficos das funcoes f(x) = 12x + 1 e g(x) = −1
2x + 1 e
calcule a inclinacao de cada reta.
2.1. COEFICIENTE ANGULAR 3
Independentemente dos pontos escolhidos pelo aluno, para calcular a inclinacaoda reta nos exemplos anteriores, o resultado sempre sera dado pelo coeficiente aencontrado na expressao da funcao afim y = ax + b. Esse coeficiente tambem echamado de coeficiente angular da reta.
Observacao 2.1. Quando b = 0 a funcao Afim recebe o nome de Linear. Quandob = 0 e a = 1 a funcao afim recebe o nome de Identidade.
Exemplo 2.3. Observe os graficos das funcoes f(x) = 4x , g(x) = 14x e h(x) = x
e calcule a inclinacao de cada reta.
4 CAPITULO 2. DERIVADAS
Reta secante e reta tangente
Desde o ensino fundamental, o aluno sempre teve contato com as ideias de retatangente e reta secante a uma circunferencia. Veja a figura abaixo:
Qualquer aluno identificaria a reta r como tangente e a reta s como secante acircunferencia, baseando-se nas definicoes dadas a ele ate o momento.O que dizer a respeito das retas r e s abaixo que cortam o grafico da funcao f? Qualreta e tangente? Alguma e secante?
Uma reta, por sı so, nao e secante e nem tangente, essas ideias sao pontuais. Porexemplo, a reta s e secante ao grafico de f nos pontos (a, f(a)) e (c, f(c)), porem se tangente ao grafico de f no ponto (d, f(d)). A reta r toca o grafico em apenas um
2.1. COEFICIENTE ANGULAR 5
ponto, porem nao e tangente ao grafico.
Vejamos abaixo como encontrar a inclinacao de uma reta secante que toca ografico de uma funcao f em dois pontos distintos.
Definicao 2.3. Se y = f(x) esta definida no intervalo [x0, x1], entao o coeficienteangular da reta secante ao grafico de f que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1))e dado por
∆y
∆x=f(x1)− f(x0)
x1 − x0
(2.1)
Este quociente e chamado de taxa media de variacao de y em relacao a x no intervalo[x0, x1]; quando f descreve um movimento retilıneo de um movel este quociente nosda a velocidade media deste movel no intervalo [x0, x1].
A definicao de reta tangente em um ponto do grafico de uma funcao f naopode ser apenas visual, requer um pouco mais de esforco algebrico e a aplicacao doconceito de limite, visto no capıtulo anterior.
Definicao 2.4. Seja f uma funcao definida em x0 e em um intervalo aberto contendox0. O coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f(x) no ponto (x0, f(x0)) edado pelo limite
m = lim∆x→0
∆y
∆x= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
(2.2)
desde que o limite exista. Este limite, quando existe, nos da a taxa instantanea devariacao de y = f(x) em x0 ; quando f descreve um movimento retilıneo de ummovel este limite nos da a velocidade instantanea deste movel no instante x0.
A expressao dentro do limite (2.2) nada mais e do que o coeficiente angular deuma reta secante que passa por (x0, f(x0)) e por um outro ponto auxiliar (x, f(x)).Observe que o valor x e variavel e esta proximo de x0 e o limite faz x tender a x0.Estamos entao calculando o coeficiente angular da reta tangente usando os coefi-cientes angulares de retas secantes que possuem o ponto (x0, f(x0)) em comum.
6 CAPITULO 2. DERIVADAS
Uma maneira mais pratica para escrever e calcular o limite (2.2) pode ser encon-trada realizando a seguinte substituicao: h = x− x0
O novo limite sera entao:
m = limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= limh→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
Observacao 2.2. Dada uma funcao f e um ponto (x0, f(x0)) de seu grafico, se olimite
m = limh→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
existir, entao existe uma reta tangente ao grafico de f no ponto (x0, f(x0)) e suaequacao e: y − y0 = m(x− x0)
2.2 Definicao de derivada
Definicao 2.5. Seja f uma funcao definida em a e em um intervalo aberto contendoa. Se o limite
limh→0
f(a+ h)− f(x)
h(2.3)
existir, ele sera sera chamado de ”a derivada de f em a ”e sera denotado por f ′(a).
Como visto anteriormente, f ′(a) nos da o coeficiente angular da reta tangenteao grafico de f no ponto (a, f(a)).
2.2. DEFINICAO DE DERIVADA 7
Exemplo 2.4. Calculando a derivada no pontoEncontre a equacao da reta tangente ao grafico da funcao f(x) = x2 + 1 no ponto(1, f(1)).
SOLUCAO:Aplicando o limite (2.3) tem-se:
limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
limh→0
f(1 + h)− f(1)
h
limh→0
[(1 + h)2 + 1]− [12 + 1]
h
limh→0
1 + 2h+ h2 + 1− 2
h
limh→0
2h+ h2
h
limh→0
h(2 + h)
hlimh→0
2 + h = 2
Logo, f ′(1) = 2.
x
y
01
ƒ ƒ’
Sabendo que f ′(1) = 2 e o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f noponto (1, f(1)) e substituindo o ponto e a inclinacao na equacao geral da reta temos:
y − y0 = m(x− x0)y − 2 = 2(x− 1)
y = 2x
A equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (1, 2) e entao : y = 2x. Observeo grafico acima.
2.2.1 A Derivada como funcao
Definicao 2.6. A derivada de uma funcao f em relacao a variavel x e a funcao f ′
cuja expressao para x e
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h(2.4)
e cujo domınio e formado pelos valores x do domınio de f , para os quais o limiteexiste.
Observacao 2.3. Os pontos onde a funcao f ′ esta definida sao os pontos onde f ederivavel ou diferenciavel.
8 CAPITULO 2. DERIVADAS
Observacao 2.4. Outros sımbolos para representar a funcao derivada de y = f(x)sao:
f ′ = dfdx
= y′ = dydx
= Dxf
Exemplo 2.5. Aplicacao da definicao de derivada(a) Determine a derivada da funcao f(x) = x2 − 2x;(b) Esboce o grafico de f e f ′.(c) Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (−1, f(−1)).
SOLUCAO:(a)Observe primeiro que o domınio de f e R. Aplicando o limite (2.4), temos:
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
[(x+ h)2 − 2(x+ h)]− [x2 − 2x]
h
= limh→0
(x2 + 2xh+ h2 − 2x− 2h− x2 + 2x
h
= limh→0
(2xh+ h2 − 2h
h
= limh→0
h(2x+ h− 2)
h= lim
h→0(2x+ h− 2)
f ′(x) = 2x− 2
O domınio de f ′ e entao R tambem.(b) Vejamos nas figuras abaixo, os graficos de f e f ′.
x
y
0 2
x
y
-2
1
ƒƒ’
Podemos observar que quando f ′(x) = 0, ou seja, para x = 1, a funcao f possuiuma tangente horizontal.(c)O coeficiente angular da reta tangente e f ′(−1) = 2(−1) − 2 = −4 e a equacaoy − 3 = −4(x+ 1).
2.2. DEFINICAO DE DERIVADA 9
Veja o grafico de f e da reta tangente.
Exemplo 2.6. Prove que a funcao f(x) = |x| nao e derivavel em x = 0.
Lembramdo a definicao de modulo temos:
f(x) = |x| ={x, x ≥ 0−x, x < 0
Vamos provar que o limite limh→0|x+h|−|x|
hnao existe para x = 0.
limh→0
|x+ h| − |x|h
= limh→0
|0 + h| − |0|h
= limh→0
|h|h
Como
limh→0+
|h|h
= limh→0+
h
h= lim
h→0+1 = 1
e
limh→0−
|h|h
= limh→0−
−hh
= limh→0−
−1 = −1
os limites laterais sao diferentes, logo o limite nao existe, e se o limite nao existe, afuncao nao e derivavel em x = 0.
10 CAPITULO 2. DERIVADAS
2.3 Regras de Derivacao
Usando a definicao ??, vejamos como as derivadas de algumas funcoes se com-portam.
2.3.1 Derivada de Funcoes Constantes
Seja f(x) = c, com c ∈ R.
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
c− ch
= limh→0
0
f ′(x) = 0
Assim, podemos definir a regra.
Teorema 2.1. Derivada de uma Funcao Constante
d
dxc = 0
2.3.2 Derivadas de Funcoes Potencias
Tomemos a mais simples das funcoes potencias, f(x) = x, aplicando a definicaode derivada temos:
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
x+ h− xh
= limh→0
h
h= lim
h→01
f ′(x) = 1
Logo, podemos escrever:d
dxx = 1
Tomemos agora a funcao potencia f(x) = x3, aplicando a definicao de derivada
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 11
a essa funcao temos:
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
(x+ h)3 − x3
h
= limh→0
x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3
h
= limh→0
3x2h+ 3xh2 + h3
h
= limh→0
h(3x2 + 3xh+ h2)
h= lim
h→03x2 + 3xh+ h2
f ′(x) = 3x2
Logo, podemos escrever:
d
dxx3 = 3x2
Aplicando a definicao, observamos que
d
dxx2 = 2x ,
d
dxx4 = 4x3 e
d
dxx5 = 5x4,
e ainda,d
dxx1 = 1x0.
Teorema 2.2. Derivada de uma Funcao Potencia Inteira (ou Regra da Potencia)
d
dxxn = nxn−1, n ∈ N
Vejamos a demostracao desse resultado.Demonstracao:Seja a funcao f(x) = xn, com n ∈ N. Pela definicao ?? temos:
d
dx(xn) = f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
f ′(x) = limh→0
(x+ h)n − xn
h
Para conclusao da resolucao, deveremos desenvolver o termo (x + h)n e para isso
12 CAPITULO 2. DERIVADAS
aplicaremos o Teorema Binomial 1 e entao
f ′(x) = limh→0
[xn + nxn−1h+
n(n− 1)
2xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn
]− xn
h
= limh→0
nxn−1h+n(n− 1)
2xn−2h2 + · · ·+ nxhn−1 + hn
h
= limh→0
[nxn−1 +
n(n− 1)
2xn−2h+ · · ·+ · · ·+ nxhn−2 + hn−1
]f ′(x) = nxn−1
Aplicando o limite para h→ 0, todos os termos, exceto o primeiro, tenderam a zero,ou seja,
d
dxxn = nxn−1, ∀n ∈ N.
Exemplo 2.7. Determine as derivadas das funcoes abaixo:(a) f(x) = x21
(b) g(x) = x160
SOLUCAO:Aplicando a Regra da Potencia temos:(a) f ′(x) = 21 · x21−1 = 21x20
(b) g′(x) = 160 · x160−1 = 160x159
1Teorema Binomial:
(a + b)n = an + nan−1b +n(n− 1)
2an−2b2 + · · ·+
(nk
)an−kbk + · · ·+ nabn−1 + bn, com n ∈ N
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 13
Exemplo 2.8. Calcule a derivada da funcao potencia g(x) =√x usando a definicao.
g′(x) = limh→0
g(x+ h)− g(x)
h
= limh→0
√x+ h−
√x
h
= limh→0
(√x+ h−
√x)(√x+ h+
√x)
h(√x+ h+
√x))
= limh→0
x+ h− xh(√x+ h+
√x)
= limh→0
h
h(√x+ h+
√x)
= limh→0
1√x+ h+
√x
=1√
x+√x
g′(x) =1
2√x
Logo, podemos escrever:d
dx
√x =
1
2√x
Verificando os limites das funcoes f(x) =1
xe g(x) =
√x, temos
d
dx
(1
x
)= − 1
x2e
d
dx
√x =
1
2√x
que podem ser reescritas da forma
d
dxx−1 = −1x−2 e
d
dxx1/2 =
1
2x−1/2.
Assim, para n = −1 e n =1
2, a Regra da Potencia e valida. De fato, a Regra da
Potencia vale para n ∈ R, a qual sera verificada mais a frente.
14 CAPITULO 2. DERIVADAS
Teorema 2.3. Regra da Potencia (caso geral)
d
dxxn = nxn−1, n ∈ R
Exemplo 2.9. Determine as derivadas das funcoes abaixo:(a) f(x) = 3
√x
(b) g(x) = 1x2
(c) h(x) = xπ+1
SOLUCAO:(a) Como f(x) = 3
√x = x1/3, aplicando a regra da potencia temos:
f ′(x) =1
3· x
13−1 =
1
3x−23 =
1
33√x2
(b)Como g(x) = 1x2 = x−2, aplicando a regra da potencia temos:
g′(x) = −2 · x−2−1 = −2x−3 =−2
x3
(c) h′(x) = (π + 1) · x(π+1)−1 = (π + 1)xπ
2.3.3 Novas derivadas a partir de antigas
Para c ∈ R, f e g funcoes diferenciaveis, os seguintes resultados sao verificados.
Teorema 2.4. Regra do Multiplo Constante
d
dx[cf(x)] = c
d
dxf(x)
Teorema 2.5. Regra da Soma
d
dx[f(x) + g(x)] =
d
dxf(x) +
d
dxg(x)
De maneira analoga, podemos escrever a Regra da Diferenca.
Teorema 2.6. Regra da Diferenca
d
dx[f(x)− g(x)] =
d
dxf(x)− d
dxg(x)
Agora veremos o resultado da derivada do produto de duas funcoes. Sejamf(x) = x2 e g(x) = x3. Com base nos resultados anteriores, podemos conjecturarque, a derivada do produto e o produto das derivadas, ou seja, (fg)′ = f ′g′. Vejamos:
(fg)′(x) = (x2 · x3)′ = (x5)′ = 5x4
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 15
ef ′(x)g′(x) = (x2)′ · (x3)′ = 2x · 3x2 = 6x3,
ou seja, (fg)′ 6= f ′g′. Deste modo, Leibniz obteve a expressao para a derivada doproduto dada no teorema abaixo.
Teorema 2.7. Regra do Produto
d
dx[f(x)g(x)] = g(x)
d
dxf(x) + f(x)
d
dxg(x)
Teorema 2.8. Regra do Quociente
d
dx
[f(x)
g(x)
]=g(x)
d
dxf(x)− f(x)
d
dxg(x)
[g(x)]2
Vejamos a demonstracao do Teorema 2.7.Demonstracao:Seja F (x) = f(x)g(x). Aplicando a definicao ?? a funcao F temos:
F ′(x) = limh→0
F (x+ h)− F (x)
h
= limh→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)
h
Adicionando e subtraindo a quantidade f(x+ h)g(x) do limite temos:
F ′(x) = limh→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x+ h)g(x) + f(x+ h)g(x)− f(x)g(x)
h
= limh→0
[f(x+ h) · g(x+ h)− g(x)
h+ g(x) · f(x+ h)− f(x)
h
]= lim
h→0f(x+ h) · lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h+ lim
h→0g(x) · lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
F ′(x) = f(x)d
dxg(x) + g(x)
d
dxf(x)
As demais demonstracoes se encontram no Apendice B.
Exemplo 2.10. Determine as derivadas das funcoes abaixo:(a) f(x) = 5x3 + x2 − 3x+ 2
(b) g(x) =x3 − 1
x− 1(c) h(x) = (3x2 − x) · (x− 1)
16 CAPITULO 2. DERIVADAS
SOLUCAO:(a) Aplicando a Regra da Soma e do Multiplo Constante temos:
f ′(x) =d
dx5x3 +
d
dxx2 − d
dx3x+
d
dx2
= 5 · 3x2 + 2x− 3 + 0
f ′(x) = 15x2 + 2x− 3
(b) Aplicando a Regra do Quociente temos:
g′(x) =(x− 1) · d
dx(x3 − 1)− (x3 − 1) · d
dx(x− 1)
(x− 1)2
=(x− 1) · 3x2 − (x3 − 1) · 1
(x− 1)2
=3x3 − 3x2 − x3 + 1
(x− 1)2
g′(x) =2x3 − 3x2 + 1
(x− 1)2
(c) Aplicando a Regra do Produto temos:
h′(x) = (x− 1) · ddx
(3x2 − x) + (3x2 − x) · ddx
(x− 1)
= (x− 1) · (6x− 1) + (3x2 − x) · 1= 6x2 − x− 6x+ 1 + 3x2 − x
h′(x) = 9x2 − 8x+ 1
2.3.4 Derivadas de Funcoes Trigonometricas
Esta secao tem por objetivo obter as expressoes das derivadas das principaisfuncoes trigonometricas.
Alguns resultados obtidos no capıtulo 1 merecem ser relembrados, como porexemplo, o limite trigonometrico fundamental.
Teorema 2.9. Limite trigonometrico fundamental limx→0
sen(x)
x= 1
Desse teorema tiramos o resultado abaixo, util nas demonstracoes mais a frente.
Teorema 2.10.
limx→0
cos(x)− 1
x= 0
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 17
Demonstracao:
limx→0
cos(x)− 1
x= lim
x→0
[cos(x)− 1][cos(x) + 1]
x[cos(x) + 1]= lim
x→0
cos2(x)− 1
x[cos(x) + 1]= lim
x→0
sen2(x)
x[cos(x) + 1]=
limx→0
sen(x)
x
sen(x)
[cos(x) + 1]= lim
x→0
sen(x)
xlimx→0
sen(x)
[cos(x) + 1]= [1]
[0
2
]= 0
Exemplo 2.11. Usando o limite trigonometrico fundamental, calcule os limitesabaixo:
(a) limx→0
sen(3x)
x
(b) limx→0
sen(5x)
7x
(c) limx→0
tg(4x)
x
SOLUCAO:
(a) limx→0
sen(3x)
x= lim
x→0
3sen(3x)
3xAplicando agora a substituicao de 3x por θ temos :
limθ→0
3sen(θ)
θ= 3 lim
θ→0
sen(θ)
θ= 3 · 1 = 3
(b) limx→0
sen(5x)
7x= lim
x→0
5
7
sen(5x)
5x=
5
7· 1 =
5
7
(c) limx→0
tg(4x)
x= lim
x→0
sen(4x)
cos(4x)x= lim
x→0
sen(4x)
4x
1
cos(4x)= lim
x→0
sen(4x)
4xlimx→0
1
cos(4x)=
1 · 1 = 1
Seja f(x) = senx, onde x e um arco qualquer medido em radianos. Assim,aplicando a Definicao ?? temos:
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
sen(x+ h)− senx
h
Desenvolvendo a expressao do seno da soma de dois arcos,
f ′(x) = limh→0
senx cosh+ cosxsenh− senx
h
= limh→0
[senx cosh− senx
h+
cosxsenh
h
]= lim
h→0
[senx · cosh− 1
h+ cosx · senh
h
]= lim
h→0
[senx · cosh− 1
h
]+ lim
h→0
[cosx · senh
h
]
18 CAPITULO 2. DERIVADAS
Como as funcoes senx e cos x nao dependem de h, estas podem sair dos limites;
f ′(x) = senx · limh→0
cosh− 1
h+ cosx · lim
h→0
senh
h
Como ja visto ,
limh→0
cosh− 1
h= 0 e lim
h→0
senh
h= 1,
e assim,
f ′(x) = senx · 0 + cos x · 1f ′(x) = cos x
Analogamente e possıvel mostrarmos que a derivada da funcao cosseno e o oposto
da funcao seno, ou seja,d
dxcosx = −senx, que e deixado como atividade para o
leitor.
Teorema 2.11. Derivadas das Funcoes Trigonometricas
d
dxsenx = cosx
d
dxcossecx = −cossecx · cotgx
d
dxcosx = −senx
d
dxsecx = secx · tgx
d
dxtgx = sec2 x
d
dxcotgx = −cossec2x
A demonstracao deste Teorema, encontra-se no Apendice.
Exemplo 2.12. Determine as derivadas:(a) f(x) =
√x cos(x);
(b) h(x) =sen2x+ cos2 x
tgx;
SOLUCAO:(a) Aplicando a Regra do Produto temos:
f ′(x) = cos x · ddx
√x+√x · d
dxcosx
= cosx · 1
2√x
+√x · (−senx)
f ′(x) =cosx− 2x · (senx)
2√x
(b) Antes de aplicar a derivada, pode-se reescrever a funcao h por
h(x) =1
tgx
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 19
pois sen2x+ cos2 x = 1 (Relacao Fundamental da Trigonometria) e ainda,
h(x) = cotgx,
logo:
h′(x) =d
dxcotgx
h′(x) = −cossec2x
2.3.5 Regras da Cadeia
Ate o presente momento, nao foram apresentadas tecnicas para encontrarmosF ′(x) se F (x) = (2x − 1)100. Abaixo segue uma tecnica para derivacao de funcoescompostas.
Teorema 2.12. Regra da CadeiaSeja f e g funcoes diferenciaveis e F = f ◦ g uma funcao composta definida porF = f(g(x)), entao F e diferenciavel e F ′ e dada por
F ′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)
ou pela notacao de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) entao
dy
dx=dy
du· dudx.
Assim, para F (x) = (2x − 1)100, vejamos F ′(x). Podemos pensar na seguintecomposicao F = f ◦ g onde f(x) = x100 e g(x) = 2x − 1. Derivando f e g temosf ′(x) = 100x99 e g′(x) = 2 e pela Regra da Cadeia
F ′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)
= 100(2x− 1)99 · 2F ′(x) = 200(2x− 1)99
20 CAPITULO 2. DERIVADAS
2.3.6 EXERCICIOS PROPOSTOS
Nos exercıcios de 1 a 3 use a definicao de derivada de uma funcao para calcu-lar f ′ (x0) e determine a equacao da reta tangente ao grafico da funcao no ponto(x0, f (x0)).
1. f(x) =√x+ 4, x0 = 5 2. f(x) =
4
x+ 2, x0 = 0 3. fx) =
1
x, x0 =
1
3
4. Quantas retas tangentes ao grafico de y = x3 + 3x sao paralelas a reta y =6x+ 1? Determine as equacoes dessas tangentes.
5. Considere a funcao f(x) = 1x
e responda as questoes abaixo:
(a) Qual o domınio e a imagem de f ?
(b) Esboce o grafico de f .
(c) Em quais pontos f e contınua?
(d) Calcule f ´(x).
(e) Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (2, 1).
(f) Existe uma outra reta que seja tangente ao grafico de f e que seja paralelaa reta do item anterior ? Caso exista, de sua equacao e o seu ponto detangencia.
6. Ache a coordenada x do ponto sobre o grafico de f(x) =√x no qual a reta
tangente e paralela a reta secante que corta a curva quando x = 1 e x = 4.
7. Um projetil e lancado do solo e sua distancia em relacao ao solo apos t segundose dada por
s(t) = 120t− 4, 9t2 metros
(a) Calcule s(0) , s(5) , s(10) e s(20).
(b) Calcule a velocidade media do projetil nos primeiros 10 segundos.
(c) Calcule a velocidade media do projetil nos primeiros 20 segundos.
(d) Calcule a velocidade do projetil para t = 0 , t = 5 , t = 10 e t = 20segundos.
(e) Em que instante o projetil estara mais alto ?
(f) Em que instante o projetil atinge o solo ?
(g) Qual a velocidade do projetil ao atingir o solo ?
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 21
Nos exercıcios de 8 a 35 calcule a derivada de cada funcao. (se possıvel,simplifique a funcao e/ou a derivada da funcao)
8. f(x) = (x3 + x+ 10) (x4)
9. f(x) = 2x
+ x2− 2
3x
10. f(x) = 1, 7− 3x
+ 5 7√x
11. f(x) =√
10− 3 secx
12. f(x) = 3x+1
13. f(x) = x+13
14. f(x) = 2x+13−7x
15. f(x) = 10xsecx
16. f(x) = sen (3x)
17. f(x) = sen(
3x
)18. f(x) = 3
xsen (x)
19. f(x) = (x3 + 2x)5
20. f(x) =√
9− 7x
21. f(x) = 3√1+5x
22. f(x) = cosx3x+23x2
23. f(x) = 3x√x
24. f(x) = (x2 + 2x+ 1) tanx
25. f(x) = cos2 x
26. f(x) = cos(x2)
27. f(x) = sen(x2) + sec x
28. f(x) =√x senx
29. f(x) = 5√x+ 3
√7x
30. f(x) = 2x5 secx
31. f(x) = 3 cos2(x) secx
32. f(x) =secx
x3 + 2x+ 3
33. f(x) =x2
x4 + 1
34. f(x) =1
(x2 + 2)2
35. f(x) = |2x− 8|, x 6= 4
36. Dado que f ′(0) = 2 , g(0) = 0 e g′(0) = 3 , ache (f ◦ g)′(0).
37. Dado que f ′(x) =√
3x+ 4 e g(x) = x2 + 1, ache F ′(x) se F (x) = f(g(x)).
22 CAPITULO 2. DERIVADAS
Exemplo 2.13. Determine as funcoes derivadas das funcoes abaixo:(a) g(x) = sec(x3 + x2 − x)(b) h(x) = (x3 − 2x)10
SOLUCAO:
(a) Tomando g = s ◦ r onde s(x) = secx e r(x) = x3 + x2 − x, onde s′(x) =secxtgx e r′(x) = 3x2 + 2x− 1, pela Regra da Cadeia temos:
g′(x) = s′(r(x)) · r′(x)
g′(x) = sec(x3 + x2 − x)tg(x3 + x2 − x)(3x2 + 2x− 1)
(b) Tomando h = p ◦ q onde p(x) = x10 e q(x) = x3 − 2x, onde p′(x) = 10x9 eq′(x) = 3x2 − 2, pela Regra da Cadeia temos:
g′(x) = p′(q(x)) · q′(x)
g′(x) = 10(x3 + x2 − x)9(3x2 − 2)
2.3.7 Derivada da Funcao Exponencial
Seja f(x) = ax, a > 0. Aplicando a definicao de derivada 2.6 temos que:
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
= limh→0
ax+h − ax
h
= limh→0
axah − ax
h
= limh→0
ax(ah − 1)
h
Como ax nao depende de h, ele pode sair do limite e entao:
f ′(x) = ax limh→0
ah − 1
h(2.5)
Calculando a derivada f ′ em x = 0, temos:
f ′(0) = limh→0
ah − 1
h
Assim, podemos escrever a equacao 2.5 da forma
f ′(x) = axf ′(0) (2.6)
Como pode ser visto, no Apendice de Funcoes, a funcao f(x) = ex possui como retatangente, a curva y = x + 1, reta com inclinacao m = 1, ou seja, f ′(0) = 1. Assim,podemos definir:
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 23
Definicao 2.7. O Numero e e um numero tal que limh→0
eh − 1
h= 1.
Combinando a Definicao 2.7 e a Eq. 2.6, temos:
Teorema 2.13. Derivada da Funcao Exponencial Natural
d
dxex = ex
Exemplo 2.14. Determine as derivadas abaixo:(a) f(x) = ex(x2 − 1)(b) g(x) = (2ex − 3
√x)ex
(c) f(x) = esenx
SOLUCAO:(a) Aplicando a Regra do Produto temos:
f ′(x) = ex · ddx
(x2 − 1) + (x2 − 1) · ddxex
= ex · 2x+ (x2 − 1) · ex
f ′(x) = (x2 + 2x− 1)ex
(b) Aplicando a Regra do Produto temos:
g′(x) = (2ex − 3√x) · d
dxex + ex · d
dx(2ex − 3
√x)
= (2ex − 3√x) · ex + ex
(2ex − 1
3x−
23
)= ex
(4ex − 3
√x− 1
3x23
)g′(x) = ex
(4ex − 3
√x− 1
33√x2
)(c) Assumindo f = m ◦ n onde m(x) = ex e n(x) = senx, temos que m′(x) = ex
e n′(x) = cos x, daı pela Regra da Cadeia:
f ′(x) = m′(n(x)) · n′(x)
f ′(x) = esenx · cosx
Agora, seja f(x) = ax,∀a > 0. Note que a = eln a e entao f(x) = (eln a)x ⇒f(x) = ex ln a e aplicando a regra da cadeia temos que f ′(x) = ex ln a · ln a, ou seja,f ′(x) = ax · ln a. Logo
Teorema 2.14.d
dxax = ax · ln a
24 CAPITULO 2. DERIVADAS
Exemplo 2.15. Determine as derivadas:(a) f(x) = 5x
3+6x2
(b) g(x) = (7x− 7x)9
SOLUCAO:
(a) Tomando f = s ◦ r onde s(x) = 5x e r(x) = x3 + 6x2, onde s′(x) = 5xln(5)e r′(x) = 3x2 + 12x, pela Regra da Cadeia temos:
f ′(x) = s′(r(x)) · r′(x)
f ′(x) = 5x3+6x2
ln(5)(3x2 + 12x)
(b) Tomando g = s ◦ r onde s(x) = x9 e r(x) = 7x − 7x, onde s′(x) = 9x8 er′(x) = 7− 7xln(7), pela Regra da Cadeia temos:
g′(x) = s′(r(x)) · r′(x)
g′(x) = 9(7x− x7)8(7− 7xln(7))
2.3.8 Derivacao Implıcita
Existem funcoes que sao definidas implicitamente por uma relacao entre x e y,ou seja, sao equacoes que em alguns casos podem ser resolvidas, encontrando umaou varias funcoes explicitas de y em x.
Exemplo 2.16. A equacao 3x2 − y + x = 0 define implicitamente y = 3x2 + x , ouseja podemos considerar y como funcao de x.
Exemplo 2.17. A equacao x2 + y2 = 4 pode ser expressa explicitamente pelasfuncoes f(x) =
√4− x2 e g(x) = −
√4− x2.
Nem todas as equacoes que envolvem x e y podem ser resolvidas para y, e algumaso trabalho para isolar y e muito grande, por exemplo a equacao x3 + y3 = 6xy.Nesta secao mostraremos que nao e necessario termos uma funcao explıcita paracalcularmos a sua derivada. Uma funcao definida implictamente por uma equacaopode ser tambem derivada, basta fixar uma das variaveis como dependente e aoutra como independente e assumir que a variavel dependente y seja uma funcaodiferenciavel de x.
A diferenciacao implıcita consiste em diferenciar ambos os membros da equacao
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 25
e resolver a equacao para y′, . Vejamos como determinardy
dxpara x2 + y2 = 4.
d
dx(x2 + y2) =
d
dx4
d
dx(x2) +
d
dx(y2) = 0
2x+ 2ydy
dx= 0
2ydy
dx= −2x
dy
dx= −2x
2y,
logo,dy
dx= −x
y.
Exemplo 2.18. Determine a equacao da reta tangente a curva y2 = 5x4 − x2,conhecida por kumpyle de Eudoxus, no ponto (1, 2).
SOLUCAO:A curva, nao pode ser expressada por uma unica funcao em x, por isso, aplicaremosderivacao implıcita. Suponha y = f(x) seja uma funcao definida implicitamentepela equacao dada e que seja derivavel. Assim, derivando em relacao a x temos:
d
dx(y2) =
d
dx(5x4 − x2)
2ydy
dx= 20x3 − 2x
dy
dx=
20x3 − 2x
2y
dy
dx=
10x3 − xy
Calculando o valor da derivada para x = 1 temos:
dy
dx
∣∣∣∣x=1
=10(1)3 − (1)
2=
9
2
Logo, a equacao da reta tangente a curva y2 = 5x4 − x2 no ponto (1, 2) e
y − 2 =9
2(x− 1)⇒ y =
9x− 5
2
2.3.9 Derivadas de Funcoes Logarıtmicas
Esta secao apresenta a aplicacao da tecnica de derivacao implıcita para encontrara derivada de funcoes logarıtmicas.
26 CAPITULO 2. DERIVADAS
Seja y = loga x para a > 0, a 6= 1 e x > 0, entao
ay = x
que diferenciando implicitamente temos
d
dx(ay) =
d
dxx
ay(ln a)dy
dx= 1
dy
dx=
1
ay(ln a)
dy
dx=
1
x ln a
Assim,d
dx(loga x) =
1
x ln aTomando a = e, y = loga x = lnx e entao
d
dx(lnx) =
1
x
uma vez que ln e = 1.
Exemplo 2.19. Determine as derivadas.(a) y = ln(cos(2x))(a) y = log2(ex + 1)
SOLUCAO:Aplicando a tecnica de derivacao de funcoes logarıtmicas junto com a Regra daCadeia, temos:(a)
y′ =1
cos(2x)· ddx
cos(2x)
=1
cos(2x)· (−sen(2x)) · 2
=−2sen(2x)
cos(2x)
y′ = −2tg(2x)
(b)
y′ =1
(ex + 1) ln 2· ddx
(ex + 1)
=1
(ex + 1) ln 2· ex
y′ =ex
(ex + 1) ln 2
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 27
2.3.10 EXERCICIOS PROPOSTOS
1. Mostre atraves da definicao que se f(x) = x2 + 3x− 2 entao f ′(−1) = 1.
2. A partir da definicao, mostre que f ′(x) = 4− 6x se f(x) = 2 + 4x− 3x2.
Nos exercıcios de 3 a 23 calcule a funcao derivada e quando possıvel simplifiqueantes e/ou depois de derivar.
3. f(x) = esenx;
4. m(x) = (x7 − x5 + x3 − x)13 ;
5. g(x) = cos
(x3 − 5
ex
);
6. h(x) =cos2 x− 1
tg2x;
7. k(x) = ex · senx− 1
e−x · secx;
8. z(x) =
(x2 − 4x− 4
x− 2
)100
.
9. f(x) = ecosx;
10. m(x) = (x4 − x3 + x2 − x+ 1)23 ;
11. g(x) = sen
(ex
3x4 − 5
);
12. h(x) =sen2x+ cos2 x
tg2x;
13. k(x) = ex · cosx− 1
e−x · cossecx;
14. z(x) =
(x2 − 4
x− 2
)100
;
15. f(x) = log10 x2;
16. g(x) = ln
(1− cos2 x
senx
);
17. h(x) =x2
lnx;
18. d(x) = ln2(tgx− cotgx);
28 CAPITULO 2. DERIVADAS
19. f(x) = log2(x2 − 2);
20. g(x) = ln3( x
senx
);
21. h(x) =x
lnx;
22. k(x) = log2(cosx− senx).
23. Determine a equacao da reta tangente a curva f(x) =ex − 1
2− exquanto x = 0.
24. A funcao y =4
3x3−x2−2x+1 possui tangente horizontal? Se sim, para quais
valores de x?
Nos exercıcios de 25 a 28 aplique uma transformacao logarıtmica e deriveimplicitamente.
25. f(x) = (senx)cosx
26. g(x) = xx2
27. k(x) = (tg2x)x
28. h(x) = xlnx
2.3.11 Derivadas de Funcoes Trigonometricas Inversas
Para determinar as derivadas Funcoes Trigonometricas Inversas, usa-se derivacaoimplıcita.
Seja y = sen−1x que significa seny = x com −π2≤ y ≤ π
2. Diferenciando seny = x
implicitamente temos
d
dx(seny) =
d
dxx
cos ydy
dx= 1
Limitando agora y ao intervalo −π2< y <
π
2temos cos y > 0 logo:
dy
dx=
1
cos y
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 29
Pela relacao fundamental da trigonometria,
cos y =√
1− sen2y ⇒ cos y =√
1− x2
edy
dx=
1
cos y=
1√1− x2
.
Logod
dx(sen−1x) =
1√1− x2
Teorema 2.15. Derivadas de Funcoes Trigonometricas Inversasd
dxsen−1x =
1√1− x2
d
dxcossec−1x = − 1
x√x2 − 1
d
dxcos−1 x = − 1√
1− x2
d
dxsec−1 x =
1
x√x2 − 1
d
dxtg−1x =
1
1 + x2
d
dxcotg−1x = − 1
1 + x2
A demonstracao dos demais itens deste teorema e analoga a prova feita acima e edeixada a cargo do leitor.
Exemplo 2.20. Determine as derivadas.(a) y = sen−1(x2)(a) y = tg−1(ex)
SOLUCAO:Aplicando a Regra da Cadeia (diretamente) e o Teorema 2.15 para ambos os itens:(a)
y′ =1√
1− (x2)2· ddxx2
y′ =2x√
1− x4
(b)
y′ =1
1 + (ex)2· ddxex
y′ =ex√
1− e2x
30 CAPITULO 2. DERIVADAS
2.3.12 LISTA ESPECIAL
1. Um atleta percorre uma pista de 100 metros de modo que a distancia s(t)percorrida apos t segundos e dada por
s(t) =1
5t2 + 8t
.
(a) Calcule s(0) , s(2) , s(5) e s(10).
(b) Calcule a velocidade media do atleta nos primeiros 2 segundos.
(c) Calcule a velocidade media do atleta nos primeiros 5 segundos
(d) Calcule a velocidade media do atleta nos primeiros 10 segundos.
(e) Calcule a velocidade do atleta para t = 0 .
(f) Calcule a velocidade do atleta no final da pista.
Nos exercıcios de 2 a 8 calcule a derivada de cada funcao. (se possıvel, simpli-fique a funcao e/ou a derivada da funcao)
2. f(x) =(3x + x3 + 3
x+ x
3
)100
3. f(x) = sen(5x+ 2)√x2 + 4
4. f(x) = log3(x)sec(x)
5. f(x) =√
10x− 3 sec(5x)
6. f(x) = 7x+tg(x)x3+1
7. f(x) = ex + 3e2x + ln(5x) + 16x
8. f(x) = 5√
sen(3x+ 20x7)
Admitindo que a equacao determine uma funcao derivavel f tal que y = f(x)calcule y′ nos exercıcos 9 e 10:
9. y = x2sen(y)
10. 2√x+ 6
√y = 400
Usando o limite trigonometrico fundamental, calcule os limites de 11 a 13:
11. limx→0
sen(7x)
3x
12. limx→0
5x
sen(x)
13. limx→0
tg(15x)
sen(x)
2.3. REGRAS DE DERIVACAO 31
Calcule os limites abaixo:
14. limx→0
sen(x)
x− 8
15. limx→7
x− 7
x2 − 49
16. limx→1
x2 − 1
x− 1
17. limx→3
5x
x− 3
18. limx→3
−7x
(x− 3)2
19. limx→+∞
(x3 − x4
)
20. limx→+∞
x2 + 3x− 5000
4x2 − 3
21. limx→+∞
x2 + 8x3
x3 + 20
22. limx→+∞
4x2 + 15000
x3 − 1
23. limx→+∞
x5
400x2 + 3x4 + 700
24. limx→+∞
√x2 − 2x+ 2
x+ 1
25. Determine as equacoes das assıntotas verticais e horizontais do grafico da
funcao f(x) =3x2
x2 − 4e faca um esboco do grafico de f .
26. Considere a funcao f(x) = (x+ 2)2 − 4 e responda as questoes abaixo:
(a) Qual o domınio e a imagem de f ?
(b) Esboce o grafico de f .
(c) Em quais pontos f e contınua?
(d) Calcule f ′(x) .
(e) Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (1,5).
(f) Existe uma outra reta que seja tangente ao grafico de f e que seja per-pendicular a reta do item anterior ? Caso exista de sua equacao e o seuponto de tangencia.
32 CAPITULO 2. DERIVADAS
Apendice A
Funcoes Transcendentes
A.1 Funcao Exponencial
Desde o ensino fundamental temos contato com potencias de expoente natural,inteiros e racionais ensinados nessa ordem segundo a ideia abaixo.
an = a× a× a× ...× a︸ ︷︷ ︸nfatores
n ∈ N
a−n = 1an
=(
1a
)na 6= 0 e n ∈ N
amn = n
√am a 6= 0 e m,n ∈ N (se n for par a potencia am deve ser maior
que zero)
Como definir potencias com expoentes irracionais do tipo 2√
2? Uma das maneirase definir a potencia com expoente irracional como o limite de potencias com expoenteracional. Vejamos abaixo a tabela:
x 2x
1,4 21,4
1,41 21,41
1,414 21,414
1,4142 21,4142
A primeira coluna e uma sequencia de numeros racionais que tende ao numeroirracional
√2, a segunda coluna e formada por potencias com expoentes racionais e
tende a 2√
2. E razoavel entao definir 2√
2 como o limite um limite de potencias debase 2 com expoentes racionais tendendo a
√2.
A funcao exponencial aparece naturalmente em muitas aplicacoes, desde descr-ever o crescimento de populacoes de bacterias em um tubo de ensaio ao calculo dejuros em um banco.
33
34 APENDICE A. FUNCOES TRANSCENDENTES
Definicao A.1. Se a > 0 e a 6= 1 , a funcao exponencial de base a e dada porf(x) = ax , seu domınio e R e sua imagem e (0,+∞).
Exemplo A.1. Observe o comportamento do grafico da funcao f(x) = 2x
Exemplo A.2. Observe o comportamento do grafico da funcao f(x) =(
12
)x
O numero irracional e = 2, 71828182... e a base mais usada para representar umafuncao exponencial. Esse numero e conhecido como numero de Euler, em homenagenao matematico suıco Leonard Euler e a funcao f(x) = ex e chamada de exponencialnatural e aparece em modelagens de fenomenos naturais e fısicos.
O numero e aparece na construcao do grafico da funcao f(x) =(1 + 1
x
)xcomo
uma assıntota horizontal.
limx→+∞
(1 +
1
x
)x= e e lim
x→−∞
(1 +
1
x
)x= e.
A.1. FUNCAO EXPONENCIAL 35
Outra maneira de representar o numero e e realizar mudanca de variavel noslimites anteriores. Substituindo 1/x por θ temos:
θ =1
x⇒ x =
1
θ
e quando x→ ±∞ temos θ → 0, logo
limθ→0
(1 + θ)1θ = e
Observe abaixo os graficos de f(x) = 2x e g(x) = 3x e de suas tangentes no ponto(0, 1).
36 APENDICE A. FUNCOES TRANSCENDENTES
A inclinacao da tangente na primeira funcao e menor que 1 enquanto a inclinacaoda tangente na segunda e maior que 1. Pergunta-se: sera que existe alguma funcaoexponencial cuja inclinacao da reta tangente no ponto (0, 1) seja 1?A resposta e: sim existe, e e a funcao f(x) = ex. Veja seu grafico abaixo:
Usando a definicao de derivada no ponto x = 0 temos
f ′(x) = limh→0
f(a+ h)− f(x)
h
f ′(0) limh→0
f(0 + h)− f(0)
h= lim
h→0
e0+h − e0
h= lim
h→0
eh − 1
h= 1
Observacao A.1. A funcao exponencial e contınua no seu domınio R
Exemplo A.3. Construa o grafico das funcoes abaixo:
a) F (x) = 32x
b) G(x) = 3x + 2
A.2. FUNCAO LOGARITMICA 37
c) H(x) = −3x + 4d) T (x) = 3x+2 + 5
A.2 Funcao Logarıtmica
Definicao A.2. O logaritmo de x na base b e o numero y tal que by = x e denotadopor logbx , sempre com b > 0 e x > 0. Em outras palavras, logbx = y se e somentese by = x.
Exemplo A.4. log28 = 3, pois 23 = 8
log2(1/4) = −2, pois 2−2 = 1/4
Teorema A.1. (Propriedades dos logaritmos) Sejam b, n,x e y numeros reais taisque b > 0 , x > 0 , y > 0 e b 6= 1.
logb(xy) = logb(x) + logb(y)
logb
(x
y
)= logb(x)− logb(y)
logb(xn) = n · logb(x)
Teorema A.2. (Mudanca de base) Sejam b, a e c numeros reais tais que b > 0 ,a > 0 , c 6= 1 e b 6= 1.
logb(a) =logc(a)
logc(b)
Definicao A.3. Seja b ∈ R, com b > 0 e b 6= 1. Definimos a funcao logarıtmica nabase b por f(x) = logbx , cujo domınio e (0,+∞) e sua imagem e R
Observacao A.2. A funcao f(x) = logbx e a funcao inversa da funcao g(x) = bx ,pois f(g(x)) = x para todo x no domınio de g e g(f(x)) = x para todo x no domıniode f .
Exemplo A.5. log2(2x) = x e 2log2(x) = x
Observacao A.3. A funcao f(x) = log10(x) (base 10) e denotada simplesmentepor f(x) = log(x) . A funcao g(x) = loge(x) (base e) e denotada simplesmentepor g(x) = ln(x) (logaritmo natural).
Observacao A.4. A funcao logarıtmica e contınua em seu domınio (0,+∞).
38 APENDICE A. FUNCOES TRANSCENDENTES
Exemplo A.6. Observe o comportamento do grafico da funcao f(x) = log2(x)
Exemplo A.7. Observe o comportamento do grafico da funcao f(x) = log1/2(x)
Exemplo A.8. Construa o grafico das funcoes abaixo:a) f(x) = log2(x)b) g(x) = log2(x+ 3)c) h(x) = log2(x) + 4d) t(x) = 3log2(x)
Apendice B
Demonstracoes dos Teoremas
Teorema B.1. Regra do Multiplo Constante
d
dx[cf(x)] = c
d
dxf(x)
Demonstracao:Sejam c ∈ R, f uma funcao diferenciavel e G(x) = cf(x). Aplicando a definicao ??a funcao G temos:
G′(x) = limh→0
G(x+ h)−G(x)
h
= limh→0
cf(x+ h)− cf(x)
h
= limh→0
c
[f(x+ h)− f(x)
h
]= c lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
hG′(x) = cf ′(x)
Teorema B.2. Regra da Soma
d
dx[f(x) + g(x)] =
d
dxf(x) +
d
dxg(x)
Demonstracao:Seja H uma funcao definida pela soma H(x) = f(x) + g(x). Calculando a derivada
39
40 APENDICE B. DEMONSTRACOES DOS TEOREMAS
de H temos:
H ′(x) = limh→0
H(x+ h)−H(x)
h
= limh→0
[f(x+ h) + g(x+ h)]− [f(x) + g(x)]
h
= limh→0
[f(x+ h)− f(x)] + [g(x+ h)− g(x)]
h
= limh→0
[f(x+ h)− f(x)
h+g(x+ h)− g(x)
h
]H ′(x) = f ′(x) + g′(x)
Teorema B.3. Regra do Produto
d
dx[f(x)g(x)] = f(x)
d
dxg(x) + g(x)
d
dxf(x)
Demonstracao:Seja F (x) = f(x)g(x). Aplicando a definicao ?? a funcao F temos:
F ′(x) = limh→0
F (x+ h)− F (x)
h
= limh→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)
h
Adicionando e subtraindo a quantidade f(x+ h)g(x) do limite temos:
F ′(x) = limh→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x+ h)g(x) + f(x+ h)g(x)− f(x)g(x)
h
= limh→0
[f(x+ h) · g(x+ h)− g(x)
h+ g(x) · f(x+ h)− f(x)
h
]= lim
h→0f(x+ h) · lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h+ lim
h→0g(x) · lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
F ′(x) = f(x)d
dxg(x) + g(x)
d
dxf(x)
Teorema B.4. Regra do Quociente
d
dx
[f(x)
g(x)
]=g(x)
d
dxf(x)− f(x)
d
dxg(x)
[g(x)]2
Demonstracao:
41
Seja a funcao F dada pelo quociente F (x) =f(x)
g(x). Aplicando a definicao ?? temos:
F ′(x) = limh→0
F (x+ h)− F (x)
h
= limh→0
f(x+ h)
g(x+ h)− f(x)
g(x)
h
= limh→0
f(x+ h)g(x)− f(x)g(x+ h)
g(x+ h)g(x)
h
= limh→0
f(x+ h)g(x)− f(x)g(x+ h)
h · g(x+ h)g(x)
Adicionando e subtraindo a quantidade f(x)g(x) do limite temos:
F ′(x) = limh→0
f(x+ h)g(x)− f(x)g(x) + f(x)g(x)− f(x)g(x+ h)
h · g(x+ h)g(x)
= limh→0
[g(x) · f(x+ h)− f(x)
h
]−[f(x) · g(x+ h)− g(x)
h
]g(x+ h)g(x)
=
[limh→0
g(x)] [
limh→0
f(x+ h)− f(x)
h
]−[limh→0
f(x)] [
limh→0
g(x+ h)− g(x)
h
][limh→0
g(x+ h)] [
limh→0
g(x)]
F ′(x) =g(x)
d
dxf(x)− f(x)
d
dxg(x)
[g(x)]2
Teorema B.5. Derivadas das Funcoes Trigonometricas
d
dxsenx = cosx
d
dxcossecx = −cossecx · cotgx
d
dxcosx = −senx
d
dxsecx = secx · tgx
d
dxtgx = sec2 x
d
dxcotgx = −cossec2x
Demonstracao:Abaixo segue a demonstracao para funcao tangente,as demais sao deixadas a cargo
do leitor. Seja f(x) = tg(x), reescrevendo-a, f(x) =senx
cosxe aplicando a Regra do
42 APENDICE B. DEMONSTRACOES DOS TEOREMAS
Quociente para encontra f ′(x) temos:
f ′(x) =cosx
d
dxsenx− senx
d
dxcosx
[cosx]2
=cosx · cosx− senx · (−senx)
cos2 x
=cos2 x+ sen2x
cos2 x
=1
cos2 xf ′(x) = sec2 x