Download - Calculus of variations
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 1
Ghasemzadeh1
Calculus of variations
رات ساب
فهرست عناوين و فصول
توابع مختلط -1سري فوريه و انتگرال فوريه -2معادالت ديفرانسيل جزئي-3حساب تغييرات-4
2
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 2
فهرست عناوين و فصول
حساب تغييرات -1تابعنقاط اكسترمم يادآوري - اكسترمم هاي تابع چند متغيره - اكسترمم فانكشنال - معادله اولر - -
3
يادآوري نقاط اكسترمم تابعxfy)(اكسترمم تابع
0xf
ماكزيمم 0xxfمينيمم
0xxf
...)()!3
()()!2
()()()(32
xyx
xyx
xyxxyxxy
اكسترمم تابع يا نقاط با تغييرات ثابت032 xx )()()( xyxxyxxy
0xxfعطف
Calculus of variations حساب تغييراتيكي از روشهاي قدرتمند در محاسبه ديناميك جسم صلب،بهينه سازي مدارها و تئوري ارتعاشات
4
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 3
اكسترمم هاي تابع چند متغيره
,...),( 21 xxf اكسترمم تابع چند متغيره0df 0نقاط بحراني
ixf ni ,...,2,1
شرط فوق شرط الزم براي نقاط اكسترمم است
يا
zxxyzyxf 2222
022
02
012
zf
xyf
yxf
z
y
x
10
31
0
32
0
z
y
x
1,, 31
32
0 P
تعيين نقاط بحرانيمثال
5
اكسترمم هاي تابع چند متغيره ),( yxf اكسترمم تابع دو متغيره
0df 0نقاط بحراني yx ffيا ...)())(()(
!2
1
)()(),(),(
2000
20
0000
yyxyxx
yx
fyyfyyxxfxx
fyyfxxyxfyxf
0),( 00 yxf xx
0),( 00 yxf xx0),(),(),( 00
20000 yxfyxfyxf xyyyxx
0),(),(),( 002
0000 yxfyxfyxf xyyyxx
0),(),(),( 002
0000 yxfyxfyxf xyyyxx
0),(),(),( 002
0000 yxfyxfyxf xyyyxx
مينيمم نسبيماكزيمم نسبي
اكسترمم نسبي نيستهيچ نتيجه اي نمي
توان گرفت6
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 4
اكسترمم هاي تابع چند متغيره
yxyxf 22 224
028 3 xxfx
2
1
0
0
0
x
x 1,21
1 P
تعيين نقاط بحرانيمثال
022 yf y 10 y 1,21
3 P
1,02P
224 2 xfxx2yyf
8),(),(),( 002
0000 yxfyxfyxf xyyyxx
4),(),(),( 002
0000 yxfyxfyxf xyyyxx
8),(),(),( 002
0000 yxfyxfyxf xyyyxx
مينيمم نسبي
اكسترمم نسبي نيستمينيمم نسبي
1,21
1 P
1,21
3 P
1,02P 4),( 00 yxf xx
4),( 00 yxf xx
2),( 00 yxf xx
7
اكسترمم هاي تابع كوادراتيك
ji
n
ji jin dxdx
xx
xfdxdxdxdxA
1,
)0(2
321
)(,...,,,
ji
n
jiijn xxaxxxxAxA
1,
321 ,...,,,
0det2221
1211
aa
aa
0
....
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
....
...
det
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
01
....
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
....
...
det
21
22221
11211
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
011 a
0det2221
1211
aa
aa011 a
تابع كوادراتيك
a strict minimum point
a strict maximum point 0)(0xxidxA
0)(0xxidxA شرط كافي براي
نقاط اكسترمم
a strict minimum point
a strict maximum point
...
...
ماتريس مشتقات
8
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 5
zxxyzyxf 2222
0211 a
0321
12det
2221
1211
aa
aa
06
200
021
012
det
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
The point is a strict minimum point
022
02
012
zf
xyf
yxf
z
y
x
10
31
0
32
0
z
y
x
1,, 31
32
0 P
200
021
012
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
fff
fff
fff
اكسترمم هاي تابع كوادراتيك
9
conditional extremum
),,( zyxfاكسترمم تابع با قيد
0),,( zyxgقيد يك متغير تابع دو متغير ديگر
0df 0
0
y
x
f
f
يا0zf 0 dzgdygdxgdg zyx
dygdxgg
dz yxz
1
dygfgfdxgfgfg
dzfdyfdxfdf yzzyxzzxz
zyx )()(1
0 xzzx ggff0 xzzx gfgf
0 yzzy gfgf 0 yzzy ggff
0 xx gf
0 yy gf gfF تابع جديد
10ضريب الگرانژ
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 6
conditional extremum
),,( zyxf
اكسترمم تابع با قيد
0),,( zyxg0dF
182),( 22 yxyxyxf
0 xx gf 0 yy gf
yxyxyxgfF 2182 22
مثال
0 zz gf
0),,( zyxg0
0
0
0
F
F
F
F
z
y
x
02تحت محدوديتنقاط بحراني تابع yx
0
0
0
F
F
F
y
x
02
012
0284
yx
y
x
3
1
21
y
x
11
conditional extremum
),...,,,( 321 nxxxxf
nm
0,...,,,
...................................
0,...,,,
0,...,,,
321
3212
3211
nm
n
n
xxxxg
xxxxg
xxxxg
اكسترمم تابع با قيود
i
m
ii gfF
1
تابع جديد
0dF
0
01
j
m
jxjjx
g
gfii
ni ,...,2,1
mj ,...,2,1 nm
jix ,
12
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 7
Extrema of functionals
تابعك-فانكشنال
dxyyxfIx
x
2
1
),,(
مينيمم باشد xكه سطح حاصل از دوران آن حول محور a,bمطلوب است منحني بين نقاط مساله
b
a
b
a
dxyyydsA 212 )1(22
a
b
xy
ds
(I)مفروض است اگر به هر تابع توسط رابطه اي يك عدد متناهي y(x)از توابع (M)كالسيناميده مي شود Mفانكشنال در كالس Iآن گاه نسبت داده شود
2dA yds
13
Extrema of functionals
dxyyxfIشرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنالx
x
2
1
),,(
0
y
f
dx
d
y
f Euler- Lagrange equationاثبات
),( 11 yxa
),( 22 yxb
x
)(xy
)()( xxy
0)()(
)()(
21 xx
xxyy
تابع اكسترمم كننده:فرض
dxxxyxxyxfIx
x
2
1
))(),(),(),(,(
dxy
y
fy
y
fx
x
f
d
dI
d
dIx
x
2
1
0
)(
)(
0
xy
xy
x
dxxy
fx
y
f
d
dIx
x
2
1
)()(
استقالل
14
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 8
Extrema of functionals
0
y
f
dx
d
y
f
انتگرال جز به جز
2
1
2
1
2
1
)()()(x
x
x
x
x
x
dxxy
f
dx
dx
y
fdxx
y
f
d
dI
0
0)(2
1
dxxy
f
dx
d
y
f
d
dIx
x
Euler- Lagrange equation
0 yy fdx
df
15
Calculus of variations حساب تغييرات
0 xy ffyfdx
d
فرم دوم
dx
yd
y
f
dx
dy
y
f
x
f
dx
df
),,( yyxff
yy
fy
y
f
x
f
dx
df
yy
ff
dx
dyfy
dx
dyy
از تفاضل دو رابطه
y
f
dx
d
y
fy
x
ffy
dx
d
dx
dfy
0 فرم اول
16
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 9
Calculus of variations حساب تغييرات
0 yyxyyyy fffxyfxy 0yyF
),,( yyxy
f
فرم سوم
dx
yd
ydx
dy
yxdx
d
y
f
dx
d
yy
f
ydx
dy
y
f
yy
f
x
2
222
y
fy
yy
fy
yx
f
02
222
y
fy
yy
fy
yx
f
y
f فرم سوم
يا17
Calculus of variations حساب تغييراتمثال
b
a
dxyyA 212 )1(2
212 )1(),,( yyyyxf
فرم سوم اولر الگرانژ
2/12 )1( yf y
0 yyxyyyy fffxyfxy
2/12 )1( yyyf y
2/12 )1( yyf yy
2/32 )1( yyf yy
جايگذاري درفرم سوم اولر الگرانژ 012 yxyy معادله ديفرانسيل معمولي مرتبه دو غير خطي18
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 10
Calculus of variations حساب تغييرات 012 yxyy
uy تغيير متغيرdy
duu
dx
dy
dy
du
dx
duuy
12 udy
duyu
y
dy
u
udu
12yu ln)1ln( 2/12
2/121 )1( ucy
2/121 )1( ycy
2/12
1
2
)1( c
yy
21
21 cy
dy
c
dx )/(cosh 11
21
cycc
x
)/cosh( 211 ccxcy 19
Calculus of variations حساب تغييرات0 حالت هاي خاص معادله اولر الگرانژ yy f
dx
df
1 - f مستقل ازx),( yyff 0xf
0 xy ffyfdx
d فرم دوم
ctefyf y 2 - f مستقل ازy
0فرم اول yy fdx
df
),( yxff 0yf
0 yfdx
d
ctef y 20
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 11
Calculus of variations حساب تغييرات حالت هاي خاص معادله اولر الگرانژ
4 - f مستقل ازy,x)(yff 0 yx ff
فرم سوم0 yyyx ff
0 yyxyyyy fffxyfxy 0 yyfxy
baxyxyfif yy 00
كوتاهترين فاصله بين دو نقطه ؟: مثالخط مستقيم
b
a
b
a
dxydsl 212 )1(
3 - f مستقل ازy’
0فرم اول yy fdx
df
),( yxff 0yf
0 yf
baxy 21
Extrema of functionals
شرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنالبا مقادير نامشخص در مرزها
dxyyxfIx
x
2
1
),,(
0)()(
)()(
21 xx
xxyy
تابع اكسترمم كننده:فرض
dxy
y
fy
y
fx
x
f
d
dI
d
dIx
x
2
1
0
)(
)(
0
xy
xy
x
dxxy
fx
y
f
d
dIx
x
2
1
)()(
استقالل1xx
x)(xy
)()( xxy
2xx
0
0
0
2
1
x
x
y
f
y
f
y
f
dx
d
y
f
2
1
2
1
2
1
)()()(x
x
x
x
x
x
dxxy
f
dx
dx
y
fdxx
y
f
d
dI
0)()(2
1
2
1
x
x
x
x
xy
fdxx
y
f
dx
d
y
f
d
dI
22
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 12
Calculus of variations حساب تغييراتتابع اكسترمم كننده؟مثال
dxyxyI )sin2(0
2
0)0( y
2sin2 yxyf xf y sin2 yf y 2
0 yy fdx
df 0)2(sin2 y
dx
dx 0sin yx
02
xy
f02
2
xy 0)( y
1cos cxy
11 c
1cos xy 2sin cxxy 0)0( y 02 c
xxy sin
23
Calculus of variations حساب تغييراتشرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنال
با چند متغيرتابعdxyyxfI
x
x
2
1
)~,~,(
0
ii y
f
dx
d
y
fE- L equation
nT yyyyy ,...,,,~
321
nT yyyyy ,...,,,~
321
0شرايط مرزي~)(~ yay
1~)(~ yby
24
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 13
Calculus of variations حساب تغييراتشرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنال
با چند متغير مستقل
dxdydzuuuuzyxfuI zyx
v ),,,,,,()(
E- L 0
cteyctexz
ctezctexy
ctezcteyx u
f
zu
f
yu
f
xu
f
),,( zyxuu
25
Calculus of variations حساب تغييرات
E- L 0
ctexy
cteyx u
f
yu
f
xu
f
dxdyPuuuuIA
yx )2(2
1)( 22
رويه حاصل از باد نمودن غشا مثال؟ Cالستيكي محدود به مرز
),,,,( yx uuuyxf
0222
ctex
ycteyx uy
ux
P Puu yyxx
C
x
y
26
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 14
Calculus of variations حساب تغييراتاصل هاميلتون
2
1
2
1
)(t
t
t
tLdtdtVTI
انتگرال زماني اختالف انرژي جنبشي و پتانسيل براي يك سيستم مكانيكي اكسترمم مي باشداين انتگرال جايگزين معادالت حركت مي باشد
VTL
انرژي جنبشيانرژي پتانسيل تابع الگرانژ
TVLmمثال
1k x1
m2k 1k
x2
22
21 2
1
2
1xmxmT
2212
221
211 )(
2
1
2
1
2
1xxkxkxkV
2
1
2
1
),,,,()(2
1)(
2
12121
2212
221
211
22
21
t
t
t
tdtxxxxtLdtxxkxkxkxxmI
27
Calculus of variations حساب تغييراتادامه
از اصل هاميلتون معادالت حركت بدست مي آيدمعادالت حركت كيهاني بر اين اساس نوشته مي شود
)طبيعت حالت بهينه را براي حركت انتخاب مي كند(قوانين حركت نيوتن حالت خاص از اصل هاميلتون است
011 xx L
dt
dL
022 xx L
dt
dL
0)(222
1121211 xm
dt
dxxkxk
0)(222
1221221 xm
dt
dxxkxk
0)(
0)(
212122
112121
xkxxkxm
xkxxkxm
E- L
28
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 15
Calculus of variations حساب تغييراتشرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنال
با مشتقات مرتبه باالتر( )( , , , ,..., )
bn
a
I f x y y y y dx
0)1()(
)(
ii
in
y
f
dx
d
y
f E- L equation
0
1
2
( 1)1
( )
( )
( )
.
( )nn
y a A
y a A
y a A
y a A
0
1
2
( 1)1
( )
( )
( )
.
( )nn
y b B
y b B
y b B
y b B
شرايط مرزي
0...)3(3
3
2
2
y
f
dx
d
y
f
dx
d
y
f
dx
d
y
f
29
Calculus of variations حساب تغييرات
dxwwwxfIl
0
),,,(
E- L equation02
2
w
f
dx
d
w
f
dx
d
w
f
انرژي كل ذخيره شده در تير مقابل برابر است با مثال
dxxqwdx
xwdEII
l
0
2
2
2
)()(
2
002
2
wEIdx
dq
EI
qw )4(
l
)(xq
w
x
30
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 16
Calculus of variations حساب تغييراتشرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنال
با چند متغير مستقل و وابسته
E- L 0
cteyctexz
ctezctexy
ctezcteyx u
f
zu
f
yu
f
xu
f
),,( zyxuu ),,( zyxvv
0
cteyctexz
ctezctexy
ctezcteyx v
f
zv
f
yv
f
xv
f
dvvvvuuuvuzyxfvuI zyxzyx
v ),,,,,,,,,,(),(
به تعداد متغير هاي وابسته معادله اولر الگرانژ نوشته مي شود31
Calculus of variations حساب تغييراتمسايل ايزوپارامتريك
شرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنال با قيد
E- L
معادله مرتبه دو داراي دو ثابت انتگرال گيري با ضريب الگرانژداراي سه مجهول استدو معادله شرط مرزي ويك معادله همان قيد است
dxyyxfIx
x
2
1
),,(
Bby
Aay
)(
شرايط مرزي)(
قيد ctedxyyxgJb
a
),,(
gfF 0 yy Fdx
dF
32
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 17
Calculus of variations حساب تغييراتشرط الزم براي اكسترمم شدن فانكشنال با چند قيد
E- L
n+2مجهوالت n+2معادالت
dxyyxfIx
x
2
1
),,(
Bby
Aay
)(
شرايط مرزي)(
قيد nictedxyyxgJb
a
ii ,...3,2,1 ),,(
ii
n
i
gfF 0 yy Fdx
dF
33
Calculus of variations حساب تغييراتتعيين منحني با طول ثابت و داري بيشترين سطحمثال
C
x
y
a b
y =y(x)
Bby
Aay
)(
)(
ydxxdyA2
1
ctedxyLx
x
2
1
2/12 )1( قيد
)(
)(
tyy
txxdtyxyxtfdtxyyxA
t
t),,,,()(
2
1 2
1
dtyxdtdt
dy
dt
dxL
t
t
t
t
2
1
2
1
2/122
2/122
2/122)(2
1yxxyyxgfF
34
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 18
Calculus of variations حساب تغييرات
E- L 0
y
F
dt
d
y
F
معادله دايره
)(
)(
tyy
txx
0
x
F
dt
d
x
F
0)(
2/(2
1
0)2(
2
12/(
2
1
2/122
2/122
yx
yx
dt
dx
yx
xy
dt
dy
22/122
12/122
)(c
yx
yx
cyx
xy
222
21 )()( cxcy
35
معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتحل تقريبي مسايل مقدار مرزي با استفاده از بهينه سازي فانكشنال به جاي حل مستقيم
روش ريلي ريتز
)(
)(
xgy
FyL مساله مقدار مرزيدرون ناحيه
روي مرز
بهينه سازي فانكشنال زير جواب مساله را مي دهد
dxyyxfIR ),,(
تابع بهينه سازي فانكشنال: فرض
:با جايگذاري در فانكشنال تابعي از ضرايب خواهيم داشت براي بهينه سازي
niA
I
i
,...,2,1 ,0 با حل اين معادالت ضرايب بدست مي آيند
)()()( 0 xAxyxy ii )()(0 xgxy تابع پايه
36
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 19
معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتروش گلركين
)(
)(
xgy
FyL مساله مقدار مرزيدرون ناحيه
روي مرز
بهينه سازي فانكشنال زير جواب مساله را مي دهد
0))(( dxFyLR
با حل اين انتگرال ضرايب بدست مي آيند كه از روش ريلي ريتز ساده تر بوده و كاربرد زيادي دارد
تابع پايه
0)( FyL
اگرتابع پايه جواب مساله باشد انتگرال ذيل صفر خواهد بود
0)())(( dxxAFyLR
ii
تابع پايه شزايط مرزي را بايد ارضا نمايد: تذكر
)()( xAxy ii
37
معادله ديفرانسيل -حساب تغييرات
0)1()0(
0
yy
xyyمثال
روش ريلي ريتز
تابع پايه
10 x
2210)( xAxAAxy
1 1 2 2
0 00 extremum (2 )y y x I Fdx xy y y dx
0)1(
0)0(
y
y
12
0 0
AA
A)1()( 1 xxAxy
2 2 2 0 0y y
df f x y y or y y x
dx زيرا
1 12 2 2 3 2 2 2 2 21 1 10 0
(2 ) (2 ( ) (1 ) (1 2 ) )I xy y y dx A x x A x x A x dx 2
11
1
0
22
30
11
6
1)2( AAdxyyxyI 22
50
15
11
6
10 11
1
AAA
I
)1(22
5)( xxxy
38
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 20
معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتروش گلركينمثال
0)( xyyfyL
تابع پايه )1()( 1 xxAxy
جواب دقيق 0
12
1)
5
1
2
1
3
1(
3
111 AA
22
51 A )1(
22
5)( xxxy
1 1
2 2 21 1 1
0 0
( ) 2 0y y x A x x dx A A x x x x x dx
xyD 12 xececy xx 21 112
10)1()0(
ee
ccyy
1
ee
eexy
xx
x جواب دقيق جواب تقريبي0.25 0.035 0.043
0.5 0.057 0.057
0.75 0.05 0.04339
معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتحل معادله پواسون
قضيه انرژي مينيمم
براي مساله مقدار مقابل uتابع جواب
در مرزها برابر صفر باشد uبرابر تابع مينيمم ساز فانكشنال انرژي زير است بطوريكه
0
2
uBC
fuPDE
dxdyufuuuJD
yx )2()( 22
fuuoruuffy
fx
f yyxxyyxxuuu yx
0222 زيرا
40
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 21
معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتمطلوبست حل معادله ديفرانسيل ذيل با استفاده از روش ريلي ريتزمثال
0
2
uBC
fuPDE
1
0
1
0
22 )2()( dxdyufuuuJ yx
),(...),(),(),( 2211 yxayxayxayxu nnn
1,0 yx
1, 0, yxyx
فانكشنال انرژي
را با تابع تقريب ساز جايگزين مي كنيم u: روش ريلي ريتز
nبطوريكه ,...,, ارائه داده و روي مرز صفر باشند uمقادير مناسب جهت تقريب تابع 21)1)(1(1 yxxy
),(12 yxx ),(13 yxy
),(12
4 yxx ),(1
25 yxy
),(16 yxxy ...
41
معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتبا جايگذاري در فانكشنال
1
0
1
01
2
1
2
1
2)( dxdyafy
ax
auJn
jjj
n
j
jj
n
j
jjn
براي يافتن مينيمم فانكشنال انرژي مشتقات جزيي را برابر صفر قرار مي دهيم
...
02)( 1
0
1
0 111
11
1
dxdyfayyxxa
uJ n
j
jjn
02)( 1
0
1
01
dxdyfayyxxa
uJnn
n
j
njnj
n
n
bAaبصورت ماتريسي 42
K.N. Toosi University of technology
Dr. Hasan Ghasemzadeh 22
معادله ديفرانسيل -حساب تغييراتدستگاه معادالت
1
0
1
0),(),( dxdyyxyxfb ii
1
0
1
0dxdy
yyxxA ijij
ij
با حل دستگاه معادالت ضرايب بدست آمده وتابع جواب تقريبي بدست مي آيد
bAa
Tnaaaa ,...,, 21
43
پايان درس رياضيات مهندسي پيشرفته
موفق باشيد
44