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Cálculo II
Aula 07: Maximizando a Derivada Direcional, Plano Tangente às Superfícies de
Nível, A Importância do Vetor Gradiente.
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Teorema
Suponha que f seja uma função diferenciável de duas ou três variáveis.
O valor máximo da derivada direcional
e ocorre quando u tem mesma direção e sentido que o vetor gradiente .
( ) é ( )uD f X f X
( )f X
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Exemplo 1
(a) Se , determine a taxa de variação de f no ponto P(2,0) na direção
de P a .
(b) Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?
( , ) yf x y xe
1,2
2Q
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graficamente
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Exemplo 2
Suponha que a temperatura em um ponto do espaço seja dada por
, onde T é a temperatura medida em graus Celsius e x,y,z em metros. Em qual direção do ponto (1,1,-2) a temperatura cresce mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
2 2 2( , , ) 80 /(1 2 3 )T x y z x y z
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Plano tangente e reta normal
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Plano tangente e reta normal
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Exemplo 3
Determine as equações do plano tangente e reta normal no ponto (-2,1,-3) ao elipsóide
2 22 3
4 9
x zy
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Gráficamente
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Importância do vetor gradiente
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Montanha Lonesome
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f (x,y) = x2 – y2
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Material disponível emwww.mat.ufam.edu.br/calculo2