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Resolução e Formulação de Problemas Campo
Multiplicativo
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Vídeo: A caixa de tampinhas
• Priscila Monteiro ( Avisa Lá) Nova Escola
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RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVORACIOCÍNIO MULTIPLICATIVOSegundo Nunes e Bryant (1997), Nunes et al. (2005) e Correa e Spinillo (2004): P.31.
O aluno que sabe fazer corretamente um algoritmo de multiplicar ou de dividir ele aprendeu a multiplicação ou a divisão?
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RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVORACIOCÍNIO MULTIPLICATIVOSegundo Nunes e Bryant (1997), Nunes et al. (2005) e Correa e Spinillo (2004): P.31.
RACIOCíNIO MULTIPLICATIVO: Envolve relações fixas entre variáveis, por exemplo, entre quantidades ou grandezas. Correspondência de um para muitos, distribuição e divisão. A relação entre as variáveis são constante.
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SITUAÇÕES DE COMPARAÇÃO ENTRE RAZÕESSITUAÇÕES DE COMPARAÇÃO ENTRE RAZÕES
•Em uma caixa de lápis de cor há 12 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas iguais a esta?
A correspondência “um para muitos”, cada caixa correspondem 12 lápis. A quantidade de caixa e lápis
estão relacionadas por um número fixo de lápis por caixa, ou seja, 12 lápis por caixa.
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Pensando com o campo conceitual da adição
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Com o campo conceitual multiplicativo
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Razão e proporção
• 1 polvo = 8 tentáculos
• 2 polvos = 16 tentáculos
• 3 polvos = 24 tentáculos
•
•1 receita = 3 ovos
•2 receitas = 6 ovos
•3 receitas = 9 ovos
Polvo Receita do bolo
A quantidade de tentáculos é fixa, mas pensando na proporção 1 vale 8
3 valem 24, essas são as variáveis, porém número de tentáculos é sempre o
mesmo, sendo a razão inicial
A quantidade de ovos é fixa, mas pensando na proporção 1 vale 3, uma receita equivale
a três ovos, 2 receitas a 6 DOBRO. O número referente a quantidade de receita pode mudar, assim a quantidade de ovos
também, mas todos com a razão 3.
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Razão e proporção
• 1 bicicleta = 2 rodas
• 2 bicicletas = 4 rodas
• 3 bicicletas = 6 rodas
Com R$27,00 compro:
Bicicleta Problematizando
QUANTO CUSTA UM CADERNO?
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Razão e proporção
Com R$27,00 compro 9 cadernos. Quantos cadernos compro com R$ 72,00?
Problematizando
NESSAS SITUAÇÕES TEMOS DUAS VARIÁVEIS E UMA RELAÇÃO NESSAS SITUAÇÕES TEMOS DUAS VARIÁVEIS E UMA RELAÇÃO PROPORCIONAL QUE É IGUAL AO RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO.PROPORCIONAL QUE É IGUAL AO RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO.
A RAZÃO É UMA CONSTANTE. A RAZÃO É UMA CONSTANTE.
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SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃOSITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO
Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai receber?
É possível distinguir o raciocínio aditivo do multiplicativo analisando o problema anterior: a quantidade de chocolates e de pessoas foi transformada em
chocolates por pessoa, isto é, não se trata de uma relação com elementos de uma mesma natureza, chocolate com chocolate ou pessoas com pessoas,
conforme acontece com as estruturas aditivas.
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SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃOSITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO
Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai receber?
NÃO REALIZOU UMA DIVISÃO EQUITATIVA
GABRIEL QUANDO DEU UM
CHOCOLATE PARA CADA
AMIGO,UTILIZOU UMA ESTRATÉGIA
ADITIVA
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SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃOSITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO• Mas, é importante estar alerta para o
fato de que a divisão envolve situações mais complexas do que a distribuição.
• A criança ao realizar a distribuição, pode fazê-lo simplesmente recorrendo a um raciocínio aditivo em que vai acrescentando mais um elemento a cada rodada até que não haja mais elementos para uma nova distribuição. No entanto, dividir, como uma operação multiplicativa, implica que a criança possa também prestar atenção às relações entre as quantidades em jogo. Implica, em outras palavras, poder estabelecer relações de covariação entre os termos envolvidos na operação. (CORREA; SPINILLO, 2004, p. 109-110)
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SITUAÇÕES DE DIVISÃO ENVOLVENDO FORMAÇÃO DE SITUAÇÕES DE DIVISÃO ENVOLVENDO FORMAÇÃO DE GRUPOSGRUPOS
• Dona Centopeia levou 20 caixas de sapatos em sacolas. Em cada sacola foram colocadas 4 caixas de sapatos. Quantas sacolas foram utilizadas?
• Quantidade a ser dividida: 20 caixas de sapatos• Tamanho do grupo: 4 caixas de sapatos em cada sacola• Número de grupos: ?
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SITUAÇÕES DE CONFIGURAÇÃO SITUAÇÕES DE CONFIGURAÇÃO RETANGULARRETANGULAR
• Dona Centopeia organizou seus sapatos em 7 fileiras com 5 caixas • empilhadas. Quantas caixas de sapatos dona Centopeia organizou?
• Medida conhecida: 7 fileiras• Outra medida conhecida: 5 caixas por fileira• Produto: ?
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SITUAÇÕES ENVOLVENDO RACIOCÍNIO SITUAÇÕES ENVOLVENDO RACIOCÍNIO COMBINATÓRIOCOMBINATÓRIO
• Dona Centopeia tem dois chapéus, um branco (B) e outro preto (P) e • três bolsas, uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C). De quantas maneiras diferentes Dona Centopeia pode escolher seus acessórios para ir passear?
• Conjunto conhecido: 2 chapéus• Conjunto conhecido: 3 bolas• Número de possibilidades: ?
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LUCAS CAROLINA
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PODEMOS CONCLUIR QUE:PODEMOS CONCLUIR QUE: Para que as crianças possam desenvolver o raciocínio aditivo e multiplicativo é necessário que envolva as crianças em diferentes situações que compõem estes campos conceituais. Com isso estaremos oferecendo situações desafiadoras às crianças e evitando que resolvam problemas a partir da repetição de estratégias já conhecidas.
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CADERNO 4CADERNO 4OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO
DE PROBLEMASDE PROBLEMASCAMILA RIBEIRO
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ESTIMULAR ESTRATÉGIAS INDIVIDUAIS
SOCIALIZAR AS ESTRATÉGIAS UTILIZADAS
DECIDIR SOBRE AS ESTRATÉGIAS
VIVENCIAR AS SITUAÇÕES MATEMÁTICAS
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA
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INTERPRETAR A SITUAÇÃO –PROBLEMA VIVENCIADA.
COMPREENDER O ENUNCIADO DO PROBLEMA
ESTABELECER RELAÇÕES ENTRE O ENUNCIADO E OS CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS
NA RESOLUÇÃO DE UMA SITUAÇÃO-PROBLEMANA RESOLUÇÃO DE UMA SITUAÇÃO-PROBLEMA O ALUNO PRECISA:O ALUNO PRECISA:
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Devemos ficar atentos quando as crianças se valem de indícios linguísticos presentes nos problemas para realizar cálculos que conduzam à solução (palavras –chave).
IMPORTANTE
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SITUAÇÕES SITUAÇÕES ADITIVASADITIVAS E E MULTIPLICATIVASMULTIPLICATIVAS
NO CICLO DE NO CICLO DE ALFABETIZAÇÃOALFABETIZAÇÃO
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TIRINHAS TIRINHAS
As tirinhas também apresentam ideias matemáticas que se transformam em interessantes problemas. Por exemplo, neste caso, qual foi a brilhante ideia de Magali?
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ERA UMA VEZ ... ERA UMA VEZ ... MUITOS PROBLEMAS DE UMA VEZMUITOS PROBLEMAS DE UMA VEZ
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QUEM SÃO?
1
ONDE FORAM?
2
O QUE COMPRARAM?
3
QUANTO CUSTOU?
4 5
COMO ACABOU?
6
COMO RESOLVER?
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Problemas “sem contas”:
Joana ganhou um gatinho recém-nascido que, em pouco tempo, cresceu e se transformou num belo gato. Agora, Joana está querendo saber quantos quilos pesa seu bichinho, o problema é que ela não consegue convencer o bicho a ficar quieto sobre a balança da farmácia, foi então que Joana pensou muito e "bolou" um sistema infalível para resolver o problema. E você, como faria para resolvê-lo?
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Problemas com excesso de dados
Hemengardos é um “girafo”. Ele adora gravatas-borboleta. Diz que elas valorizam seu pescoço. Hemengardos tem vinte e uma gravatas lisas, quinze de bolinhas, trinta e quatro listradas, oito de estampados diversos, dezesseis floridas e trinta cachecóis. Quantas gravatas Hemengardos têm?
Caderno 1 (p.29)
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Problemas “sem perguntas”
CAMILA TEM 19 FIGURINHAS, BRUNO TEM 22. Explorar as possibilidades de criação de situações... Quem tem mais figurinhas?Quantas figurinhas Bruno tem a mais do que Camila?Quem tem menos figurinhas?Quantas figurinhas Camila tem a menos do que Bruno?Quantas figurinhas eles têm juntos?
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Só com as “perguntas”
QUANTOS DOCES SOBRARAM?
QUANTOS QUILÔMETROS FALTAM PARA COMPLETAR A VIAGEM?
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Construir o enunciado a partir da “resposta”.
TENHO 55 FIGURINHAS.
RECEBI DE TROCO 2 REAIS.
GANHEI 15 PONTOS NO FINAL DO JOGO.
SOBROU METADE DO BOLO.
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Completar enunciados.
UMA DOCEIRA FEZ PARA UMA ENCOMENDA _______ BRIGADEIROS. SE ELA COBRA ______ REAIS POR UMA DEZENA DE DOCES. QUANTO ELA RECEBEU PELO TRABALHO?
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E não conseguia vendê-las
À tarde
Vendeu ___ toalhas. Ai, o dono abaixou o preço
Uma loja de tecidos tinha Ele vendeu ____
Quantas toalhas Na manhã deste dia,
382Sobraram no estoque?
A notícia se espalhou e
Um estoque de ____toalhas
790 1 700
Problemas em tiras...
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Uma loja de tecidos tinha um estoque de ____toalhas1 700
e não conseguia vendê-las.
Ai, o dono abaixou o preço.
Na manhã deste dia, vendeu _____ toalhas.382
A notícia se espalhou e à tarde ele vendeu ______.
Quantas toalhas sobraram no estoque?
790
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A Resolução de Problemas e a superação da A Resolução de Problemas e a superação da perspectiva da simples “reprodução de perspectiva da simples “reprodução de
procedimentos”.procedimentos”.
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JAMAIS ESQUECER!JAMAIS ESQUECER! Explorar todas as ideias das operações por meio da Resolução de Problemas... Mais problemas e menos operações isoladas e sem significado...Valorizar as estratégias das crianças... Nem tudo o que é para o professor deve ser apresentado ao aluno...
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Ettiene Cordeiro GueriosNeila Tonin Agranionih
Tania Teresinha Bruns Zimer
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[...]enfatizar o raciocínio não significa deixar de lado o cálculo na resolução de problemas: significa calcular compreendendo as propriedades das estruturas aditivas e das operações de adição e subtração.” (NUNES, CAMPOS, MAGINA E BRYANT, p. 56, 2005)
É importante lembrar que a compreensão dos conceitos próprios das operações requer coordenação com os diferentes sistemas de representação.
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Cálculos numéricos estejam conectados ao processo de compreensão progressiva do Sistema de Numeração Decimal.
Valorização da criação de estratégias pessoais na resolução de problemas.
Promoção de sua socialização.
O que se propõe? O que se propõe?
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- O cálculo necessário para fornecer o troco de uma compra no valor de R$ 48,00, paga com uma cédula de R$100,00?
Como você resolve?Como você resolve?
- O preço a pagar por 8 metros e meio de fita sendo que o metro custa R$ 1,50.
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Por que utilizar estratégias? Por que utilizar estratégias?
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Nessa perspectiva, cada cálculo é um problema novo e o caminho a ser seguido é próprio de cada aluno, o que faz com que para uns possa ser mais simples e, para outros, mais complexo.
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ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO NÃO ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO NÃO
SURGEM DO NADA.SURGEM DO NADA.
PRECISAM SER TRABALHADAS E PRECISAM SER TRABALHADAS E
ESTIMULADAS EM SALA DE AULA.ESTIMULADAS EM SALA DE AULA.
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ESTIMULANDO AS ESTRATÉGIAS DE ESTIMULANDO AS ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO CÁLCULO
- CONTAGEM-
Procedimento natural e bastante útil na resolução de cálculos pelas crianças.
Algumas contagens importantes:• contar para a frente;• contar para trás;•contar de 2 em 2, de 3 em 3, de 5 em 5, de 10 em 10;•contar a partir de um determinado número
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JOGO: COELHINHO PROCURANDO A TOCAJOGO: COELHINHO PROCURANDO A TOCA
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MEMORIZAÇÃO DE FATOS NUMÉRICOSMEMORIZAÇÃO DE FATOS NUMÉRICOS
A tabuada pode agilizar processos de cálculos a partir da memorização de resultados entre os fatores, desde que:A memorização deve ser consequência da adoção de estratégias metodológicas que permitam a construção/estruturação de regularidades entre os fatos numéricos e a memorização dos mesmos por caminhos diferentes da “decoreba” destituída de significado
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Investigação Matemática na Investigação Matemática na TabuadaTabuadaJoão Pedro da Ponte sugere o desenvolvimento de atividades investigativas, nas quais os alunos são convidados a analisar padrões e regularidades existentes nas operações. Observe: (pág. 51)
Construa a tabuada do 3. O que encontra de curioso nesta tabuada? Prolongue-as calculando 11 × 3, 12 × 3, 13 × 3.... E formule algumas conjecturas.
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Pode-se pedir que os alunos façam registros escritos em forma de textos das suas descobertas para que expressem as relacionem com as propriedades do SND.
construção de recursos cognitivos que auxiliam a memorização
estabelecer relações entre os fatos e perceber regularidades por processos investigativos
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CONSTRUINDO A TÁBUA DE PITÁGORASCONSTRUINDO A TÁBUA DE PITÁGORASxx 11
22 33 44 55 66 77 88 99 1010
11
22
33
44
55
66
77
88
99
1010
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JOGO: GATOS MALHADOSJOGO: GATOS MALHADOS
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REAGRUPAR EM DEZENAS OU CENTENASREAGRUPAR EM DEZENAS OU CENTENAS
Construir sequências de atividades investigativas...
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FORMAÇÃO DA CENTENAFORMAÇÃO DA CENTENA
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Ettiene Cordeiro GueriosNeila Tonin Agranionih
Tania Teresinha Bruns Zimer
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• O algoritmo tradicional das operações permite realizar cálculos de uma maneira ágil e sintética.
• Modos de representar os processos operativos da adição e da subtração pautados nas propriedades do SND.
ALGORITMOS TRADICIONAISALGORITMOS TRADICIONAIS
É importante que a criança tenha se apropriado das características do SND para que compreenda os processos sequenciais dos algoritmos.
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O material dourado, o ábaco e o Quadro Valor Lugar (QVL), são recursos que devem ser utilizados, para favorecer a compreensão dos algoritmos tradicionais.
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• Historicamente: como o precursor da calculadora .
• Há diferentes modelos de ábaco, todos eles com o mesmo princípio constitutivo do SND que permite o trabalho centrado no valor posicional do número.
• Sugere-se atividades com o ábaco aberto e apenas até a ordem das unidades de milhar.
ÁBACOÁBACO
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Material DouradoMaterial DouradoA possibilidade de explorar propriedades do SND,
tais como:a base 10a composição aditiva e multiplicativaexplorar trocas e composição/decomposição
É importante salientar que o valor posicional do algarismo não é tratado de forma explicita neste recurso como o é no QVL e no ábaco.
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Para pensar e discutir...Para pensar e discutir...• Agrupamento e desagrupamento.
• Uso de material dourado e ábaco para resolver algoritmos com “números grandes”.
• O cuidado com uso de recursos como o ábaco e o material dourado.
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Emerson Rolkouski
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ALGUMAS POSSIBILIDADES ... ALGUMAS POSSIBILIDADES ... Em situações reais, em que os números são muito grandes ou muito pequenos, a utilização da calculadora é recomendada. Isso porquê, o que está em jogo é a resolução da situação-problema real e não o uso de algoritmos.
![Page 68: Campo multiplicativo final](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021419/58ee46ef1a28abe7208b45d7/html5/thumbnails/68.jpg)
SITUAÇÕES REAIS DE SALA DE AULASITUAÇÕES REAIS DE SALA DE AULAPor exemplo, a tabela a seguir foi construída tendo como ponto de partida dados coletados por crianças que diziam respeito à quantidade de sorvetes que conseguiram vender em uma gincana.
![Page 69: Campo multiplicativo final](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021419/58ee46ef1a28abe7208b45d7/html5/thumbnails/69.jpg)
Calculadora para construir e/ou sistematizar fatos Calculadora para construir e/ou sistematizar fatos importantes das operações, ou mesmo para importantes das operações, ou mesmo para
disparar problemas.disparar problemas. - Encontrar o resultado de 4 x 5 sem utilizar a tecla x. - Fazer 20 ÷ 4, sem utilizar a tecla ÷ -Apertei a tecla 8, depois a tecla +, teclei ainda um outro número, o sinal de = e obtive 14. Que número apertei? Quais as possibilidades para obter: a soma 10, ou 100 ou 1000.
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VÁRIAS CRIANÇAS RECOLHERAM BOLAS DE TÊNIS EM TRÊS
CAIXAS. SOMANDO A QUANTIDADE DE BOLAS DE DUAS DESSAS
CAIXAS, O TOTAL FOI 78. DESCUBRA ESSAS DUAS CAIXAS E
PINTE-AS:
Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o ábaco.CAIXAS COM BOLINHAS DE TÊNIS
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Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o material dourado.
MARIA COMPROU UMA BONECA POR R$ 24,00 E FICOU COM
R$ 17,00 REAIS NA CARTEIRA. QUANTO ELA POSSUIA ANTES
DE FAZER A COMPRA?
Adaptado Repensando Adição e Subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. Sandra Magina, Tânia Maria Mendonça Campos, Verônica Gatirana, Teresinha Nunes .
![Page 72: Campo multiplicativo final](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021419/58ee46ef1a28abe7208b45d7/html5/thumbnails/72.jpg)
ELE JÁ COLOU 29 FIGURINHAS.
QUANTAS FIGURINHAS ELE AINDA PRECISA COMPRAR PARA
COMPLETAR SEU ÁLBUM?
JOÃO COLECIONA FIGURINHAS DE FUTEBOL.
O ÁLBUM PARA ESTAR COMPLETO DEVE TER 56 FIGURINHAS.
ELE RESOLVEU COMPRAR TODAS AS FIGURINHAS QUE FALTAM
EM SUA COLEÇÃO.
Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o ábaco.PROBLEMA EM TIRASAdaptado de Kátia Stoco Smole e Maria Ignez Diniz. Ler, escrever e resolver problemas.
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Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o material dourado. Completando o enunciado
![Page 74: Campo multiplicativo final](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021419/58ee46ef1a28abe7208b45d7/html5/thumbnails/74.jpg)
TV ESCOLA MATEMÁTICA RESOLUÇAO DE
PROBLEMAS
Finalizando...
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EM DUPLAS VAMOS ANALISAR AS SITUAÇÕES E DELIMITAR SEUS CAMPOS CONCEITUAIS.
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Análise de situações problemas (tabela)
Situação-ProblemaCampo Conceitual
aditivo/multiplicativo
Caracterização da situação analisando: estado inicial, transf,
estado final• Em um vaso há 5 rosas amarelas e 3 rosas vermelhas. Quantas
rosas há ao todo no vaso? A COMPOSIÇÃO
• Aninha tem 3 pacotes de figurinhas. Ganhou 4 pacotes da sua avó. Quantos pacotes tem agora?
A TRANSF. SIMPLES
• Aninha tinha 5 bombons. Ganhou mais alguns bombons de Júlia. Agora Aninha tem 8 bombons. Quantos bombons Aninha ganhou?
A TRANSF. COM TRANSF. DESC.
• Em um vaso há 8 rosas, 3 são vermelhas e as outras são amarelas. Quantas rosas amarelas há no vaso?
A COMPARAÇÃO PARTE DESC.
• Maria tinha algumas figurinhas. Ganhou 4 figurinhas de Isa. Agora Maria tem 7 figurinhas. Quantas figurinhas Maria tinha?
A TRANSF. INICIAL DESC.
• Zeca tinha 7 bolinhas de gude. Deu 3 para Luís. Quantas ele tem agora?
A TRANSF. SIMPLES
• Zeca tinha 8 bombons. Deu alguns bombons para Luís e ficou com 3. Quantos bombons Zeca deu para Luís?
A TRANSF. COM TRANSF. DESC.
• João tem 7 carrinhos e José tem 4 carrinhos. Quantos carrinhos João tem a mais do que José?
A COMPARAÇÃO
![Page 77: Campo multiplicativo final](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022021419/58ee46ef1a28abe7208b45d7/html5/thumbnails/77.jpg)
Paulo tinha alguns carrinhos. Deu 4 carrinhos para Pedro e ficou com 7. Quantos carrinhos Paulo tinha?
A TRANSF. COM INÍCIO DESC.
João tem 7 carrinhos e José tem 4 carrinhos. Quem tem mais carrinhos?
A COMPARAÇÃO
Em uma caixa de lápis de cor há 12 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas iguais a esta?
M COMPARAÇÃO ENTRE RAZÕES
Dona Centopeia organizou seus sapatos em 7 fileiras com 5 caixas empilhadas. Quantas caixas de sapatos dona Centopeia organizou?
M CONFIGURAÇÃO RETANGULAR
Dona Centopeia tem dois chapéus, um branco (B) e outro preto (P) e três bolsas, uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C). De quantas maneiras diferentes Dona Centopeia pode escolher seus acessórios para ir passear?
M COMBINATÓRIA
Dona Centopeia levou 20 caixas de sapatos em sacolas. Em cada sacola foram colocadas 4 caixas de sapatos. Quantas sacolas foram utilizadas?
M DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO