27
Capítulo IV
Teorías de los recipientes
Los contenedores a presión generalmente tienen formas de esferas, cilindros, conos,
elipsoides, toricónicos, toriesféricos, o compuestos de éstos. Cuando el espesor del
contenedor es pequeño en comparación con el radio (Rm/t>10), entonces se dice que el
contenedor está compuesto por membranas, y los esfuerzos asociados resultantes de la
presión se llaman esfuerzos membranales.
Los esfuerzos membranales son el promedio de esfuerzos provocados, ya sea por
tensión o compresión. Estos esfuerzos membranales se asumen como uniformes a la pared
del contenedor y con una aplicación tangente a la superficie. La membrana o pared se asume
que no ofrece resistencia a la flexión. Sin embargo, cuando la pared opone resistencia a la
flexión, entonces se provocan esfuerzos de flexión además de los esfuerzos membranales,
esto de acuerdo a Moss [7].
En contenedores a presión interna de complicada forma geométrica, los conceptos de
esfuerzos membranales no son suficientes para obtener el verdadero valor del esfuerzo sobre
las paredes. Muchos valores influyen como las tapas del contenedor, los soportes, las
variaciones en espesor, toberas (nozzles), uniones, flexión general causada por viento, peso,
y sismicidad. Estos factores provocan variación en la distribución de los esfuerzos sobre las
paredes del contenedor.
28
En cualquier contenedor a presión sujeto a presión interna o externa, los esfuerzos
están presentes sobre las capas de la pared. El estado de esfuerzo es triaxial y los tres
esfuerzos principales son:
sf = Esfuerzo longitudinal/meridional
sq = Esfuerzo circunferencial/latitudinal
sr = Esfuerzo radial
Figura 4.1
29
En general existen 10 diferentes esfuerzos internos resultantes:
Nf, Nq, Nfq, Nqf = Fuerzas membranales actuando en el plano de la
superficie de la cáscara
Qf, Qq = Cortante transversal
Mf, Mq = Momentos flectores
Mfq, Mqf = Momentos torsores
Teoría Membranal. Esta teoría resuelve problemas donde los esfuerzos internos son debido a
esfuerzos membranales resultantes Nf, Nq, Nfq, Nqf. Los esfuerzos cortantes resultantes (Nfq,
Nqf) para cargas axio-simétricas como presión interna, son iguales a cero, y con esto se
simplifica la solución. De tal forma, que los esfuerzos membranales pueden obtenerse de las
ecuaciones de estática de equilibrio y dar los esfuerzos resultantes en la concha (shell):
sf = Nf/t Esfuerzo longitudinal
sq = Nq/t Esfuerzo tangencial
4.1 Análisis de esfuerzos membranales en elementos de concha-delgada
(thin-shell)
Para estos casos particulares, se hace énfasis en que existen los esfuerzos por flexión
y las fuerzas cortantes transversales. Sin embargo, las magnitudes de estos s son tan pequeñas
que son ignoradas. Por tanto, solo se desconocen tres esfuerzos, Nf, Nq, Nfq, los cuales
pueden ser determinados con las ecuaciones para equilibrio estático.
De acuerdo a Bednar [1], las principales condiciones para el análisis membranales
son las siguientes:
30
1. Todas las cargas externas deben ser aplicadas de tal forma que las reacciones de los
esfuerzos internos sean producidas en el plano de la concha solamente. En la práctica,
todas las conchas delgadas (thin-shells) pueden absorber cierta carga de flexión, sin
embargo, estos esfuerzos por flexión son secundarios y por tanto se pueden ignorar.
Si bajo alguna carga concentrada o condiciones límite de carga, los esfuerzos por
flexión llegaran a resultar con valores elevados, entonces se tendría que hacer un
análisis más detallado así como un reforzamiento, de ser necesario.
2. Cualquier reacción de frontera, como son los soportes, debe ser localizada en el plano
tangente meridional, ya que de otra forma las fuerzas cortantes transversales y los
esfuerzos por flexión se ubicaran en la región de frontera de la concha.
3. La concha, incluyendo la región de frontera deben ser libres a deflexionarse bajo la
acción de los esfuerzos resultantes. Cualquier restricción provoca flexión y esfuerzos
cortantes.
4. El cambio en la curva meridional lento y sin “cusps” o cambios de forma. De otra
manera, se incluyen tanto flexión como esfuerzos cortantes en tales discontinuidades
geométricas.
5. Los esfuerzos membranales resultantes son asumidos uniformemente distribuidos a
través de la pared.
6. El esfuerzo radial sr es tan pequeño que se puede ignorar.
7. La superficie media de la concha se asume continua desde una sección de la concha
hasta otra a través de cualquier discontinuidad.
8. Las cargas son tales que las deflexiones de la concha son pequeñas (dR<t/2) y se
encuentran en el rango elástico.
31
4.1.1 Esfuerzos membranales producidos por presión interna
Lo más importante en un contenedor de concha delgada sujeto a presión interna, es
que la presión interna se comporta como una carga axio-simétrica. La presión interna puede
ser producida, ya sea por líquidos o debido a gases, y variando alrededor del eje de rotación
del contenedor.
Debido a la presión y la axio-simetría no existen esfuerzos tangenciales cortantes
(Nfq=Nqf=0). Los esfuerzos principales (esfuerzo longitudinal y el esfuerzo transversal) se
mantienen constantes a través del elemento. La primera ecuación de equilibro del elemento
en la dirección normal queda así (ver figura 4.2):
P[2Rtsin(dq/2)][ 2RLsin(df/2)] =
st ds1 t sin(dq/2)+ sL ds2 t sin(df/2) (4.1)
Substituyendo sin(dq/2) = (ds2/2)/ Rt ,y sin(df/2) = (ds1/2)/ RL
entonces se tiene:
P ds1 ds2, = (st/Rt )ds1 ds2 t + (sL/RL) ds1 ds2 t
Figura 4.2
32
L
L
t
t
RRt
P ss+= (4.2)
donde:
P = Presión interna
t = espesor de la cascára
Rt ,RL = radios de curvatura (tangencial, longitudinal)
st ,sL = Esfuerzos (tangencial, longitudinal)
La segunda ecuación de equilibrio para resolver st ,sL , se puede obtener de la suma
de esfuerzos y fuerzas en dirección del eje de rotación.
2p R (t sL sin f) = P pR2 (4.3)
†
s L =P * R
2t sinf=
P * Rt
2t (4.4)
Substituyendo en la primera ecuación de equilibrio:
( ) ˙˚
˘ÍÎ
È-=
L
ttt R
RRP
21*2ps (4.5)
Si et = (1/E)( s t - u sL) es la elongación en dirección tangencial, entonces el
crecimiento radial dR puede ser derivada así:
2p (R +dR) = 2 pR + 2 pR et (4.6)
)(* Ltt E
ReRR ussd -˜
¯
ˆÁË
Ê== (4.7)
donde E es el módulo de elasticidad.
33
La tercera ecuación requerida para el equilibrio estático del estado biaxial de esfuerzo
es automáticamente satisfecha, ya que la carga y los esfuerzos en dirección tangencial están
definidos como simétricos con respecto al eje de rotación.
4.1.2 Conchas cilíndricas (cylindrical shells)
Bajo presión internaLos de concha cilíndrica son los más usados debido a su geometría en el diseño de
contenedores a presión.
El radio de curvatura meridional tiende a infinito (RL = • ) y el otro radio de curvatura
es igual a R =Rt. Por lo tanto las ecuaciones de equilibrio para los esfuerzos quedan así:
t
RPt
*=s (4.8)
Dado que RL tiende a infinito
t
RPL 2
*=s (4.9)
El crecimiento radial queda:
dR = Ret = (R/E)( st - usL)
˜¯
ˆÁË
Ê-=
21
*
* 2 ud
tE
RPR (4.10)
El esfuerzo tangencial puede ser expresado en términos del radio interno
( )t
tRP
t
RP it
5.0* +==s (4.11)
34
4.1.3 Conchas esféricas (spherical shells) y tapas hemisféricas
(hemispherical heads)
Bajo presión interna
Cuando el diseño de presión exige de un contenedor que resista altas presiones,
entonces se usa un contenedor esférico.
Estos contenedores son más difíciles de fabricar que un contenedor cilíndrico; sin embargo,
se necesita la mitad de pared de un contenedor cilindro para que un contenedor esférico
resista la misma presión.
Se tiene que
sL = P R/2t
Pero
sL/R+ st/R =P/t
Entonces
st = P R/2t = sL (4.12)
Tomando en cuenta los códigos basados en radio interno y eficiencia de unión S:
t =P Ri(2SE-0.2P) (4.13)
donde 0.2P es el factor de corrección. El crecimiento radial es
˙˚
˘ÍÎ
Ș¯
ˆÁË
Ê-
=˜¯
ˆÁË
Ê-=
21
* 2
u
ussd
tE
RP
EERR Lt (4.14)
35
4.1.4 Conchas cónicas (conical shells)
Bajo presión interna
Una cabeza cónica es generada por la
rotación de una línea recta que intercepta el
eje de la rotación en ángulo que es el medio
ángulo del ápice del cono formado. Si le es
aplicada una presión interna a la cabeza o tapa
cónica, el esfuerzo principal st (Ver Figura
4.3) puede ser determinado así:
sL/ • + st/R =P/t (4.15) Figura 4.3
sL = P R/t = st = P R/t =P R/t cos a (4.16)
La ecuación de equilibrio en dirección vertical:
2p R sL t cos a = P pR2
y a
scos2
*
t
RPL = (4.17)
4.1.5 Conchas toroidales (toroidal shells)
Bajo presión interna
Un toroide es desarrollado por la rotación de una curva cerrada, generalmente un
círculo sobre un eje pasando por fuera de la curva generadora. La forma que adopta un
toroide es parecida a la de una dona.
36
Para encontrar los esfuerzos
principales en una sección toroidal se
aisla una sección en forma de anillo y
la condición de equilibrio entre
presión interna y esfuerzo membranal
en la dirección vertical queda así:
p (R2-Ro2)P = (sL t sin f)2 pR
(4.18)
sL = P(R2-Ro2)/2 t R sin f = (Pr/t)[(R-Ro)P/2R (4.19)
En el punto b (ver Figura 4.4) donde R = Ro
t
rPL
*=s (4.20)
Cabe señalar, que el significado de los esfuerzos longitudinal y transversal en un
toroide son lo contrario que en uno de cilindro.
De la ecuación:
P/t = (st/(R sin f) + (sL/r) (4.21)
El esfuerzo st puede ser determinado
st = P (R-Ro)/2 sin f
t
rPt 2
*=s (4.22)
Figura 4.4
37
4.2 Teoría de flexión
Como se podrá entender, los contenedores a presión consisten de diferentes geometrías,
diferentes espesores de capa o concha, o diferentes materiales. Por lo tanto, si cada
componente de la concha o capa tienen permitido expandirse libremente como secciones
separadas bajo presión interna, entonces cada elemento de la capa o concha tendría un
desplazamiento radial y una rotación de la tangente meridional que diferirá del
desplazamiento radial y la rotación del elemento de capa o concha adyacente. Sin
embargo, los elementos de la concha o capa forman una estructura continua y deben
flexionarse y girar juntos, pero en las uniones estas diferencias de desplazamientos
radiales y rotaciones provocan deformaciones de la concha local y esfuerzos requeridos
para mantener la continuidad física de la concha o capa. A los esfuerzos provocados por
la interacción de dos componentes de la concha o capa en su unión es a lo que se llama
esfuerzos por discontinuidad.
Para el cálculo de esfuerzos por discontinuidad, se aplica el método de fuerza, el cual
recibe su nombre debido a que utiliza fuerzas y momentos en los bordes como cantidades
desconocidas. Este método utiliza, para resolver estos problemas, momentos locales y
esfuerzos cortantes en los bordes o límites de los componentes en las zonas de unión, y es
cuando la teoría membranal resulta inefectiva, ya que ésta no incluye ningún momento a
través del espesor de la concha o capa ni utiliza algún tipo de cortante perpendicular en sus
ecuaciones básicas diferenciales.
38
sf = Nf/t +/- 6 Mf/t2 Esfuerzo longitudinal máximo
sq = Nq/t +/- 6 Mq/t2 Esfuerzo tangencial máximo
tf = Qf/t Esfuerzo cortante promedio
Los esfuerzos por discontinuidad no son tan necesarios cuando se tienen cargas
estáticas como con presión interna y material dúctil y se mantienen las cargas bajas por
diseño; sin embargo, se vuelven muy necesarias cuando se trata de cargas cíclicas. Los
esfuerzos por discontinuidad deben imponerse sobre los esfuerzos membranales en la
mayoría de las cargas como presión interna, peso del contenedor, viento o cargas por
terremotos, y esfuerzos termales. De este tipo de esfuerzos va a depender que se logren
mayores valores de esfuerzos permisibles, contenedores más grandes, así como contenedores
con capas o conchas más delgadas debido a materiales más resistentes.
A continuación se presenta la forma de obtener las fórmulas para este tipo de
esfuerzos, en el caso de contenedores de capa o concha cilíndricos [11].
Figura 4.5
D
Qo
D
Mo
tE
RPWo
*2*221
32
2
bbu
-+˜¯
ˆÁË
Ê -*
*= (4.23)
39
2*2*0
bbq
D
Qo
D
Moo +-= (4.24)
Ya que se han obtenido las fórmulas para la carcaza, se busca las fórmulas para la tapa.
Mediante superposición se obtiene:
Para el caso debido a la fuerza q se obtiene:
˜̃¯
ˆÁÁË
Ê-=
2
*1
tQo
RE
Wou
(4.25)
qo = 0 (4.26)
Para el caso de Presión se tiene:
Wo= 0 (4.27)
( )qu
oP R
D= -
+
* 3
28 1(4.28)
Donde ( )DE t
2
32
212 1=
-
*
u
Para el caso del Momento
Wo=0 (4.29)
( )qu
oMo R
D=
+
*
2 1(4.30)
Una vez que se obtuvieron las fórmulas tanto para la carcaza como para la tapa, se igualan las
fórmulas y se obtienen Wo y qo.
Figura 4.8
Figura 4.6
Figura 4.7
40
Wo(carcaza)=Wo(tapa)
D
Qo
D
Mo
tE
RP
*2*221
32
2
bbu
-+˜¯
ˆÁË
Ê -*
*=
˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁ
Ë
Ê-
2
*1
t
QoR
E
u(4.31)
Y qo(carcaza)=qo(tapa)
( )2*2* bb D
Qo
D
Mo+- = ( )-
+
P R
D
* 3
28 1 u+ ( )
Mo R
D
*
2 1+ u(4.32)
De estas ecuaciones se van a obtener los esfuerzos principales, así como el espesor mínimo
necesario.
En la carcaza:
Mo s1 2
6=
Mo
ty
22
2
6
t
M=s donde M Mo2 = u * (4.33)
q Mo=0 para x=03***2
**
bt
RD
QotE= (4.34)
P s1 =P R
t
*s2 2
=P R
t
*
*(4.35)
t
RP
t
MoTOTAL
**621 +=
us Y
t
RP
t
MoTOTAL *2
**622 +=s (4.36)