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Amintas
engenharia
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Interpolação Polinomial
Unidade 5
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Ementa:
5.1 – Introdução
5.2 – Interpolação Linear e Quadrática
5.3 – Interpolação de Lagrange
5.4 – Interpolação com diferenças divididas
!e"ton#
5.5 – Interpolação com diferenças finitas
$regor%&!e"ton#.
Interpolação Polinomial
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5.1 – Introdução
'iversas ve(es temos a necessidade de encontrar
um valor intermediário em uma ta)ela de valores
por e*emplo+ a tabela de probabilidades de umacurva normal#.
!esta unidade+ estudaremos alguns m,todos
num,ricos para resolver este tipo de pro)lema.
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5.1 – Introdução
Interpolação Polinomial
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Polinômios Interpoladores:
-ão polinmios constru/dos com o intuito de
relacionar uma variável de entrada com uma
variável de saída.'esta forma+ eles podem ser usados para estimar
os valores intermediários das ta)elas.
0as a utilidade destes polinmios vai al,m eles
tam),m serão necessários nas unidades + e
deste curso.
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5. – Interpolação linear e !uadrática:
1 – Interpolação linear
'ados dois pontos *+ %# e *1+ %1#+ de uma função % 6 f*#+
pode&se utili(ar a interpolação linear para calcular o valorde " !uando o valor de # assume valores entre #$ e #1.
7 forma do polinmio interpolador ,
%&#' ( P1&#' ) a$ * a1 . #
8 ele pode ser calculado com a f9rmula
( )0
01
0101 .)( x x
x x
y y y x P −
−−
+=
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8*emplo :alcule ;1+2# dados os pontos a)ai*o
retirados da e<uação f*# 6 e2*#
7trav,s da f9rmula
i 0 1
x i +1 +=
y i 1+221 3+32
( ) 641,11,02,0.1,06,0
221,1320,3221,1)2,0(1 =−
−−
+= P
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– Interpolação +uadrática:
;ode&se mel>orar o resultado o)tido com a interpolação
linear aplicando um polinmio interpolador de grau maior.
;or e*emplo+ digamos <ue temos tr?s pontos
*+ %#+ *1+ %1# e *2+ %2#+ de uma certa função % 6 f*#.
;ara reali(ar a apro*imação+ fa(emos
%&#' ( P&#' ) a$ * a1# * a#
@nde ;2*# , um polinmio interpolador de grau 2.
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-e su)stituirmos os valores dos pontos no polinmioanterior+ teremos tr?s e<uaçAes distintas
Que podemos reescrever da seguinte forma
=++=++
=++
2
2
22210
1212110
0
2
02010
y xa xaa
y xa xaa
y xa xaa
=
2
1
0
2
1
0
2
22
2
11
2
00
.
1
1
1
y
y
y
a
a
a
x x
x x
x x
Interpolação Polinomial
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8ste , um sistema de e<uaçAes <ue pode ser
facilmente resolvido por <ual<uer um dos m,todos
mostrados na unidade 4.
;or este motivo+ não será apresentado o algoritmo
deste m,todo.
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E#emplo:
'ados os pontos +1B 1+221#+ +=B 3+32# e +B 4+53#+
determine o valor de ;2+2#.
Primeiro passo: 8screver o sistema de e<uaçAes
=
953,4
320,3
221,1
.
64,08,01
36,06,01
01,01,01
2
1
0
a
a
a
Interpolação Polinomial
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,e-undo passo: Cesolver o sistema de e<uaçAes
!este e*emplo+ por $auss#
=
732,3
099,2
221,1
63,07,00
35,05,00
01,01,01
1C
=
7934,0
099,2
221,1
14,000
35,05,00
01,01,01
2C
Interpolação Polinomial
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-olução do sistema de e<uaçAes
a 6 1+141
a1 6 +231
a2 6 5+==
erceiro Passo: 0ontar o polinmio
;2*# 6 1+141 D +231* D 5+==*2
+uarto Passo: 8ncontrar o valor de ;2+2#
;2+2# 6 1+141 D +231.+2 D 5+==.+2#2
;2+2# 6 1+414
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5./ – Interpolação de 0a-ran-e:
7s interpolaçAes linear e <uadrática# mostradas at, o
momento são casos particulares da interpolação de
Lagrange. 7t, o momento+ vimos <ue para determinar uma
interpolação linear+ precisávamos de 2 pontos e para uma
interpolação <uadrática+ precisávamos de 3.
7gora veremos <ue sempre precisaremos de nD1 pontospara montar um polinmio interpolador de grau n.
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Portanto, se forem dados n+1 pontos distintos,
podemos construir um polinômio Ln(x) de grau menor
ou igual a n, passando por todos os n+1 pontos dados.
A fórmula do polinômio interpolador de Lagrange é:
∑ ∏=≠=
−
−
=
n
i
n
i j j ji
j
in x x
x x
y x L 0 0.)(
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Algoritmo Polinomio_Lagrange
{Objetivo: interpolar um valor na tabela usando Lagrange}
Parâmetros de entrada: n, x, y, alor Parâmetros de sa!da: "esultado
#nteiro: i, j
"eal: $, d
Leia n, x, y, alor
"esultado%& Para i %' at( n Passo ' )a*a
$ %'+ d %'
Para j %' at( n Passo ' )a*a
e i-j ent.o
$ %$/0alor1x0j22+ d %d/0x0i21x0j22
)im se
)im Para
"esultado %"esultado3y0i2/$4d
)im Para
5s$reva "esultado
)im Algoritmo
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E#emplo: :alcule L1+2# dados os pontos a)ai*oretirados da e<uação f*# 6 e2*#
7trav,s da f9rmula
i 0 1
x i 0,1 0,6 y i 1,221 3,320
641,11,06,0
1,02,0.320,3
6,01,0
6,02,0.221,1)2,0(
..)(
1
01
01
10
101
=−
−+
−
−=
−−+
−−=
L
x x
x x y x x
x x y x L
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E#emplo: :alcule L2+2# dados os pontos a)ai*oretirados da e<uação f*# 6 e2*#
Etili(ando a f9rmula de Lagrange
i 0 1 2
x i 0,1 0,6 0,8 y i 1,22
13,32
04,95
3
12
1
02
02
21
2
01
01
20
2
10
101
..
....)(
x x
x x
x x
x x y
x x x x
x x x x y
x x x x
x x x x y x L
−
−
−
−+
+−−
−−+
−−
−−=
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Cesolvendo&a
:onsiderando <ue o valor real , f*# 6 1+42+ vemos
<ue aumentar o grau do polinmio mel>ora a e*atidão
do resultado.
414,1)2,0(
6,08,0
6,02,0.
1,08,0
1,02,0.953,4
8,06,0
8,02,0
.1,06,0
1,02,0
.320,3
8,01,0
8,02,0.
6,01,0
6,02,0.221,1)2,0(
2
1
=
−−
−−
+
+−
−
−
−
+
+−−
−−
=
L
L
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5. – Interpolação com di%erenças divididas &2e3ton'
!a seção anterior+ vimos <ue não precisamos resolver
um sistema de e<uaçAes lineares para interpolar
determinado valor.Ema das desvantagens da interpolação de Lagrange era
a necessidade de se reconstruir todo o polinmio se o
grau sofresse uma alteração.
7 interpolação de !e"ton resolve este pro)lema.
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4perador de di%erença dividida:
8le , representado por F*i+* GH+ fF*i+ * GH ou %i e pode
ser calculado da seguinte forma
@rdem Δ0
yi = yi
@rdem 1
@rdem 2
@rdem n
ii
iii
x x
y y y
−∆−∆
=∆+
+
1
0
1
0
ii
iii
x x y y y
−∆−∆=∆+
+
2
12
ini
i
n
i
n
i
n
x x
y y y
−
∆−∆=∆
+
−+
− 1
1
1
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@ cálculo do operador de diferença dividida , mel>orentendido em forma de ta)ela.
8*emplo 'ado o conGunto de dados a)ai*o+ determine
a ta)ela de diferenças divididas
x 0,0 0,2 0,3 0,4 0,7 0,9
y 3,00
0
2,76
0
2,65
5
2,60
0
3,03
5
4,12
5
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Primeiro passo: 8screvemos a ta)ela na vertical+com uma coluna e*tra para o nJmero do item
i x y0 0,0 3,00
0
1 0,2 2,76
02 0,3 2,65
5
3 0,4 2,60
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,e-undo passo: :riamos mais uma coluna+ paraas diferenças divididas de primeira ordem
i x y Δ y i0 0,0 3,00
0-1,20
1 0,2 2,76
0
-1,05
2 0,3 2,655
-0,55
3 0,4 2,60 1,45
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erceiro Passo: 7 pr9*ima coluna difere da anteriorapenas por )uscar valores de * diferentes saltando
uma lin>a#
i x y Δ y i Δ2
y i0 0,0 3,00
0-1,20 0,5
1 0,2 2,76
0
-1,05 2,5
2 0,3 2,655
-0,55 5,0
3 0,4 2,60 1,45 8,0
Interpolação Polinomial
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+uarto Passo: :ompletando a ta)ela at, 4%i+ temos os
valores finais foram (ero por<ue o polinmio original era
do 3K grau#
i x y Δ y i Δ2
y i Δ3
y i Δ4
y i0 0,0 3,00
0-1,20 0,5 5 0
1 0,2 2,760
-1,05 2,5 5 0
2 0,3 2,655
-0,55 5,0 5
3 0,4 2,60 1,45 8,0
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6rmula de 2e3ton:
7gora <ue sa)emos calcular as diferenças divididas+
a f9rmula de !e"ton para o polinmio interpolador
pode ser empregada
( )∑ ∏=
−
=
−∆+=
n
i
i
j
j
i
n x x y y x P
1
1
0
00 .)(
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Algoritmo Polinomio_6e7ton{Objetivo: interpolar um valor na tabela usando 6e7ton}
Parâmetros de entrada: n, x, y, alor
Parâmetros de sa!da: "esultado
#nteiro: i, j
Leia n, x, y, alor "eal: dely0n2
Para i %' at( n Passo ' )a*a
dely0i2 %y0i2
)im Para
Para i %' at( n1' Passo ' )a*a
Para j %n at( i3' Passo 1' )a*a
dely0j2 %0dely0j21dely0j1'2240x0j21x0j1i22
)im Para
)im Para
Interpolação Polinomial
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resultado %dely0n2
Para i % n1' at( ' passo 1' 8a*a
resultado %resultado/0alor1x0i223dely0i2
)im Para
5s$reva "esultado
)im Algoritmo
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E#emplo: 'ada a ta)ela de diferenças divididas a)ai*o+determine o valor de ;21+2#
i x y Δ y i Δ2
y i
0 0,9 3,211
-2,01
0
0,620
1 1,1 2,809
-1,32
8
2 2,0 1,61
Interpolação Polinomial
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:omo n 6 2+ o polinmio de !e"ton será
:alculando
))(()()( 100
2
0002 x x x x y x x y y x P −−∆+−∆+=
627,2)2,1(
)1,12,1)(9,02,1.(620,0
)9,02,1.(010,2211,3)2,1(
2
2
= −−+
+−−=
P
P
Interpolação Polinomial
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5.5 – Interpolação com di%erenças %initas &7re-or"
2e3ton':
8ste m,todo , um caso especial do m,todo de !e"ton+
<uando os valores dos *i estão igualmente espaçados.!este caso+ tra)al>amos com um novo operador @
operador de diferença finita ascendente #.
Interpolação Polinomial
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4perador de di%erença %inita ascendente:
8ste operador , mais simples de calcular do <ue o
operador de diferenças divididas+ pois leva em conta
somente os valores de %
@rdem %i6%i
@rdem 1 %i6 %iD1& %i
@rdem 2 2%i6 %iD1& %i
⁞ ⁞
@rdem n n%i6 n&1%iD1& n&1%i
Interpolação Polinomial
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7 relação entre os operadores de diferença divididae de diferença finita ascendente ,
n
i
n
i
n
9n
y
y !
∆
=∆
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6rmula de 7re-or" 2e3ton:@ polinmio interpolador de $regor%&!e"ton ,
encontrado atrav,s da seguinte f9rmula
@nde
> , o passo dos valores *i+ ou seGa >6*iD1&*i
u* , encontrado atrav,s da f9rmula
( )∑ ∏=
−
=
−∆+=
n
i
i
j
x
i
n jui y y x P
1
1
0
00 .
!)(
9
x xu x
0−=
Interpolação Polinomial
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Algoritmo Polinomio_regory_6e7ton
{Objetivo: interpolar um valor na tabela usando regory16e7ton}
Parâmetros de entrada: n, x, y, alor Parâmetros de sa!da: "esultado
#nteiro: i, j
Leia n, x, y, alor
"eal: dely0n2 , u
Para j%' at( n1' Passo ' )a*a
Para i %n at( j3' passo 1' 8a*a
;ely0i2 % ;ely0i21;ely0i1'2
)im Para
)im Para
u %0alor1x0'2240x0<21x0'22
"esultado %;ely0n2 Para i %n1' at( ' passo 1' 8a*a
"esultado="esultado/0u1i3'24i3;ely0i2
)im Para
5s$reva "esultado
)im Algoritmo
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8*emplo
'ados os pontos a)ai*o+ encontre o valor de
;2115# atrav,s do m,todo de $regor% !e"ton.
i x y
0 110 2,041
1 120 2,079
2 130 2,114
Interpolação Polinomial
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Esando os dados da ta)ela+ calculamos
>612&1161
:alculando a ta)ela de diferenças finitas
5,0
10
1101150115 =
−=
−=
9
x xu
i x y Δ y i Δ2 y i
0 110 2,041
0,038
-0,00
3
1 120 2,07 0,03
Interpolação Polinomial
7/23/2019 Cálculo Numérico - Unidade 5 - Interpolação Polinomial
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7plicando a f9rmula de $regor% !e"ton
( )
060,2)115(
)15,0.(5,0.
2
003,05,0.038,0041,2)115(
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2
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P
P
uu y
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n
i
i
j
x
i
n
Interpolação Polinomial