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Campos Difusos en Ingeniería Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Sísmica y Sismología: Teoría y AplicacionesTeoría y Aplicaciones
Francisco J. Sánchez SesmaFrancisco J. Sánchez SesmaInvestigador TitularInvestigador Titular
Departamento de MatemáticasFacultad de Ciencias, UNAM
19 de agosto de 2010
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ContenidoContenido
1. Coda 1. Coda Ondas con difracción múltiple Ondas con difracción múltiple Ruido Ruido
2. Difracción (scattering) multiple 2. Difracción (scattering) multiple Regimen difusivo Regimen difusivo
3. Equipartición3. Equipartición Im [función Im [función dede Green] =Green] = correlacionescorrelaciones
4. Ejemplos 4. Ejemplos
5. Autocorrelación = Im [función de Green 5. Autocorrelación = Im [función de Green en la fuenteen la fuente]]
6. Los casos de un estrato y un semiespacio6. Los casos de un estrato y un semiespacio
7. 7. ConclusionesConclusiones
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Coda sísmica, ruido sísmico ambiental - Coda sísmica, ruido sísmico ambiental - Campos ‘aleatorios’, Campos difusosCampos ‘aleatorios’, Campos difusos
Coda sísmica, ruido sísmico ambiental - Coda sísmica, ruido sísmico ambiental - Campos ‘aleatorios’, Campos difusosCampos ‘aleatorios’, Campos difusos
Comunmente se acepta que el ruido obscurece y que no contiene información útil. De hecho, la intuición sugiere que la difracción (scattering) múltiple de las ondas las hace ininteligibles.
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Observaciones a distancias entre 150 y 800 km
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Regímenes de propagación y decaimiento de la densidad de energía
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Teoría de Transferencia Radiativa (RTT)
Originada en astrofísica por Chandrasheckar (1960) y otros.
Fue introducida por Wu (1985) en sismología y desarrollada por Aki, Zeng, Sato, Mayeda, Margerin, Gusev y otros.
Sato H y M Fehler (1998). Wave propagation and scattering in the heterogeneous Earth, Academic Press, Cambridge, Mass.
Dmowska R, H Sato y M Fehler (2008) (Eds) Vol. 50 of Advances in Geophysics, Academic Press, Cambridge, Mass.
SP ,
3D E
E 2D;
E
E
P
S
P
S
y ondas de svelocidade
en2
en 3
3
2
2
Predicción de
RTT para un campo elástico difusivo
Dispersión (Scattering) Múltiple Equipartición
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SPAC (SPAC (AAuto uto CCorrelación Eorrelación ESPSPacial )acial )
En 1957 K. Aki mostró que En 1957 K. Aki mostró que el promedio azimuthal del el promedio azimuthal del coeficiente de correlación coeficiente de correlación espacial de un campo espacial de un campo escalar está dado porescalar está dado por
))(
(),,0(),,(
21
0
2
0
cr
Jdr
ckkr(ωr /),cosiexp()),,(
aquí aquí JJ00 = función de Bessel = función de Bessel
de primera especie y orden de primera especie y orden cero. De esta manera se cero. De esta manera se Puede “invertir” Puede “invertir” c(c(ωω).).
2
0
),(21
)( drrKeiiti Aki (1930-2005)
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SPACSPACEn este método se buscan las velocidades de las ondas superficiales En este método se buscan las velocidades de las ondas superficiales
para encontrar la estructura. para encontrar la estructura.
Se supone que el ruido es estacionario. Se usan arreglos espaciales Se supone que el ruido es estacionario. Se usan arreglos espaciales para hacer el promedio azimutal.para hacer el promedio azimutal.
Si además el ruido es isótropo, se puede obtener el mismo resultado Si además el ruido es isótropo, se puede obtener el mismo resultado con sólo dos estaciones apilando las correlaciones por largos con sólo dos estaciones apilando las correlaciones por largos periodos de tiempo.periodos de tiempo.
Considérese una onda plana:Considérese una onda plana:
))cos(iexp()(),,( 0 krωFru
0cos*
)()()()( ikre
QuPuQuPu
r
P
0cos
*
ikr
BA
BA
euu
uu
Q
x
yCoherencia
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SPACSPAC
/r t)(/ cr)(/ cr
t)(/ cr
Promedio de correlaciones
Función de Green
22222022/
)/(2
1),(
41
),(Imcrt
crtHtrG
cr
JrG
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La correlación La correlación es una operación entre es una operación entre series de valores para determinar quéseries de valores para determinar qué
tan parecidas son estas entre sí.tan parecidas son estas entre sí.
Considérense dos series Considérense dos series xxii,, yyii donde donde
ii=0,1,2...=0,1,2...NN-1. La correlación -1. La correlación rr con el con el
retraso retraso dd se define como: se define como:
1
0
21
0
2
1
0
)()(
)()()(
N
ii
N
ii
N
idii
myymxx
myymxxdr
Valores medios
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Promedios de CorrelacionesPromedios de Correlaciones
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.05
0
0.05
0.1
tiempo (s)
Co
rre
lacio
ne
s
5000
500
100
50
25
Función de Green Pulso de Ricker
r/c
r/c
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)iexp(),()iexp(),(),,( ,jjljjll mxmSnxnPtu
x
])cos[exp()(
])cos[exp()()()(,*,,2
,*2*
krmnPSmmS
krnmSPnnPuu
slsl
slslsl
i
ixy
)2(2
)()(22
*ijjiijji BA
Suu xy 2
22
22
02
0 )()(y
)()(
krJqrJ
BkrJqrJ
A
22/=/ βαEE PS
),,(Im8),(),( 2* yxxy ijSji GkEuu
2
2222
22 )(
t
u
xx
u
xx
u i
ji
j
jj
i
El caso vectorial 2D (P-SV)
Suma de ondas planas P y SV:
Correlación :
Equipartición (2D):
Promedio Azimutal:
Finalmente (equipartición)
Formalmente, el mismo resultado en 3D (Sánchez-Sesma y Campillo, 2006)
x
z
r x
y
θP
n
S
m
SP
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)];,(Im[)()(
)()(
41
*
QPGQP
QuPuij
ji uu
Promedio de las correlaciones de las fluctuaciones en P y Q
Respuesta impulsiva del sistema entre P y Q
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Teorema de Teorema de Fluctuación-disipaciónFluctuación-disipación F
mkT
D (Einstein, 1905)
)];,(Im[)()(
)()(
41
*
QPGQP
QuPuij
ji uu
Promedio de las correlaciones de las fluctuaciones en P y Q
Respuesta impulsiva del sistema entre P y Q
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)exp()(),,(, tiRtSRG nn
nnji
donde εn son variables aleatorias independientes
¡ Independiente de los detalles del ¨scattering ¨..!
¡ Independiente de la posición en un espacio completo con ¨iluminación¨ homogénea !
Para un sólido elástico infinito
2Den 2
2
P
S
E
E
Principio de Equipartición para Ondas Elásticas En un regimen difusivo todos los “modos” están
exitados en la misma proporción
3Den 2 3
3
P
S
EE
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Margerin, Campillo & van Tiggelen (2001)
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50 m apertura
Campillo et al. (1999); Shapiro et al. (2000)
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![Page 20: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/20.jpg)
Teorema de Representación de tipo correlaciónTeorema de Representación de tipo correlación
Ar
Br
r Weaver & Lobkis (2004), Wapenaar (2004), Van Manen, Curtis & Robertson (2006)
dSTG
TGG
AliBjl
BljAilBAij
),(),(
),(),(),(Imi2
*
*
rrrr
rrrrrr
3D
2D
EE
P
S
in2
in
3
3
2
2
Equipartición !
),,(Im4),(),( 3* BABA xxxx ijSji GkEuu
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P
Q
Fuentes:Fuerzaspuntuales
Receptores
Fluctuacionesde densidad 5%
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0 50 100 150 200 250 300-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 50 100 150 200 250 300-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 50 100 150 200 250 300-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
GijGij con 50, 100 & 500 fuerzas, 100 difractores con 50, 100 & 500 fuerzas, 100 difractores
G11
G13
G31
G33
![Page 23: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/23.jpg)
R. L. Weaver and O. I. Lobkis, Ultrasonics without a source: Thermal fluctuation correlations at MHz frequencies, Phys. Rev. Lett. 87, 134301 (2001)
O. I. Lobkis and R. L. Weaver, On the emergence of the Green’s function in the correlations of a diffuse field, J. Acoust. Soc. Am., 110, 3011-3017 (2001)
R. L. Weaver and O. I. Lobkis, Elastic wave thermal fluctuations, ultrasonic waveforms by correlation of thermal phonons, J. Acoust. Soc. Am., 113, 2611-2621 (2003)
Experimentos con ruido Experimentos con ruido térmicotérmico
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(Weaver and Lobkis, Ultrasonics, 40, 435-439, 2002)
![Page 25: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/25.jpg)
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
-4500
-4000
-3500
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
time (microseconds)
Pulse/echo
noiseautocorrelation
(Weaver and Lobkis, Ultrasonics, 40, 435-439, 2002)
Autocorrelacion de ruido
Pulso / ecos
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Campillo & PaulCampillo & PaulScienceScience (2003) (2003)
![Page 27: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/27.jpg)
Origen oceánico del ruido sísmicoOrigen oceánico del ruido sísmico
![Page 28: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/28.jpg)
Comparación entre sismos y respuestas reconstruidas con correlaciones
![Page 29: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/29.jpg)
Comparación entre sismos y respuestas reconstruidas con correlaciones
![Page 30: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/30.jpg)
Estabilidad de los mapas: 2 conjuntos diferentes de registros
![Page 31: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/31.jpg)
Tras el origenTras el origen
del ruidodel ruido sísmicosísmico
![Page 32: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/32.jpg)
Tras el origenTras el origendel ruido sísmicodel ruido sísmico
Distribución isotrópica de fuentes:Correlación cruzada simétrica
Distribución anisotrópica de fuentes:Correlación cruzada asimétrica
![Page 33: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/33.jpg)
Origen aparente del ruido Promedio de la altura de olas
invierno
verano
![Page 34: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/34.jpg)
Datos sísmicos de la Misión Appolo 17
(from Larose, 2005)Larose et al (2006)
![Page 35: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/35.jpg)
Ruido inducido Vasconcelos Ruido inducido Vasconcelos et al. et al. ((EOSEOS 2008) 2008)
![Page 36: Campos Difusos en Ingeniería Sísmica y Sismología: Teoría y Aplicaciones](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081721/56813fce550346895daaab7a/html5/thumbnails/36.jpg)
),,(Im4),(),( 3* BABA xxxx ijSji GkEuu
El promedio de las correlaciones es proporcional a Im[Gij(xA,xB)]
)],(Im[4)()()( 1*2AAAAA xxxxx mmSmm GkEuuE
Densidad de Energía en el punto xA
Si fuente y receptor coinciden xA = xB
Auto-correlación
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Sánchez-Sesma et al, WAVE MOTION (2008)
dnnnikr
nnniqr
rG nmmn
jjnm
jj
ABAmn )(
)exp()exp(
16)],(Im[ 332xx
SPmn EEAGAE
33
214
)],(Im[
xx
A partir del Teoremade Representación
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Semiespacio. Problema SH antiplanoSemiespacio. Problema SH antiplano
)'()(i4
1),( )2(
0)2(
022 krHkrHG BA xx
)()(4
1)],(Im[ ,
0022 krJkrJG BA xx
)2(1),( 0 zkJEzE
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Auto-correlación
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Auto-correlación
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Estrato 2D. Ondas SH antiplanasEstrato 2D. Ondas SH antiplanas
z
x
h
...})3(2)2(2)(21{2
1)]0,0(Im[ 00022
JJJG
/2h
0
22
1-22
)/(-
)/-()2()]0,0(Im[
nn
nf
nfHG
Fuente y receptor
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Estrato 2D. Ondas SH antiplanasEstrato 2D. Ondas SH antiplanas
022
122
)/(
)/()2()]0,0(Im[
nn
nf
nfHG
...})3(2)2(2)(2)0({21
Re)]0,0(Im[ )2(0
)2(0
)2(0
)2(022
HHHHG
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
5
10
15
20
25
30
35
Frequency [Hz]
No
rma
lize
d A
mp
litu
de
s
G22
(0,0,)
Transfer Function
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-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t [sec]
No
n C
au
sal R
esp
on
se
F-1{ixIm[G(0,0; ω)]}
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s
Semiespacio Elástico. OndasP-SV y de RayleighSemiespacio Elástico. OndasP-SV y de Rayleigh
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Semiespacio Elástico. OndasP-SV y de RayleighSemiespacio Elástico. OndasP-SV y de Rayleigh
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Semiespacio Elástico 3DSemiespacio Elástico 3D
Este resultado en 3D muestra dos formasen las cuales la equipartición puede ocurrir: (1) à la Maxwell o (2) à la Weaver
Perton et al (2009) – JASA
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COMO CONSECUENCIA DE LA IDENTIDAD Energía función de Green
SPkk EEGAEEE )],(Im[321 xx
]Im[
]Im[
]Im[
3323
23
2222
22
1121
21
GAuE
GAuE
GAuE
]Im[]Im[]Im[
33
22112
2
23
21
3
1
GGG
VH
u
u
EE
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0 1 2 3 4 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
freq [Hz]
Im[G
ree
n fu
nct
ion
s]
Im[G33]
Im[G22] =Im[G11]
Estrato sobre semiespacio
Im[Gij(0,0)]
Solución 3D
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frec [Hz]
H/V
0.47Hz
?
10-2
10-1
100
101
10-1
100
101
102
Frec [Hz]
H/V ~ √ Im[G11]/Im[G33]
0 1 2 3 4 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
freq [Hz]
Im[G
ree
n fu
nctio
ns]
Im[G22] =Im[G11]
Im[G33] ¡ efecto 3D !
Estrato sobre semi-espacio
Resultados de un experimento en Texcoco
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La coda y el ruido sísmicos califican como campos difusivos
La técnica SPAC de Aki (1957) es el antecedente de la recuperación de la función de Green (o respuesta impulsiva)
Con iluminación de fondo y equipartición: se demuestra que:
Si P y Q coinciden se obtienen interesantes resultados sobre la densidad de energía en un campo difusivo que son útiles para visualizar el medio y establecer las características de su respuesta dinámica.
)()(
)()(),(Im
*
QP
QuPuQPG ji
ij uu
ConclusionesConclusiones
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Reflexiones finalesReflexiones finalesLa idea del Universo en el siglo XIX era un ejemplo de orden. Laplace La idea del Universo en el siglo XIX era un ejemplo de orden. Laplace postulaba que el futuro era previsible si se conociesen en un momento dado postulaba que el futuro era previsible si se conociesen en un momento dado las posiciones y veloci- dades de todas las partículas. Unas pocas leyes las posiciones y veloci- dades de todas las partículas. Unas pocas leyes permitían explicar el mundo.permitían explicar el mundo.
En el siglo XX Heisenberg alteró el sueño determinista con su principio de En el siglo XX Heisenberg alteró el sueño determinista con su principio de incertidumbre. No se conocerían posiciones solamente probabilidades.incertidumbre. No se conocerían posiciones solamente probabilidades.
Poincaré, en una visionaria anticipación de la teoría del caos, demostró que Poincaré, en una visionaria anticipación de la teoría del caos, demostró que aun las más pequeñas incertidumbres en las condiciones iniciales pueden aun las más pequeñas incertidumbres en las condiciones iniciales pueden hacer que los sistemas evolucionen de manera impredecible. hacer que los sistemas evolucionen de manera impredecible.
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Reflexiones finalesReflexiones finales
A partir del artículo seminal de Albert Einstein en 1905 sobre el movimiento browniano A partir del artículo seminal de Albert Einstein en 1905 sobre el movimiento browniano se ha establecido que la respuesta determinista de un sistema está relacionada con las se ha establecido que la respuesta determinista de un sistema está relacionada con las fluctuaciones térmicas. Esto se ha generalizado a una gran variedad de problemas.fluctuaciones térmicas. Esto se ha generalizado a una gran variedad de problemas.
Se ha descubierto recientemente que las fluctuaciones pueden servir para sintetizar Se ha descubierto recientemente que las fluctuaciones pueden servir para sintetizar ondas deterministas generadas por una fuente puntual.ondas deterministas generadas por una fuente puntual.
Precisamente la correlación cruzada de las fluctuaciones observadas en el campo Precisamente la correlación cruzada de las fluctuaciones observadas en el campo acústico entre dos puntos permite establecer el tiempo de viaje de las ondas entre acústico entre dos puntos permite establecer el tiempo de viaje de las ondas entre esos puntos. Esto abre las puertas al uso de fuentes virtuales.esos puntos. Esto abre las puertas al uso de fuentes virtuales.
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En muchas aplicaciones la extracción de la respuesta de En muchas aplicaciones la extracción de la respuesta de un sistema a partir del ruido es robusta aun cuando las un sistema a partir del ruido es robusta aun cuando las fuentes de ruido son limitadas y con distribución irregular. fuentes de ruido son limitadas y con distribución irregular. Tal vez esto se debe a la estabilidad de la propagación de Tal vez esto se debe a la estabilidad de la propagación de ondas.ondas.
Nuestra idea del Universo ha pasado de ser determinsta a Nuestra idea del Universo ha pasado de ser determinsta a aceptar el azar, pero no de manera simplista; los campos aceptar el azar, pero no de manera simplista; los campos generados por fuentes aleatorias pueden ser usados para generados por fuentes aleatorias pueden ser usados para visualizar y monitorear sistemas que incluyen el subsuelo visualizar y monitorear sistemas que incluyen el subsuelo hasta estructuras como edificios, presas y puentes.hasta estructuras como edificios, presas y puentes.
El azar no está opuesto al determinismo; es ya una nueva El azar no está opuesto al determinismo; es ya una nueva via de acceso a la respuesta determinista del mundo físicovia de acceso a la respuesta determinista del mundo físico..
Reflexiones finalesReflexiones finales
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¡ Gracias por su atención !